高中数学 第二章 概率课时作业8 北师大版选修23

【课堂新坐标】2013-2014学年高中数学 第二章 概率课时作业8 北
师大版选修2-3
一、选择题
1．若X 是一个随机变量，则E (X －EX )的值为( ) A ．无法求 B ．0 C ．EX
D ．2EX
【解析】 ∵EX 是一个常数，∴E (X －EX )＝EX －EX ＝0. 【答案】 B
2．若随机变量X ～B (4，1
3)，则DX 等于( )
A.43
B.83
C.89
D.19
【解析】 ∵X ～B (4，1
3)，
∴DX ＝4×13×23＝8
9.
【答案】 C
3．若随机变量X 的分布列为
X 0 1
P
p q
其中p ∈(0,1)，则( ) A ．EX ＝p ，DX ＝p 3
B ．EX ＝p ，DX ＝p 2
C ．EX ＝q ，DX ＝q 2
D ．EX ＝1－p ，DX ＝p －p 2
【解析】 由于p ＋q ＝1，所以q ＝1－p . 从而EX ＝0×p ＋1×q ＝q ＝1－p ，
DX ＝[0－(1－p )]2p ＋[1－(1－p )]2q
＝(1－p )2
p ＋p 2
(1－p )＝p －p 2
.
【答案】 D
4．甲、乙两名工人加工同一种零件，两人每天加工的零件数相等，所得次品数分别为
ξ、η，ξ和η的分布列如下：
甲、乙两名工人的技术水平较好的为( ) A ．一样好 B ．甲 C ．乙
D ．无法比较
【解析】 工人甲生产出次品数ξ的期望和方差分别为：
Eξ＝0×610＋1×110＋2×310
＝0.7，
Dξ＝(0－0.7)2×610
＋(1－0.7)2×110
＋(2－0.7)2×310
＝0.81.
工人乙生产出次品数η的期望和方差分别为：
Eη＝0×510＋1×310＋2×210
＝0.7，
Dη＝(0－0.7)2×510
＋(1－0.7)2×310
＋(2－0.7)2×210
＝0.61.由Eξ＝Eη知，两人出
次品的平均数相同，技术水平相当，但Dξ>Dη，可见乙的技术比较稳定．
【答案】 C
5．若随机变量ξ的分布列为P ( ξ＝m )＝1
3，P (ξ＝n )＝a ，若Eξ＝2，则Dξ的最小
值等于( )
A ．0
B ．2
C ．4
D ．无法计算
【解析】 由分布列中，概率和为1，则a ＋13＝1，a ＝2
3
.
∵Eξ＝2，∴m 3＋2n
3
＝2.
∴m ＝6－2n .
∴Dξ＝13×(m －2)2＋23×(n －2)2＝23×(n －2)2＋13×(6－2n －2)2＝2n 2
－8n ＋8＝2(n －
2)2
.
∴n ＝2时，Dξ取最小值0. 【答案】 A 二、填空题
6．随机变量ξ的分布列如下：
其中a ，b ，c 成等差数列，若Eξ＝3
，则Dξ＝________.
【解析】 由题意得2b ＝a ＋c ①，a ＋b ＋c ＝1②，c －a ＝13③，以上三式联立解得a ＝1
6
，
b ＝13，
c ＝12，故Dξ＝59
.
【答案】 5
9
7．若X 的分布列为
则D (1
4
X )等于________．
【解析】 EX ＝1×14＋2×14＋3×14＋4×14＝5
2
，
DX ＝(1－52)2×14＋(2－52)2×14＋(3－52)2×14＋(4－52)2×14＝54
，
∴D (14X )＝(14)2DX ＝564.
【答案】
5
64
8．袋中有大小相同的三个球，编号分别为1,2,3，从袋中每次取出一个球，若取到球的编号为奇数，则取球停止，用X 表示所有被取到的球的编号之和，则X 的方差为________．
【解析】 X 的分布列为
X 1 3 5 P
13
12
16
则Eξ＝1×13＋3×12＋5×16＝3，Dξ＝9.
【答案】
179
三、解答题
9．海关大楼顶端镶有A ，B 两面大钟，它们的日走时误差分别为X 1，X 2(单位：s)，其分布列为：
X 1 －2 －1 0 1 2 P
0.05
0.05
0.8
0.05
0.05
X 2 －2 －1 0 1 2 P
0.1
0.2
0.4
0.2
0.1
根据这两面大钟日走时误差的均值与方差比较这两面大钟的质量． 【解】 ∵EX 1＝0，EX 2＝0，∴EX 1＝EX 2.
又∵DX 1＝(－2－0)2
×0.05＋(－1－0)2
×0.05＋02
×0.8＋(1－0)2
×0.05＋(2－0)2
×0.05＝0.5，
DX 2＝(－2－0)2×0.1＋(－1－0)2×0.2＋02×0.4＋(1－0)2×0.2＋(2－0)2×0.1＝
1.2，
∴DX 1<DX 2.
∴大钟A 的质量较好．
图2－5－2
10．某同学向如图所示的圆形靶投掷飞镖，飞镖落在靶外(环数记为0)的概率为0.1，飞镖落在靶内的各个点是随机的．已知圆形靶中三个圆为同心圆，半径分别为30 cm,20 cm,10 cm ，飞镖落在不同区域的环数如图中所示．设这位同学投掷一次得到的环数为随机变
量X ，求X 的分布列、期望和方差．
【解】 由题意可知，飞镖落在靶内各个区域的概率与它们的面积成正比，而与它们的质量和形状无关．
由圆的半径值可得到三个同心圆的半径比为3∶2∶1，面积比为9∶4∶1，所以8环区域、9环区域、10环区域的面积比为5∶3∶1，则掷得8环、9环、10环的概率分别设为5k,3k ，
k ，根据离散型随机变量分布列的性质有0.1＋5k ＋3k ＋k ＝1，解得k ＝0.1，得到离散型随
机变量X 的分布列为：
X 的期望EX DX ＝0.1×(0－7.7)2＋0.5×(8－7.7)2＋0.3×(9－7.7)2＋0.1×(10－7.7)2＝7.01.
11．袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n 号的有n 个(n ＝1,2,3,4)．现从袋中任取一球，X 表示所取球的标号．
(1)求X 的分布列、期望和方差；
(2)若Y ＝aX ＋b ，EY ＝1，DY ＝11，试求a ，b 的值． 【解】 (1)X 的分布列为
∴EX ＝0×12＋1×120＋2×10＋3×20＋4×5
＝1.5，
DX ＝(0－1.5)2×1
2＋(1－1.5)2×120＋(2－1.5)2×110＋(3－1.5)2×320＋(4－1.5)2×15
＝
2.75.
(2)由DY ＝a 2
DX ，得a 2
×2.75＝11， 即a ＝±2.
又因为EY ＝aEX ＋b ，所以
当a ＝2时，由1＝2×1.5＋b ，得b ＝－2； 当a ＝－2时，由1＝－2×1.5＋b ，得b ＝4.
∴⎩
⎪⎨
⎪⎧
a ＝2
b ＝－2或⎩
⎪⎨
⎪⎧
a ＝－2
b ＝4即为所求.。