九上一元二次方程 培优含答案

一元二次方程
一、选择题
1. （2012天津市3分）若关于x的一元二次方程（x－2）（x－3）=m有实数根x1,x2，且x1≠x2，有下列结论：
①x1=2，x2=3；②
1
m
4 >-；
③二次函数y=（x－x1）（x－x2）＋m的图象与x轴交点的坐标为（2，0）和（3，0）．
其中，正确结论的个数是【】
（A）0 （B）1 （C）2 （D）3
【答案】C。

【考点】抛物线与x轴的交点，一元二次方程的解，一元二次方程根的判别式和根与系数的关系。

【分析】①∵一元二次方程实数根分别为x1、x2，
∴x1=2，x2=3，只有在m=0时才能成立，故结论①错误。

②一元二次方程（x－2）（x－3）=m化为一般形式得：x2－5x＋6－m=0，
∵方程有两个不相等的实数根x1、x2，∴△=b2－4ac=（－5）2－4（6－m）=4m＋1＞0，
解得：
1
m
4
>-。

故结论②正确。

③∵一元二次方程x2－5x＋6－m=0实数根分别为x1、x2，∴x1＋x2=5，x1x2=6－m。

∴二次函数y=（x－x1）（x－x2）+m=x2－（x1＋x2）x＋x1x2＋m=x2－5x＋（6－m）＋m
=x2－5x＋6=（x－2）（x－3）。

令y=0，即（x－2）（x－3）=0，解得：x=2或3。

∴抛物线与x轴的交点为（2，0）或（3，0），故结论③正确。

综上所述，正确的结论有2个：②③。

故选C。

2. （2012广东佛山3分）用配方法解一元二次方程x2－2x－3=0时，方程变形正确的是【】
A．（x－1）2=2 B．（x－1）2=4 C．（x－1）2=1 D．（x－1）2=7
【答案】B。

【考点】用配方法解一元二次方程。

【分析】由x2－2x－3=0移项得：x2－2x=3，两边都加上1得：x2－2x＋1=3＋1，即（x－1）
2
=4。

则用配方法解一元二次方程x 2－2x －3=0时，方程变形正确的是（x －1）2=4。

故
选B 。

3. （2012江苏淮安3分）方程032
=-x x 的解为【 】
A 、0=x
B 、3=x
C 、3,021-==x x
D 、3,021==x x 【答案】D 。

【考点】方程的解，因式分解法解一元二次方程。

【分析】解出方程与所给选项比较即可：
()212303003003x x x x x x x x -=⇒-=⇒=-=⇒==，，。

故选D 。

4. （2012福建莆田4分）方程()()x 1x 20-+=的两根分别为【 】
A ．1x ＝－1，2x ＝2
B ．1x ＝1，2x ＝2
C ．1x ＝―l ，2x ＝－2
D ．1x ＝1，2x ＝－2 【答案】D 。

【考点】因式分解法解一元二次方程。

【分析】（x －1）（x ＋2）=0，可化为：x －1=0或x ＋2=0，解得：x 1=1，x 2=－2。

故选D 。

5. （2012湖北武汉3分）若x 1、x 2是一元二次方程x 2－3x ＋2＝0的两根，则x 1＋x 2的值是【 】
A ．－2
B ．2
C ．3
D ．1 【答案】C 。

【考点】一元二次方程根与系数的关系。

【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，得x 1＋x 2＝3。

故选C 。

6. （2012湖北荆门3分）用配方法解关于x 的一元二次方程x 2
﹣2x ﹣3=0，配方后的方程可以是【 】
A ．（x ﹣1）2
=4 B ．（x +1）2
=4 C ．（x ﹣1）2
=16 D ．（x +1）2
=16 【答案】A 。

【考点】配方法。

【分析】把方程x 2
﹣2x ﹣3=0的常数项移到等号的右边，得到x 2
﹣2x =3，
方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到x 2
﹣2x +1=3+1，
即（x ﹣1）2
=4。

故选A 。

7. （2012湖北天门、仙桃、潜江、江汉油田3分）如果关于x 的一元二次方程x 2
+4x +a =0的两个不相等实数根x 1，x 2满足x 1x 2﹣2x 1﹣2x 2﹣5=0，那么a 的值为【 】
A ．3
B ．﹣3
C ．13
D ．﹣13 【答案】B 。

【考点】一元二次方程根与系数的关系。

【分析】∵x 1，x 2是关于x 的一元二次方程x 2
+4x +a =0的两个不相等实数根，
∴x 1+x 2=﹣4，x 1x 2=a 。

∴x 1x 2﹣2x 1﹣2x 2﹣5=x 1x 2﹣2（x 1+x 2）﹣5=a ﹣2×（﹣4）﹣5=0，即a +3=0， 解得，a =﹣3。

故选B 。

8. （2012湖北荆州3分）用配方法解关于x 的一元二次方程x 2
﹣2x ﹣3=0，配方后的方程可以是【 】
A ．（x ﹣1）2
=4 B ．（x +1）2
=4 C ．（x ﹣1）2
=16 D ．（x +1）2
=16 【答案】A 。

【考点】配方法。

【分析】把方程x 2
﹣2x ﹣3=0的常数项移到等号的右边，得到x 2
﹣2x =3，
方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到x 2
﹣2x +1=3+1， 即（x ﹣1）2
=4。

故选A 。

9. （2012湖北襄阳3分）如果关于x 的一元二次方程2kx 10+=有两个不相等的实数根，那么k 的取值范围是【 】 A ．k ＜
12 B ．k ＜12且k ≠0 C ．﹣12≤k ＜12 D ．﹣12≤k ＜1
2
且k ≠0
【答案】D 。

【考点】一元二次方程定义和根的判别式，二次根式有意义的条件。

【分析】由题意，根据一元二次方程二次项系数不为0定义知： k ≠0；根据二次根式被开方数非负数的条件得：2k +1≥0；根据方程有两个不相等的实数根，得△=2k +1﹣4k ＞0。

三者联立，解得﹣12≤k ＜1
2
且k ≠0。

故选D 。

10. （2012湖南常德3分）若一元二次方程2x 2x m 0++=有实数解，则m 的取值范围是
【】
A. m1
≤-B. m1
≤C. m4
≤D.m
1 2≤
【答案】B。

【考点】一元二次方程根的判别式。

【分析】由一元二次方程有实数根，得到根的判别式大于等于0，列出关于m的不等式，求出不等式的解集即可得到m的取值范围：
∵一元二次方程2x2x m0
++=有实数解，
∴△=b2－4ac=22－4m≥0，解得：m≤1。

∴m的取值范围是m≤1。

故选B。

11. （2012湖南株洲3分）已知关于x的一元二次方程x2﹣bx+c=0的两根分别为x1=1，x2=﹣2，则b与c的值分别为【】
A．b=﹣1，c=2B．b=1，c=﹣2C．b=1，c=2D．b=﹣1，c=﹣2
【答案】D。

【考点】一元二次方程根与系数的关系。

【分析】∵关于x的一元二次方程x2﹣bx+c=0的两根分别为x1=1，x2=﹣2，
∴x1+x2=b=1+（﹣2）=﹣1，x1•x2=c=1×（﹣2）=﹣2。

∴b=﹣1，c=﹣2。

故选D。

12. （2012四川攀枝花3分）已知一元二次方程：x2﹣3x﹣1=0的两个根分别是x1、x2，则x12x2+x1x22的值为【】
A．﹣3 B． 3 C．﹣6 D． 6 【答案】A。

【考点】一元二次方程根与系数的关系，求代数式的值。

【分析】由一元二次方程：x2﹣3x﹣1=0的两个根分别是x1、x2，
根据一元二次方程根与系数的关系得，x1+x2=3，x1x2=―1，
∴x12x2＋x1x22=x1x2（x1＋x2）=（－1）·3=－3。

故选A。

13. （2012四川广安3分）已知关于x的一元二次方程（a﹣l）x2﹣2x+l=0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是【】
A．a＞2 B．a＜2 C．a＜2且a≠l D．a＜﹣2
【答案】C。

【考点】一元二次方程根的判别式，一元二次方程定义。

【分析】利用一元二次方程根的判别式列不等式，解不等式求出a 的取值范围，结合一元二次方程定义作出判断：
∵由△=4﹣4（a ﹣1）=8﹣4a ＞0解得：a ＜2。

又根据一元二次方程二次顶系数不为0的定义，a ﹣1≠0，∴a ＜2且a ≠1。

故选C 。

14. （2012四川泸州2分）若关于x 的一元二次方程x 2 －4x + 2k = 0有两个实数根，则k 的取值范围是【 】
A 、k ≥2
B 、k ≤2
C 、k ＞-2
D 、k ＜-2
【答案】B 。

【考点】一元二次方程根的判别式，解一元一次不等式。

【分析】由于已知方程有两个实数根，根据一元二次方程的根与判别式的关系，建立关于k 的不等式，解不等式即可求出k 的取值范围：
∵a ＝1，b ＝－4，c ＝2k ，且方程有两个实数根， ∴△＝b 2－4ac ＝16－8k ≥0，解得，k ≤2。

故选B 。

15. （2012四川南充3分）方程x （x -2）+x -2=0的解是【 】 （A ）2 （B ）-2,1 （C ）－1 （D ）2,－1 【答案】D 。

【考点】因式分解法解一元二次方程。

【分析】先利用提公因式因式分解，再化为两个一元一次方程，解方程即可：
由x （x ﹣2）+（x -2）=0，得（x -2）（x +1）=0，∴x -2=0或x +1=0， ∴x 1=2，x 2=-1。

故选D 。

16. （2012贵州安顺3分）已知1是关于x 的一元二次方程（m ﹣1）x 2
+x +1=0的一个根，则m 的值是【 】 A ． 1 B ． ﹣1 C ． 0 D ．
无法确定 【答案】B 。

【考点】一元二次方程的解，一元二次方程的定义。

【分析】根据题意得：（m ﹣1）+1+1=0，解得：m =﹣1。

故选B 。

17. （2012山东东营3分）方程()21
k 1x =04
-有两个实数根，则k 的取值范围是
【 】．
A ． k ≥1
B ． k ≤1
C ． k >1
D ． k <1
【答案】D 。

【考点】一元二次方程的意义和根的判别式。

【分析】当k =1时，原方程不成立，故k ≠1，
当k ≠1时，方程()21
k 1x =04
-为一元二次方程。

∵此方程有两个实数根，
∴22
1
b 4a
c 4k 11k k 122k 04
-=-⨯-⨯
=---=-≥（（）（），解得：k ≤1。

综上k 的取值范围是k ＜1。

故选D 。

18. （2012山东莱芜3分）已知m 、n 是方程x 2＋22x ＋1＝0的两根，则代数式m 2＋n 2＋3mn 的值为【 】
A ．9
B ．±3
C ．3
D ．5 【答案】C 。

【考点】一元二次方程根与系数的关系，求代数式的值。

【分析】∵m 、n 是方程x 2＋22x ＋1＝0的两根，∴m ＋n =-mn =1。

故选C 。

19. （2012山东临沂3分）用配方法解一元二次方程2
45x x -=时，此方程可变形为【 】 A ． ()2
21x += B ． ()2
21x -= C ． ()2
29x +=
D ． ()2
29x -=
【答案】D 。

【考点】配方法解一元二次方程。

【分析】()2
22
454+45+42=9x x x x x -=⇒-=⇒-。

故选D 。

20. （2012山东日照4分）已知关于x 的一元二次方程(k －2)2x 2＋(2k ＋1)x ＋1=0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是【 】 (A ) k >
34且k ≠2 (B )k ≥34且k ≠2 (C ) k >43且k ≠2 (D )k ≥4
3
且k ≠2 【答案】C 。

【考点】一元二次方程根的判别式，一元二次方程的定义。

【分析】∵方程为一元二次方程，∴k －2≠0，即k ≠2。

∵方程有两个不相等的实数根，∴△＞0，
∴（2k＋1）2－4（k－2）2＞0，即（2k＋1－2k＋4）（2k＋1＋2k－4）＞0，
∴5（4k－3）＞0，k＞3
4。

∴k的取值范围是k＞3
4
且k≠2。

故选C。

21. （2012山东烟台3分）下列一元二次方程两实数根和为﹣4的是【】
A．x2+2x﹣4=0B．x2﹣4x+4=0C．x2+4x+10=0D．x2+4x﹣5=0
【答案】D。

【考点】一元二次方程根的判别式和根与系数的关系。

【分析】根据一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，要使方程的两实数根和为﹣4，
必须方程根的判别式△=b2﹣4ac≥0，且x1+x2=﹣b
a
=﹣4。

据此逐一作出判断：
A．x2+2x﹣4=0：△=b2﹣4ac=20＞0，x1+x2=﹣b
a
=﹣2，所以本选项不合题意；
B．x2﹣4x+4=0：△=b2﹣4ac=0，x1+x2=﹣b
a
=4，所以本选项不合题意；
C．x2+4x+10=0：△=b2﹣4ac=﹣28＜0，方程无实数根，所以本选项不合题意；
D．x2+4x﹣5=0：b2﹣4ac=36＞0，，x1+x2=﹣b
a
=﹣4，所以本选项符号题意。

故选D。

22. （2012广西桂林3分）关于x的方程x2－2x＋k＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是【】
A．k＜1 B．k＞1 C．k＜－1 D．k＞－1
【答案】A。

【考点】一元二次方程根的判别式。

【分析】∵关于x的方程x2-2x+k=0有两个不相等的实数根，∴△＞0，即4－4k＞0，k＜1。

故选A。

23. （2012广西河池3分）一元二次方程2x2x20
++=的根的情况是【】A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根
C．只有一个实数根D．无实数根
【答案】D。

【考点】一元二次方程根的判别式。

【分析】∵2x2x20
++=中，a=1，b=2，c=2，
∴△22b 4ac=2412=40<=--⨯⨯-。

∴2
x 2x 20++=无实数根。

故选D 。

24. （2012广西来宾3分）已知关于x 的一元二次方程x 2+x +m =0的一个实数根为1，那么它的另一个实数根是【 】
A ．－2
B ．0
C ．1
D ．2 【答案】A 。

【考点】一元二次方程要挟与系数的关系。

【分析】设方程的另一个实数根为x ，则根据一元二次方程要挟与系数的关系，得x ＋1=－1，解得x =－2。

故选A 。

25. （2012广西柳州3分）你认为方程x 2＋2x －3=0的解应该是【 】 A ．1 B ．-3 C ．3 D ．1或-3 【答案】D 。

【考点】因式分解法解一元二次方程。

【分析】利用因式分解法，原方程可变为（x +3）（x -1）=0，即可得x +3=0或x -1=0，解得：
x 1=-3，x 2=1。

故选D 。

26. （2012河北省3分）用配方法解方程x 2+4x +1=0，配方后的方程是【 】
A ．（x ＋2）2=3
B ．（x －2）2=3
C ．（x －2）2=5
D ．（x +2）2=5 【答案】A 。

【考点】配方法解一元二次方程。

【分析】把方程x 2+4x +1=0的常数项移到等号的右边，得到x 2＋4x =－1，
方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到x 2＋4x ＋4=－1＋4， ∴（x ＋2）2=3 。

故选A 。

27. （2012江西南昌3分）已知关于x 的一元二次方程x 2
+2x ﹣a =0有两个相等的实数根，则a 的值是【 】
A ． 1
B ． ﹣1
C ．
D ．
﹣
【答案】B 。

【考点】一元二次方程根的判别式。

【分析】∵关于x 的一元二次方程x 2
+2x ﹣a =0有两个相等的实数根，∴△=22
+4a =0，解得a =﹣1。

故选B 。

28. （2012江西南昌3分）已知关于x 的一元二次方程x 2
+2x ﹣a =0有两个相等的实数根，则a 的值是【 】 A ． 1 B ． ﹣1 C ．
D ．
﹣ 【答案】B 。

【考点】一元二次方程根的判别式。

【分析】∵关于x 的一元二次方程x 2
+2x ﹣a =0有两个相等的实数根，∴△=22+4a =0，解得a =﹣1。

故选B 。

29. （2012内蒙古呼和浩特3分）已知：x 1，x 2是一元二次方程x 2
+2ax +b =0的两根，且x 1+x 2=3，x 1x 2=1，则a 、b 的值分别是【 】
A ．a =﹣3，b =1
B ．a =3，b =1
C ．3a=2-，b =﹣1
D ．3
a=2-，
b =1
【答案】D 。

【考点】一元二次方程根与系数的关系。

【分析】∵x 1，x 2是一元二次方程x 2
+2ax +b =0的两根，∴x 1+x 2=﹣2a ，x 1x 2=b ，
∵x 1+x 2=3，x 1x 2=1，∴﹣2a =3，b =1，解得3
a=2
-
，b =1。

故选D 。

30. （2012内蒙古包头3分）关于x 的一元二次方程()2x mx+5m 5=0--的两个正实数根分别为x 1，x 2，且2x 1+x 2=7，则m 的值是【 】
A .2
B . 6
C . 2或6
D . 7 【答案】B 。

【考点】一元二次方程根与系数的关系，解不等式和一元二次方程。

【分析】∵方程()2x mx+5m 5=0--有两个正实数根，
∴()1212
x +x =m 0
m 5x x =5m 50>>>⎧⎪⇒⎨⋅-⎪⎩。

又∵2x 1+x 2=7，∴x 1=7－m 。

将x 1=7－m 代入方程()2x mx+5m 5=0--，得()()()
27m m7m+5m 5=0----。

解得m =2或m =6。

∵m 5>，∴m =6。

故选B 。

二、填空题
1. （2012北京市4分）若关于x 的方程2x 2x m=0--有两个相等的实数根，则m 的值是 ▲ ． 【答案】－1。

【考点】一元二次方程根的判别
【分析】根据方程有两个相等的实数根，判断出根的判别式为0，据此求出m 的值即可：
∵关于x 的方程x 2-2x -m =0有两个相等的实数根，∴△=0，
∴（－2）2－4×1×（－m ）=0，解得m =－1。

2. （2012上海市4分）如果关于x 的一元二次方程x 2
﹣6x +c =0（c 是常数）没有实根，那么c 的取值范围是 ▲ ． 【答案】c ＞9。

【考点】一元二次方程根的判别式。

【分析】∵关于x 的一元二次方程x 2
﹣6x +c =0（c 是常数）没有实根，
∴△=（﹣6）2
﹣4c ＜0，即36﹣4c ＜0，c ＞9。

3. （2012广东广州3分）已知关于x 的一元二次方程x 2
﹣+k =0有两个相等的实数根，则k 值为 ▲ ． 【答案】3。

【考点】一元二次方程根的判别式。

【分析】∵关于x 的一元二次方程x 2
﹣+k =0有两个相等的实数根，
∴△=（﹣2
﹣4k =0，解得k =3。

4. （2012江苏镇江2分）若2x =9，则x = ▲ 。

【答案】±3。

【考点】解一元二次方程。

【分析】根据平方根的定义，求数a 的平方根，也就是求一个数x ，使得x 2=a ，则x 就是a
的一个平方根：
∵（±3）2=9，∴x =±3。

5. （2012江苏常州2分）已知关于x 的方程22x mx 6=0--的一个根是2，则m = ▲ ，另一根为 ▲ 。

7. （2012湖北随州4分）设242a 2a 10b 2b 10+-=--=，，且1－ab 2≠0，则
5
22ab +b 3a+1a ⎛⎫
- ⎪ ⎪⎝⎭
= ▲ . 【答案】32-。

【考点】解一元二次方程，求代数式的值。

【分析】解2a 2a 10+-=得1-
解42b 2b 10--=得2b ±
∵2b 0≥，∴2b
又∵1－ab 2≠0，∴a ≠-a=1-2b =a -。

∴
()55
552225
ab +b 3a+1a a 3a+12a 1a 3a+12a ====2=32a a a a ⎛⎫⎛⎫-------⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭。

8. （2012湖北鄂州3分）设x 1、x 2是一元二次方程x 2＋5x －3=0的两个实根，且
21222x (x 6x 3)a 4+-+=，则a = ▲ .
【答案】10。

【考点】一元二次方程的解和根与系数的关系。

【分析】∵x 1、x 2是一元二次方程x 2＋5x －3=0的两个实根，∴x 22＋5x 2－3=0，x 1x 2=－3。

又∵
21222x (x 6x 3)a 4+-+=，即2
12222x
(x 5x 3x )a 4
+-++
=，即122x (0x )a 4++=。

∴122x x a 4+=，即()23a 4-+=，解得a =10。

9. （2012湖南张家界3分）已知m 和n 是方程2x 2
﹣5x ﹣3=0的两根，则11
+m n
= ▲ ．
【答案】53
-。

【考点】一元二次方程根与系数的关系，代数式化简。

【分析】∵m 和
n
是方程
2x
2﹣5x ﹣3=0的两根，
∴b 55c 33m n =m n a 22a 22
--+=-
=-⋅===-，。

∴511m+n 52+===3m n m n 3
2
-⋅-。

2. （2012湖南岳阳3分）若关于x 的一元二次方程kx 2
+2（k +1）x +k ﹣1=0有两个实数根，则k 的取值范围是 ▲ ． 【答案】k ≥1
3
-，且k ≠0。

【考点】一元二次方程根的判别式。

【分析】若一元二次方程有两不等实数根，则根的判别式△=b 2
﹣4ac ≥0，建立关于k 的不等式，求出k 的取值范围．还要注意二次项系数不为0：
∵a =k ，b =2（k +1），c =k ﹣1，
∴△=[2（k +1）]2
﹣4×k ×（k ﹣1）=8k +6≥0，解得：k ≥13
-。

∵原方程是一元二次方程，∴k ≠0。

∴k 的取值范围是：k ≥13
-，且k ≠0。

10. （2012四川资阳3分）关于x 的一元二次方程2kx x+1=0-有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是 ▲ ． 【答案】k ＜
1
4
且k ≠0。

【考点】一元二次方程根的判别式，一元二次方程的定义。

【分析】根据一元二次方程kx 2-x +1=0有两个不相等的实数根，知△=b 2－4ac ＞0，然后据此列出关于k 的方程，解方程，结合一元二次方程的定义即可求解：
∵2kx x+1=0-有两个不相等的实数根， ∴△=1－4k ＞0，且k ≠0，解得，k ＜
1
4
且k ≠0。

11. （2012四川泸州3分）设x 1,x 2是一元二次方程x 2 – 3x – 1 =0的两个实数根，则
221212x x 4x x ++的值为 ▲
【答案】7。

【考点】一元二次方程根与系数的关系，求代数式的值。

【分析】∵x 1,x 2是一元二次方程x 2 – 3x – 1 =0的两个实数根，∴x 1＋x 2=3，x 1•x 2=－1。

∴()()2
222
12121212x x 4x x x +x 2x x 3217++=+=+⋅-=。

12. （2012辽宁朝阳3分）一元二次方程2ax 2x+40-=有两个不相等的实数根，则a 的取值范围为 ▲ 。

【答案】a ＜
1
4
且a ≠0。

【考点】一元二次方程根的判别式，一元二次方程定义。

【分析】∵方程2ax 2x+40-=有两个不相等的实数根，∴△＞0，即4－16a ＞0，解得a ＜
1
4。

∵程2ax 2x+40-=是一元二次方程，∴a ≠0。

∴a 的取值范围为a ＜1
4
且a ≠0。

13. （2012辽宁大连3分）如果关于x 的方程x 2+kx +9=0有两个相等的实数根，那么k 的值为 ▲ 。

【答案】±6。

【考点】一元二次方程根的判别式，解一元二次方程。

【分析】∵关于x的方程x2+kx+9=0有两个相等的实数根，∴△=k2－4·1·9=0。

解得k=±6。

--=的解是▲ ．
14. （2012贵州铜仁4分）一元二次方程2x2x30
【答案】x1=3，x2=﹣1。

【考点】因式分解法解一元二次方程。

【分析】原方程可化为：（x﹣3）（x+1）=0，得x﹣3=0或x+1=0，∴x1=3，x2=﹣1。

15. （2012山东滨州4分）方程x（x﹣2）=x的根是▲ ．
【答案】0，3。

【考点】因式分解法解一元二次方程。

【分析】原方程可化为x（x﹣2）﹣x=0，
x（x﹣2﹣1）=0，
x=0或x﹣3=0，
解得：x1=0，x2=3。

16. （2012山东德州4分）若关于x的方程ax2＋2（a＋2）x＋a=0有实数解，那么实数a 的取值范围是▲ ．
【答案】a≥－1。

【考点】一元一次方程和一元二次方程的定义，一元二次方程根的判别式。

【分析】当a=0时，方程是一元一次方程，有实数根，
当a≠0时，方程是一元二次方程，
若关于x的方程ax2＋2（a＋2）x＋a=0有实数解，则△=[2（a+2）]2－4a•a≥0，解得：a≥－1。

∴若关于x的方程ax2＋2（a＋2）x＋a=0有实数解，那么实数a的取值范围是a≥－1。

17. （2012山东聊城3分）一元二次方程x2﹣2x=0的解是▲ ．
【答案】x1=0，x2=2。

【考点】因式分解法解一元二次方程。

【分析】对方程左边进行变形，提取公因式x，可得x（x﹣2）=0，将原式化为两式相乘的形式，再根据“两式相乘值为0，这两式中至少有一式值为0．”，即可求得方程的解：x1=0，x2=2。

18. （2012山东日照4分）已知x 1、x 2是方程2x 2+14x －16=0的两实数根，那么21
12
x x x x +的值为 ▲ . 【答案】658
-。

【考点】一元二次方程根与系数的关系，代数式化简。

【分析】利用一元二次方程根与系数的关系求得x 1＋x 2和x 1•x 2的值，然后将所求的代数式转化为含有x 1＋x 2和x 1•x 2形式，并将其代入求值即可：
∵x 1、x 2是方程2x 2+14x －16=0的两实数根，∴x 1＋x 2=－7，x 1•x 2=－8。

∴()()()22
2212122121121212x x 2x x 728x x x x 65====x x x x x x 88
+-⋅--⨯-++-⋅⋅-。

19. （2012山东威海3分）若关于x 的方程()22x +a 1x+a =0-的两根互为倒数，则a = ▲ . 【答案】－1。

【考点】一元二次方程根与系数的关系，倒数。

【分析】∵关于x 的方程()22x +a 1x+a =0-的两根互为倒数，∴设两根为x 和
1
x。

则根据一元二次方程根与系数的关系，得21
x+=1a x
1x =a x
⎧-⎪⎪⎨⎪⋅⎪⎩。

由21
x =a x
⋅得a=1±。

但当a=1时，1
x+=1a x
-无意义。

∴a =－1。

20. （2012山东枣庄4分）已知关于x 的方程2
x mx 60+-=的一个根为2，则这个方程的另一个根是 ▲ ． 【答案】－3。

【考点】一元二次方程根与系数的关系。

【分析】∵方程2
x mx 60+-=的一个根为2，设另一个为a ，∴2a =－6，解得：a =－3。

21. （2012广西柳州3分）一元二次方程3x 2＋2x －5=0的一次项系数是 ▲ ．
【答案】2。

【考点】一元二次方程的一般形式。

【分析】一元二次方程的一般形式是：ax 2+bx +c =0（a ，b ，c 是常数且a ≠0），其中a ，b ，c
分别叫二次项
系数，一次项系数，常数项。

因此，一元二次方程3x 2＋2x －5=0的一次项系数是2。

22. （2012江西省3分）已知关于x 的一元二次方程x 2
+2x ﹣a =0有两个相等的实数根，则m 的值是 ▲ 【答案】﹣1。

【考点】一元二次方程根的判别式。

【分析】∵关于x 的一元二次方程x 2
+2x ﹣a =0有两个相等的实数根，∴△=22
+4m =0，解得m =﹣1。

23. （2012吉林省3分）若方程2x x 0-=，的两个根为1212x ,x (x x )<，则21x x -=_ ▲____. 【答案】1。

【考点】解一元二次方程，求代数式的值。

【分析】∵212x x 0x(x 1)0x 0,x 1-=⇒-=⇒==， ∴21x x 101-=-=。

24. （2012黑龙江绥化3分）设a ，b 是方程x 2＋x －2013=0的两个不相等的实数根，则a 2＋2a ＋b 的值为 ▲ 【答案】2012。

【考点】一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的解。

【分析】∵a ，b 是方程x 2＋x －2013=0的两个不相等的实数根，∴a 2＋a －2013=0，即a 2＋a =2013
又∵a ＋b =－1，∴a 2＋2a ＋b =（a 2＋a ）＋（a ＋b ）=2013－1=2012。

三、解答题
1. （2012安徽省8分）解方程：2x 2x 2x 1-=+ 【答案】解：原方程化为：x 2－4x =1
配方，得x 2－4x +4=1+4 整理，得（x －2）2=5
∴x －2=即1x 2=+2x 2=
【考点】解一元二次方程
【分析】根据一元二次方程的几种解法，本题不能直接开平方，也不可用因式分解法.先将方程整理一下，可以考虑用配方法或公式法。

2. （2012广东珠海6分）已知关于x 的一元二次方程x 2
+2x +m =0． （1）当m =3时，判断方程的根的情况； （2）当m =﹣3时，求方程的根．
【答案】解：（1）∵当m =3时，△=b 2
﹣4ac =22
﹣4×3=﹣8＜0，
∴原方程无实数根。

（2）当m =﹣3时，原方程变为x 2
+2x ﹣3=0，
∵（x ﹣1）（x +3）=0，∴x ﹣1=0，x +3=0。

∴x 1=1，x 2=﹣3。

【考点】一元二次方程根的判别式，因式分解法解一元二次方程。

【分析】（1）判断一元二次方程根的情况，只要看根的判别式△=b 2－4ac 的值的符号即可判断：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根。

（2）把m 的值代入方程，用因式分解法求解即可。

3. （2012浙江温州5分）解方程：x ²－2x =5 【答案】解：配方得（x －1）2=6
∴x －。

∴x 1=1x 2=1
【考点】配方法解一元二次方程。

【分析】方程两边同时加上1，左边即可化成完全平方式的形式，然后进行开方运算，转化成两个一元一次方程，即可求解。

4. （2012江苏无锡4分）解方程：x 2
﹣4x +2=0
【答案】解：∵△=42
﹣4×1×2=8，∴x 2=
=
∴原方程的解为12x 2x 2== 。

【考点】公式法解一元二次方程。

【分析】首先找出方程中得a 、b 、c ，再根据公式法求出b 2
﹣4ac 的值，用公式计算，即可得到答案。

5. （2012湖北孝感12分）已知关于x 的一元二次方程x 2＋(m ＋3)x ＋m ＋1＝0．
(1)求证：无论m 取何值，原方程总有两个不相等的实数根；
(2)若x 1、x 2是原方程的两根，且|x 1－x 2|＝m 的值和此时方程的两根． 【答案】解：（1）证明：由关于x 的一元二次方程x 2＋(m ＋3)x ＋m ＋1＝0得
△=（m +3）2－4（m +1）=（m +1）2+4， ∵无论m 取何值，（m +1）2＋4恒大于0， ∴原方程总有两个不相等的实数根。

（2）∵x 1，x 2是原方程的两根，∴x 1+x 2=－（m +3），x 1•x 2=m +1。

∵|x 1－x 2|＝ ∴（x 1－x 2）2=8，即（x 1＋x 2）2－4x 1x 2=8。

∴[－（m +3）]2－4（m +1）=8，即m 2＋2m －3=0。

解得：m 1=－3，m 2=1。

当m =－3时，原方程化为：x 2－2=0，解得：x 1 ，x 2=
当m =1时，原方程化为：x 2＋4x ＋2=0，解得：x 1=－，x 2=－2
【考点】一元二次方程根的判别式和根与系数的关系。

【分析】（1）根据关于x 的一元二次方程x 2＋(m ＋3)x ＋m ＋1＝0的根的判别式△=b 2－4ac 的符号来判定该方程的根的情况。

（2）根据根与系数的关系求得x 1＋x 2和x 1•x 2，由已知条件|x 1－x 2|＝以得到关于x 1＋x 2和x 1•x 2的等式，从而列出关于m 的方程，通过解该方程即可求得m 的值，最后将m 值代入原方程并解方程。

6. （2012湖北鄂州8分）关于x 的一元二次方程22x (m 3)x m 0---=. （1）证明：方程总有两个不相等的实数根；
（2）设这个方程的两个实数根为x 1，x 2，且｜x 1｜=｜x 2｜－2，求m 的值及方程的根。

【答案】解：（1）证明：∵关于x 的一元二次方程22x (m 3)x m 0---=中，
()()
()2
2
222
=b 4ac=m 341m =m 3+m >0∆-⎡--⎤-⋅⋅--⎣⎦
∴方程总有两个不相等的实数根。

（2）∵这个方程的两个实数根为x 1，x 2，∴x 1＋x 2=m －3，x 1x 2= 2m -。

∵｜x 1｜=｜x 2｜－2，∴｜x 2｜－｜x 1｜=2。

两边平方，得221212x +x 2x x =4-，即()2
121212x +x 2x x 2x x =4--。

∴()()
2
22m 32m 2m =4-----，即()2
m 3=4-，解得m=5或m =1。

当m=5时，方程为2x 2x 250--=，解得12x =1x
当m =1时，方程为2x +2x 10-=，解得12x =x =1--
【考点】一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，解一元二次方程。

【分析】（1）只要证得2=b 4ac >0∆-即可。

（2）由根与系数的关系，得x 1＋x 2=m －3，x 1x 2= 2m -。

将｜x 1｜=｜x 2｜－2变形，平方，求出m 的值。

根据m 的不同值得方程求解即可。

7. （2012湖南永州6分）解方程：（x ﹣3）2
﹣9=0． 【答案】解：移项得：（x ﹣3）2
=9，
开平方得：x ﹣3=±3， 则x ﹣3=3或x ﹣3=﹣3， 解得：x 1=6，x 2=0。

【考点】直接开平方法解一元二次方程。

【分析】这个式子先移项，变成（x ﹣3）2
=9，从而把问题转化为求9的平方根（也可用因式分解法求解）。

8. （2012湖南怀化10分）已知12x ,x 是一元二次方程2(a 6)x 2ax a 0-++=的两个实数根.
（1）是否存在实数a ，使1122x x x 4x -+=+成立？若存在，求出a 的值；若不存在，请你说明理由；
（2）求使12(x 1)(x 1)++为负整数的实数a 的整数值. 【答案】解：（1）成立。

∵12x ,x 是一元二次方程2(a 6)x 2ax a 0-++=的两个实数根， ∴由根与系数的关系可知，1212a 2a
x x x x a 6a 6
=
+=-
--，； ∵一元二次方程2(a 6)x 2ax a 0-++=有两个实数根， ∴△=4a 2－4（a －6）•a ≥0，且a -6≠0，解得，a ≥0，且a ≠6。

由1122x x x 4x -+=+得1212x x 4x x =++，即a 2a
4a 6a 6
=-
--。

解得，a =24＞0，且a －6≠0。

∴存在实数a ，使1122x x x 4x -+=+成立，a 的值是24。

（2）∵121212a 2a 6
(x 1)(x 1)=x x x x 1=
1=a 6a 6a 6
+++++-+-
---， ∴当12(x 1)(x 1)++为负整数时，a －6＞0，且a －6是6的约数。

∴a －6=6，a －6=3，a －6=2，a －6=1。

∴a =12，9，8，7。

∴使12(x 1)(x 1)++为负整数的实数a 的整数值有12，9，8，7。

【考点】一元二次方程根与系数的关系和根的判别式，解分式方程。

【分析】根据根与系数的关系求得1212a 2a
x x x x a 6a 6
=+=-
--，；根据一元二次方程的根的判别式求得a 的取值范围。

（1）将已知等式变形为x 1x 2=4+（x 2+x 1），即
a 2a
4a 6a 6
=-
--，通过解该关于a 的方程即可求得a 的值；
（2）根据限制性条件“（x 1+1）（x 2+1）为负整数”求得a 的取值范围，然后在取值
范围内取a 的整数值。

9. （2012四川内江12分）如果方程20x px q ++=的两个根是12,x x ，那么
1212,.,x x p x x q +=-=请根据以上结论，解决下列问题：
（1）已知关于x 的方程2
0,(0),x mx n n ++=≠求出一个一元二次方程，使它的两个根分别是已知方程两根的倒数；
（2）已知a 、b 满足2
2
15a 50,1550a b b ---==-,求
a b
b a
+的值； （3）已知a 、b 、c 满足0,16a b c abc ++==求正数c 的最小值。

【答案】解：（1）设关于x 的方程20,(0)x mx n n ++=≠的两根为12,x x ，则有：
1212,.x x m x x n +=-=，且由已知所求方程的两根为
12
11
,x x ∴
12121211x x m x x x x n +-+==，12121111
x x x x n
⋅==。

∴所求方程为2
1
0m x x n n
--
+=，即210(0)nx mx n ++=≠。

（2）∵a 、b 满足221550,1550a a b b --=--=，
∴a 、b 是方程2
1550x x --=的两根。

∴15,5a b ab +==- 。

∴()()22
222
21522475
a b ab a b a b a b b a ab ab ab +-+++===-=-=--。

（3）∵0,16a b c abc ++==且0c > ∴16
,a b c ab c
+=-=。

∴a 、b 是一元二次方程()()2
16
00x c x c c
--+
=>的两个根， 代简，得 ()2
2
1600cx c x c ++=> 。

又∵此方程必有实数根，∴此方程的0∆≥，即()
2
2
4160c
c -⋅⋅≥，
()3340c c -≥。

又∵0c > ∴3
3
40c -≥。

∴4c ≥。

∴正数c 的最小值为4。

．
【考点】一元二次方程根与系数的关系和根的判别式，代数式化简。

【分析】（1）设方程2
0,(0)x mx n n ++=≠的两根为12,x x ，得出
1211m
x x n
-+=
，12111
x x n
⋅=，再根据这个一元二次方程的两个根分别是已知方程两根的倒数，即可求出答案。

（2）根据a 、b 满足2
2
1550,1550a a b b --=--=，得出a 、b 是一元二次方程
21550x x --=的两个根，由15,5a b ab +==-，即可求出a b
b a
+的值。

（3）根据0,16a b c abc ++==，得出16
,a b c ab c
+=-=
，a 、b 是一元二次方程22160cx c x ++=的两个根，再根据0∆≥，即可求出c 的最小值。

10. （2012四川巴中5分）解方程：2(x 3)3x(x 3)-=-
11. （2012四川南充8分）关于x 的一元二次方程x 2＋3x ＋m －1=0的两个实数根分别为x 1,x 2． （1）求m 的取值范围．
（2）若2（x 1+x 2）+ x 1x 2+10=0．求m 的值. 【答案】解：（1）∵方程有两个实数根，∴△≥0。

∴9－4×1×（m －1）≥0，解得m ≤
13
4。

（2）∵x 1＋x 2=－3，x 1x 2=m －1， 2（x 1+x 2）+ x 1x 2+10=0，
∴2×（－3）＋m －1＋10=0，解得m =－3。

【考点】一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，解一元一次不等式和一元一次方程。

【分析】（1）因为方程有两个实数根，所以△≥0，据此即可求出m 的取值范围。

（2）根据一元二次方程根与系数的关系，将x 1＋x 2=－3，x 1x 2=m －1代入2（x 1+x 2）
+ x 1x 2+10=0，解关于m 的方程即可。

12. （2012四川内江12分）如果方程20x px q ++=的两个根是12,x x ，那么
1212,.,x x p x x q +=-=请根据以上结论，解决下列问题：
（4）已知关于x 的方程2
0,(0),x mx n n ++=≠求出一个一元二次方程，使它的两个根分别是已知方程两根的倒数；
（5）已知a 、b 满足2
2
15a 50,1550a b b ---==-,求
a b
b a
+的值； （6）已知a 、b 、c 满足0,16a b c abc ++==求正数c 的最小值。

【答案】解：（1）设关于x 的方程20,(0)x mx n n ++=≠的两根为12,x x ，则有：
1212,.x x m x x n +=-=，且由已知所求方程的两根为
12
11
,x x ∴
12121211x x m x x x x n +-+==，12121111
x x x x n
⋅==。

∴所求方程为2
1
0m x x n n
--
+=，即210(0)nx mx n ++=≠。

（2）∵a 、b 满足221550,1550a a b b --=--=，
∴a 、b 是方程2
1550x x --=的两根。

∴15,5a b ab +==- 。

∴()()22
222
21522475
a b ab a b a b a b b a ab ab ab +-+++===-=-=--。

（3）∵0,16a b c abc ++==且0c > ∴16
,a b c ab c
+=-=。

∴a 、b 是一元二次方程()()2
16
00x c x c c
--+
=>的两个根， 代简，得 ()2
2
1600cx c x c ++=> 。

又∵此方程必有实数根，∴此方程的0∆≥，即()
2
2
4160c
c -⋅⋅≥，
()3340c c -≥。

又∵0c > ∴3
3
40c -≥。

∴4c ≥。

∴正数c 的最小值为4。

．
【考点】一元二次方程根与系数的关系和根的判别式，代数式化简。

【分析】（1）设方程2
0,(0)x mx n n ++=≠的两根为12,x x ，得出
1211m
x x n
-+=
，12111
x x n
⋅=，再根据这个一元二次方程的两个根分别是已知方程两根的倒数，即可求出答案。

（2）根据a 、b 满足2
2
1550,1550a a b b --=--=，得出a 、b 是一元二次方程
21550x x --=的两个根，由15,5a b ab +==-，即可求出a b
b a
+的值。

（3）根据0,16a b c abc ++==，得出16
,a b c ab c
+=-=
，a 、b 是一元二次方程22160cx c x ++=的两个根，再根据0∆≥，即可求出c 的最小值。

13. （2012山东菏泽6分）解方程：(1)(1)2(3)8x x x +-++=． 【答案】解：原方程可化为2
230x x +-=，即()()+310x x -=
解得13x x ==-或。

【考点】因式分解法解一元二次方程。

【分析】把方程整理成标准形式，再运用因式分解法解方程。

14. （2012山东淄博9分）一元二次方程25
x 2x 04
--
=的某个根，也是一元二次方程29
x (k 2)x 04
-++
=的根，求k 的值． 【答案】解：解25x 2x 04--
=得1215x =x =22
-，。

把1x=2代入29x (k 2)x 04-++=得2
11
9(k 2)022
4⎛⎫-++= ⎪⎝⎭，解得k =8。

把5x=2-代入29x (k 2)x 04-++=得2
55
9(k 2)0224⎛⎫-+++= ⎪⎝⎭
，解得k = 275-。

∴k 的值为8或27
5
-。

【考点】解一元二次方程和一元二次方程的根。

【分析】求出一元二次方程25x 2x 04--=的两个根，分别代入29
x (k 2)x 04
-++=求k 即可。

15. （2012甘肃兰州6分）已知x 是一元二次方程x 2－2x ＋1＝0的根，求代数式
2x 3
5x+2x 23x 6x -⎛
⎫÷- ⎪--⎝
⎭的值．
【答案】解：∵x 2－2x ＋1＝0，∴x 1＝x 2＝1，
原式＝()()()()()
2x 3x 9x 3x 21==
3x x 2x 23x x 2x+3x 33x x+3----÷⋅----。

∴当x ＝1时，原式＝
()11
=31+312。

【考点】分式的化简求值，一元二次方程的解。

【分析】解一元二次方程，求出x 的值，再将分式化简，将x 的值代入分式即可求解。

16. （2012黑龙江大庆4分）若方程2x x 10--=的两实根为a 、b ，求11
a b
+的值． 【答案】解：∵方程x 2
﹣x ﹣1=0的两实根为a 、b ，∴a +b =1，ab =﹣1，
∴
11a+b 1===1a b ab 1
+--。

【考点】一元二次方程根与系数的关系，求代数式的值。

【分析】由方程x 2
﹣x ﹣1=0的两实根为a 、b ，根据一元二次方程根与系数的关系即可得a +b 和ab 的值，又由11a+b
=
a b ab
+，即可求得答案。