甘肃省静宁县第一中学2017-2018学年高一数学下学期期末考试试题 理

静宁一中2017～2018学年度高一级第二学期期末试题（卷）
理科数学
一、选择题 (本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的，请选择后填在答题卡上)
1．若数列的前4项分别是1111
,,,2345--，则此数列的一个通项公式为（ ）
1(1).n A n -- (1).n B n - 1(1).1n C n +-+ (1).1n
D n -+
2．若 ,3) 1( , )1, 1(B A --,5) (,x C 共线，且 BC AB λ=,则λ等于( ) A.1 B.2 C.3 D.4
3．已知c ＜d , a ＞b ＞0, 下列不等式中必成立的一个是（ ） A ．a +c ＞b +d
B ．a –c ＞b –d
C ．ad ＜bc
D ．
d
b
c a > 4．若点A (,)x y 是0
600角终边上异于原点的一点，则
y
x
的值是（ ）
-
5．设变量y x ,满足约束条件：,
22,2.y x x y x ≥⎧⎪
+≤⎨⎪≥-⎩
则3z x y =-的最小值为（ ）
2.-A 4.-B 6.-C 8.-D
6．在△ABC 中，,,a b c 分别是内角A , B , C 所对的边，若cos c A b =， 则△ABC （ ）
.A 一定是锐角三角形 B . 一定是钝角三角形
C . 一定是直角三角形
D .可能是锐角三角形, 也可能是钝角三角形
7．在1与3之间插入8个数，使这十个数成等比数列，则插入的这8个数之积为（ ）
A . 3
B . 9
C . 27
D . 81
8．已知234,a b +=则48a
b
+的最小值为（ ）
A . 2
B . 4
C . 8
D . 16 9．函数)4cos()4cos(2)(π
π-⋅+
=x x x f 的最小正周期为（ ） A. π B. 2
3π
C. π2
D. π3
10．下列函数中，最小值为4的是（ ）
Ａ．4y x x
=+
Ｂ．4sin sin y x x =+ (0)x π<<
Ｃ．e 4e x x y -=+ Ｄ．3log 4log 3x y x =+
11．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝－11，a 4＋a 6＝－6，则当S n 取最小值时，n 等于( )
A ．6
B ．7
C ．8
D ．9
12．已知等比数列{}n a 满足0,1,2,
n a n >=，且25252(3)n
n a a n -⋅=≥，则当1n ≥时，
2123221log log log n a a a -+++=
A.(21)n n - B .2
(1)n + C.2n D.2
(1)n -
二、填空题 (本小题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中相应题号的横
线上)
13．设等比数列{}n a 的公比2q =，前n 项和为n S ，则
4
2
S a = ________. 14．已知不等式2
230x x --<的整数解构成等差数列{}n a 的前三项，则数列{}n a 的第四
项为 ． 15．已知()21tan ,tan 544παββ⎛⎫+=
+= ⎪⎝⎭，则tan 4πα⎛
⎫- ⎪⎝
⎭的值为 ． 16．三个互不相等的实数,1,a b 依次成等差数列，且2
2
,1,a b 依次成等比数列，则11
a b
+＝ ．
三．解答题(共6道题，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)成等差数列的四个数的和为26，第二数与第三数之积为40，求这四个数。

18. (本小题满分12分) 已知{a n }是公差不为零的等差数列，a 1＝1，且a 1，a 3，a 9成等比数列．
(1) 求数列{a n }的通项公式； (2) 求数列{1
1n n a a +⋅}的前n 项和S n .
19． (本小题满分12分) 在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且角B ，A ，C
成等差数列.
(1)若a 2
－c 2
＝b 2
－mbc ，求实数m 的值； (2) 若a ＝3，求△ABC 面积的最大值．
20．(本小题满分12分)已知函数()(2
2sin cos cos 1f x a x x x a =++（0a >）
的最大值为3，其中x R ∈.
（I ）求函数()f x 的对称中心；（2）试求函数()f x 的单调递减区间．
21. (本小题满分12分) 在数列{}n a 中, 已知11a =，且数列{}n a 的前n 项和n S 满足
1434n n S S +-=, n N *∈.
（1）证明数列{}n a 是等比数列；
（2）设数列{}n na 的前n 项和为n T ，若不等式3()1604n n a
T n
+⋅-<对任意的n N *∈恒成
立, 求实数a 的取值范围.
22. (本小题满分12分)已知函数2
()4sin sin (
)cos 242
x
f x x x π
=⋅++. （I ）设常数0ω>，若()y f x ω=在区间2,23ππ⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
上是增函数，求ω的取值范围； （II ）设集合A ={x ︱
6
π
23x π≤≤}，{B =x |()2}f x m -<，若A B ⊆，求实数m 的取
值范围.
理科数学答案
一、选择题（每小题5分，60分）
二、填空题（每小题5分，共20分） 13．
152 14． 3或－1 15．322
16．2±. 三．解答题(共6道题，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17. 设四数为3,,,3a d a d a d a d --++，
则2
2
426,40a a d =-=
即1333
,222
a d ==-或， 当3
2
d =时，四数为2,5,8,11 当3
2
d =-
时，四数为11,8,5,2 18. 解：(1)由题设知公差d ≠0，
由11,3,91,a a a a =成等比数列得1218112d d d ++=+,
解得d ＝1，d ＝0(舍去)，
故{}n a 的通项1(1)1n a n n =+-⨯=. (2)
11111(1)1
n n a a n n n n +==-⋅++,
1111111()()()11223
111
n n S n n n n ∴=-+-+
+-=-=+++. 19.解: (1)由角B ，A ，C 成等差数列知A ＝60°.
又由a 2
－c 2
＝b 2
－mbc 可以变形得b 2＋c 2－a 22bc ＝m 2
.
即cos A ＝m 2＝1
2，∴m ＝1
(2)∵cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝1
2
，
∴bc ＝b 2
＋c 2
－a 2
≥2bc －a 2
，即bc ≤a 2
. 故S △ABC ＝bc 2sin A ≤a 2
2×32＝33
4
.
∴△ABC 面积的最大值为3
4
3.
20.解：（Ⅰ）
(
)()
sin 222sin 23f x a x x a a x a π⎛
⎫=++=++ ⎪⎝
⎭，
0a >，()max 3f x a =，即1a =；
()2sin 213f x x π⎛
⎫∴=++ ⎪⎝
⎭，令23x k ππ+=()k Z ∈，得26k x ππ=-()k Z ∈
所以函数()f x 的对称中心是,126k ππ⎛⎫
- ⎪⎝
⎭()k Z ∈； （II ）当()32222
3
2
k x k k Z π
π
π
ππ+
≤+
≤+
∈时，函数()f x 单调递减，故函数()f x 的单调递减区间()7,12
12k k k Z π
πππ⎡⎤
+
+
∈⎢⎥⎣
⎦
． 21. 解: (1) 已知1434,n n S S n N *+-=∈, ∴2n ≥时, 143 4.n n S S --= 相减得1430n n a a +-=. 又易知13
0,
4
n n n a a a +≠∴
=. 又由1434,n n S S n N *+-=∈得1214()34,a a a +-= 22133,
4
4
a a a ∴=∴
=. 故数列{}n a 是等比数列.
(2)由(1)知1133
1()()44
n n n a --=⨯=.
01133
3
1()2()()444n n T n -∴=⨯+⨯+
+⨯,
12333
31()2()()4444
n n T n ∴=⨯+⨯+
+⨯.
相减得2131()13333341()()()()3444
44414
n
n n n n T n n --=+++
+-⨯=
-⨯-, 33
1616()4()44
n n n T n ∴=-⨯-⨯,
∴不等式3()1604n n a T n +⨯-<为3331616()4()()160444n n n a
n n
-⨯-⨯+⨯-<.
化简得2416n n a +>. 设2()416f n n n =+,
n N *∈ ()(1)20min f n f ∴==.
故所求实数a 的取值范围是(,20)-∞.
22. 1cos()
2()4sin cos22
x f x x x π
-+=⋅+=22sin (1sin )12sin x x x ++- 2sin 1x =+
()y f x ω=在2,23ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数 ⇒2,,2322ππππωω⎡⎤⎡⎤
-⊆-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 230,324ππωω⎛⎤
⇒
≤⇒∈ ⎥⎝⎦
（II ）由()2f x m -<2()2,f x m ⇒-<-<即()2()2
f x m f x -<<+9分
A B ⊆，∴当
6
π
23x π≤≤时，不等式()2()2f x m f x -<<+恒成立 max min [()2][()2]f x m f x ∴-<<+
min max ()()2,()()362
f x f f x f ππ
====
()1,4m ∴∈。