高三数学一轮 11.3 统计案例导学案 理 北师大版

学案59 统计案例
导学目标： 1.了解回归分析的基本思想、方法及其简单应用.2.了解独立性检验(只要求2×2列联表)的基本思想、方法及其简单应用．
自主梳理 1．回归分析 (1)回归直线
一组具有线性相关关系的数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，其回归方程的截距和斜率的最小二乘估计分别为
a ^
＝__________________________，b ^
＝______________________________________， 其中x ＝____________________，y ＝_____________________________________， ________________称为样本点的中心． (2)相关系数r
①r＝
∑n
i ＝1
i
－x
i
－y
∑n i ＝1
i
－x 2∑n i ＝1
i
－y
2
；
②当r>0时，表明两个变量________； 当r<0时，表明两个变量________．
r 的绝对值越接近于1，表明两个变量的线性__________；r 的绝对值越接近于0时，表明两个变量之间________________________________．通常，当r 的绝对值大于________时认为两个变量有很强的线性相关关系．
2．独立性检验
(1)列联表：列出的两个分类变量的________，称为列联表．
(2)2×2列联表：假设有两个分类变量X 和Y ，它们的取值分别为{x 1，x 2}和{y 1，y 2}，其样本频数列联表(称为2×2列联表)为
2×2列联表
构造一个随机变量n ＝__________为样本容量．
(3)独立性检验
利用随机变量________来判断“两个分类变量________”的方法称为独立性检验． 自我检测
1．对有线性相关关系的两个变量建立的回归直线方程y ^
＝a ^
＋b ^
x 中，回归系数b ^
( )
A ．可以小于0
B ．小于0
C ．能等于0
D ．只能等于0 2．(2011·天津模拟)下面是2×2列联表：
则表中a，b的值分别为( )
A．94,72 B．52,50
C．52,74 D．74,52
3．如果有95%的把握说事件A和B有关系，那么具体计算出的数据( )
A．K2>3.841 B．K2<3.841
C．K2>6.635 D．K2<6.635
4．(2011·绍兴月考)某高校“统计初步”课程的教师随机调查了选该课的一些学生情
则可判断约有
探究点一独立性检验
例 1 (2011·湛江模拟)利用统计变量K2的观测值来判断两个分类变量之间的关系的可信程度．
变式迁移1 对196个接受心脏搭桥手术的病人和196个接受血管清障手术的病人进行了3
探究点二线性回归分析
例2 一个车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了10
(1)y
(2)如果y与x具有线性相关关系，求回归直线方程；
(3)根据求出的回归直线方程，预测加工200个零件所用的时间为多少？
变式迁移2 一台机器使用时间较长，但还可以使用．它按不同的转速生产出来的某机械零件有一些会有缺点，每小时生产有缺点零件的多少，随机器运转的速度而变化，下表为抽样试验结果：
(1)对变量y与
(2)如果y与x有线性相关关系，求回归直线方程．
探究点三综合应用
例3 (2010·辽宁)为了比较注射A，B两种药物后产生的皮肤疱疹的面积，选200只家兔做试验，将这200只家兔随机地分成两组，每组100只，其中一组注射药物A，另一组注射药物B.表1和表2分别是注射药物A和药物B后的试验结果．(疱疹面积单位：mm2) 表1
表2
注射药物B后的疱疹面积有差异”．
表3：
.
附：K2＝
变式迁移3 某市对该市一重点中学2010年高考上线情况进行统计，随机抽查244名
1．回归方程只适用于我们所研究的样本的总体，而且一般都有时间性．样本的取值范
围一般不能超过回归方程的适用范围，否则没有实用价值．
2．利用图形来判断两个变量之间是否有关系，可以画出二维条形图，但从图形上只可以粗略地估计两个分类变量的关系，还要结合所求的数值来进行比较．作图应注意单位统一、图形准确，但它不能给出我们两个分类变量有关或无关的精确的可信程度，若要作出精确的判断，可以作独立性检验的有关计算．
(满分：75分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．对于独立性检验，下列说法中错误的是( )
A．K2的值越大，说明两事件相关程度越大
B．K2的值越小，说明两事件相关程度越小
C．K2≤3.841时，有95%的把握说事件A与B无关
D．K2>6.635时，有99%的把握说事件A与B有关
2．下列说法中正确的有：①若r>0，则x增大时，y也相应增大；②若r<0，则x增大时，y也相应增大；③若r＝1或r＝－1，则x与y的关系完全对应(有函数关系)，在散点图上各个点均在一条直线上( )
A ．①②
B ．②③
C ．①③
D ．①②③
3．(2011·天津汉沽一中月考)甲、乙、丙、丁四位同学各自对A 、B 两变量的线性相关如下表：
) A ．甲 B ．乙 C ．丙 D ．丁 4．下列命题中正确的个数为( )
①线性相关系数r 越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱； ②残差平方和越小的模型，模型拟合的效果越好；
③用相关指数R 2来刻画回归效果，R 2
越小，说明模型的拟合效果越好． A ．1 B ．2 C ．3 D ．0
5．(2010·济南模拟)有两个分类变量x ，y ，它们的值域分别为{x 1，x 2}和{y 1，y 2}，其样本频数列联表如下：
则两个分类变量x 和y A ．95% B ．97.5% C ．99% D ．99.5% 二、填空题(每小题4分，共12分)
6．为了判断高中三年级学生是否选修文科与性别有关系，现随机抽取50名学生，得到如下2×2列联表：
已知P(K 2≥3.841)≈0.05，根据表中数据，得到K 2
＝－2
23×27×20×30
≈4.844.
则认为选修文科与性别有关系出错的可能性为______． 7．(2011·银川模拟)下列说法：
①将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，方差恒不变；
②设有一个回归方程y ^
＝3－5x ，变量x 增加一个单位时，y 平均增加5个单位；
③线性回归方程y ^
＝b ^
x ＋a ^
必过点(x ，y )；
④曲线上的点与该点的坐标之间具有相关关系；
⑤在一个2×2列联表中，由计算得K 2
＝13.079，则其两个变量间有关系的可能性是90%. 其中错误．．的命题是________． 8．若两个分类变量x 和y
则x 与y 三、解答题(共38分)
9．(12分)在一次飞机航程中调查男女乘客的晕机情况，其2×2列联表如下，试判断晕机与性别是否有关？
10．(12分)(2011·武汉模拟)为了考察某种药物预防疾病的效果，进行动物实验，得到如下的列联表
11．(14分)(2010·全国)为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机
(1)
(2)能否有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？
(3)根据(2)的结论，能否提出更好的调查方法来估计该地区的老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例？说明理由．
附：
K2＝
－2
＋＋＋＋
学案59 统计案例
自主梳理
1．(1)y －b ^
x
∑n
i ＝1
i
－x
i
－y
∑n
i ＝1
i
－x
2
1n ∑n i ＝1x i 1n ∑n
i ＝1
y i (x ，y ) (2)②正相关 负相关 相关性越强 几乎不存在线性相关关系 0.75 2.(1)频数表
(2)－2
＋＋＋＋ a ＋b ＋c ＋d (3)K 2
有关系
自我检测
1．A [b ^
＝0时，得r ＝0，这时不具有线性相关关系，但b ^
能大于0，也能小于0.] 2．C [∵a＋21＝73，∴a＝52.又a ＋22＝b ， ∴b＝74.]
3．A [比较K 2的值和临界值的大小，有95%的把握则K 2>3.841，K 2
>6.635约有99%的把握．]
4．99.5%
解析 因为K 2
＝－2
40×60×46×54
≈9.689>7.879，
所以有99.5%的把握认为“主修统计专业与性别之间有关系”． 课堂活动区
例1 解题导引 利用已知条件来判断两个分类变量是否具有关系，可以先假设两个变
量之间有关系，再计算K 2的值，K 2
的值越大说明两个变量间有关系的可能性越大，再参考临界值，从而判断两个变量有关系的可信程度．
解 由列联表知：a ＝26，b ＝184，c ＝50，d ＝200. ∴a＋b ＝210，c ＋d ＝250，a ＋c ＝76， b ＋d ＝384，n ＝a ＋b ＋c ＋d ＝460.
∴K 2
＝－2
＋＋＋＋
＝－
2
210×250×76×384≈4.804.
∵K 2
≈4.804>3.841.
∴有95%的把握认为种子灭菌与否与小麦发生黑穗病是有关系的． 变式迁移1 解 假设做过心脏搭桥手术与又发作心脏病没有关系． 由于a ＝39，b ＝157，c ＝29，d ＝167，a ＋b ＝196， c ＋d ＝196，a ＋c ＝68，b ＋d ＝324，n ＝392，
由公式可得K 2
的观测值为
k ＝－
2
＋＋＋＋
＝－
2
196×196×68×324
≈1.78，
因为k≈1.78<2.706，所以我们没有理由说心脏搭桥手术与又发作心脏病有关系． 例2 解题导引 这是一个回归分析问题，应先进行线性相关检验或作散点图来判断x 与y 是否线性相关，如果线性相关，才可以求解后面的问题，否则就使得求回归直线方程没
有意义，要作相关性检验，应先利用r ＝
∑n
i ＝1
x i y i －n x y
∑n i ＝1
2i
－n x
2
∑n
i ＝1
y 2i
－n y
2
求出样本相关
系数r.利用当r>0时，两个变量正相关，当r<0时，两个变量负相关．r 的绝对值越接近于1，表明两个变量的线性相关性越强，r 的绝对值越接近于0，表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系，通常当|r|大于0.75时，认为两个变量有很强的线性相关关系，因而求回归直线方程才有意义．
x ＝55，y ＝91.7，
∑10i ＝1
x 2i
＝38 500，∑10
i ＝1y 2i
＝87 777，∑10
i ＝1
x i y i ＝55 950， 因此r ＝∑10i ＝1
x i y i －10x y
∑10
i ＝1
x 2
i
－10x 2
∑10
i ＝1
y2i －10y
2
＝
55 950－10×55×91.7
－10×552－10×91.7
2 ≈0.999 8，
由于r ＝0.999 8>0.75，因此x 与y 之间有很强的线性相关关系．
(2)设所求的回归直线方程为y ^
＝b ^
x ＋a ^
则有
b ^
＝
∑10
i ＝1
x i y i －10x y
∑10
i ＝1
x 2
i －10x 2
＝
55 950－10×55×91.7
38 500－10×55
2
≈0.668. a ^
＝y －b ^
x ＝91.7－0.668×55＝54.96.
因此，所求的回归直线方程为y ^
＝0.668x ＋54.96. (3)当x ＝200时，y 的估计值为
y ^
＝0.668×200＋54.96＝188.56≈189，
因此，加工200个零件所用的工时约为189分． 变式迁移2 解 (1)x ＝12.5，y ＝8.25，
∑4i ＝1x i y i ＝438,4x y ＝412.5，
∑4
i ＝1x 2i
＝660，∑4
i ＝1
y 2
i ＝291， 所以r ＝
∑4
i ＝1x i y i －4x y
⎝⎛⎭⎫∑4
i ＝1x 2
i
－4x 2
⎝⎛⎭
⎫∑4
i ＝1y 2
i
－4y 2
＝438－412.5－
－
＝
25.5
656.25≈25.5025.62
≈0.995 3. 因为r>0.75，
所以y 与x 有很强的线性相关关系．
(2)由(1)知：b ^
＝
∑n
i ＝1
x i y i －n x y
∑n i ＝1
x 2i
－n x
2
＝438－412.5660－4×12.5
2≈0.7286，a ^ ＝y －b ^
x ＝－0.8575. ∴回归直线方程为y ^
＝0.728 6x －0.857 5.
例3 解题导引 分类变量的独立性检验是建立在2×2列联表基础之上的，因而根据题目提示的分类标准设计2×2列联表是独立性检验的关键所在．
解
K 2
＝100×100×105×95≈24.56.
由于K 2
>10.828，所以有99.9%的把握认为“注射药物A 后的疱疹面积与注射药物B 后的疱疹面积有差异”．
变式迁移3 解 对于上述四个科目，分别构造四个随机变量K 21，K 22，K 23，K 2
4. 由表中数据可以得到
语文：k 1＝－
2
201×43×204×40
≈7.294>6.635，
数学：k 2＝－
2
201×43×201×43
≈30.008>10.828，
英语：k 3＝－
2
201×43×200×44
≈24.155>10.828， 综合科目：
k 4＝－
2
201×43×201×43
≈17.264>10.828，
所以，有99%的把握认为语文上线与总分上线有关系，有99.9%的把握认为数学、英语、综合科目上线与总分上线有关系，数学上线与总分上线关系最大．
课后练习区
1．C [在独立性检验中，随机变量K 2
的取值大小可说明两个变量关系的程度．一般地
随机变量K 2的值越大，两变量的相关程度越大，反之就越小．K 2
>6.635说明有99%的把握认为二者有关系．]
2．C [若r>0，表示两个相关变量正相关，x 增大时，y 也相应增大，故①正确．r<0，表示两个变量负相关，x 增大时，y 相应减小，故②错误．|r|越接近1，表示两个变量相关性越高，|r|＝1表示两个变量有确定的关系(即函数关系)，故③正确．]
3．D [因为r>0且丁最接近1，残差平方和最小，所以丁相关性最高．] 4．A [①r 有正负，应为|r|越大，相关性越强； ②正确； ③R 2
越大，拟合效果越好．]
5．C [由公式得K 2
＝－2
246×54×150×150
≈7.317，
因为7.317>6.635，所以我们有99%的把握认为两个分类变量x 与y 有关系．]
6．5%
解析∵K2≈4.844，这表明小概率事件发生．根据假设检验的基本原理，应该断定“是否选修文科与性别之间有关系”成立，并且这种判断出错的可能性约为5%.
7．②④⑤
解析根据方差的计算公式，可知①正确；由线性回归方程的定义及最小二乘法的思想，知③正确，②④⑤不正确．
8．0.999
解析K2＝
＋15＋40＋－2＋＋＋＋
≈18.822，查表知P(K2≥10.828)≈0.001，
∴x与y之间有关系的概率约为1－0.001＝0.999.
9．解K2＝
－2
20×90×30×80
≈6.366>5.024，
(5分)
故有97.5%的把握认为“晕机与性别有关”．(12分)
10．解a＝10，b＝45，c＝20，d＝30，
a＋b＝55，c＋d＝50，a＋c＝30，b＋d＝75，n＝105，(2分)
K2＝
－2
＋＋＋＋
(4分)
＝
－2
55×50×75×30
≈6.11，(8分)
因为K2＝6.11>5.024，从而有97.5%的把握认为药物有效．(12分)
11．解(1)调查的500位老年人中有70位需要志愿者提供帮助，因此该地区老年人中，
需要志愿者提供帮助的老年人的比例的估计值为70
500
×100%＝14%.(4分)
(2)K2＝
－2
200×300×70×430
≈9.967.
由于9.967>6.635，所以有99%的把握认为该地区的老年人是否需要帮助与性别有关．(10分)
(3)由(2)的结论知，该地区老年人是否需要帮助与性别有关，并且从样本数据能看出该地区男性老年人与女性老年人中需要帮助的比例有明显差异，因此在调查时，先确定该地区老年人中男、女的比例，再把老年人分成男、女两层并采用分层抽样方法，比采用简单随机抽样方法更好．(14分)。