(压轴题)高中数学高中数学选修2-2第三章《导数应用》检测题(含答案解析)(1)

一、选择题
1．已知函数()3
sin f x x x ax =+-，则下列结论错误的是（ ）
A ．()f x 是奇函数
B ．若0a =，则()f x 是增函数
C ．当3a
=-时，函数()f x 恰有三个零点
D ．当3a =时，函数()f x 恰有两个极值点 2．已知函数()2sin ln 6
x
f x a x x a π⎛⎫
=+-
⎪⎝⎭
（0a >，且1a ≠），对任意1,x []20,1x ∈，不等式()()212f x f x a -≤-恒成立，则实数a 的最小值是（ ）
A ．2e
B ．e
C ．3
D ．2
3．已知函数()3
f x x ax =-在(1,1)-上单调递减，则实数a 的取值范围为（ ） A ．()1,+∞ B ．[
)3,+∞
C ．(],1-∞
D ．(],3-∞
4．若函数()2
2ln 45f x x x bx =+++的图象上的任意一点的切线斜率都大于0，则b 的取值范围是（ ） A ．(),8-∞- B ．()8,-+∞ C ．(),8-∞
D ．()8,+∞
5．定义域为R 的连续可导函数()f x 满足()()x
f x f x e '-=，且()00f =，若方程
()()21
016
m f x f x ++=⎡⎤⎣⎦有四个根，则m 的取值范围是（ ） A ．2416
e e m -<<
B ．42
e
m <<
C ．2
16
e m e >-
D ．2
e m >
6．当01x <<时，()ln x
f x x
=，则下列大小关系正确的是（ ） A ．()()
()2
2f
x f x f x <
<
B ．()()()2
2
f x f
x f x << C ．()()()2
2
f x f x f x <<
D ．()()()2
2
f x f x f x <<
7．若函数1
()ln f x x a x =-+在区间(1,)e 上存在零点，则常数a 的取值范围为（ ） A ．01a << B ．
1
1a e
<< C ．
1
11a e
-<< D ．
1
11a e
+<< 8．已知()3
21233
y x bx b x =
++++是R 上的单调增函数，则b 的取值范围是（ ）
A ． 1b <-或2b >
B ．
1,
b ≤-或b 2≥
C ．12b -<<
D ．12b -≤≤
9．内接于半径为R 的球且体积最大的圆柱体的高为（ ） A ．
23
3
R B ．
33
R C ．
33
2
R D ．
32
R 10．已知函数1
0()ln ,0x x
f x x x x
⎧⎪⎪=⎨⎪⎪⎩，＜＞，若()()F x f x kx =-有3个零点，则k 的取值范围为
（ ）
A ．(2
1
e -
，0) B ．(1
2e
-
，0) C ．(0，
1
2e ) D ．(0，21e
) 11．已知定义在R 上的可导函数()y f x =的导函数为()f x '，满足()()f x f x <'，
且(1)y f x =+为偶函数，(2)1f =，则不等式()x f x e <的解集为（ ） A ．4(,)e -∞
B ．4(,)e +∞
C ．(,0)-∞
D ．(0,)+∞
12．若对于任意的120x x a <<<，都有2112
12
ln ln 1x x x x x x ->-，则a 的最大值为（ ）
A ．2e
B ．e
C ．1
D ．
12
二、填空题
13．如图，有一块半径为2的半圆形钢板，计划裁剪成等腰梯形ABCD 的形状，它的下底
AB 是圆O 的直径，上底C 、D 的端点在圆周上，则所裁剪出的等腰梯形面积最大值为
_______________.
14．设动直线x m =与函数()3
2f x x =，()ln g x x =的图象分别交于点M ，N ，则线
段MN 长度的最小值为______．
15．如图所示，ABCD 是边长为30cm 的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A ，B ，C ，D 四个点重合于图中的点P ，正好形成一个底面是正方形的长方体包装盒，若要包装盒容积3()V cm 最大，则EF 的长为________cm .
16．设()ln f x x =，若函数()()h x f x ax =-在区间()0,8上有三个零点，则实数a 的取值范围______. 17．下列五个命题：
①“2a >”是“()sin f x ax x =-为R 上的增函数”的充分不必要条件； ②函数()3
113
f x x x =
++有两个零点； ③集合A ={2，3}，B ={1，2，3}，从A ，B 中各任意取一个数，则这两数之和等于4的概率是
13
； ④动圆C 即与定圆()2
224x y -+=相外切，又与y 轴相切，则圆心C 的轨迹方程是
()280y x x =≠
⑤若对任意的正数x ，不等式x e x a ≥+ 恒成立，则实数的取值范围是1a ≤ 其中正确的命题序号是_____．
18．设函数()f x '是奇函数()f x ()x R ∈的导函数， ()20f -=，当0x >时，
()()0xf x f x '-<，则不等式()0f x >的解集为______________.
19．已知()2
sin cos f x x x x x =++，则不等式()()
1lg lg 22
f x f x f ⎛⎫
+ ⎪
⎝⎭>的解集为______.
20．已知()3
2
26f x x x a =-+(a 为常数)在[]22-,
上有最小值3，则()f x 在[]22-,上的最大值为______
三、解答题
21．已知函数()cos x f x e x x =-，()(sin 1)g x x x =-. （1）讨论()f x 在区间(,0)2
π
-
上的单调性；
（2）判断()()f x g x -在区间[,]22
ππ
-
上零点的个数，并给出证明.
22．设函数()()()ln 10f x x x =+≥，()()
()101
x x a g x x x ++=≥+.
（1）证明：()2
f x x x ≥-.
（2）若()()f x x g x +≥恒成立，求a 的取值范围； （3）证明：当*n ∈N 时，()2
121
ln 149
n n n -+>+++
. 23．已知2()2ln f x x x =- （1）求()f x 的最小值； （2）若21
()2f x tx x
≥-
在(]0,1x ∈内恒成立，求t 的取值范围. 24．已知函数()2
x
f x e x a =-+，x ∈R ，曲线()y f x =的图象在点()()
0,0f 处的切线方程为y bx =.
（1）求,a b ，并证明()2
f x x x ≥-+；
（2）若()f x kx >对任意的()0,x ∈+∞恒成立，求实数k 的取值范围. 25．已知函数32()4f x x ax =-+-. （I ）若4
()3
f x x =
在处取得极值，求实数a 的值； （II ）在（I ）的条件下，若关于x 的方程()[1,1]f x m =-在上恰有两个不同的实数根，求实数m 的取值范围.
26．已知二次函数f (x )的最小值为－4，且关于x 的不等式f (x )≤0的解集为{x |－1≤x ≤3，x ∈R}.
（1）求函数f (x )的解析式； （2）求函数g (x )＝
()
f x x
－4ln x 的零点个数.
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题 1．C 解析：C 【分析】
对A,根据奇函数的定义判定即可. 由条件可得()2
cos 3f x x x a '=+-，则
()sin 6f x x x ''=-+，()cos 60f x x ''=-+≥,所以()sin 6f x x x ''=-+在R 上单调递
增,且()00f ''=,所以当0x <时，()0f x ''<，当0x >时，()0f x ''>，则
()2cos 3f x x x '=+在()0-∞，上单调递减，在()0+∞，上单调递增.则
()()01f x f a ''≥=-,将a 的值代入分别计算分析，可判断选项B ，C ，D
【详解】
对A, ()3
sin f x x x ax =+-的定义域为R ,且()()()3
sin f x x x ax -=-+-+
3sin ()x x ax f x =--+=-.故A 正确.
由条件可得()2
cos 3f x x x a '=+-，则()sin 6f x x x ''=-+，()cos 60f x x ''=-+≥
所以()sin 6f x x x ''=-+在R 上单调递增,且()00f ''= 所以当0x <时，()0f x ''<，当0x >时，()0f x ''>，
则()2
cos 3f x x x '=+在()0-∞，
上单调递减，在()0+∞，上单调递增.则()()01f x f a ''≥=-
对B, 当0a =时，()2
'cos 30f x x x =+>，所以()f x 是增函数，故B 正确.
对C,当3a
=-时，由上可知, ()()014f x f a ''≥=-=，
所以()f x 是增函数,故不可能有3个零点.故C 错误.
对D,当3a =时，()2
cos 33f x x x '=+-，由上可知在()0-∞，
上单调递减，在()0+∞，上单调递增.
则()()min 0132f x f ''==-=-，()1cos10f '-=>，()1cos10f '=>
所以存在()()121,0,0,1x x ∈-∈，使得()10f
x '
=，()20f x '=成立
则在()1,x -∞上，()0f x '>，在()12,x x 上，()0f x '<，在()2,x +∞上，()0f x '>.
所以函数()3
sin 3f x x x x =+-在()1,x -∞单调递增，在()12,x x 的单调递减，在()2,x +∞单调递增.
所以函数()f x 恰有两个极值点，故D 正确.
故选：C 【点睛】
关键点睛：本题主要考查利用导数分析函数的单调性从而得出函数的零点和极值情况，解答本题的关键是对原函数的单调性分析，由条件可得()2
cos 3f x x x a '=+-，则
()sin 6f x x x ''=-+，()cos 60f x x ''=-+≥所以()sin 6f x x x ''=-+在R 上单调递增,
且()00f ''=，所以当0x <时，()0f x ''<，当0x >时，()0f x ''>，则
()2cos 3f x x x '=+在()0-∞，上单调递减，在()0+∞，上单调递增.则
()()01f x f a ''≥=-，经过多次求导分析出单调性，属于中档题. 2．A
解析：A 【分析】
由导数求得()f x 在[0,1]上单调递增，求得函数的最值，把任意1,x []
20,1x ∈，不等式
()()212f x f x a -≤-恒成立，转化为()()max min 2f x f x a -≤-，进而求得a 的取值
范围，得到最小值. 【详解】
由题意，显然2a ≥， 因为函数()2sin ln 6x
f x a x x a π⎛⎫
=+-
⎪⎝⎭
，可得()ln (1)cos()36x f x a a x ππ'=-+，
又由[0,1],2x a ∈≥，可得ln 0,10,
cos(
)036
x
a a x π
π
>-≥>，
故()0f x '>，函数()f x 在[0,1]上单调递增， 故()()max min (1)1ln ,(0)1f x f a a f x f ==+-==， 对任意1,x []
20,1x ∈，不等式()()212f x f x a -≤-恒成立， 即()()max min 2f x f x a -≤-，
所以1ln 12a a a +--≤-，即ln 2a ≥，解得2a e ≥， 即实数a 的最小值为2e . 故选：A. 【点睛】
对于利用导数研究不等式的恒成立问题的求解策略：
1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
3．B
解析：B 【分析】
根据'()0f x ≤在(1,1)-上恒成立求解． 【详解】
∵3()f x x ax =-，∴2'()3f x x a =-．
又函数()f x 在()1,1-上单调递减，∴2'()30f x x a =-≤在(1,1)-上恒成立，即23a x ≥在(1,1)-上恒成立．
∵当(1,1)x ∈-时，3033x ≤<，∴3a ≥． 所以实数a 的取值范围是[3,)+∞． 故选：B ． 【点睛】
本题考查根据导函数研究函数的单调性，以及不等式的恒成立问题，注意当
'()0()f x x D <∈时，则函数()f x 在区间D 上单调递减；而当函数()f x 在区间D 上单调
递减时，则有'()0f x ≤在区间D 上恒成立．解题时要注意不等式是否含有等号，属于中档题．
4．B
解析：B 【分析】
对函数()f x 求导，得到()f x '，然后根据题意得到()0f x '>恒成立，得到 【详解】
因为函数()2
2ln 45f x x x bx =+++，定义域()0,∞+
所以()2
8f x x b x
'=
++， 因为()f x 图象上的任意一点的切线斜率都大于0， 所以()2
80f x x b x
'=++>对任意的()0,x ∈+∞恒成立， 所以2
8b x x
>-
-， 设()2
8g x x x
=-
-，则()max b g x > ()2
28g x x '=
- 令()0g x '=，得到1
2
x =
，舍去负根， 所以当10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
时，()0g x '>，()g x 单调递增， 当1,2x ⎛⎫
∈+∞
⎪⎝⎭
时，()0g x '<，()g x 单调递减， 所以12x =时，()g x 取最大值，为()max 182g x g ⎛⎫
==- ⎪⎝⎭
，
所以8b >-，
故选B. 【点睛】
本题考查利用导数求函数图像切线的斜率，不等式恒成立，利用导数研究函数的单调性、极值、最值，属于中档题.
5．A
解析：A 【分析】
构造函数()()x
f x x b e =+，根据()00f =求出0b =，利用导数判断函数的单调性，作
出其大致图像，令()t f x =，只需2
1016mt t ++
=两个不同的根1t ，21,0t e ⎛⎫
∈- ⎪⎝⎭
，利用二次函数根的分布即可求解.
由()()()()()
()()()
2
2
1x x
x x x
x x f x e f x e f x f x e e f x e e
f x e '-'-=-=⇒
'=⇒，
则()()()()1x
x x
f x f x x b x x b e e e f ⎡⎤=⇒=+=+⎢⎥⎣⎦
⇒， 由()000f b =⇒=，则()x
f x e x =⋅.
由()()1x
f x e
x '=+，当()1,x ∈-+∞，()0f x '>，()f x 单调递增； 当(),1x ∈-∞-，()0f x '<，()f x 单调递减，
当x →-∞，()0f x <，x →+∞，()0f x >，如图所示：
令()t f x =，则2
1
016
mt t ++
=，由已知可得 21016mt t ++
=两个不同的根1t ，21,0t e ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭
， 令()2
116g t mt t =++，由1212
1001016t t m m t t m ⎧
+=-<⎪⎪⇒>⎨
⎪⋅=>⎪⎩
， 则()210
00
,4160
11
02g e e g m e e
m ⎧⎛⎫
-> ⎪⎪⎝
⎭⎪⎛⎫⎪>⇒∈-⎨
⎪∆>⎝⎭⎪⎪-<-<⎪⎩. 故选：A 【点睛】
本题考查了构造函数判断函数的单调性、根据方程根的个数求参数的取值范围，考查了二次函数根的分布，此题综合性比较强，属于中档题.
6．D
【分析】
由01x <<得到2x x <，要比较()f x 与()
2
f x 的大小，即要判断函数是增函数还是减函数，可求出()'f x 利用导函数的正负决定函数的增减项，即可比较出()f x 与()
2
f x 的大
小，利用对数的运算法则以及式子的性质，从式子的符号可以得到()f x 与()2
f x 的大
小，从而求得最后的结果. 【详解】
根据01x <<得到201x x <<<，而()2
1ln 'x
f x x -=
， 所以根据对数函数的单调性可知01x <<时，1ln 0x ->，
从而可得()'0f x >，函数()f x 单调递增，所以()
()()2
10f x f x f <<=， 而()2
22ln 0x f x x ⎛⎫=> ⎪⎝⎭
，所以有()()()22f x f x f x <<.
故选D. 【点睛】
本题主要考查函数的值的大小比较，在解题的过程中，注意应用导数的符号研究函数的单调性，利用函数单调性和导数之间的关系是解决本题的关键．
7．C
解析：C 【分析】
先利用导数判断出函数()f x 在区间()1,e 上为增函数，再解不等式
(1)ln110f a =-+<，1
()ln 0f e e a e
=-+>，即得解.
【详解】
由题得211
()0f x x x
'=+>在区间()1,e 上恒成立，
所以函数1
()ln f x x a x
=-
+在区间()1,e 上为增函数， 所以(1)ln110f a =-+<，1
()ln 0f e e a e
=-+>， 可得
1
11a e
-<<. 故选：C. 【点睛】
本题主要考查利用导数研究函数的单调性和零点，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
8．D
【分析】
利用三次函数()3
21233
y x bx b x =++++的单调性，通过其导数进行研究，求出导数，利用其导数恒大于0即可解决问题． 【详解】
∵()3
21233
y x bx b x =
++++，∴222y x bx b '=+++， ∵函数是R 上的单调增函数，∴2220x bx b +++≥在R 上恒成立， ∴0∆≤，即244(2)0b b -+≤.∴12b -≤≤ 故选：D. 【点睛】
本题考查根据导函数研究函数的单调性，属于中档题.可导函数在某一区间上是单调函数，实际上就是在该区间上()0f x '≥（或()0f x '≤）（()'f x 在该区间的任意子区间都不恒等于0）恒成立，然后分离参数，转化为求函数的最值问题，从而获得参数的取值范围，本题是根据相应的二次方程的判别式0∆≤来进行求解.
9．A
解析：A 【分析】
根据圆柱的高，底面半径以及球半径之间的关系，建立圆柱的高与圆柱体积之间的函数关系，利用导数求体积取得最大值时对应的自变量即可. 【详解】
根据题意，设圆柱底面半径为r ，圆柱的高为h ，作出示意图如下所示：
显然满足2
2
2
4
h r R =-，
故圆柱的体积()2321
4
h r h h R h πππ=⨯=-+， 故可得()223
,(02)4
V h h R h R ππ<'=-+<， 令()0V h '>
，解得0h <<
，故此时()V h 单调递增， 令()0V h '<
2h R <<，故此时()V h 单调递减. 故(
)max V h V ⎫=⎪⎪⎝⎭
.
即当3
h R =
时，圆柱的体积最大. 故选：A .
【点睛】 本题考查圆柱的外接球以及利用导数求体积的最大值，属综合中档题.
10．C
解析：C
【分析】
由函数()()F x f x kx =-在R 上有3个零点，当0x >时，令()0F x =，可得y k =和()2
ln x g x x =有两个交点；当0x <时，y k =和()1g x x =有一个交点，求得0k >，即可求解，得到答案.
【详解】 由题意，函数10()ln ,0x x f x x x x
⎧⎪⎪=⎨⎪⎪⎩，＜＞， 要使得函数()()F x f x kx =-在R 上有3个零点，
当0x >时，令()()0F x f x kx =-=， 可得2ln x
k x
=， 要使得()0F x =有两个实数解，
即y k =和()2ln x g x x =
有两个交点， 又由()3
12ln x g x x -'=， 令12ln 0x -=
，可得x =
当(0,)x e ∈时，()0g x '>，则()g x 单调递增；
当(,)x e ∈+∞时，()0g x '<，则()g x 单调递减，
所以当x e =时，()max 12g x e
=， 若直线y k =和()2ln x g x x =
有两个交点， 则1(0,)2k e
∈，
当0x <时，y k =和()2
1g x x =
有一个交点， 则0k >， 综上可得，实数k 的取值范围是1(0,
)2e . 故选：C.
【点睛】
本题主要考查了函数与方程的综合应用，以及利用导数研究函数的单调性与最值的综合应用，着重考查了转化思想以及推理与运算能力.属于中档题.
11．D
解析：D
【详解】
()()()()()0()x x f x f x f x g x g x g x e e
'-'=∴=<∴单调递减 (1)(1)(0)(2)1f x f x f f +=-+∴==
因此()g()(0)0x f x e x g x <⇔<⇔>
故选：D
12．C
解析：C
【分析】
整理所给的不等式，构造新函数，结合导函数研究函数的单调性，即可求得结果.
【详解】
解：由已知可得，211212ln ln x x x x x x -<-，两边同时除以12x x ， 则121221
ln ln 11x x x x x x -<-，化简有1212ln 1ln 1x x x x ++<， 而120x x <<，构造函数()ln 1x f x x +=
，()2ln x f x x -'=， 令()0f x '>，则01x <<；令()0f x '<，则1x > ，
所以函数()f x 在()0,1上为增函数，在()1,+∞上为减函数， 由1212
ln 1ln 1x x x x ++<对于120x x a <<<恒成立， 即()f x 在()0,a 为增函数，则01a <≤，
故a 的最大值为1.
故选：C.
【点睛】
本题考查导数研究函数的单调性，考查分析问题能力，属于中档题.
二、填空题
13．【分析】连过作垂足为设则则等腰梯形的面积令利用导数求其最值【详解】连过作垂足为如图：设则所以等腰梯形的面积令单调递增单调递减所以时取得极大值也是最大值即的最大值故答案为：【点睛】本题考查了函数的实际
解析：【分析】
连OC ，过C 作CE OB ⊥，垂足为E ，设(02),OE x x CE y =<<=，则
224x y +=，则等腰梯形ABCD 的面积
1(24)(2)2
S x y x y =+=
+=3()(2)(2),02h x x x x =+-<<，利用导数求其最值.
【详解】
连OC ，过C 作CE OB ⊥，垂足为E ，如图：
设,OE x CE y ==，则224x y +=，
所以等腰梯形ABCD 的面积1(24)(2)2
S x y x y =+=+2(2)4x x =+-3(2)(2),02x x x =+-<<
令3()(2)(2),02h x x x x =+-<<
232()3(2)(2)(2)4(1)(2)h x x x x x x '=+--+=-+，
(0,1),()0,()x h x h x ∈'>单调递增，
(1,2),()0,()x h x h x ∈'<单调递减，
所以1x =时，()h x 取得极大值，也是最大值，
max ()(1)27h x h ==，即S 的最大值33 故答案为：33
【点睛】
本题考查了函数的实际应用，运用导数求最值时解题的关键，属于中档题.
14．【分析】构造函数利用导数求得的最小值进而求得线段长度的最小值【详解】构造函数则所以在上递增令解得所以在上递增在上递减所以的最小值为也即的最小值为故答案为：【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的最值 解析：()11ln 63
+ 【分析】
构造函数()()()()0h x f x g x x =->，利用导数求得()h x 的最小值，进而求得线段MN 长度的最小值.
【详解】
构造函数()()()()3
2ln 0h x f x g x x x x =-=->， 则()()'2''2116,120h x x h x x x x
=-=+>， 所以()'
h x 在()0,∞+上递增，令()'0h x =解得13366x -==. 所以()h x 在130,6-⎛⎫ ⎪⎝⎭上递增，在136,-⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
上递减，
所以()h x 的最小值为()3111333111626ln 6ln 61ln 6333h ---⎛⎫⎛⎫=⨯-=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 也即MN 的最小值为
()11ln 63+. 故答案为：
()11ln 63
+ 【点睛】 本小题主要考查利用导数研究函数的最值，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题. 15．【分析】设cm 根据已知条件求出包装盒的底面边长及高从而求得包装盒体积的关于x 的表达式利用导数研究体积的最大值即可【详解】设cm 则cm 包装盒的高为cm 因为cm 所以包装盒的底面边长为cm 所以包装盒的体积
解析：10
【分析】
设EF x =cm ，根据已知条件求出包装盒的底面边长及高从而求得包装盒体积的关于x 的表达式，利用导数研究体积(x)V 的最大值即可.
【详解】
设EF x =cm ，则302x AE BF -==
cm ，包装盒的高为22GE x = cm ， 因为302x AE AH -== cm ，2A π∠=，所以包装盒的底面边长为2=(30)2
HE x - cm ， 所以包装盒的体积为232222()[
(30)](60900)224V x x x x x x =-⋅=-+，030x <<， 则22()(3120900)4
V x x x '=-+，令()0V x '=解得10x =， 当(0,10)x ∈时，()0V x '>，函数(x)V 单调递增；当(10,30)x ∈时，()0V x '<，函数(x)V 单调递减，所以3max 2()(10)(100060009000)10002()4
V x V cm ==-+=，即当10EF cm =时包装盒容积3()V cm 取得最大值310002()cm .
故答案为：10
【点睛】
本题考查柱体的体积，利用导数解决面积、体积最大值问题，属于中档题.
16．【分析】画出函数图像计算直线和函数相切时和过点的斜率根据图像得到
答案【详解】故画出图像如图所示：当直线与函数相切时设切点为此时故解得；当直线过点时斜率为故故答案为：【点睛】本题考查了根据函数零点个数 解析：3ln 21,8e ⎛⎫ ⎪⎝⎭
【分析】
()f x ax =，画出函数图像，计算直线和函数相切时和过点()8,ln8的斜率，根据图像得到答案.
【详解】
()()0h x f x ax =-=，故()f x ax =，画出图像，如图所示：
当直线与函数相切时，设切点为()00,x y ，此时()ln f x x =，()1'f x x
=， 故01a x =，00y ax =，00ln y x =，解得0x e =，01y =，1a e
=； 当直线过点()8,ln8时，斜率为3ln 28k =
，故3ln 218a e <<. 故答案为：3ln 21,8e ⎛⎫ ⎪⎝
⎭.
【点睛】
本题考查了根据函数零点个数求参数，意在考查学生的计算能力和综合应用能力. 17．①③⑤【分析】①通过导数研究函数的单调性可得结论正确；②利用导数可知函数为增函数函数最多一个零点；③根据古典概型求得概率为；④根据条件直接求得轨迹方程；⑤利用导数研究不等式恒成立可得的范围【详解】对
解析：①③⑤
【分析】
①通过导数研究函数的单调性可得结论正确；
②利用导数可知函数为增函数，函数最多一个零点；
③根据古典概型求得概率为13
； ④根据条件直接求得轨迹方程；
⑤利用导数研究不等式恒成立，可得a 的范围.
【详解】
对于①，当2a >时，()cos f x a x '=-0>恒成立，所以，()sin f x ax x =-为R 上的增函数；而当12a ≤≤时，()cos f x a x '=-0>也恒成立，()sin f x ax x =-在R 上也是增函数，所以“2a >”是“()sin f x ax x =-为R 上的增函数”的充分不必要条件是正确的；
对于②，2()10f x x '=+>恒成立，所以()f x 在R 上为增函数，最多只有一个零点，故②是错误的；
对于③，所有基本事件为：21,22,23,31,32,33++++++共6个， 其中和为4的有
22,31++共2个，根据古典概型可得所求概率为2163
=，故③正确；
对于④，设(,)(0)C x y x ≠||x =2+，两边平方并化简得
244||y x x =+，
当0x >时，得28y x =，当0x <时，得0y =，所以所求轨迹方程是：28(0)y x x =>或0,0y x =<，故④不正确；
对于⑤，依题意得x a e x ≤-对任意的正数x 恒成立，令()x f x e x =-，则
()1x f x e =-'，
因为0x >，所以()0f x '>，所以()x f x e x =-在(0,)+∞上为增函数，所以
()(0)1f x f >=，
所以1a ≤，故⑤时正确的.
故答案为：①③⑤
【点睛】
本题考查了；利用导数研究函数的单调性，考查了利用导数处理不等式恒成立，考查了古典概型，考查了两圆外切，考查了求曲线的轨迹方程，属于中档题.
18．【分析】根据当时构造函数求导在上是减函数再根据是奇函数在上是增函数由写出的解集【详解】设所以因为当时则所以在上是减函数又因为是奇函数所以在上是增函数因为所以所以当或时所以不等式的解集为故答案为：【点 解析：(),2(0,2)-∞-⋃
【分析】
根据当0x >时，()()0xf x f x '-<，构造函数()()f x g x x
= ，求导
()()()
20xf x f x g x x '-'=<，()g x 在()0,∞+上是减函数，再根据()f x 是奇函
数，()g x 在(),0-∞上是增函数，由()20f -=，()20f =，写出()0f x >的解集.
【详解】
设()()f x g x x
= ， 所以()()()2
xf x f x g x x '-'=， 因为当0x >时，()()0xf x f x '-<，则()0g x '<，
所以()g x 在()0,∞+上是减函数，
又因为()f x 是奇函数，所以()g x 在(),0-∞上是增函数，
因为()20f -=，所以()20f =，
所以当2x <- 或02x <<时，()0f x >，
所以不等式()0f x >的解集为(),2(0,2)-∞-⋃.
故答案为：(),2(0,2)-∞-⋃
【点睛】
本题主要考查构造函数，用导数研究函数的单调性解不等式，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
19．【分析】先判断函数为偶函数再利用导数判断函数在递增从而将不等式转化为进一步可得不等式解对数不等式即可得答案【详解】的定义域为且即有即为偶函数；又时则在递增不等式即为即有可得即有即或解得或则解集为故答 解析：()10,100,100⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
【分析】
先判断函数为偶函数，再利用导数判断函数在0x >递增，从而将不等式转化为()()lg 2f x f >，进一步可得不等式lg 2x >，解对数不等式即可得答案.
【详解】
()2sin cos f x x x x x =++的定义域为R ，
且()()()()()2
2sin cos sin cos f x x x x x x x x x -=--+-+-=++， 即有()()f x f x -=，即()f x 为偶函数；
又0x >时，()()sin cos sin 22cos 0f x x x x x x x x '=+-+=+>，
则()f x 在0x >递增，
不等式()()1lg lg 22
f x f x f ⎛⎫+ ⎪⎝⎭>， 即为()()()l
g lg 22
f x f x f +->， 即有()()l
g 2f x f >， 可得()()lg 2f x f >， 即有lg 2x >，
即lg 2x >或lg 2x <-，
解得100x >或10100x <<
， 则解集为()10,100,100⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭. 故答案为：()10,
100,100⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.
【点睛】 本题考查函数奇偶性、单调性的综合运用，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意偶函数(||)()f x f x =这一性质的应用. 20．43【分析】通过函数的导数可判断出在上单调递增在上单调递减比较和的大小从而可得在上的最小值再结合已知其最小值为3即可求出的值进而可求出函数在上的最大值【详解】因为所以当时；当时所以函数在上单调递增在 解析：43
【分析】
通过函数()f x 的导数可判断出()f x 在(2,0)-上单调递增，在(0,2)上单调递减，比较(2)f -和(2)f 的大小，从而可得()f x 在[2,2]-上的最小值，再结合已知其最小值为3，即可求出a 的值，进而可求出函数()f x 在[2,2]-上的最大值．
【详解】
因为32()26f x x x a =-+，所以2()6126(2)f x x x x x '=-=-，
当(2,0)x ∈-时，()0f x '>；当(0,2)x ∈时，()0f x '<，
所以函数()f x 在(2,0)-上单调递增，在(0,2)上单调递减，
所以()f x 的最大值为(0)f a =，
又(2)40f a -=-+，(2)8f a =-+，因为(8)(40)320a a -+--+=>， 所以408a a -+<-+，所以()f x 在[2,2]-上的最小值为(2)403f a -=-+=， 所以43a =，所以()f x 的最大值为(0)43f =．
故答案为：43
【点睛】
本题考查利用导数求闭区间上的函数最值问题．一般地，如果在区间[,]a b 上函数()y f x =的图象是一条连续不断的曲线，最值必在端点处或极值点处取得．
三、解答题
21．（1）()f x 在(,0)2π-
上单调递减；（2）有且仅有2个零点. 证明见解析.
【分析】
（1）求出函数的导数，根据导函数的单调性判断即可；（2）令()()()cos sin x F x f x g x e x x x =-=-，求出函数的导数，通过讨论x 的范围，求出函数的单调区间，从而求出函数的零点个数即可证明结论成立.
【详解】
（1）()cos sin 1cos()14x x x f x e x e x x π⎛⎫=--=+- ⎪⎝
⎭'，
()cos sin 44x x f x x x ππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭'⎭⎝'⎝⎭ 2cos()2sin 2x x e x e x π=+
=-. (,0)2x π
∈-，
sin 0x ∴<，
()0f x ''∴>，
所以()'f x 在(,0)2π
-上单调递增，
()(0)0f x f ''<=， ()f x ∴在(,0)2π
-上单调递减.
（2）()()f x g x -在区间[,]22
ππ-上有且仅有2个零点. 证明：令()()()cos sin x F x f x g x e x x x =-=-，
所以()()()cos sin cos sin x F x e
x x x x x '=--+， ①当,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦
π时， 因为()()cos sin 0,cos sin 0x x x x x ->-+>，
()()0,F x F x '∴>在02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，单调递增，
又()010,022F F ππ⎛⎫=>-
=-< ⎪
⎝⎭
. ()F x ∴在02π⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
，上有一个零点； ②当0,
4x π⎛⎤
∈ ⎥⎝
⎦
时，
cos sin 0,0x x x e x ≥>>>，
()cos sin sin sin sin ()0x x x F x e x x x e x x x x e x ∴=-≥-=->恒成立.
()F x ∴在04π⎛⎤ ⎥⎝⎦
，上无零点；
③当,42x ππ⎛⎤
∈ ⎥⎝⎦时，
0cos sin x x <<，
()()()cos sin cos sin 0x F x e x x x x x '∴=--+<， ()F x ∴在42ππ⎛⎤
⎥⎝⎦
，上单调递减；
又4
0,022424F F e πππππ⎫⎛⎫⎛⎫=-<=->⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝
⎭，
()F x ∴在42ππ⎛⎤
⎥⎝⎦
，上必存在一个零点；
综上，()()f x g x -在区间[,]22
ππ
-上有且仅有2个零点. 【点睛】 方法点睛：
利用导数研究函数单调性的方法：
（1）确定函数()f x 的定义域；求导函数()'f x ，由()0f x '>（或()0f x '<）解出相应的x 的范围，对应的区间为()f x 的增区间（或减区间）；
（2）确定函数()f x 的定义域；求导函数()'f x ，解方程()0f x '=，利用()0f x '=的根将函数的定义域分为若干个子区间，在这些子区间上讨论()'f x 的正负，由符号确定()f x 在子区间上的单调性.
22．（1）证明见解析；（2）(],1-∞；（3）证明见解析. 【分析】
（1）令函数()()2
ln 1h x x x x =+-+，[)0,x ∈+∞，利用导数判断函数单调递增，从而
可得()()00h x h ≥=，即证.
（2）令()()ln 11ax
m x x x
=+-
+，转化为()0m x ≥恒成立，利用导数求出()()
11x a
m x x +-'=
+，讨论a 的取值，判断函数的单调性，求出
()()()min 100m x m a m =-<=，即求.
（3）由（1）()2
ln 1x x x +≥-，令1x n =
，*n ∈N ，整理可得()21
ln 1ln n n n n
-+->，然后将不等式相加即可证明. 【详解】
（1）证明：令函数()()2
ln 1h x x x x =+-+，[)0,x ∈+∞，
()21221011x x
h x x x x
+'=+-=≥++，
所以()h x 为单调递增函数，()()00h x h ≥=， 故()2
ln 1x x x +≥-.
（2）()()f x x g x +≥，即为()ln 11ax
x x
+≥+， 令()()ln 11ax
m x x x
=+-
+，即()0m x ≥恒成立， ()()()
()2
111111a x ax x a m x x x x +-+-'=
-=+++， 令()0m x '
>，即10x a +->，得1x a >-.
当10a -≤，即1a ≤时，()m x 在[)0,+∞上单调递增，
()()00m x m ≥=，
所以当1a ≤时，()0m x ≥在[)0,+∞上恒成立；
当10a ->，即1a >时，()m x 在()1,a -+∞上单调递增，在[]0,1a -上单调递减， 所以()()()min 100m x m a m =-<=， 所以当1a >，()0m x ≥不恒成立. 综上所述：a 的取值范围为(],1-∞. （3）证明：由（1）知()2
ln 1x x x +≥-，
令1
x n
=
，*n ∈N ，(]0,1x ∈， 211ln
n n n n
+->，即()21
ln 1ln n n n n -+->，
故有ln 2ln10->，
1ln 3ln 24
->
， ……
()2
1
ln 1ln n n n n -+->
， 上述各式相加可得()2
121
ln 149
n n n -+>+++. 【点睛】
本题考查了利用导数证明不等式、利用导数研究不等式恒成立，考查了转化与划归的思想，属于中档题.
23．（1）1 ；（2）(],1-∞. 【分析】
（1）先求函数的导函数，求出函数的极值，并将它与函数的端点值进行比较即可. （2）要求若21()2f x tx x ≥-
在(]0,1x ∈内恒成立，即转化为3
12ln 2x
t x x x
≤+-在(]0,1x ∈内恒成立，只需求312ln ()x
h x x x x
=+
-(]0,1x ∈内的最小值即可. 【详解】
（1）函数的定义域为()0,∞+
设()()2112()2x x f x x x x
+-'=-
=
， 由()0f x '>得：1x >，由()0f x '<得：01x <<，
所以()f x 在()0,1单调递减，在()1,+∞单调递增，
min ()(1)1f x f ==，
（2）若2
1
()2f x tx x ≥-在(]0,1x ∈内恒成立， 可得312ln 2x t x x x
≤+
-在(]0,1x ∈内恒成立， 令312ln ()x h x x x x =+-，4224
232ln ()x x x x
h x x --+'=，
因为(]0,1x ∈，
所以430x -<，220x -<，22ln 0x x <，40x >， 所以()0h x '<，可得()h x 在()0,1上单调递减， 所以当1x =时，312ln ()x
h x x x x
=+-有最小值2， 得22t ≤，所以1t ≤， 故t 的取值范围是(],1-∞，
本题主要考查了利用导数求闭区间上函数的最值，以及求函数恒成立问题，属于基础题. 24．（1）1a =-，1b =，证明见解析；（2）(),2e -∞-. 【分析】
（1）先求出()2
1x
f x e x =--，则()()2
1x
g x f x x x e x =+-=--，利用导数求出
()()min 00g x g ==，不等式即得证；
（2）价于
()f x k x
>对任意的0,
恒成立，令()()
f x x x
ϕ=
，0x >，求出函数()y x ϕ=的最小值即得解.
【详解】
（1）根据题意，函数()2
x
f x e x a =-+，则()2x
f x e x '=-，则()01f b '==，
由切线方程y bx =可得切点坐标为()0,0，将其代入()y f x =，解得1a =-， 故()2
1x
f x e x =--，则()()2
1x
g x f x x x e x =+-=--，
则()10x
g x e '=-=，得0x =，
当(),0x ∈-∞，0g x ，函数y g x 单调递减； 当()0,x ∈+∞，0g x
，函数y g x 单调递增；
所以()()min 00g x g ==，所以()2
f x x x ≥-+. （2）由()f x kx >对任意的当()0,x ∈+∞恒成立等价于()f x k x
>对任意的0,
恒成
立， 令()()
f x x x
ϕ=
，0x >， 得()()()()()()()2222
2111x x x
x e x e x x e x xf x f x x x x x
ϕ-------'-'===， 由（1）可知，当()0,x ∈+∞时，10x e x -->恒成立， 令()0ϕ'>x ，得1x >；()0ϕ'<x ，得01x <<， 所以()y x ϕ=的单调增区间为1,
，单调减区间为0,1，
故()()min 12x e ϕϕ==-，所以()min 2k x e ϕ<=-. 所以实数k 的取值范围为(),2e -∞-. 【点睛】
本题主要考查利用导数求函数的最值，考查利用导数研究不等式的恒成立问题，考查利用导数证明不等式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 25．（I ）2a =；（II ）(4,3]--．
试题分析：（Ⅰ）求导数，把4
3
x =
代入导函数为零可得关于a 的方程，解之可得实数a 的值，检验是否有极值即可；（Ⅱ）求()'f x ，利用导数研究函数的单调性，结合其变化规律可得函数的极值，数形结合可得答案. 试题 （I ）
由题意得，经检验满足条件
（II ）由（I ）知
令
（舍去） 当x 变化时，的变化情况如下表：
x
－1
(－1,0) 0 （0，1） 1
－ 0 +
－1
↘
－4
↗
－3
∵关于x 的方程
上恰有两个不同的实数根
∴实数m 的取值范围是
26．（1）f (x )＝x 2－2x －3；（2）1个.
【分析】
（1）根据一元二次不等式的解集，可设f (x )＝a (x ＋1)(x －3)，再结合f (x )的最小值为－4即可求出a 的值，得到函数f (x )的解析式；
（2）对g (x )求导可以得到g (x )的单调区间，在每个单调区间上研究函数g (x )的零点情况即可. 【详解】
（1）∵f (x )是二次函数，且关于x 的不等式f (x )≤0的解集为{x |－1≤x ≤3，x ∈R}， ∴设f (x )＝a (x ＋1)(x －3)＝ax 2－2ax －3a ，且a >0. ∴f (x )min ＝f (1)＝－4a ＝－4，a ＝1. 故函数f (x )的解析式为f (x )＝x 2－2x －3.
（2）由（1）知g (x )＝223
x x x
--－4ln x ＝x －3x －4ln x －2，
∴g (x )的定义域为(0，＋∞)，g ′(x )＝1＋23x －4x
＝2(1)(3)x x x --，
令g ′(x )＝0，得x 1＝1，x 2＝3.
当x 变化时，g ′(x )，g (x )的取值变化情况如下表： x (0，1) 1 (1，3) 3 (3，＋∞) g ′(x ) ＋
－
＋
g (x )
极大值 极小值
当x >3时，g (e 5)＝e 5－
53
e
－20－2>25－1－22＝9>0. 又因为g (x )在(3，＋∞)上单调递增， 因而g (x )在(3，＋∞)上只有1个零点， 故g (x )仅有1个零点. 【点睛】
本题主要考查二次函数和导数在研究函数中的应用.。