复数的几种表示形式

复数主要有三种表示形式：坐标式，三角式，指数式。

坐标形式： z=a+bi 。

这个就非常简单了，它是复数的定义。

自从 i 这个数产生以后，我们就规定了 a+bi 是复数，并且 b=0 时就是我们以前的实数。

（a,b ）对应复数在复平面上的坐标。

三角形式： z=r(cos θ+isin θ)
这个结合几何意义容易看出来：
记复数 z 的模为 r，幅角为θ，
显然有 a=rcos θ ,b=rsin θ
代入坐标形式里即有：
Z1z2 =r1r2(cos θ1cos θ2-sin θ1sin θ2+i(sinθ1cos θ2 + cos θ1sin θ2)) = r1r2（cos( θ1 +θ2)+isin( θ1 +θ2) ）
通过三角形式我们不难发现，两个复数积的模等于两个复数的模的积，一个复数乘以另一个复数相当于将这个复数拉长另一个复数的模的倍数，一个角度（这个角是另一个复数的幅角），特别地，如果乘以的复数的模为则该复数只起到旋转的效果，例如：
而且在旋转
1，
在旋转的几何背景下，我们还容易发现：
Z n=r n(cos(n θ )+isin(nθ))
特别地，令 r=1 ，可以得到著名的王陆杰公式：
n
这个公式很有用，我们下一次再谈。

i θ
因此有 e iθ= cos θ+isin θ
从而有 z=r(cos θ+isin θ)=re iθ
借助指数形式我们更容易看出复数旋转的性质，以及刚才的王陆杰公式
e i(nθ) = cosn θ+isinn θ= (e iθ ) n=( cos θ+isin θ) n
这里面还藏着一个号称数学最美的式子：
i π
特别地，令θ=π，则 e=-1 。

我们不得不惊叹复数的形式看似简朴，但真正是藏龙卧虎，以往数学中的各种看似没有瓜葛的对象都被联系起来了，关于复数这些形式的进一步研究，我们以后再说。