高考数学大一轮复习(-高考题库)第9章 第8节 n次独立重复试验与二项分布 理 新人教A版

2009~2013年高考真题备选题库
第9章 计数原理与概率、随机变量及其分布
第8节 n 次独立重复试验与二项分布
考点一 二项分布及其应用
1．（2013安徽，13分）某高校数学系计划在周六和周日各举行一次主题不同的心理测试活动，分别由李老师和张老师负责．已知该系共有n 位学生，每次活动均需该系k 位学生参加(n 和k 都是固定的正整数)．假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立、随机地发给该系k 位学生，且所发信息都能收到．记该系收到李老师或张老师所发活动通知信息的学生人数为X .
(1)求该系学生甲收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率； (2)求使P (X ＝m )取得最大值的整数m .
解：本题主要考查古典概型，计数原理，分类讨论思想等基础知识和基本技能，考查抽象的思想，逻辑推理能力，运算求解能力，以及运用数学知识分析和解决实际问题的能力．
(1)因为事件A ：“学生甲收到李老师所发信息”与事件B ：“学生甲收到张老师所发信
息”是相互独立的事件，所以A 与B 相互独立．由于P (A )＝P (B )＝C k －
1
n －1
C k n ＝k n
，故P (A )＝P (B )
＝1－k n
，因此学生甲收到活动通知信息的概率P ＝1－⎝⎛⎭⎫1－k n 2＝2kn －k 2
n 2. (2)当k ＝n 时，m 只能取n ，有P (X ＝m )＝P (X ＝n )＝1.
当k <n 时，整数m 满足k ≤m ≤t ，其中t 是2k 和n 中的较小者．由于“李老师和张老师
各自独立、随机地发活动通知信息给k 位同学”所包含的基本事件总数为(C k n )2
.当X ＝m 时，
同时收到李老师和张老师转发信息的学生人数恰为2k －m ，仅收到李老师或仅收到张老师转发信息的学生人数均为m －k .由乘法计数原理知：
事件{X ＝m }所含基本事件数为
C k n C 2k
－m
k
C m －
k n －k ＝C k n C m －
k k
C m －
k
n －k .此时 P (X ＝m )＝C k n C 2k －
m k C m －
k n －k (C k n )
2
＝C m －
k k
C m －
k
n －k C k n . 当k ≤m <t 时，P (X ＝m )≤P (X ＝m ＋1)⇔C m －
k k C m －
k
n －k ≤C m ＋1－k
k
C m ＋1－
k
n －k
⇔(m －k ＋1)2≤(n －m )(2k －m )⇔m ≤2k －(k ＋1)2
n ＋2
.
假如k ≤2k －(k ＋1)2
n ＋2
<t 成立，则当(k ＋1)2能被n ＋2整除时，
k ≤2k －(k ＋1)2n ＋2<2k ＋1－(k ＋1)2n ＋2≤t .故P (X ＝m )在m ＝2k －(k ＋1)2n ＋2和m ＝2k ＋1－(k ＋1)2
n ＋2
处
达最大值；当(k ＋1)2不能被n ＋2整除时，
P (X ＝m )在m ＝2k －⎣⎢⎡⎦
⎥
⎤(k ＋1)2
n ＋2处达最大值．(注：[x ]表示不超过x 的最大整数)
下面证明k ≤2k －(k ＋1)2
n ＋2
<t .
因为1≤k <n ，所以2k －(k ＋1)2n ＋2－k ＝kn －k 2－1n ＋2≥k (k ＋1)－k 2－1n ＋2＝k －1
n ＋2≥0.
而2k －(k ＋1)2n ＋2－n ＝－(n －k ＋1)2n ＋2<0，故2k －(k ＋1)2n ＋2<n ，显然2k －(k ＋1)2
n ＋2<2k .
因此k ≤2k －(k ＋1)2
n ＋2
<t .
2．（2013福建，13分）某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲、乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为23，中奖可以获得2分；方案乙的中奖率为2
5，中奖可以获得3分；未中奖
则不得分．每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中奖与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品．
(1)若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为X ，求X ≤3的概率；
(2)若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖，问：他们选择何种方案抽奖，累计得分的数学期望较大？
解：本小题主要考查古典概型、离散型随机变量的分布列、数学期望等基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力、应用意识，考查必然与或然思想．
法一：(1)由已知得，小明中奖的概率为23，小红中奖的概率为2
5，且两人中奖与否互不影
响．
记“这两人的累计得分X ≤3”的事件为A ， 则事件A 的对立事件为“X ＝5”，
因为P (X ＝5)＝23×25＝415，所以P (A )＝1－P (X ＝5)＝11
15，
即这两人的累计得分X ≤3的概率为11
15
.
(2)设小明、小红都选择方案甲抽奖中奖次数为X 1，都选择方案乙抽奖中奖次数为X 2，则这两人选择方案甲抽奖累计得分的数学期望为E (2X 1)，选择方案乙抽奖累计得分的数学期望为E (3X 2)．
由已知可得，X 1～B ⎝⎛⎭⎫2，23，X 2～B ⎝⎛⎭
⎫2，25，
所以E (X 1)＝2×23＝43，E (X 2)＝2×25＝4
5，
从而E (2X 1)＝2E (X 1)＝83，E (3X 2)＝3E (X 2)＝12
5.
因为E (2X 1)>E (3X 2)，
所以他们都选择方案甲进行抽奖时，累计得分的数学期望较大．
法二：(1)由已知得，小明中奖的概率为23，小红中奖的概率为2
5，且两人中奖与否互不影
响．
记“这两人的累计得分X ≤3”的事件为A ，
则事件A 包含有“X ＝0”，“X ＝2”，“X ＝3”三个两两互斥的事件，
因为P (X ＝0)＝⎝⎛⎭⎫1－23×⎝⎛⎭⎫1－25＝15，P (X ＝2)＝23×⎝⎛⎭⎫1－25＝25，P (X ＝3)＝⎝⎛⎭⎫1－23×25＝215， 所以P (A )＝P (X ＝0)＋P (X ＝2)＋P (X ＝3)＝11
15，
即这两人的累计得分X ≤3的概率为11
15
.
(2)设小明、小红都选择方案甲所获得的累计得分为X 1，都选择方案乙所获得的累计得分为X 2，则X 1，X 2的分布列如下：
所以E (X 1)＝0×19＋2×49＋4×49＝8
3，
E (X 2)＝0×925＋3×1225＋6×425＝12
5
.
因为E (X 1)>E (X 2)，所以他们都选择方案甲进行抽奖时，累计得分的数学期望较大． 3．（2013四川，12分）某算法的程序框图如
图所示，其中输入的变量x 在1,2,3，…，24这24个整数中等可能随机产生．
(1)分别求出按程序框图正确编程运行时输出y 的值为i 的概率P i (i ＝1,2,3)；
(2)甲、乙两同学依据自己对程序框图的理解，各自编写程序重复运行n 次后，统计记录了输出y
的值为i (i ＝1,2,3)的频数．以下是甲、乙所作频数统计表的部分数据．
甲的频数统计表(部分)
乙的频数统计表(部分)
当n ＝2 100时，根据表中的数据，分别写出甲、乙所编程序各自输出y 的值为i (i ＝1,2,3)的频率(用分数表示)，并判断两位同学中哪一位所编程序符合算法要求的可能性较大；
(3)将按程序框图正确编写的程序运行3次，求输出y 的值为2的次数ξ的分布列及数学期望．
解：本题主要考查算法与程序框图、古典概型、独立重复试验、随机变量的分布列、数学期望、频数、频率等概念及相关计算，考查运用统计与概率的知识解决实际问题的能力，考查数据处理能力、应用意识和创新意识．
(1)变量x 是在1,2,3，…，24这24个整数中随机产生的一个数，共有24种可能． 当x 从1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23这12个数中产生时，输出y 的值为1，故P 1＝12；
当x 从2,4,8,10,14,16,20,22这8个数中产生时，输出y 的值为2，故P 2＝1
3；
当x 从6,12,18,24这4个数中产生时，输出y 的值为3，故P 3＝1
6
.
所以，输出y 的值为1的概率为12，输出y 的值为2的概率为1
3，输出y 的值为3的概率
为1
6
. (2)当n ＝2 100时，甲、乙所编程序各自输出y 的值为i (i ＝1,2,3)的频率如下：
比较频率趋势与概率，可得乙同学所编程序符合算法要求的可能性较大． (3)随机变量ξ可能的取值为0,1,2,3. P (ξ＝0)＝C 03
×⎝⎛⎭⎫130×⎝⎛⎭⎫233＝827， P (ξ＝1)＝C 13
×⎝⎛⎭⎫131×⎝⎛⎭⎫232＝49，
P (ξ＝2)＝C 23×⎝⎛⎭⎫132×⎝⎛⎭⎫231＝29， P (ξ＝3)＝C 33×⎝⎛⎭⎫133×⎝⎛⎭⎫230＝127
， 故ξ的分布列为
所以，Eξ＝0×827＋1×49＋2×29＋3×1
27＝1.
即ξ的数学期望为1.
4．（2010新课标全国，5分）某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1 000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X ，则X 的数学期望为( )
A ．100
B ．200
C ．300
D ．400
解析：记“不发芽的种子数为ξ”，则ξ～B (1 000,0.1)，所以Eξ＝1 000×0.1＝100，而X ＝2ξ，故EX ＝E (2ξ)＝2Eξ＝200.
答案：B
5．（2010安徽，5分）甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以A 1，A 2和A 3表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B 表示由乙罐取出的球是红球的事件．则下列结论中正确的是________(写出所有正确结论的编号)．
①P (B )＝25；
②P (B |A 1)＝5
11
；
③事件B 与事件A 1相互独立； ④A 1，A 2，A 3是两两互斥的事件；
⑤P (B )的值不能确定，因为它与A 1，A 2，A 3中究竟哪一个发生有关．
解析：由题意知P (B )的值是由A 1，A 2，A 3中某一个事件发生所决定的，故①③错误；
∵P (B |A 1)＝P (B ∩A 1)P (A 1)
＝12×
51112
＝5
11，故②正确；
由互斥事件的定义知④正确，故正确的结论的编号是②④. 答案：②④
6．（2012辽宁，12分）电视传媒公司为了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查．下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图：
将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”．
(1)根据已知条件完成下面的2×2列联表，并据此资料你是否认为“体育迷”与性别有关？
(2)将上述调查所得到的频率视为概率．现在从该地区大量电视观众中，采用随机抽样方法每次抽取1名观众，抽取3次，记被抽取的3名观众中的“体育迷”人数为X .若每次抽取的结果是相互独立的，求
X 的分布列，期望E (X )和方差D (X )．
附：χ2
＝n (n 11n 22－n 12n 21)2n 1＋n 2＋n ＋1n ＋2
，
解：(1)由频率分布直方图可知，在抽取的100人中，“体育迷”有25人，从而2×2列联表如下：
将2×2列联表中的数据代入公式计算，得χ2
＝n (n 11n 22－n 12n 21)2
n 1＋n 2＋n ＋1n ＋2
＝
100×(30×10－45×15)245×55×75×25
＝100
33≈3.030. 因为3.030<3.841，所以没有理由认为“体育迷”与性别有关．
(2)由频率分布直方图知抽到“体育迷”的频率为0.25，将频率视为概率，即从观众中抽取一名“体育迷”的概率为1
4
.
由题意X ～B (3，1
4
)，从而X 的分布列为
E (X )＝np ＝3×14＝3
4
，
7．(2011天津，13分)学校游园活动有这样一个游戏项目：甲箱子里装有3个白球、2个黑球，乙箱子里装有1个白球、2个黑球，这些球除颜色外完全相同．每次游戏从两个箱子里各随机摸出2个球，若摸出的白球不少于2个，则获奖．(每次游戏结束后将球放回原箱)
(1)求在1次游戏中， (ⅰ)摸出3个白球的概率； (ⅱ)获奖的概率；
(2)求在2次游戏中获奖次数X 的分布列及数学期望E (X )．
解：(1)(ⅰ)设“在1次游戏中摸出i 个白球”为事件A i (i ＝0,1,2,3)，则P (A 3)＝C 23C 25·C 1
2
C 23＝15
.
(ⅱ)设“在1次游戏中获奖”为事件B ，则B ＝A 2∪A 3.
又P (A 2)＝C 23C 25·C 22C 23＋C 13C 12C 25·C 1
2
C 23＝12
，且A 2，A 3互斥，
所以P (B )＝P (A 2)＋P (A 3)＝12＋15＝7
10.
(2)由题意可知X 的所有可能取值为0,1,2. P (X ＝0)＝(1－710)2＝9
100，
P (X ＝1)＝C 12
710×(1－710)＝21
50， P (X ＝2)＝(710)2＝49
100.
所以X 的分布列是
X 的数学期望E (X )＝0×
9100＋1×2150＋2×49100＝75
. 8．(2010广东，12分)某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上40件产品作为样本称出它们的重量(单位：克)，重量的分组区间为(490,495]，(495,500]，…，(510,515]，由此得到样本的频率分布直方图，如图所示．
(1)根据频率分布直方图，求重量超过505克的产品数量；
(2)在上述抽取的40件产品中任取2件，设Y 为重量超过505克的产品数量，求Y 的分布列；
(3)从该流水线上任取5件产品，求恰有2件产品的重量超过505克的概率．
解：(1)根据频率分布直方图可知，重量超过505克的产品数量为[(0.01＋0.05)×5]×40＝12(件)．
(2)Y 的可能取值为0,1,2. P (Y ＝0)＝C 228
C 240＝63130
.
P (Y ＝1)＝C 128C 1
12
C 240＝56130
.
P (Y ＝2)＝C 212
C 240＝11130.
Y 的分布列为
(3)0.3. 令ξ为任取的5件产品中重量超过505克的产品数量， 则ξ～B (5,0.3)，
故所求概率为P (ξ＝2)＝C 25(0.3)2(0.7)3
＝0.308 7.
9．(2009·广东，12分)根据空气质量指数API(为整数)的不同，可将空气质量分级如下表：
(100,150]，(150,200]，(200,250]，(250,300]进行分组，得到频率分布直方图如图．
(1)求直方图中x 的值；
(2)计算一年中空气质量分别为良和轻微污染的天数；
(3)求该城市某一周至少有2天的空气质量为良或轻微污染的概率．
(结果用分数表示．已知57＝78 125,27＝128，31 825＋2365＋71 825＋31 825＋89 125＝123
9 125，
365＝73×5)
解：(1)根据频率分布直方图可知，
x ＝{1－(31825＋2365＋71825＋31825＋89125)×50}÷50＝119
18250.
(2)空气质量为Y 的天数＝(Y 对应的频率÷组距)×组距×365天， 所以一年中空气质量为良和轻微污染的天数分别是 119
18250
×50×365＝119(天)， 2
365
×50×365＝100(天)． (3)设A 、B 分别表示随机事件“空气质量为良”和“空气质量为轻微污染”，则事件A 与B 互斥．
所以空气质量为良或轻微污染的概率是 P ＝P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )＝
119365＋100365＝35
. 设X 表示该城市某一周的空气质量为良或轻微污染的天数． 则X ～B (7，3
5
)，
故所求的概率是P (X ≥2)＝1－P (X ＝0)－P (X ＝1)＝1－(25)7－7×35(25)6＝76 653
78 125
.。