北师大版高一数学必修第一册(2019版)_《指数幂的运算性质》教学设计二

《指数幂的运算性质》教学设计二
教学设计
一、温故知新，引入新课
师：在上一节中我们把指数幂的概念从整数指数幂推广到有理数指数幂，又从有理数指数幂扩充到无理数指数幂，因此指数幂中的指数可以为任意的实数对于整数指数幂的运算性质，对任意实数指数幂适用吗？同学们看教材第78页例1前面的内容，回答这一问题.
学生按教师的要求阅读教材，得出答案. 二、合作探究，新课讲授
整数指数幂的运算性质：（1）m n m n a a a +⋅=；（2）()n
m mn a a =；
（3）()m m m ab a b =，其中a ，b 是正数，m ，n 是正整数对于这些性质，可以将m ，n 推广到实数，也就是说，对于任意正数a ，b 和实数,αβ，实数指数幂均满足下面的运算性质：
（1）a a a αβαβ+⋅=； （2）()
a
a β
ααβ=；
（3）()a ab a b αα=.
设计意图：教材直接将整数指数幂的运算性质拓展到了实数指数幂中，没有给出证明，也没有解释.这里也不要求学生证明这三个运算性质.
这里给出有理数指数幂的运算性质（1）的证明，供教师参考. 求证：r s r s a a a +⋅=（其中0a r s >，，为有理数）. 证明：首先考虑00r s >>，的情况. 由于r ，s 为有理数，所以设,n q
r s m p
=
=，其中m n p q ，，，都是正整数，且m
与n 互素，p 与q 互素，所以q np mq n
r
s
p
mp
mp
m
a a a a a
a
⋅=⋅=⋅=
=
np mq n q
r s mp
m p
a
a
a +++=
===.
对于00r s <<，的情形，可以转化为正分数指数幂的情形进行证明. 三、典型例题 例1 计算：
（1）(
)
1323
2
--⨯；
（2
）233
8-
⨯；
（3）11
1
2
321419--⎛⎫
+- ⎪⎝⎭
.
教师分析第（1）题，和学生一起回顾本节课的学习内容，指出每一步运算的依据.
解：(
)
1323
2
--⨯
1
(2)1
2
22
⨯--=⨯---利用性质()
a
a β
ααβ=
m n
a =
1
122--=⨯--------利用性质()
a
a β
ααβ=
1(1)2-+-=-------利用性质a a a αβαβ+⋅= 21
24
-==
--------利用()a a βααβ= 学生仿照（1）完成（2）（3）.
教师找几名学生的解题过程进行投影展示、点评. （2
）()
223
332333
82
222-
--+⨯=⨯==.
（3）1111122
2112322
13
111413
2321961⎛⎫
⨯----⨯ ⎪--⎝⎭⎛⎫+-=+-=+-=- ⎪⎝⎭
. 设计意图：通过具体的运算，巩固分数指数幂和n 次方根的互相转化，特别是把n 次方根转化为分数指数幂进行运算巩固实数指数幂的运算法则，会通过分析式子的结构特点选择恰当的运算法则进行运算.
例2 计算：
（1
）2
⎝⎭
；（2
）212--⎡
⎤⎢⎥⎣⎦；（3
）(
师生活动：找三名同学到黑板上演示，其他同学自主完成教师可以在这个过程中引导，要想使用指数幂的运算性质求解，首先要转化为什么形式？等学生完成后，教师点评学生的完成情况.
展示解答过程：
（1）2
1112
22
222⨯⨯===⎝⎭.
（2）2
11
(2)22
---⨯-⎡
⎤==⎢⎥⎣⎦
.
（3）((21
24
-===
. 例3 化简（式中的字母均为正实数）： （1）12
2
a a a -⋅⋅；
（2）()1
112
63a a ---⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭
；
（3）(
)
()1
4a
a x
y y α--⋅.
分析：（1）底数是字母a ，由于条件“式中的字母均为正实数”，满足指数幂运算性质的使用条件，直接利用同底数幂的运算法则“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”计算.
（2）根据式子的特征，要先利用法则“幂的乘方，底数不变，指数相乘”，转化为同底数幂相乘，再利用法则“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”计算.
（3）底数中含有两个字母，相同字母结合后利用指数幂的运算性质进行求解.
解：（1）1
11122
2
2
2
a a a a
a -+
-
-⋅⋅==.
（2）()1
1121211
266363
23a a a a a
a ---+--⎛⎫⋅=⋅== ⎪⎝⎭
. （3）(
)
()1
1444x y
y x y x α
α
αα
ααα---⎛⎫⋅=⋅= ⎪⎝⎭
.
师生活动：师生共同分析后，找三名同学到黑板上演示，其他同学自主完成等学生完成后，教师根据学生完成情况点评，也可以找学生进行点评、交流.
设计意图：例3具有一定的综合性，需要综合运用指数幂的运算性质进行求解，目的是巩固同底数幂的运算性质.
例4 已知103,104α
β
==，求2310
,10
,10
,10β
αβ
αβ
α
+--号的值.
师生活动：教师展示题目后，提出问题：这是一个条件求值问题，我们如何
求解这类问题？求解这类问题的关键是什么?
学生思考并回答：求解条件求值问题的关键是建立条件表达式与要求的表达式之间的联系.
师：如何建立条件与结论的联系？利用什么性质？ 生：利用指数幂的运算性质可以把210
,10
,10
αβ
αβ
α
+--，3
10β
用10,10αβ表示.
师：你们能写出解答过程吗？试一下. 学生完成解答.
教师找两名同学的解题过程进行投影展示、点评. 解：1010103412αβαβ+=⨯=⨯=；
10310
1010
104
ααβ
β
β-︒-=⨯==； ()2221
101039
αα---===；
()
11
33
3
1010
4β
β==.
跟踪练习：
已知102,103αβ==，把下面的数写成底数是10的幂的形式：（如
623101010αβαβ+=⨯=⨯=）
（1）
2
3
；（2）8；（3）24；（4
.
例5 已知实数a b α，，，且0,0a b >>，求证：a a b b α
αα⎛⎫
= ⎪⎝⎭
.
师生活动：教师提出问题：如何证明代数恒等式？证明这个等式有几种思路方法？需要运用哪些性质?
学生思考、讨论、交流，形成证明思路，写出证明过程. 思路1：从左向右证
证明：根据指数幂的定义和运算性质，
左边()()11a a a ab a b a b b b α
ααααα
α---⎛⎫===⋅=⋅== ⎪⎝⎭
右边.
思路2：从右向左证
证明：根据指数幂的定义和运算性质，
右边()()11a a a a b a b a b b b α
ααα
ααα---⎛⎫==⋅=⋅=⋅== ⎪⎝⎭
左边.
设计意图：这个例题虽然难度不大，但在解题时，要求学生不仅会运用指数幂的运算性质，而且需要在已知条件的前提下，将式子写成求证中的形式，需要作出正确的恒等变形的方向的判断通过完成此题可以巩固指数幂的运算性质，熟悉等式的证明思路与方法，培养学生严谨的逻辑推理能力.
四、巩固练习
教材第79~80页习题3-2A 组第1，2题. 五、课堂小结
1.指数幂运算性质的拓展. 2指数幂运算性质的应用. 3学习过程中用到的数学思想方法. 板书设计。