数学万花筒(16) 斐波拉契数列简介

1 数学万花筒(16) 斐波拉契数列简介
斐波拉契数列是一个非常美丽、和谐的数列.“斐波那契数列”的发明者——意大利数学家列昂纳多•斐波那契(Leonardo Fibonacci ，公元11701240年).
斐波那契数列指的是这样一个数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34…，这个数列从第三项开始，每一项都等于相邻的前两项之和.它的通项公式为：
])251()215[(5
1n n n a --+=. 很有趣的是：这样一个各项完全是由自然数组成的数列，其通项公式居然是用无理数来表达的.斐波拉契数列之所以闻名，可能还跟美国悬疑作家丹•布朗有关，他在他的小说《达芬奇密码》之中巧妙地运用了该数列.
在我国现行的高中教材中提及了杨辉三角，斐波拉契数列也可在其中寻得踪迹.
★斐波拉契数列的出现
13世纪初，意大利数学家斐波拉契，他写了一本叫做《算盘书》的著作.其中有一个有趣的题目：“如果一对兔子每月能生1对小兔子，而每对小兔在它出生后的第3个月里，又能开始生1对小兔子，假定在不发生死亡的情况下，由1对初生的兔子开始，n 年后能繁殖成多少对兔子？”
斐波拉契把推算得到的头几个数摆成一串：1，1，2，3，5，8，….这串数里隐含着一个规律：从第3个数起，后面的每个数都是它前面相邻的那两个数之和.而根据这个规律，只要作一些简单的加法，就能推算出以后各个月兔子的数目了.
斐氏本人对这个数列并没有再做进一步的探讨.直到十九世纪初才有人详加研究.1960年左右，许多数学家对斐波拉契数列和有关的现象非常感兴趣，不但成立了斐氏学会，还创办了相关刊物，其后各种相关文章也像斐氏的兔子一样迅速地增加.
★斐波拉契数列是广泛存在的
1.多米诺骨牌(可以看作一个2×1大小的方格)完全覆盖一个n×2的棋盘，覆盖的方案数，正 好对应于斐波拉契数列.
2.从蜜蜂的繁殖来看，雄峰只有母亲，没有父亲，因为“蜂后”产的卵，受精的孵化为雌蜂， 未受精的孵化为雄峰.人们在追溯雄峰的祖先时，发现一只雄峰的第n 代祖先的数目刚好就是斐波拉契数列的第n 项a n .
3.钢琴的13个半音阶的排列完全与雄峰第六代的排列情况类似，说明音调也与斐波拉契数 列有关.
4.自然界中一些花朵的花瓣数目符合于斐波拉契数列，也就是说在大多数情况下，一朵花的 花瓣数目是3，5，8，13，21，34，…(有6枚的一定是两个3枚共生；有4枚的可能是 基因突变所引起的).
5.如果一根树枝每年长出一根新枝，而长出的新枝两年以后，每年也长出一根新枝，那么历 年的树枝数，也构成一个斐波拉契数列．
6.斐波拉契数列与黄金分割.经研究发现，相邻两个斐波拉契数的比值是随序号的增加而逐渐趋于黄金分割比的.即→0.618….由于斐波拉契数都是整数，两个整数相除之商是有理数，所以只是逐渐逼近黄金分割比这个无理数.但是当我们继续计算出后面更大的斐波拉契数时，就会发现相邻两数之比确实是非常接近黄金分割比的.
对此有兴趣的朋友，可通过互联网或其它途径查阅更多的相关材料.。