几何概型的经典题型及答案

几何概型的常见题型及典例分析
一．几何概型的定义
1．定义：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或
体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型。

2．特点:
（1）无限性,即一次试验中,所有可能出现的结果（基本事件）有无限多
个；
（2)等可能性,即每个基本事件发生的可能性均相等。

3．计算公式：.)(积）的区域长度（面积或体试验的全部结果所构成积）的区域长度（面积或体构成事件A A P = 说明:用几何概率公式计算概率时，关键是构造出随机事件所对应的
几何图形，并对几何图形进行度量.
4．古典概型和几何概型的区别和联系：
（1）联系:每个基本事件发生的都是等可能的.
（2）区别:①古典概型的基本事件是有限的，几何概型的基本事件是无
限的;
②两种概型的概率计算公式的含义不同.
二．常见题型
（一）、与长度有关的几何概型
例1、在区间]1,1[-上随机取一个数x ，2cos
x π的值介于0到2
1之间的概率为( ). A 。

31 B 。

π
2 C 。

21 D.32 分析：在区间]1,1[-上随机取任何一个数都是一个基本事件.所取的数是
区间]1,1[-的任意一个数，基本事件是无限多个，而且每一个基本事件的
发生都是等可能的,因此事件的发生的概率只与自变量x 的取值范围的
区间长度有关，符合几何概型的条件.
解：在区间]1,1[-上随机取一个数x ,即[1,1]x ∈-时,要使cos 2x π的值介于0到21之间,需使2
23x πππ-≤≤-或322
x πππ≤≤ ∴213x -≤≤-或213x ≤≤，区间长度为3
2， 由几何概型知使cos 2x π的值介于0到2
1之间的概率为 3
1232
===度所有结果构成的区间长符合条件的区间长度P 。

故选A 。

例2、 如图，A ，B 两盏路灯之间长度是30米，由于光线较暗，想在其
间再随意安装两盏路灯C ，D ，问A 与C,B 与D 之间的距离都不小于10
米的概率是多少？
思路点拨 从每一个位置安装都是一个基本事件，基本事件有无限
多个,但在每一处安装的可能性相等，故是几何概型．
解 记 E ：“A 与C,B 与D 之间的距离都不小于10米”，把AB 三
等分，由于中间长度为30×3
1=10米， ∴3
13010)(==E P . 方法技巧 我们将每个事件理解为从某个特定的几何区域内随机地
取一点，该区域中每一点被取到的机会都一样，而一个随机事件的发生
则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点,这样的概率模型
就可以用几何概型来求解．
例3、在半径为R 的圆内画平行弦，如果这些弦与垂直于弦的直径的交
点在该直径上的位置是等可能的，求任意画的弦的长度不小于R 的概率。

思考方法：由平面几何知识可知，垂直于弦的直径平分这条弦，所以,
题中的等可能参数是平行弦的中点,它等可能地分布在于平行弦垂直的直径上(如图1-1）。

也就是说，样本空间所对应的区域G 是一维空间（即直线）上的线段MN ，而有利场合所对
应的区域G A 是长度不小于R 的平行弦的中点K 所在的区间。

[解法1］.设EF 与E 1F 1是长度等于R 的两条
K K K1图1-2图1-1O O E F E F E1F1
弦,直径MN 垂直于EF 和E 1F 1,与他们分别相交于K 和K 1(图1—2）。

依题
设条件，样本空间所对应的区域是直径MN,有L(G ）=MN=2R ，注意到弦的
长度与弦心距之间的关系比，则有利场合所对对应的区域是KK 1，有
1()2K L G KK OK ====
以几何概率公式得()()22
A L G P L G R ===。

［解法2］.如图1-1所示，设园O 的半径为R, EF 为诸平行弦中的任意
一条，直径MN ⊥弦EF ，它们的交点为K ，则点K 就是弦EF 的中点。

设
OK=x ，则 x ∈［—R ，R ］, 所以 L （G ）=2R
设事件A 为“任意画的弦的长度不小于R ”，则A 的有利场合是
R ≥,
解不等式，得 x 2R ≤ 所以 ()22
A L G R ==
于是 ()22P A R =
= ［评注] 本题结构比较简单，题中直接给出了等可能值参数；样本空间
和有利场合所对应的区域，从图上都可以直接看出。

两种解法各有特色,
解法1充分利用平面几何知识，在本题似较简便，解法2引进变量x 把
代数知识和几何知识有机的结合起来,从表面上看解题过程不甚简便，但
确具有推广价值,这种方法可以求解复杂的几何概率问题。

例4、 在长为12cm 的线段AB 上任取一点M ，并以线段AM 为边作正方形,
求这个正方形的面积介于36cm 2 与81cm 2之间的概率．
分析:正方形的面积只与边长有关，因此，此题可以转化为在12cm 长的
线段AB 上任取一点M ，求使得AM 的长度介于6cm 与9cm 之间的概率．
解：记“面积介于36cm 2 与81cm 2之间"为事件A,事件A 的概率等价于“长
度介于6cm 与9cm 之间”的概率，所以，P （A)= 9612-=14 小结:解答本例的关键是，将正方形的面积问题先转化为与边长的关系.
练习：
2、已知地铁列车每10 min 一班,在车站停1 min ，则乘客到达站台立即
乘上车的概率是（ )
A.错误! B 。

错误! C 。

错误!
D 。

错误!
解析：设乘客到达站台立即乘上车为事件A ,试验的所有结果构成的区域
长度为10 min ，而构成事件A 的区域长度为1 min ，故P (A )＝错误!.答
案：A
3、已知集合A {x ｜－1<x 〈5},B ＝{x |x －23－x >0｝,在集合A 中任取一个元素x ,则事件“x ∈A ∩B ”的概率是________．
解析：由题意得A ＝｛x ｜－1〈x 〈5｝,B ＝{x |2〈x 〈3}，由几何概
型知：在集合A 中任取一个元素x ，则x ∈A ∩B 的概率为P ＝错误!.答案：
错误!
4、 小赵欲在国庆六十周年之后从某车站乘车外出
考察，已知该站发往各站的客车均每小时一班,求
小赵等车时间不多于10分钟的概率．
分析：因为客车每小时一班,而小赵在0~60分钟之
间任何一个时刻到车站等车是等可能的, 所以他
在哪个时间段到站等车的概率只与该时间段的长
度有关，而与该时间段的位置无关，这符合几何概
型的条件，且属于几何概型中的长度类型。

解析：设A=｛等待的时间不多于10分钟｝,我们所关心的事件A 恰好是
到站等车的时刻位于[50,60]这一时间段内，而事件的总体是整个一小
时，即60分钟，因此,由几何概型的概率公式，得P(A)= 605060-=6
1，即此人等车时间不多于10分钟的概率为6
1． (二)、与面积有关的几何概型
例1、ABCD 为长方形，1,2==BC AB ，O 为AB 的中点，
在长方形ABCD 内随机取一点，取到的点到O 的距离大于1的概率为（ ）
A ．4
π B.14π- C 。

8π D 。

18
π- 分析：由于是随机的取点，点落在长方形内每一个点的机会是等可能的，
基本事件是无限多个，所以符合几何概型.
解：长方形面积为2,以O 为圆心，1为半径作圆,在矩形内部的部分（半D
C B
圆）面积为2π，因此取到的点到O 的距离大于1的面积为2
2π-，则取到的点到O 的距离大于1的概率为
4
12221)(ππ-=-==的面积长方形的面积的距离大于取到的点到ABCD O A P . 故选B 。

例2、 如图，射箭比赛的箭靶涂有五个彩色的
分环．从外向内依次为白色、黑色、蓝色、红
色,靶心为金色．金色靶心叫“黄心”．奥运会
的比赛靶面直径为122 cm ，靶心直径为12.2 cm.
运动员在70 m 外射箭．假设运动员射的箭都能
中靶，且射中靶面内任一点都是等可能的，那
么射中黄心的概率为多少？
思路点拨 此为几何概型,只与面积有关．
解 记“射中黄心”为事件B ，由于中靶点随机地落在面积为
2212241cm ⨯⨯π的大圆内,而当中靶点落在面积为222.124
1cm ⨯⨯π的黄心时，事件B 发生，于是事件B 发生的概率为
01.01224
12.1241)(2
22
2=⨯⨯⨯⨯=cm cm B P ππ. 即:“射中黄心"的概率是0。

01。

方法技巧 事件的发生是“击中靶心"即“黄心"的面积；总面积为
最大环的圆面积．
例3、在平面直角坐标系xoy 中，设D 是横坐标与纵坐标的绝对值均不大
于2的点构成的区域,E 是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向D
中随意投一点,则落入E 中的概率为 。

解析：如图:区域D 表示边长为4的正方形ABCD 的内部（含边界），而
区域E 表示单位圆及其内部，因此2
14416P ππ
⨯==⨯。

答案 16
π 点评：本小题中的试验结果是区域中的部分点集，其结果是不可数的，
属于几何概型中典型的面积之比.
例4、在三角形ABC 中任取一点P,证明：△ABP 与△ABC 的面积之比大于1n n -的概率为21n 。

思考方法 本题的随机点是ABP ∆的顶点P ，它等可
能的分布在ABC ∆中，因此，与样本空间对应的平
面区域是ABC ∆，注意到ABP ∆于ABC ∆有公共边AB ，所以的面积决定于顶点P 离底边AB 的距离。

这样不难确定与有利场合相对应的平面区域。

解 设ABP ∆与ABC ∆的面积之比为1n n
-,ABC ∆的高CD 为h ，ABP ∆的高PG 为h1，公共底边AB 的长为c ，（图2）则1111212ABP
ABC
ch S h n S h n ch ∆∆-=== 11n h h n -=
过点P 作EF//AB ，交CD 于H ，则有立场合所对应的平面区域为CEF ∆.
于是所求概率为EFC ABC
S P S ∆∆= 注意到EF//AB ，~EFC ABC ∆∆，且 CH=h -h 1 = h —
1n n -h=1h n ，2221EFC
ABC h s n p S h n ∆∆⎛⎫ ⎪⎝⎭∴=
== 由此，原题得证。

评注 本题的样本空间虽然与平面区域相对应,但因三角形ABC 于三角
形ABP 有公共底边AB ，所以,实际变化着的量只有一个(即点P 于AB 的
距离），问题还比较简单,对于较复杂的平面区域,常常要根据题设选定
两个变量,由各自的约束条件确定样本空间于有立场合的相应区域。

例5、将长为L 的木棒随机的折成3段，求3段构成三角形的概率．
解:设M =“3段构成三角形"．x y ，分别表
示其中两段的长度，则第三段的长度为
L x y --．
{}()000x y x L y L x y L Ω=<<<<<+<，，，|．
图2
H P G F E D C B A
由题意,x y L x y --，，要构成三角形,须有x y L x y +>--，即
12
x y +>； ()x L x y y +-->，即2L y <
；()y L x y x +-->，即2L x <． 故()|222L L L M x y x y y x ⎧⎫=+><<⎨⎬⎩
⎭，，，． 如图1所示，可知所求概率为
221122()4
2
L M P M L ⎛⎫ ⎪⎝⎭===Ω·的面积的面积． 例6、已知函数f （x ）＝－x 2＋ax －b 。

若a 、b
都是从区间[0,4］任取的一个数，则f (1)＞0成
立的概率是________．
解析：f (1）＝－1＋a －b ＞0,即a －b ＞1,如图:
A （1,0）,
B (4，0)，
C (4，3），S △ABC ＝错误!，P ＝错误!＝错误!＝错误!.
答案：错误!
练习
1、ABCD 为长方形，AB ＝2，BC ＝1，O 为AB 的中点．在长方形ABCD 内随
机取一点，取到的点到O 的距离大于1的概率为 ( ）
A.错误! B ．1－错误! C.错误! D ．1－
错误!
解析：对应长方形的面积为2×1＝2，而取到的点到O 的距离小于等于1
时,其是以O 为圆心，半径为1所作的半圆,对应的面积为错误!×π×12
＝错误!π,那么满足条件的概率为：1－错误!＝1－错误!。

答案:B
2、设－1≤a ≤1，－1≤b ≤1，则关于x 的方程x 2＋ax ＋b 2＝0有实根的
概率是 ( ）
A.错误!
B.错误!
C.错误!
D.错误!
解析:由题知该方程有实根满足条件错误!作平面区域如
右图：由图知阴影面积为1，总的事件对应面积为正方
形的面积，
故概率为错误!.答案：B
3、已知Ω＝{(x ，y )｜x ＋y ≤6,x ≥0，y ≥0}，A ＝｛（x ,y ）|x ≤4，y ≥0，
x －2y ≥0}，若向区域Ω上随机投一点P ,则点P 落入区域A 的概率为
( ) A.13
B.错误! C 。

错误! D 。

错误!
解析：作出两集合表示的平面区域如图所示．容易得出
Ω所表示的平面区域为三角形AOB 及其边界,A 表示的
区域为三角形OCD 及其边界．
容易求得D (4，2)恰为直线x ＝4，x －2y ＝0，x ＋y ＝6三线的交点．
则可得S △AOB ＝错误!×6×6＝18，S △OCD ＝错误!×4×2＝4.所以点P 落在区
域A 的概率为错误!＝错误!。

答案:D
4、在区域⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧≥≥+-≤-+00202y y x y x 内任取一点P ，
则点P 落在单位圆x 2＋y 2＝1内的概率为（ ）
A 。

错误! B.错误! C.错误! D.
错误!
解析：区域为△ABC 内部（含边界)，则概率为
P ＝错误!＝错误!＝错误!。

答案：D
5、在边长为2的正三角形ABC内任取一点P,则使点P到三个顶点的距
离至少有一个小于1的概率是________．
解析：以A、B、C为圆心，以1为半径作圆，与△ABC
相交出三个扇形（如图所示)，当P落在阴影部分时
符合要求．
∴P＝错误!＝错误!.答案：错误!π
6、在区间[0，1］上任意取两个实数a，b,则函数f（x)＝错误!x3＋ax －b在区间［－1，1］上有且仅有一个零点的概率为________．
解析：f′（x）＝错误!x2＋a，故f（x)在x∈[－1，1］上单调递增，又
因为函数f（x）＝1
2
x3＋ax－b在[－1，1］上有且仅有一个零点,即有f(－
1）·f（1)〈0成立，即(－1
2
－a－b)（错误!＋a－b）〈0，则（错误!＋a
＋b)(错误!＋a－b）>0，可化为错误!或错误!由线性规划知识在平面直角坐标系aOb中画出这两个不等式组所表示的可行域，再由几何概型可以知道，函数f(x)＝错误!x3＋ax－b在［－1，1]上有且仅有一个零点的概率为可行域的面积除以直线a＝0,a＝1，b＝0，b＝1围成的正方形的面积，计算可得面积之比为错误!。

答案：错误!
7、已知函数f（x)＝x2－2ax＋b2，a，b∈R。

（1）若a从集合｛0,1，2，3｝中任取一个元素，b从集合{0，1，2}中任取一个元素,求方程f(x）＝0有两个不相等实根的概率；
(2）若a从区间［0，2］中任取一个数，b从区间[0，3］中任取一个数，求方程f（x）＝0没有实根的概率．
解：(1)∵a取集合{0,1，2,3｝中任一个元素，b取集合｛0，1,2}中任一个元素，
∴a，b的取值的情况有(0,0），（0,1)，(0,2)，（1，0)，(1,1)，（1，2)，(2,0)，（2,1），（2,2），(3，0)，(3，1）,(3，2)．
其中第一个数表示a的取值，第二个数表示b的取值，即基本事件总数为12.
设“方程f(x）＝0有两个不相等的实根”为事件A，
当a≥0,b≥0时，方程f（x）＝0有两个不相等实根的充要条件为a＞b。

C A B M
D 当a ＞b 时,a ，b 取值的情况有（1,0)，(2，0)，(2，1)，（3，0），(3，
1），(3,2），即A 包含的基本事件数为6，
∴方程f (x )＝0有两个不相等实根的概率P (A )＝错误!＝错误!。

(2)∵a 从区间[0，2］中任取一个数，b 从区间［0,3］中任取一个数，则试验的全部结果构成区域Ω＝{(a ,b ）｜0≤a ≤2，0≤b ≤3},这是一个矩形区域，其面积S Ω＝2×3＝6。

设“方程f （x ）＝0没有实根"为事件B ，则事件B 所构成
的区域为M ＝｛（a ,b )|0≤a ≤2，0≤b ≤3，a ＜b ｝，
即图中阴影部分的梯形，其面积S M ＝6－错误!×2×2＝4.
由几何概型的概率计算公式可得方程f （x )＝0没有实根的概率P (B ）＝错误!＝错误!＝错误!。

(三）、与角度有关的几何概型 例1、在圆心角为90°的扇形中，以圆心为起点做射线OC ，求使得AOC ∠和BOC ∠都不小于30°的概率?
分析:此题关键是搞清过O 作射线OC 可以在扇形的任意位
置，而且是等可能的，因此基本事件的发生是等可能的.
解:记事件A 是“做射线OC ，使得AOC ∠和BOC ∠都不小于30°”，
030=∠=∠=∠MON BOM AON ，则符合条件的射线OC 应落在扇形
MON 中,所以.319030)(00==∠∠=的度数的度数AOB MON A P 例2、如图所示，在等腰直角ABC 中，过直角顶点C 在ACB ∠内部做一条射线CM ，与线段AB 交于点M ，求
AM AC <的概率。

分析：当AM AC =时,有
ACM AMC ∠=∠，故欲使AM AC <，应
有ACM AMC ∠<∠,即所作的射线应落在
ACM AMC ∠=∠时ACM ∠的内部。

解析：在AB 上取AD AC =，连接CD ，
A C B
O M N 2
图
则
00
18045
67.5
2
ACD
-
∠==，记“在内部作一条射线CM，与线段AB交
于点M,AM AC
<”为事件A，则
67.53
()
904
P A==，所以，所求概率为
3
4。

点评：本题所求事件的本质是在ACB
∠内部做一条射线CM,所构成的区域是一个“角”域，故应属于几何概型中的角度之比类型；本题极易易
1
2
=-这一错误结果.
例3、在等腰Rt△ABC中，C=900，在直角边BC上任取一点M，求0
30
CAM
∠≤
（四）、与体积有关的几何概型
例1、在5升水中有一个病毒，现从中随机地取出1升水，含有病毒的概率是多大?
分析:病毒在这5升水中的分布可以看作是随机的，取得的1升水可以看作构成事件的区域，5升水可以看作是试验的所有结果构成的区域,因此可以用体积比公式计算其概率.
解:“取出1升水，其中含有病毒”这一事件记作事件A，
则.2.0
5
1
.
)
(=
=
=
所有水的体积
取出的水的体积
A
P
从而所求的概率为0.2.
例2、任取三条不大于a的线段，求这三条线段能够成一个三角形的概率。

思考方法题设的三条线段互不相干，所以可设置三个独立变量。

注意到三条线段构成三角形的充要条件,可推得有立场合的约束条件.由此原题可以解出。

解设三条线段的长分别为x、y、z，则样本空间是
0x a
0y a
0z a
≤≤
⎧
⎪
≤≤
⎨
⎪≤≤
⎩
(1）
有三条线段构成三角形的条件可知，其中的任意两条之和比大于第三条
线段，于是，有利场合的可能情形是x y z y z x z x y +>⎧⎪+>⎨⎪+>⎩（2）
把条件（1）、(2）所限制的区域，在空间直角坐标
系中表示出来，有如图2-3所示。

其中（1）所对应的区域G 是正方体OA 4，(2)所对应
的区域G A 是六面体OA 1A 2A 3A 4，且有
()()3
32333a 1a 1a 112a -3a=a p==322a 2A L G L G ==•••∴ 例3、在区间［0,l]上任取三个实数x 。

y.z,事件A={（x,y,z ）| x 2+y 2+z 2＜1， x ≥0，y ≥0，z ≥0}
(1)构造出随机事件A 对应的几何图形;
（2)利用该图形求事件A 的概率。

思路点拨： 在空间直角坐标系下，要明确x 2+y 2+z 2
＜1表示的几何图形是以原点为球心，半径r=1的球的内
部．事件A 对应的几何图形所在位置是随机的，所以事件
A 的概率只与事件A 对应的几何图形的体积有关,这符合
几何概型的条件．
解：(1）A=｛（x ，y ，z ）｜ x 2+y 2+z 2＜1， x ≥0,y ≥0,z ≥0}表示空间直角坐标系中以原点为球心，半径r=1的球的内部部分中x ≥0,y ≥0，z ≥0的部分，如图所示．
(2)由于x,y,z 属于区间[0，1］，当x=y=z=1时，为正方体的一个顶点，事件A 为球在正方体内的部分．
∴61
13
481)(33ππ=⨯⨯=A P . 方法技巧:本例是利用几何图形的体积比来求解的几何概型,关键要明白点P （x,y,z)的集合所表示的图形．从本例可以看出求试验为几何概型的概率，关键是求得事件所占区域和整个区域Ω的几何度量，然后
A4A3A1A2O 图2-3z
y
x
代入公式即可解，另外要适当选择观察角度.
（五）、会面问题中的概率
例1、 某码头接到通知,甲、乙两艘外轮都会在某天9点到10点之间的某一时刻到达该码头的同一个泊位，早到的外轮要在该泊位停靠20分钟办理完手续后才离开，求两艘外轮至少有一艘在停靠泊位时必须等待的概率。

解析：设事件A 表示两艘外轮至少有一艘在停靠泊位时必须等待，两艘外轮到的时间分别为9点到10点之间的x 分、y 分,则|x —y ｜≤20,0≤
x,y ≤60,即2020()|060060x y A x x y ⎧-≤-≤⎫⎧⎪⎪⎪=≤≤⎨⎨⎬⎪⎪⎪≤≤⎩⎩⎭
，y ，以
9点为原点，建立平面直角坐标系如图所示，事
件A 所对应的区域如图中阴影区域所示：
所以，其概率P(A ）=阴影面积/ABCD 面积=5/9。

小结：“会面”类型常见的载体是两人相约见
面、轮船停靠泊位等,其关键是构建相遇的不等式（组)，借助于线性规划知识，将其面积之比求出，使得问题得以解决。

例2、两人约定在20：00到21：00之间相见,
并且先到者必须等迟到者40分钟方可离去，如果两人出发是各自独立的，在20：00到21：00各时刻相见的可能性是相等的，求两人在约定时间内相见的概率．
思路点拨 两人不论谁先到都要等迟到者40分钟，即32小时．设两人分别于x 时和y 时到达约见地点，要使两人在约定的时间范围内相见，
当且仅当—32≤x-y ≤3
2，因此转化成面积问题，利用几何概型求解． 解 设两人分别于x 时和y 时到达约见地点，要使两人能在约定时间范围内相见，
当且仅当-32≤x —y ≤3
2。

两人到达约见地点所有时刻(x ，y)的各种可能结果
可用图中的单位正方形内(包括边界）的点来表示，两人
能在约定的时间范围内相见的所有时刻(x ，y ）的各种可
能结果可用图中的阴影部分（包括边界）来表示．
因此阴影部分与单位正方形的面积比就反映了两人在约定时间范围内相遇的可能性的大小,也就是所求的概率为 20
-20-20
60
2060x y
A B C D
981)31(12
2=-==单位正方形阴影
S S P . 方法技巧 会面的问题利用数形结合转化成面积问题的几何概型．难点是把两个时间分别用x ，y 两个坐标表示,构成平面内的点（x,y ）,从而把时间是一段长度问题转化为平面图形的二维面积问题,转化成面积型几何概型问题．
（六）、与线性规划有关的几何概型
例1、小明家的晚报在下午5：30~6：30之间的任何一个时间随机地被送到，小明一家在下午6:00～7:00之间的任何一个时间随机地开始晚餐.那么晚报在晚餐开始之前被送到的概率是多少？
分析:该题题意明确,但如何转化为数学模型需要从实际问题中分析出存在的两个变量。

由于晚报送到和晚饭开
始都是随机的，设晚报送到和晚饭开始
的时间分别为y x 、，然后把这两个变量
所满足的条件写成集合的形式，把问题
转化为线性规划问题进行求解.
解：设晚报送到和晚饭开始的时间分别
为y x 、。

用）
，（y x 表示每次试验的结果，则所有可能结果为：
{}76,30:630:5),(≤≤≤≤=Ωy x y x ,
即为图3中正方形ABCD 的面积；记晚报在晚餐开始之前被送到为事件
A ，则事件A 的结果为:{
}y x y x y x A ≤≤≤≤≤=,76,30:630:5),(，即为图2中阴影部分区域。

111=⨯=ABCD S ，8
72121211=⨯⨯-=阴影S . 所以所求概率为：8
7187===
ABCD S S P 阴影
.
b D C B
A O a 1-1
-1
1241a b =4
图故晚报在晚餐开始之前被送到的概率是8
7. 反思：此类问题常会涉及两个随机变量的相互关系，其求解的步骤为：
（1）找设变量.从问题中找出两个随机变量，设为y x ,;
（2）集合表示。

用),(y x 表示每次试验结果，则可用相应的集合分别表
示出全部结果Ω和事件A 所包含的试验结果.一般来说，两个集合都是几个二元一次不等式的交集。

（3）作出区域.把上面的集合所表示的平面区域作出，并求出集合A
,Ω对应的区域的面积.
（4)计算求解.由几何概型公式求出概率.
（七）、与定积分有关的几何概型
例1、在区间]1,1[-上任取两数b a 、，求二次方程02=++b ax x 的两根
都是实根的概率。

分析：可用),(b a 表示试验结果。

求出所有可能结果的面积和方程有实根
的结果的面积,再利用几何概型来解答.
解：用),(b a 表示每次试验结果，则所有可能结果为：
{}11,11),(≤≤-≤≤-=Ωb a b a ,即为图3中正
方形ABCD 的面积;由方程有实根得：
042≥-=∆b a ，则方程有实根的可能结果为{}11,11,04),(2≤≤-≤≤-≥-=b a b a b a A ，即为图4中阴影部分区域.阴影部分面积可用定积分来计算。

所以422=⨯=ABCD S ，61326121212141113211=+=+=⨯+=--⎰a da a S 阴影， D C B A M 5
图
所以
所求概率为：5417.024
134613≈===ABCD S S P 阴影
. （八）、与随机模拟有关的几何概型
例1、如图5，面积为S 的正方形ABCD 中有一个不规则的图形M ,可按下面方法估计M 的面积:在正方形ABCD 中随机投掷n 个点，
若n 个点中有m 个点落入M 中，则M 的面积的估计值为m S n
，假设正方形ABCD 的边长为2，M 的面积为1，并向正方形ABCD
中随机投掷10000个点，以X 表示落入M 中的点的数目．
（I)求X 的均值EX ；
（II)求用以上方法估计M 的面积时，M 的面积的估计值与实际值 之差在区间(0.03)-0.03，内的概率．
附表：1000010000
0()0.250.75k
t t t t P k C -==⨯⨯∑
向问题与n 次独立重复实验的综合题，而且本题有别于常规的面积型概率计算，设计新颖，通过随机模拟来求不规则图形的面积。

解：每个点落入M 中的概率均为4
1==
ABCD M S S P 的面积．依题意知1~100004X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，． （Ⅰ）11000025004
EX =⨯=． （Ⅱ）依题意所求概率为0.03410.0310000X P ⎛⎫-<⨯-< ⎪⎝⎭
， 0.03410.03(24252575)10000X P P X ⎛⎫-<⨯-<=<< ⎪⎝⎭
2574
10000100002426
0.250.75t t t t C -==
⨯⨯∑ 25742425
100001000011000010000242600.250.750.250.75t t t t t t t C C --===⨯⨯-⨯⨯∑∑
0.95700.04230.9147=-=．
例2、利用随机模拟方法计算图中阴影部分(由曲线y= 2x 与x 轴、x=±1围成的部分)面积．
思路点拨 不规则图形的面积
可用随机模拟法计算．
解 （1)利用计算机产生两组
[0,1］上的随机数,a 1=rand
（ ）,b 1=rand （ )．
（2)进行平移和伸缩变
换,a=（a 1—0。

5)＊2，b=b 1*2，得到一组[0,2]上的均匀随机数．
(3）统计试验总次数N 和落在阴影内的点数N 1.
(4)计算频率N N 1,则N
N 1即为落在阴影部分的概率的近似值． (5）利用几何概型公式得出点落在阴影部分的概率4
S P =
(6)因为N N 1=4S ，所以S=N N 14即为阴影部分的面积。

方法技巧 根据几何概型计算公式,概率等于面积之比，如果概率用频率近似在不规则图形外套上一个规则图形，则不规则图形的面积近似等于规则图形面积乘以频率．而频率可以通过随机模拟的方法得到,从而求得不规则图形面积的近似值．
（九）、生活中的几何概型
例1、 某人欲从某车站乘车出差，已知该站发往各站的客车均每小时一班，求此人等车时间不多于10分钟的概率．
分析：假设他在0～60分钟之间任何一个时刻到车站等车是等可能的,但在0到60分钟之间有无穷多个时刻，不能用古典概型公式计算随机事件发生的概率.可以通过几何概型的求概率公式得到事件发生的概率.因为客车每小时一班，他在0到60分钟之间任何一个时刻到站等车是等可能的，所以他在哪个时间段到站等车的概率只与该时间段的长度有关,而与该时间段的位置无关,这符合几何概型的条件。

解:设A={等待的时间不多于10分钟｝,我们所关心的事件A 恰好是到站
31155 D d )(===的测度的测度A P 321510 D d )(===的测度的测度A P 等车的时刻位于［50，60]这一时间段内，因此由几何概型的概率公式,
得P(A ）= 605060-=61,即此人等车时间不多于10分钟的概率为6
1． 例2、某公共汽车站每隔15分钟有一辆汽车到达,乘客到达车站的时刻是任意的，求一个乘客到达车站后候车时间大于10 分钟的概率？ 分析:把时刻抽象为点，时间抽象为线段，故可以用几何概型求解。

解：设上辆车于时刻T1到达，而下一辆车于时刻T2到达，线段T1T2的长度为15,设T 是T1T2上的点，且T1T=5,T2T=10，如图所示： 记候车时间大于10分钟为事件A ，则当乘客到达车站的时刻落在线段T 1T 上时，事件发生,区域D 的测度为15，区域d 的测度为5。

所以
答:侯车时间大于10 分钟的概率是1/3。

例3、假设题设条件不变，求候车时间不超过10分钟的概率.
分析：
例4、某公共汽车站每隔15分钟有一辆汽车到达，并且出发前在车站停靠3分钟。

乘客到达车站的时刻是任意的，求一个乘客到达车站后候车时间大于10 分钟的概率？
分析:设上辆车于时刻T 1到达,而下一辆车于时刻T 0到达，T 2时刻出发。

线段T 1T 2的长度为15，设T 是T 1T 2上的点，且T 0T 2=3，TT 0=10,如图所示:
记候车时间大于10分钟为事件A,则当乘客到达车站的时刻落在线段T 1T
T
T 2
T T 2 T
T 2
上时,事件A 发生，区域D 的测度为15，区域d 的测度为15-3—10=2。

所以
例5、平面上画有一组平行线,其间隔交替为1。

5cm 和10cm ，任意地往平面上投一半径为2cm 的圆，求此圆不与平行线相交的概率.
[思考方法］ 本题的难处，在于题中没有直接指明等可能值参数,为此,需发掘“任意的往平面上投一直径为2cm 的圆”之真实含义，找出具有某种等可能的随机点。

注意到定半径的圆的位置决定于圆心，可以取圆心作随机点,由于平行线可以向两端无限延伸，而往平面上投圆又是任意的，所以只要取这组平行线的某一条垂线就可以了；考虑到题设平行线的间隔交替的为1.5cm 和10cm ，则研究相邻三条平行线之间情况就可以反映问题的全貌。

经上面的分析，我们可以取圆心为随机点,它等可能地分布在相邻三条平行线的某一垂线上（如图1-3）由此原题不难解出。

［解] 设L 1、L 2、L 3是三条相邻的平行线，EPF 是它们之间的垂线（图1—3)，则样本空间所对的区域是线段EF ，有
L(G)=EF=1.5+10=11.5（cm) 注意到L 1与L 2相邻1.5cm ，所以圆心如果落在线段EP 上，那么圆与平行线必定相交。

设半径为2cm 的⊙O 、⊙O 1分别切L 2、L 3于P 、F ，则事件的
有利场合所对应的区域应是线段OO 1有
L(G A )=OO 1=PF-OP —O 1F=10—2-2=6cm 。

6p=0.512711.5
∴≈ 评注 从本题可以看出，如果题中没有直接指明等可能值参数，则解题的关键，在于斟酌题设条件，发掘等可能值参数的含义，找出随机点的分布情况。

例6、《广告法》对插播广告的时间有一定的规定，某人对某台的电视节目做了长期的统计后得出结论，他任意时间打开电视机看该台节目,看不到广告的概率为错误!,那么该台每小时约有________分钟的广告． 解析:60×（1－错误!)＝6分钟．答案：6
例7、甲、乙两人约定在下午4:00～5:00间在
某地相见他们约好当其中一人先到后
图1O 2O 1R Q P E L 3L 2L 1152 D d )(==的测度的测度A P。