直线与椭圆的位置关系PPt

4 ∴ x1 x2 , x1 x2 0 3
0 ( 1) 1 2
∵点 F1 到直线 AB 的距离 d
∴ S F1 AB
= 2
1 1 4 4 4 d AB = 2 2= . 答: △F1 AB 的面积等于 2 2 3 3 3
知识点3.中点弦问题
x y 1 例、椭圆 1, 设直线y x 1与椭圆交于 16 4 2 A、B两点，求线段AB的中点坐标。
2 2
直线与椭圆有公共点，
4m 20(m 1) 0
2 2
5 5 解得： m 2 2
所以当
5 5 m 时，直线与椭圆有公共 点 2 2
探究二：直线与椭圆的相交弦长的求法 x2 y2 直线方程为 : y kx m ，椭圆方程为： 2 2 1 a b
l:x y40
把直线 l 平移至 l ', l ' 与椭圆相切, l 此时的切点 P 就是最短距离时的点. 即设：l ': x y m 0
x ym0 由 2 2 x 8 y 8 9 y 2 2my m 2 8 0
P
y
l'
O
x
4m 2 4 9(m 2 8) 0 m 3
0 x x1 x2 16k (1 2k ) 4 2 M 2 2 ( 1 4 k )
1 解得， k . 2
1 所以所求直线方程为 : y 2 ( x 4)即x 2 y 8 0 2
x2 y 2 例2.已知椭圆 1的弦PQ被点M（4， 2）平分，求此弦所 36 9 y 在直线 方程. B
8 3 8 则x1 x2 , x1 x2 5 5 从而有 AB 1 k 2 x1 x2 1 k 2 8 3 2 8 ＝ ２（ ）-４ 5 5 8 ＝ 5
( x1 x2 ) 2 4 x1 x2
归纳： 求直线与椭圆的弦长步骤：
①联立方程组 ②消去一个未知数 ③利用弦长公式:
探究一 ：直线与椭圆的位置关系
x2 y2 直线和椭圆方程分别为 : Ax By C 0 ， 2 2 1 a b
y
y
y
F2
F1
o
F2
x
F1
o
F2
x
F1
o
x
判断方法
Ax By C 0 a / x2 b/ x c/ 0 ①联立方程组 则由 x 2 y 2 2 2 1 ②消元 b a
若二次方程的判别式为，则
③ 相离 相切 相交
∆<0 ∆=0 ∆>0
求解直线与二次曲线有 关问题的通法
例：已知直线y=x- 1 与椭圆x2+4y2=2 ，判断它们 2 的位置关系.
解：联立方程组
1 y x 2
消去y
5 x 2 4 x 1 0 ----- (1)
x2+4y2=2
2 2
x2 y 2 例2.已知椭圆 1的弦PQ被点M（4， 2）平分，求此弦所 36 9 y 在直线 方程.
B
解：由题意知直线斜率 存在，设y 2 k ( x 4)
O
.M
A
x
y 2 k ( x 4) 由 x 2 y 2 得 (1 4k 2 ) x 2 16k (1 2k ) x 4(2 4k )2 36 0. 1 36 9
因为∆=36>0 所以，方程有两个根， 故直线与椭圆有两个交点
练习：已知椭圆 4 x 2 y 2 1及直线 y x m， 当取何值时直线与椭圆 有一个公共点 两个公共点，没有公共 点.
解： (1)将y x m代入椭圆
4x 2 ( x m)2 1 0
即： 5x 2mx m 1 0
2 2

4 x0 5 y0 40 41
且
x0 2 25

y0 2 9
1
作出直线 l 及椭圆, 观察图形,数形结合思考.
、
例3、已知椭圆
椭圆上是否存在一点， 到直线的距离最小？最小距离是多少？
y
解：设直线m平行于l，
4x - 5y 40 0
x2 y2 1 ，直线 25 9
则l可写成： 4x 5 y k 0
2 2
a2 b2 3
右焦点F（ 3， 0）从而直线 l的方程为 y x 3 y x 3 2 2 由 x 消去 y ，并整理得： 5 x 8 3 8 0 2 y 1 4 设直线l与椭圆的交点为 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 )
解：设A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 )
B O
则由OA OB得：x1 x2 y1 y2 0
y x 1 2 2 2 x 4 ( x 1 ) 4 b 由 2 2 2 x 4 y 4 b
A
x
整理得： 5x 2 8x 4 4b2 0
直线与椭圆的位置关系
问题：直线与圆的位置关系有哪几种？
怎么判断它们之间的位置关系？ 几何法： d>r 代数法：∆<0
d=r d<r
∆=0
∆>0
问题：椭圆与直线的位置关系？
问题：怎么判断它们之间的位置关系？能用几何法吗？
不能！ 因为他们不像圆一样有统一的半径。
所以只能用代数法----求解直线与二次曲线有关问题的通法。
设 A( x1，y1 )，B( x2，y2 )， 另解：
O
.M
x12 y12 则 1[1] 36 9 2 2 x2 y2 1[2] 36 9 ( x1 x2 )( x1 x2 ) ( y1 y2 )( y1 y2 ) 由 [1] [2] 得： 0 36 9
直线与椭圆相交的弦长：
|AB| =
A（x1,y1）
B（x2,y2）
x 例： 已知斜率为 1 的直线 l 过椭圆 ＋y2＝1 的 4 右焦点，交椭圆于 A、B 两点，求弦 AB 的长．
2
【思路点拨】
求直线→ 求弦长 距离公式
a 4, b 1 c 解：
x
直线m为： 4 x 5 y 25 0
直线m与椭圆的交点到直线l的距离最近。 15 且d 41 2 2 41 4 5
o
y
40 25
x
思考：最大的距离是多少？
dmax 65 41 42 52 41 40 25
2 2 在椭圆 x 8 y 8上求一点 P ,使 P 到直线 的距离最小.
焦点，过 F2 作倾斜角为

的直线，求 △F1 AB 的面积.
∴直线 AB 的方程为 y x 1 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 )
y x 1 由 x2 消去 y 并化简整理得 2 y 1 2
2
3x 4x 0
4 2 2 ∴ AB ( x1 x2 )2 ( y1 y2 )2 2( x1 x2 )2 2 = ( x x ) 4 x x 2 1 2 1 3
通法 A（x1,y1）
| AB | 1 k 2 | x A xB |
1 1 2 y A yB k
B（x2,y2）
设而不求
小结
1．直线与椭圆有三种位置关系 (1)相交——两个不同的公共点 △>0； (2)相切——只有一个公共点 (3)相离——没有公共点
△=0 ； △<0 ．
相交
yxm 当m取何值时，直线l： 2 2 与椭圆 2x 3y 6 相交、相切、相离？ 解：联立方程组
yxm
2
消去y
5x 6mx 3m 6 0
2 2
6m 4 5 3m2 6
2x 2 3y2 6
36m2 60m2 120 24m2 120
由图形可知：m 3 时 P 到直线 l : x y 4 0 的距离最小,此时 P( 8 , 1 ) . 3 3
A
x
y1 y2 9 x1 x2 即 x1 x2 36 y1 y2
1 2 xM 1 k AB . 4 2 yM 2
x2 y2 例3 :已知椭圆方程为 2 2 1, 直线y x 1与椭圆交 4b b y 于A, B，且OA OB, 求椭圆方程。
2．直线与椭圆的相交弦长
弦长公式：
AB 1 k 2 x1 x2 1 1 2 y1 y2 k
变式训练：
x y 1 y x 2 直线 与椭圆 m 3
2 2
有两个公共点，求m的范围
直线与椭圆的位置关系
x2 y2 1 的位置关 例1：判断直线y=x+1与椭圆 5 4 系
4 x 5 y k 0 o 2 2 由方程组 x y 消去y，得25x2 8kx k 2 - 225 0 1 25 9 2 2 由 0，得64k - 4 25 （k - 225） 0 由图可知k 25. 解得k1 =25，k 2 =-25
相交 相切
0, 则m 5或m 5 0, 则m 5
0, 则 5 m 5
相离
x2 y2 例: 已知点 F1 、F2 分别是椭圆 1 的左、右 2 1
4 x2 2 y 1 的两个焦点坐标 F1 (1, 0), F2 (1, 0) 解:∵椭圆 2
、
x y 1 例3、已知椭圆 ，直线 25 9 4x - 5y 40 0 椭圆上是否存在一点，
2
2
到直线的距离最小？最小距离是多少？
分析:设 P( x0 , y0 ) 是椭圆上任一点, 试求点 P 到直线 4 x 5 y 40 0 的距离的表达式.
d 4 x0 5 y0 40 4 5
8 x x 1 2 5 由韦达定理得 2 x x 4 4b 1 2 5
1 4b 2 y1 y2 ( x1 1)( x2 1) x1 x2 x1 x2 1 5 2 2 5 4 4b 2 1 4b 2 2 2 x 8 y b 0 椭圆方程为 1 8 5 5 5 5