高中数学第二章平面向量2.1向量的线性运算2.1.4数乘向量课件新人教b必修4 (1)

②当λ>0,a≠0时,λa与a的方向一定相同;
③当λ≠0,a≠0时,λa与a是共线向量;
④当λμ>0,a≠0时,λa与μa的方向一定相同;
⑤当λμ<0,a≠0时,λa与μa的方向一定相反.
A.2个 B.3个 C.4个D.5个
解析:根据实数λ与向量a的积λa的方向,易知①②③都是正确的;
对于④,由λμ>0可得λ,μ同为正或同为负,所以λa和μa或者都与a同向,
(3)当λ=0时,λa=0. ( ) (4)若5(x+a)+3(x-b)=0,则 x=38b-58a . ( ) 答案:(1)√ (2)× (3)× (4)√
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数乘向量的理解
【例1】 已知λ,μ∈R,则在以下各命题中,正确的命题共有( )
①当λ<0,a≠0时,λa与a的方向一定相反;
2 3
������
+(2b-a).
解:(1)原式=23
4������-3������
+
1 3
������-
3 2
������
+
7 4
������
=23
4-
3 2
������ +
-3
+
1 3
+
7 4
������
=23
5 2
������-
11 12
������
=53a-1118b.
(2)原式=13a-b-a+23b+2b-a
所以������������ = ������������ − ������������=(1-t)a+tc-(1-t)a-tb
=t(c-b).
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反思感悟点 O 位置的变化不影响本题的结果,将向量������������, ������������分 别转化为 t(������������ − ������������),t(������������ − ������������)是本题的关键.
2.1.4 数乘向量
课标阐释
1.掌握数乘向量的定义,并理解其几何意义. 2.掌握数乘向量的运算律. 3.了解向量线性运算的性质及其几何意义.
思维脉络
数乘向量
【问题思考】
1.甲、乙、丙三人都从点M出发,甲向正南方向运动了5 km,乙向
正南方向运动了15 km,丙向正北方向走了20 km,请问他们的位移
=
1 3
-1-1
a+
-1
+
2 3
+
2
b=-53a+53b
=-53(3i+2j)+53(2i-j)=
-5
+
10 3
i+
-
10 3
-
5 3
j=-53i-5j.
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反思感悟向量的线性运算 向量的线性运算及解含未知向量的方程类似于代数多项式的运 算及代数方程,实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公 因式等变形方法在向量线性运算及解含未知向量的方程中同样适 用,在运算过程中要注意多观察,恰当分组,简化运算.
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ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
变式训练 2 如图所示,设 BO 是△ABC 中 AC 边上的中线,������������=a, ������������ =b,试求������������ .
解:������������ = ������������ − ������������=b-a.
是什么关系?
提示:甲、乙位移方向相同,乙的位移大小是甲的3倍,甲、乙与丙
的位移方向相反,丙的位移大小是甲的4倍,是乙的
4 3
倍.
2.填空:
(1)实数λ和向量a的乘积是一个向量,记作λa,且λa的长度
|λa|=|λ||a|.若a≠0,当λ>0时,λa的方向与a的方向相同;当λ<0时,λa的
方向与a的方向相反.当λ=0或a=0时,0a=0或λ0=0.
解:由平面几何知△APQ∽△ABC,
所以������������
������������
=
������������������������=t,
所以������������=t������������, ������������=t������������, ������������ = ������������ + ������������ = ������������+t������������
= ������������+t(������������ − ������������)=a+t(b-a)=(1-t)a+tb,
������������ = ������������ + ������������ = ������������+t������������ = ������������+t(������������ − ������������)=(1-t)a+tc,
或者都与a反向,所以λa与μa是同向的,故④正确;对于⑤,由λμ<0可
得λ,μ异号,所以在λa和μa中,一个与a同向,另一个与a反向,所以λa与
μa是反向的,故⑤正确.
答案:D
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变式训练1λ,μ∈R,下列关系正确的是( )
A.若λ=0,则λa=0 B.若a=0,则λa=0
C.|λa|=|λ|a
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若2
3
(4������-������)-
1 4
(6������-������)
=0,求 x.
解:4a-x-32a+14x=0, ∴34x=52a. ∴x=130a.
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向量之间的线性表示
【例 3】如图,设 O 为△ABC 内一点,PQ∥BC,且������������������������=t,������������=a, ������������=b,������������=c,求������������, ������������, ������������.
D.λ(μ+a)=λμ+λa
答案:B
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向量的线性运算
【例2】 计算下列各题:
(1)化简23
(4������-3������)
+
1 3
������-
1 4
(6������-7������)
;
(2)设向量 a=3i+2j,b=2i-j,求
1 3
������-������
−
������-
(2)向量数乘的几何意义:把向量a沿着a的方向或a的反方向放大
或缩小.
(3)数乘向量的运算律.
设λ,μ为实数,则①(λ+μ)a=λa+μa;②λ(μa)=(λμ)a;③λ(a+b)=λa+λb.
思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的打“√”,错误的打“×”.
(1)λa(λ∈R)与a一定平行. ( ) (2)若λa=0,则必有a=0. ( )