2020-2021学年广东省汕尾市赤石中学高二数学理下学期期末试卷含解析

2020-2021学年广东省汕尾市赤石中学高二数学理下学期期末试卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 设等差数列的前n项和为,若,,则当取最小值时,n等于
（）
A．6 B．7 C．8
D．9
参考答案：
A
略
2. 的展开式中的系数是（）
A 20
B 160 C
240 D 60
参考答案：
B
略
3. 已知，函数,若在上是单调减函数，则的取值范围是
A．B．
C．D．
参考答案：
C
略
4. 下列函数中，最小值为4的是
A． B.
C． D.参考答案：
C
略
5. 已知球的表面积为，球心在大小为的二面角的内部，且平面与球相切与点，平面截球所得的小圆的半径为(为小圆圆心)，若点为圆上任意一点，记为，则下列结论正确的是（）
A.当取得最小值时，与所成角为
B.当取得最小值时，点到平面的距离为
C.的最大值为
D.的最大值为
参考答案：
C
6. 已知函数及其导数，若存在使得，则称是的一个“巧值点”给出下列四个函数：①；②；③；④，其中有“巧值点”的函数的个数是（）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
参考答案：
B
①，有“巧值点”②，无
解，无“巧值点”③，令由零点在性定理，所以在上必有零点，f（x）有“巧值
点”④,即,无解，所以f（x）无“巧值点”。

所以有有“巧值点”的是①③，选B.
7. 若a、b、c，则下列不等式成立的是（）
A．B．C．D．
参考答案：
C
8. 已知函数f（x）的导函数为f′（x），且满足f（x）=2xf′（1）+lnx，则f′（1）=（）A．﹣e B．﹣1 C．1 D．e
参考答案：
B
【考点】导数的乘法与除法法则；导数的加法与减法法则．
【分析】已知函数f（x）的导函数为f′（x），利用求导公式对f（x）进行求导，再把x=1代入，即可求解；
【解答】解：∵函数f（x）的导函数为f′（x），且满足f（x）=2xf′（1）+ln x，（x＞0）
∴f′（x）=2f′（1）+，把x=1代入f′（x）可得f′（1）=2f′（1）+1，
解得f′（1）=﹣1，
故选B；
9. 已知全集，，则集合（）
A． B． C．
D．
参考答案：
A
略
10. 设p：|4x﹣3|≤1；q：x2﹣（2a+1）x+a（a+1）≤0．若┐p是┐q的必要而不充分条件，则实数a 的取值范围是（）
A．[0，] B．（0，）C．（﹣∞，0]∪[，+∞）D．（﹣∞，0）∪（，+∞）
参考答案：
A 【考点】命题的否定；必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【分析】先化简命题p，q即解绝对值不等式和二次不等式，再求出┐p，┐q，据已知写出两集合端点的大小关系，列出不等式解得．
【解答】解：∵p：|4x﹣3|≤1，
∴p：≤x≤1，
∴┐p：x＞1或x＜；
∵q：x2﹣（2a+1）x+a（a+1）≤0，
∴q：a≤x≤a+1，
┐q：x＞a+1或x＜a．
又∵┐p是┐q的必要而不充分条件，
即┐q?┐p，而┐p推不出┐q，
∴?0≤a≤．
故选项为A．
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 设，则为
．
参考答案：
考点：微积分基本定理．
专题：计算题．
分析：运用微积分基本定理和定积分的运算律计算即可．
解答：解：
=+
=﹣cosx+x
=．
故答案为：．
点评：本题主要考查了定积分，运用微积分基本定理计算定积分．属于基础题．
12. 已知一个五次多项式,用秦九韶算法求当时多项
式的值为。

参考答案：
13. 设i 是虚数单位，是复数z 的共轭复数，若，则
z
=______
．
参考答案：
【分析】
设，利用复数相等建立方程关系进行求解即可．【详解】设，则
由得：
，解得：
本题正确结果：
14. 如图，已知某探照灯反光镜的纵切面是抛物线的一部分，光源安装在焦点上，且灯的深度
等于灯口直径，且为64 ，则光源安装的位置到灯的顶端的距离为____________．
参考答案：
15. 点P（x，y）是椭圆2x2+3y2=12上的一个动点，则x+2y的最大值为．
参考答案：
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】先把椭圆2x2+3y2=12化为标准方程，得，由此得到这个椭圆的参数方程为：
（θ为参数），再由三角函数知识求x+2y的最大值．
【解答】解：把椭圆2x2+3y2=12化为标准方程，
得，
∴这个椭圆的参数方程为：，（θ为参数）
∴x+2y=，
∴．
故答案为：．
16. 已知函数f（x）=4x3+ax2+bx+5在x=﹣1与x=处有极值，则函数的单调递减区间
为．
参考答案：
（﹣1，）．
【考点】6D：利用导数研究函数的极值；6B：利用导数研究函数的单调性．
【分析】首先求出函数的导数，然后f′（﹣1）=0，f′（）=0，解出a、b的值，求出函数的解析式；由f′（x）＜0，求出函数的单调区间；求出函数的增区间，
【解答】解：（Ⅰ）解：f′（x）=12x2+2ax+b，依题意有f′（﹣1）=0，f（）=0，
即，解得．
所以f（x）=4x3﹣3x2﹣18x+5
由f′（x）=12x2﹣6x﹣18＜0，
∴（﹣1，）是函数的减区间
故答案为：（﹣1，）．
17. . 已知(其中.是实数,是虚数单位),则 .
参考答案：
3
略
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 已知抛物线：，直线交于两点，是线段
的中点，过作轴的垂线交于点．
（1）写出抛物线的焦点坐标及准线方程；
（2）证明：抛物线在点处的切线与直线平行；
（3）是否存在实数使，若存在，求的值；若不存在，说明理由．
参考答案：
解（1）将化为，则焦点坐标是，准线方程是
（2）如图，设，，把代入得，由韦达定理得，，.
，点的坐标为．
设抛物线在点处的切线的方程为，.
将代入上式得，
直线与抛物线相切，
，．
即．
（3）假设存在实数，使，则，又是的中点，．
由（Ⅰ）知
．
轴，．
又
．
，解得．
即存在，使．.
或设，由（2）有，
即
即解之得：，故
略
19. （1）比5000小且没有重复数字的自然数有多少个？
（2）由1到9这9个数字中每次选出5个数字组成无重复数字的5位数，
①其中奇数位置上的数字只能是奇数，，问有多少个这样的5位数？
②其中奇数只能在奇数位置上，问又有多少个这样的5位数?
参考答案：
（1）2755；（2）1800；2520.
略
20. 已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足a n+2S n?S n﹣1=0（n≥2），a1=．
（1）求证：{}是等差数列；（2）求a n表达式；
（3）若b n=2（1﹣n）a n（n≥2），求证：b22+b32+…+b n2＜1．
参考答案：
【考点】数列递推式；等差关系的确定；数列的求和．
【分析】（1）根据题中已知条件化简可得出S n与S n﹣1的关系，再求出S1 的值即可证明{}是等差数列；
（2）根据（1）中求得的S n与S n﹣1的关系先求出数列{}的通项公式，然后分别讨论n=1和n≥2时a n的表达式；
（3）根据（2）中求得的a n的表达式即可求出bn的表达式，然后将bn的表达式代入b22+b32+…+b n2中，利用缩放法即可证明b22+b32+…+b n2＜1．
【解答】解（1）∵﹣a n=2S n S n﹣1，
∴﹣S n+S n﹣1=2S n S n﹣1（n≥2）
S n≠0，∴﹣=2，又==2，
∴{}是以2为首项，公差为2的等差数列．
（2）由（1）=2+（n﹣1）2=2n，
∴S n=
当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=﹣
n=1时，a1=S1=，
∴a n=；
（3）由（2）知b n=2（1﹣n）a n=
∴b22+b32+…+b n2=++…+＜++…+
=（1﹣）+（﹣）+…+（﹣）=1﹣＜1．
21. （14分）在平面直角坐标xoy中，不等式组表示的平面区域为W，从区域W中随机任取一点M（x，y）.
（1）若,求的概率；
（2）若,求点M位于第一象限的概率.
参考答案：
（1）如图，所有点M构成的平面区域的面积为：，--------------2分
其中满足的M点构成的区域为：
，---3分
其面积为：，--------------------------5分
记“”为事件A,则,--------------7分
（2）在区域W中，满足的点M（x，y）有：（-1,0），（0,0），
（1,0），（2,0），（-1,1），（0,1），（1,1），（2,1），（-1,2），（0,2），（1,2），（2,2）
共有12个， ------------------------------------------------10分
其中落在第一象限的有：（1,1），（2,1），（1,2），（2,2）共4个，----------------12分
记“点M位于第一象限”为事件B，则.---------------------14分22. 已知函数f（x）=log2（x+1）的定义域为集合A，集合B={x|ax﹣1＜0，a∈N*}，集合
C={y|y=，x∈A}．
（1）求集合C；
（2）若C?（A∩B），求a的值．
参考答案：
【考点】交、并、补集的混合运算；集合的包含关系判断及应用．
【专题】计算题；集合思想；不等式的解法及应用；集合．
【分析】（1）由f（x）=log2（x+1）的定义域为集合A，求出A的集合，由集合B={x|ax﹣1＜0，
a∈N*}，求出B的集合，然后再由指数函数的性质求出集合C．
（2）由集合A，集合B求出A∩B，再由C?（A∩B），即可得到a的值．
【解答】解：由函数f（x）=log2（x+1）的定义域为集合A，得A=（﹣1，+∞），集合B={x|ax﹣1＜0，a∈N*}={x|}，
（1）集合C={y|y=，x∈A}，在（﹣1，+∞）上单调递减，则
，则 C=；
（2）由于a∈N*，B=，
则，由C?（A∩B），得?a≤2．
即a=1或2．
【点评】本题考查了交、并、补集的混合运算，考查了集合的包含关系判断及应用，是基础题．。