2022-2023学年湖南省怀化市高三上学期期末数学试题及答案

2022-2023学年湖南省怀化市高三上学期期末数学试题及答
案
注意事项：
1. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号写在答题卡和该试题卷的封面上，并认真核对条形码上的姓名、准考证号和科目.
2. 考生作答时，选择题和非选择题均须做在答题卡上，在本试题卷上答题无效.考生在答题卡上按答题卡中注意事项的要求答题.
3. 考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回.
4. 本试题卷共4页，如缺页，考生须声明，否则后果自负.
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则中元素的个数为
{
}22(,)1
A x y x y =+={}(,)
B x y y x ==A B ⋂（ ） A. 3 B. 2
C. 1
D. 0
【答案】B 【解析】
【详解】试题分析：集合中的元素为点集，由题意，可知集合A 表示以为圆心，为()0,01半径的单位圆上所有点组成的集合，集合B 表示直线上所有的点组成的集合，又圆
y x =与直线相交于两点，，则中有2个元221x y +=y x
=
⎛ ⎝
A B ⋂素.故选B.
【名师点睛】求集合的基本运算时，要认清集合元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合，这是正确求解集合运算的两个先决条件.集合中元素的三个特性中的互异性对解题影响较大，特别是含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中的元素是否满足互异性.
2. 设复数满足，则（ ） z ()1i 1i z -=
+z =A.
C.
D. 12
【答案】A 【解析】
【分析】利用复数的除法化简复数，利用复数的模长公式可求得结果.
z 【详解】由已知可得，因此，. ()()()2
1i 1i
2i i 1i 1i 1i 2
z ++==
==--+1z =故选：A.
3. 已知平面向量的夹角为，且，则（ ）
,a b →→
3
π
||2,||1a b →→==|2|a b →→
-=
A. 4
B. 2
C. 1
【答案】B 【解析】
【分析】先求解的平方，因为，利用平面向量相关的运算法
|2|a b - (
)
2
2|2|2a b a b -=-
则求解出结果，开方后求得
|2|a b -
【详解】
()
2
22222|2|2444cos 43
a b a b
a a
b b a a b b π
-=-=-⋅+=-⋅+
因为向量的夹角为
，且，
,a b →→
3
π
||2,||1a b →
→
==所以，
21
|2|442442
a b -=-⨯⨯+= |2|2a b -= 故选：B
4. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ）
()2cos()(0)f x x ωϕω=+>()0f =
A. B.
D. 11-【答案】C 【解析】
【分析】根据给定函数的图象，利用“五点法”作图求出函数的解析式，再代入求值()f x 作答.
【详解】观察函数图象得，函数的周期，则， ()f x 413(
)3123T ππ
π=-=22T
πω==而，即，则有， 13212f π
⎛⎫=
⎪⎝⎭13cos 16πϕ⎛⎫
+= ⎪
⎝⎭
132,Z 6k k πϕπ+=∈因此，即有， 132,Z 6k k πϕπ=-
∈13()2cos(222cos(266
f x x k x ππ
π=+-=-
所以()02cos(6
f π
=-=故选：C
5. 若双曲线 (a>0，b>0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的
22
221x y a b
-=离心率为
B.
D.
52【答案】A 【解析】
【详解】试题分析：本题已知：焦点坐标，渐近线方程为：,距离为：(,0)c b
y x a
=±
化简得：， 又：，得：
2b a =2
2
2
c b a =+2
2
2
5,5,c c a e a ⎛⎫
=== ⎪⎝⎭
考点：双曲线的几何性质及点到直线的距离和方程思想．
6. 如图所示，在四边形中，，，，，
ABCD AD AB ⊥135ADC ∠=︒3AB =CD =
，则四边形绕旋转一周所成几何体的表面积为（ ）
1AD =ABCD AD
A.
B.
(6π+(9π+
C. D.
(9π+(9π+【答案】C 【解析】
【分析】判断出几何体的结构，根据圆锥、圆台的知识求得正确答案.
【详解】由题意知，旋转所成的几何体是一个圆台上面挖掉一个圆锥的组合体，
且圆台的上底面半径，下底面半径，高，母线长， 1r =3R =2h =l =
圆锥的底面半径，高，母线长
1r '=1'=h l '=
所以圆台的侧面积，圆锥的侧面积，
1π()S R r l =+=2πS r l ''==
圆台的下底面面积，所以几何体的表面积. 2
3π9πS R ==9πS =+故选：C
7. 已知，设，下列说1011
1012C C n n
=()()()()201223111n n
n x a a x a x a x -=+-+-++- 法：
①，②，③，④展开式中所有项的二项式系
2023n =2023
3n a =-0121n a a a a ++++= 数和为1.
其中正确的个数有（ ） A. 0 B. 1
C. 2
D. 3
【答案】C 【解析】
【分析】根据组合数的性质求得，根据二项式展开式的通项公式、赋值法、二项式系数n 和的知识求得正确答案.
【详解】，①对.
101110122023n =+=，
()20232202301220232023
(23)(1)(1)(1211)x a a x a x a x x -=+-+-+=--⎡⎤⎦
+-⎣ 所以，②错.
2023
202320232023C 2
2n a a =⋅==
令得，③对. 2x =0121n a a a a ++++= 展开式中所有项的二项式系数和为，④错. 20232所以正确的说法有个. 2故选：C
8. 已知定义在上的函数，其导函数为，当时，，
R ()f x ()f x '0x >()()0f x f x x
-
'<若， ，，则的大小关系是（ ） ()21a f =()2b f =142c f ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
,,a b c A. B. c b a <<c a b <<C. D.
a b c <<b a c <<【答案】D 【解析】
【分析】根据进行构造函数并利用函数单调性即可求解.
()()0f x f x x
-'<【详解】令， ()
()f x g x x
=
则， 2
()()
()xf x f x g x x
'-'=∵当时，， 0x >()
()0f x f x x
'-<即，在单调递减，
()0g x '
<()g x ()0,∞+∴， 1(2)(1)2g g g ⎛⎫<<
⎪⎝⎭∴
， (2)(1)
1221
2f f f ⎛⎫<< ⎪⎝⎭即， 1(2)2(1)42f f f ⎛⎫<< ⎪⎝⎭
∴. b a c <<故选：D .
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 若直线与圆相切，则下列说
(
)*
:340N l x y n n ++=∈2
22
:(2)
(0)n n C x y a a -+=>法正确的是（ ） A. B. 数列为等比数列 17
5
a =
{}n a C. 数列的前10项和为23 D. 圆不可能经过坐标原点
{}n a C 【答案】AC 【解析】
【分析】先求得圆心和半径，根据点到直线的距离公式、等差等比数列、圆等知识进行分析，从而确定正确答案.
【详解】圆的圆心为，半径， C ()2,0n r a =由直线与圆相切得
，， 325n n
a ⨯+=1655
n a n =+∴，， 17
5a =
()116161155555
n n a a n n +-=++--=∴是首项为
，公差为的等差数列， {}n a 7
515
前10项和为； 1071091
1023525
S ⨯=⨯
+⨯=令，解得，此时圆C 经过坐标原点.
()2
2
260205n +⎛⎫
-+= ⎪⎝⎭
4n =综上所述，AC 选项正确，BD 选项错误. 故选：AC
10. 已知函数在处取得极值10，则下列说法正确的是
()3
2
2
f x x ax bx a =+++1x =（ ） A.
B.
0a b +=7a b +=-C. 一定有两个极值点 D. 一定存在单调递减区间
()f x ()f x 【答案】BCD 【解析】
【分析】根据给定条件，利用导数结合极值、极值点求出a ，b ，再逐项判断作答.
【详解】函数定义域为R ，求导得，
()3
2
2
f x x ax bx a =+++2()32f x x ax b '=++依题意，，即，解得或，
(1)0(1)10f f =⎧⎨
='⎩2239a b a a b +=-⎧⎨++=⎩411a b =⎧⎨=-⎩3
3
a b =-⎧⎨=⎩当时，，函数在R 上单调递增，无极
3
3
a b =-⎧⎨=⎩22()3633(1)0f x x x x =-+=-≥'()f x 值，不符合题意， 当时，，当或时，
411
a b =⎧⎨
=-⎩2()3811(311)(1)f x x x x x '=+-=+-11
3x <-1x >，当时，， ()0f x '>11
13
x -
<<()0f x '<因此函数在，上单调递增，在上单调递减，在处
()f x 11(,3
-∞-(1,)+∞11
(,1)3-()f x 1x =取得极小值，符合题意，
则，A 不正确，B 正确；函数在处取得极大值，一定有两个7a b +=-()f x 11
3
x =-()f x 极值点，C 正确；
一定存在单调递减区间，D 正确.
()f x 故选：BCD
11. 已知点为坐标原点，直线与抛物线相交于两点，则O 1y x =-2:4C y x =,A B （ ） A.
B.
8AB =OA OB ⊥C. 的面积为
D. 线段的中点到抛物线准线的距
AOB AB 离为 4【答案】ACD 【解析】
【分析】联立直线的方程和抛物线的方程，化简写出根与系数关系，结合弦长、垂直、三角形的面积，准线等知识确定正确答案.
【详解】联立得，，设
21
4y x y x =-⎧⎨=⎩2440y y --=1616320∆=+=>，
()()1122,,,A x y B x y
则，，
124y y +=124y y =-∴，. 121211426x x y y +=+++=+=1216
116
x x =
=
, A 选项正确.
8AB ===，∴不成立，B 选项错误；
121230OA OB x x y y ⋅-≠=+=
OA OB ⊥
到直线， ()0,010x y --=
的面积，C 选项正确； AOB 182AOB S == ∵
，准线方程为∴， 12
32
x x +==1x -线段AB 的中点到抛物线准线的距离为4，D 选项正确. 故选：ACD
12. 如图，在棱长为2的正方体中，点在线段上运动，则下列判1111ABCD A B C D -P 1BC 断中正确的是（ ）
A. 平面
1//A P 1ACD B. 三棱锥的体积不变
1C APD -
C. 以的交线长为 D 11BB C C π
D. 异面直线与所成的角的范围是
1A P 1AD ππ,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦
【答案】ABD 【解析】
【分析】通过证明平面平面，即可得出A 项；
11//A BC 1ACD
根据平面，可推出，求出即可得出B 项； 1//A P 1ACD 111P ACD A ACD V V --=114
3
C AA
D V -=
由已知可得交线即以C 为顶点，1为半径的圆与侧面的交线，取、中点为
11BB C C BC 1CC 、，求出扇形的弧长即可得出结果，判断C 项；
E F 由，可知异面直线与所成的角即等于直线与所成的角11//BC AD 1A P 1AD 1A P 1BC 1A PB ∠或其补角.根据图象，即可得出点P 为中点以及线段端点时，角最大或最11A PC ∠1BC 1BC 小，即可求出结果.
【详解】
对于A 项，如图，连结.根据正方体的性质可知，且，所以111,A B A C 11//AA CC 11AA CC =四边形是平行四边形，所以，又平面，平面
11A C CA 11//AC A C 11A C ⊄1ACD AC ⊂，所以平面.同理可得，平面.因为平
1ACD 11//A C 1ACD 11//BC AD 1//BC 1ACD 11AC ⊂面，平面，，所以平面平面.又
11A BC 1BC ⊂11A BC 1111A C BC C Ç=11//A BC 1ACD 平面，所以平面，故A 项正确；
1A P ⊂11A BC 1//A P 1ACD 对于B 项，由A 知平面，所以点到平面的距离即等于点到平面
1//A P 1ACD 1A 1ACD P 的距离，所以.由正方体的性质可得，平面，所以
1ACD 111P ACD A ACD V V --=CD ⊥11AA D ，又，所以是个
11111114323C AA D V A A A D CD -=⨯⨯⨯⨯=11114
3A ACD C AA D V V --==143
P ACD V -=定值，故B 项正确；
对于C 项，由已知可得，点到侧面的距离等于.设球被侧面截得D 11BB C C 2CD =11BB C C
圆的半径为，球的半径.所以以D r R =1r =
=球面与侧面的交线即以C 为顶点，1为半径的圆与侧面的交线，分别取
11BB C C 11BB C C 、中点为、，则有，所以交线即所对的圆弧的
BC 1CC E F 1CE CF r ===ECF ∠l
长，，所以，故C 项不正确； π2ECF ∠=
ππ
22
l r ==
对于D 项，如图，由已知可得，所以
.又1111A B BC AC ===1π
3
A BP ∠=11//BC AD ，所以异面直线与所成的角即等于直线与所成的角或其补角
1A P 1AD 1A P 1BC 1A PB ∠.显然当点P 为中点时，，此时最大；当点P 在点11A PC ∠1BC 111π
2
A P
B A P
C ∠=∠=
B 时，，当点P 在点时，，此时最小.所以异面直线与11π3A P
C ∠=
1C 1π
3
A P
B ∠=1A P 1AD 所成的角的范围是，故D 项正确. ππ,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦
故选：ABD.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知“”是______的充分不必要条件.（请在横线处填上满足要求的一个不等式.1x >答案不唯一）
【答案】（答案不唯一） 0x >【解析】
【分析】根据充分条件和必要条件的定义即可求解. 【详解】根据充分条件和必要条件的定义，例如： 由，一定有；而不一定有. 1x >0x >0x >1x >故答案为：（答案不唯一）.
0x >14. 已知直线 是圆的一条对称1
:31,2
l mx ny m n +=>>（
22:2410C x y x y +--+=轴，则
的最小值为______. 11121
m n +--【答案】4 【解析】
【分析】根据直线过圆心求得的关系式，结合基本不等式求得正确答案. ,m n 【详解】圆的圆心为，
2
2
:2410C x y x y +--+=()1,2由题意知直线过圆心，得，即，
23m n +=()()1211m n -+-=
由于，，所以， 1m >1
2
n >
10,210m n ->->∴
[]1111211(1)(21)2121121121
n m m n m n m n m n --⎛⎫+=+⨯-+-=++ ⎪------⎝⎭
，当且仅当
时等号24+=≥2113,211,21212n m n m m n m n --=-=-==--成立.
故答案为：
415. 某病毒会造成“持续的人传人”，即存在甲传乙，乙又传丙，丙又传丁的传染现象，那么甲，乙，丙就被称为第一代、第二代、第三代传播者. 假设一个身体健康的人被第一代、第二代、第三代传播者感染的概率分别为0.9，0.8，0.5. 已知健康的小明参加了一次多人宴会，参加宴会的人中有5名第一代传播者，3名第二代传播者，2名第三代传播者，若小明参加宴会仅和感染的10个人中的一个有所接触，则被感染的概率为______. 【答案】0.79 【解析】
【分析】根据全概率计算公式即可求解.
【详解】被第一代感染者传染的概率，
15
11100.90.45C p C =⨯=被第二代感染者传染的概率，
13
21100.80.24C p C =⨯=被第三代感染者传染的概率，
12
3110
0.50.1C p C =⨯=所以小明参加宴会仅和感染的10个人中的一个有所接触被感染的概率为
，
1230.450.240.10.79p p p p =++=++=故答案为：0.79.
16. 已知函数在上的最大值与最小值分别
()(
2e ln e 1
x
x f x x =++[](),0a a a ->为和，则函数的图象的对称中心是______.
M m ()()()1
1g x M m x M m x -⎡⎤=++++⎣⎦
【答案】 1,12⎛⎫
-- ⎪⎝⎭
【解析】
【分析】先求得，然后构造函数，判断出的奇()()2f x f x +-=()()1h x f x =-()h x 偶性，由此求得，进而求得的表达式，利用图象变换的知识确定的对称,M m ()g x ()g x 中心.
【详解】 ()(
)(
(2e 2e ln ln e 1e 1
x x x x
f x f x x x --++-+++-=++
(2e
2
ln ln e 11e x
x x x
+
++
++=
(
ln
2x ++= (ln 2x ⎡+⎢⎣
=，
ln12022=+=+=即，所以， ()()2f x f x +-=()()110f x f x -+--=令，， ()()1h x f x =-()()0h x h x +-=则为上奇函数，
()h x R 在上的最大值为最小值的和为0，
()h x [](),0a a a ->∴，， 2M m +=11
()2(21)12121
g x x x x x =+
=++-++是奇函数，图象的对称中心是， 1
y x x =+
()0,0向左平移个单位得到，对称中心为，
1y x x =+11
11y x x =+++()1,0-再横坐标缩小为原来的一半得到，对称中心为， 12121y x x =++
+1,02⎛⎫
- ⎪⎝⎭
再向下平移个单位得到，对称中心为， 1()()121121g x x x =++
-+1,12⎛⎫
-- ⎪⎝⎭
所以的对称中心是. ()g x 1,12⎛⎫
-
- ⎪⎝⎭
故答案为： 1,12⎛⎫-
- ⎪⎝⎭
四、解答题：共70分， 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 从①，②这三个条件中222a c b ac +-=2sin tan b A a B =cos 1B B =+任选一个，补充在下列横线上，并解答.
在中，内角，，所对的边长分别为，，，且满足_________. ABC A B C a b c （1）求角的大小；
B （2）若，求周长的取值范围. 2b =AB
C 【答案】（1）条件选择见解析，；
3
B π
=（2）. (]4,6【解析】
【分析】（1）选①，利用余弦定理求解即得；选②，利用正弦定理边化角即可得解；选③，利用同角公式求解即得.
（2）利用（1）的结论，结合余弦定理及均值不等式求解作答. 【小问1详解】
选择①，在中，，由余弦定理知，而
ABC 2
2
2
a c
b a
c +-=2221
cos 22
a c
b B a
c +-==，
()0,B π∈所以.
3
B π
=
选择②，在中，由正弦定理及，得ABC 2sin tan b A a B =sin 2sin sin sin cos B
B A A B
=⋅，
而，因此，又， sin sin 0B A >1
cos 2
B =()0,B π∈所以.
3
B π
=
，两边平方得：，即
cos 1B B =+223sin (cos 1)B B =+，
223(1cos )(cos 1)B B -=+在中，，，解得， ABC ()0,B π∈cos 10B +>1cos 2
B =所以.
3
B π
=
【小问2详解】
在中，，，由余弦定理，得ABC 2b =3
B π
=2222cos b a c ac B =+-224a c ac
=+-，
即有，当且仅当时取等号， 22
2
2
3()()4()3()44
a c a c a c ac a c ++=+-≥+-=
2a c ==因此，又，于是得， 4a c +≤2a c b +>=46a b c <++≤所以周长的取值范围为.
ABC (]4,618. 已知数列是公差大于1的等差数列，，前项和为，且，{}n a 23a =n n S 11a +31a -，成等比数列.
63a -（1）求数列的通项公式；
{}n a （2）令，求数列的前项和. 1
1
4(1)
n n n n n
b a a ++=-{}n b n n T 【答案】（1）
21n a n =-（2）
22
,21
221n n n n T n n n +⎧⎪⎪+=⎨⎪⎪+⎩
为奇数，为偶数【解析】
【分析】（1）通过等比数列中项公式和等差数列性质求得通项即可； （2）通过对的奇偶性进行讨论，再求和即可. n 【小问1详解】
设数列的公差为，则，
{}n a ()1d d >213a a d =+=，，成等比数列， 11a + 31a -63a -，
()()()2
316113a a a ∴-=+-即， ()()()112
121153a d a a d +-=++-解得，，
11a =2d =.
12(1)21n a n n ∴=+-=-【小问2详解】 由（1）知，
1
141
1(1)(1)(21)(21)2121n n n n b n n n n ++⎛⎫=-=-+ ⎪-+-+⎝⎭
当n 为偶数时，
1111
1111211335232121212121n n T n n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-++++-+=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
---+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，
当n 为奇数时，
1111
11112211335232121212121n n T n n n n n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-++-+++=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
---+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，
综上所述，.
22
,21
221
n n n n T n n n +⎧⎪⎪+=⎨⎪⎪+⎩为奇数，为偶数19. 如图，在多面体中，四边形为正方形，，，
ABCDEF ADEF //AD BC AD AB ⊥.
22AD BC =
=
（1）证明：平面平面；
ADEF ⊥ABF
（2）若平面，二面角为，三棱锥的外接球的球AF ⊥ABCD A BC E --45 A BDF -心为，求平面与平面夹角的余弦值. O ACD OCD 【答案】（1）证明详见解析
（2【解析】
【分析】（1）通过证明平面来证得平面平面.
AC ⊥ABF ADEF ⊥ABF （2）根据二面角的大小求得，通过补形的方法判断点的位置，建立空A BC E --AB O 间直角坐标系，利用向量法求得平面与平面夹角的余弦值. ACD OCD 【小问1详解】
由于四边形为正方形，所以，由于，
ADEF AD AF ⊥AD AB ⊥平面，所以平面，
,,AF AB A AF AB ⋂=⊂ABF AD ⊥ABF 由于平面， AD ⊂ADEF 所以平面平面.
ADEF ⊥ABF 【小问2详解】
由于平面，平面，所以. AF ⊥ABCD AB ⊂ABCD AF AB ⊥由（1）得平面，且， AD ⊥ABF //AD BC 所以平面，所以是二面角的平面角，
BC
⊥ABF ABF ∠A BC E --所以，所以.
45ABF ∠=︒2==AB AF 由上述分析可知两两相互垂直，
,,AB AD AF 所以可将多面体补形为正方体，如下图所示， ABCDEF ABGD FIHE -则三棱锥的外接球的球心是的中点. A BDF -O AH 由此建立空间直角坐标系如下图所示，
，
()()()()2,2,2,1,1,1,2,1,0,0,2,0H O C D ，
()()1,0,1,1,1,1OC OD =-=--
设平面的法向量为，
OCD (),,n x y z =
则，故可设， 00
n OC x z n OD x y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+-=⎪⎩ ()1,2,1n = 平面的一个法向量为,
ACD ()0,0,1m =
设平面与平面夹角为，
ACD OCD θ则.
cos m n m n
θ⋅===⋅ 所以平面与平面
ACD OCD
20. 德化瓷器是泉州的一张名片，已知瓷器产品T 的质量采用综合指标值M 进行衡量，M ∈[8，10]为一等品；M ∈[4，8）为二等品；M
∈[0，4）为三等品.某瓷器厂准备购进新型窑炉以提高生产效益，在某供应商提供的窑炉中任选一个试用，烧制了一批产品并统计相关数据，得到下边的频率分布直方图.
（1）估计该瓷器产品T 的质量综合指标值M 的第60百分位数；
（2）根据陶瓷厂的记录，产品各等次的销售率（某等次产品销量与其对应产量的比值）及单件售价情况如下：
一等品 二等品 三等品
销售率 89
23
25
单件售价
20元
16元
12元
根据以往的销售方案，未售出的产品统一按原售价的50%全部处理完.已知该瓷器厂认购该窑炉的前提条件是，该窑炉烧制的产品同时满足下列两个条件：
①综合指标值的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）不小于6； ②单件平均利润不低于4元.若该新型窑炉烧制产品T 的成本为10元/件，月产量为2000件，在销售方案不变的情况下，根据以上图表数据，分析该新型窑炉是否达到瓷器厂的认购条件.
【答案】（1）7.75
（2）该新型窑炉达到瓷器厂的认购条件 【解析】
【分析】（1）根据百分位数的计算方法即可求解；（2）根据频率直方图的平均值和数学期望的计算方法即可求解. 【小问1详解】
设该瓷器产品T 的质量综合指标值M 的第60百分位数为m ，由频率分布直方图知
，且，解得，
()6,8m ∈0.0120.0420.1120.16(6)0.6m ⨯+⨯+⨯+⨯-=7.75m =所以该瓷器产品T 的质量综合指标值M 的第60百分位数的估计值为7.75. 【小问2详解】
①先分析该窑炉烧制出的产品T 的综合指标值的平均数： 由频率分布直方图知，综合指标值的平均数
，
(10.0130.0450.1170.1690.18)2 6.846x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=>故满足认购条件①.
②再分析该窑炉烧制的单件平均利润值：
由频率分布直方图可知，该新型窑炉烧制的产品T 为一、二、三等品的概率估计值分别为0.36，0.54，0.1，故2000件产品中，一、二、三等品的件数估计值分别为720，1080，200.
一等品的销售总利润为元；
8720(2010)64009⨯⨯-=二等品的销售总利润为元；
21
1080(1610)1080(101650%)360033⨯⨯--⨯⨯-⨯=三等品的销售总利润为元；
23
200(1210)200(101250%)32055
⨯⨯--⨯⨯-⨯=-故2000件产品的单件平均利润值的估计值为， (64003600320)2000 4.844+-÷=>满足认购条件②，
综上，该新型窑炉达到瓷器厂的认购条件.
21. 已知椭圆C ：过点，过其右焦点且垂直于x 轴的直()22
2210x y a b a b +=
>>⎛ ⎝2F 线交椭圆C 于A ，B 两点，且
AB =（1）求椭圆C 的方程； （2）若直线l ：与椭圆C 交于E ，F 两点，线段EF 的中点为Q ，在y 轴上是否1
2
y kx =-
存在定点P ，使得∠EQP ＝2∠EFP 恒成立？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
2
213
x y +=（2）存在定点， ()0,1P 【解析】
【分析】（1）直接由椭圆
C 过点和解方程即可； ⎛
⎝c ⎛ ⎝（2）先联立直线和椭圆，通过∠EQP ＝2∠EFP 得到点P 在以EF 为直径的圆上，即PE ⊥
PF ，表示出，由解出点P 的坐标即可.
PE PF
0PE PF ⋅= 【小问1详解】
由题知，椭圆C
过点和，
⎛
⎝c ⎛ ⎝
所以，解得
222
22222
1213113a b c
a b a b c ⎧+=⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩
2231a b ⎧=⎨=⎩所以椭圆C 的方程为．
2
213
x y +=【小问
2详解】
假设在y 轴上存在定点P ，使得∠EQP ＝2∠EFP 恒成立，设，，
()00,P y ()11,E x y
()22,F x y 由，得，∴，22121
3y kx x y ⎧
=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩()224121290k x kx +--=122
12412k x x k +=+
122
9
412x x k -=
+
()
22144364120k k ∆=++>∵∠EQP ＝2∠EFP ，∴∠EFP ＝∠FPQ ，∴QE ＝QF ＝QP ∴点P 在以EF 为直径的圆上，即PE ⊥PF
， ()110,PE x y y =- ()220,PF x y y =-
∴
()()121020PE PF x x y y y y ⋅=+--
()212120120x x y y y y y y =+-++ ()()2212121201201124
k x x k x x x x y k x x y =+-+-+-++⎡⎤⎣⎦ ()()22120120011124k x x k y x x y y ⎛⎫=+-+++++ ⎪⎝⎭
()2220002121448
0412y k y y k -++-==+∴恒成立
()222
0001214480y k y y -++-=∴，解得 20200104480y y y ⎧-=⎨+-=⎩01y =∴
()0,1P ∴存在定点，使得∠EQP ＝2∠EFP 恒成立．
()0,1P 【点睛】本题关键点在于利用∠EQP ＝2∠EFP 得到点P 在以EF 为直径的圆上，进而得到，表示出，，联立直线和椭圆后，由韦达定理及建立方0PE PF ⋅= PE PF 0PE PF ⋅= 程解出点P 的坐标即可.
22. 已知函数
()()2e 2e x x f x a a x =+--（1）讨论的单调性；
()f x （2）若有两个零点，求的取值范围.
()f x a 【答案】（1）见解析；（2）.
(0,1)【解析】
【详解】试题分析：（1）讨论单调性，首先进行求导，发现式子特点后要及时进行因()f x 式分解，再对按，进行讨论，写出单调区间；（2）根据第（1）问，若a 0a ≤0a >，至多有一个零点.若，当时，取得最小值，求出最小值
0a ≤()f x 0a >ln x a =-()f x ，根据，，进行讨论，可知当时1(ln )1ln f a a a
-=-
+1a =(1,)∈+∞a (0,1)a ∈(0,1)a ∈有2个零点.易知在有一个零点；设正整数满足，则()f x (,ln )a -∞-0n 03ln(1)n a
>-.由于，因此00000000()e (e 2)e 20n n n n f n a a n n n =+-->->->3ln(1)ln a a ->-()f x
在有一个零点.从而可得的取值范围为.
(ln ,)a -+∞a (0,1)试题解析：（1）的定义域为，
()f x (),-∞+∞，
()()()()2221121x x x x f x ae a e ae e =+---'=+（ⅰ）若，则，所以在单调递减.
0a ≤()0f x '<()f x (),-∞+∞（ⅱ）若，则由得.
0a >()0f x '=ln x a =-当时，；当时，，所以在(),ln x a ∈-∞-()0f x '<()ln ,x a ∈-+∞()0f x '>()f x 单调递减，在单调递增.
(),ln a -∞-()ln ,a -+∞（2）（ⅰ）若，由（1）知，至多有一个零点.
0a ≤()f x （ⅱ）若，由（1）知，当时，取得最小值，最小值为
0a >ln x a =-()f x . ()1ln 1ln f a a a
-=-+①当时，由于，故只有一个零点；
1a =()ln 0f a -=()f x ②当时，由于，即，故没有零点； ()1,a ∈+∞11ln 0a a -
+>()ln 0f a ->()f x ③当时，，即. ()0,1a ∈11ln 0a a -
+<()ln 0f a -<又，故在有一个零点.
()()4222e 2e 22e 20f a a ----=+-+>-+>()f x (),ln a -∞-设正整数满足，则0n 03ln 1n a ⎛⎫>- ⎪⎝⎭
.
()()00000000e e 2e 20n n n n f n a a n n n =+-->->->由于，因此在有一个零点. 3ln 1ln a a ⎛⎫->- ⎪⎝⎭
()f x ()ln ,a -+∞综上，的取值范围为.
a ()0,1点睛:研究函数零点问题常常与研究对应方程的实根问题相互转化.已知函数有2()f x 个零点求参数a 的取值范围，第一种方法是分离参数，构造不含参数的函数，研究其单调性、极值、最值，判断与其交点的个数，从而求出a 的取值范围；第二种y a =方法是直接对含参函数进行研究，研究其单调性、极值、最值，注意点是若有2
()f x
个零点，且函数先减后增，则只需其最小值小于0，且后面还需验证最小值两边存在大于0的点.。