“折纸”-----让圆锥曲线教学变得“精彩纷呈”

“折纸”-----让圆锥曲线教学变得“精彩纷呈”
摘要：荷兰数学家弗赖登塔尔曾经反复强调：“学习数学的唯一正确的方法就是
实行‘再创造’，也就是由学生本人把要学的东西自己去发现或者创造出来，教师
的任务是引导学生进行这种再创造的工作，而不是把现成的知识灌输给学生。

”通过折纸活动引导学生探究椭圆、双曲线及抛物线的定义及其内涵，充分体现了新
课标的精神——以学生为主体，吸引学生动手实践、自主探索、合作交流。

关键词：折纸；问题；探究；类比
苏教版教材《选修1-1》第二章第一节是通过平面去截一个圆锥得出圆锥曲线的定义，笔者认为，首先，这种教学情境对空间画图和想象能力要求相当高，学
生很难理解；其次，教师把原本很生动、有趣的知识探索过程给省略了，取而代
之的是把圆锥曲线的概念直接“抛”给学生，这样会让学生觉得索然无味。

考虑到
新教材习题中特别增加了一类“操作题”，这就为学生提供了动手操作的素材，为
学生体验数学知识的创造过程提供了可能，并能极大地提高学生学习数学的兴趣，培养了学生的动手能力、思考能力和创新能力。

为了利用好这一课本资源，同时
降低学生学习圆锥曲线的门槛，这就要求我们在课堂教学中重视学生的动手操作
和观察思考层面的训练，从而加深学生对数学概念内在本质的理解，提升课堂教
学的功效。

下面笔者就如何用课本上的“折纸”操作题引导学生自主探索“椭圆”、“双曲线”简述一下自己的实施过程：
一、当场折纸，激发兴趣
师：同学们经常做物理、化学、生物实验，可是你们做过数学实验吗？
生：没有。

师：那么，今天我们一起来做一个数学实验。

(参照苏教版《选修》P29第6题)
请同学们把课前发给你的印有定圆F1的圆形纸片拿出来，按照以下步骤操作：
第一步：在圆F1 内部任取不同于圆心F1的一点F2(图1)；第二步：在圆F1上任
取一点P1，然后将纸片对折，使得点P1与点F2重合，然后将纸片展开，用铅笔
把折痕:画出来(图2)；第三步：再在圆F1上任取其他点，按照步骤二多操作几次，就可以画出一系列折痕，这些折痕将衬托出一个非常漂亮的图形，大家想知道是
什么图形吗？接下来请同学们自己动手折纸，画出折痕，看谁画的又快又好。

(教师巡视，帮助动手困难的学生，5分钟后，用实物投影展示学生的作品) 师：我们来看看甲同学的作品(图3)，你能看出来这些折痕衬托的是什么图形吗？究竟是什么原因造成了这样的结果？
生：折痕太少。

师：那么我们来看乙同学的作品(图4)，画的非常漂亮，大家能看出折痕衬托
出什么图形了吗？
生：椭圆。

师：乙同学画的图精确吗？怎样才能做到精确无误呢？
生：不精确。

应该取遍圆周上的所有点才会非常精确。

师：说的不错，但是要想取遍圆周上所有的点，这个工作量非常大，远非我们人力所能及，接
下来我们就借助《几何画板》工具，让电脑来帮助我们演示作图(图5)。

二、问题引领，探究本质
师：从电脑作图的结果来看，我们一眼就能看出所有的折痕衬托出的是一个椭圆的形状。

肯定有同学会有这样的疑惑：为什么衬托出的中间的空白部分恰好是一个椭圆呢？为了解决
这个问题，我们不妨研究其中的一条折痕。

我们在圆F1上任取一点P1，然后把折痕L加粗
显示出来(图6)，思考下列问题……
师：折痕L与线段P1F2之间是什么关系？为什么？
生：因为沿着折痕L对折后，点P1与点F2重合，故折痕L是线段P1F2的垂直平分线。

师：线段垂直平分线上的点有什么性质？
生：到线段两端的距离相等。

师：很好，假设折痕L与圆F1的半径F1P1相交于点P，那么你能得出什么结论？
生：PP1=PF2
师：你能否求出PF1+PF2=的值？这个结果有何特点？
生：PF1+PF2=PF1+PP1=F1P1,而F1P1是圆F1的半径，是一个常数。

师：如果我另换一条其他的折痕，这个结果会改变吗？
生：不变。

师：如果在折痕L上除点P外任取一点Q，将QF1+QF2的值与PF1+PF2的值进行比较，
你有何发现？
生：由三角形任意两边之和大于第三边可知：QF1+QF2=QF1+QP1>F1P1
师：非常好，根据QF1+QF2不是定值可知点Q不在椭圆上，即折痕L与椭圆只有一个交
点P，折痕其实是该空白部分椭圆的一条切线，同理，每一条折痕都是该椭圆的切线，这无
数条切线包围住椭圆，也就衬托出了椭圆的轮廓，这就是我们用折纸法折出椭圆的原理所在。

这节课我们就一起来研究椭圆及其标准方程。

（板书课题）我们已经通过折纸实验，体会到
了椭圆的形成过程及原理。

既然点P在椭圆上运动，你能否尝试着概括一下什么是椭圆？
生：平面内，与两个定点F1、F2的距离之和是一个常数的点的轨迹叫椭圆。

师：如果我们把这个常数记为2a，你能用一个数学表达式表示出来吗？
生：PF1+PF2=2a
师：很好，如果我们把定点F1、F2之间的距离记作2c，则2a和2c的大小关系如何？
生：2a>2c。

师：在刚才折纸的第一步中，“在圆F1内部任取不同于圆心F1的一点F2”说明了怎样的
事实？
生：说明F1F2>0，即c>0。

师：我们再来欣赏丙同学和丁同学的作品（图7）。

你能发现这两个椭圆和刚才乙同学
画的椭圆有什么地方不一样？
生：扁平程度不一样。

师：这我就奇怪了。

我发给大家的都是同样大小的圆形纸片，具有相同的圆心和相同的
半径，可是为什么折出来的椭圆扁平程度却不一样？这又是什么原因造成的？
生：是由定点F2的位置不同造成的。

师：非常好，定点F2的位置改变会引起椭圆什么性质的改变呢？这是我们下一节课要研
究的内容。

如果我把圆F1的半径变大，定点F2在圆F1内的位置保持不变，那么折纸得到的椭圆形状又将如何？作为思考题，请同学们课后研讨。

众所周知，解析几何的本质就是以坐
标系为基本工具，用代数的方法去解决几何问题。

为了全面了解椭圆的各种性质，我们还要
来研究椭圆的方程。

那么接下来我们就来推导其标准方程（以下过程略）。

三、类比椭圆，自主探究
师：前面我们通过折纸了解了椭圆的形成过程及其原理，今天我们继续通过折纸来探究
其他的曲线。

(参照苏教版《选修》P42第9题)请同学们把课前发给你的印有定圆F1的白纸
拿出来，按照以下步骤操作：第一步：在圆F1外任取一定点F2(图1)；第二步：在圆F1上
任取一点P1，然后将纸片对折，使得点P1与点F2重合，并且留下一条折痕(图2)；第三步：连接P1和F1，并且延长，交折痕于点M1(图3)；第四步：再在圆F1上任取其他的点，然后
按照步骤步重复次，便可得到一个点列M1、M2、M3、…，这些点列能够连成一个漂亮的曲线。

接下来请同学们迅速动手折纸，画出曲线，看谁画的又快又好。

(教师巡视，帮助动手困难的学生，5分钟后，用实物投影展示学生的作品) 师：甲同学将点列连成的图形是开口向左的一支曲线（图4），乙同学得到的图形是开
口向右的一支曲线（图5），咦，怎么会不同呢？丙同学怎么连成了两支曲线（图6）？丁
同学为什么也连成了两支曲线（图7）？
师：除此以外，还有没有同学连成了其他的图形？全都拿上来，这些不同的图形到底哪
个正准确呢？
生：丙和丁的准确。

师：那么，甲、乙两个同学所代表的这一类图形为什么不够全面呢？我们对比这四个同
学的作图痕迹，发现甲和乙同学在圆F1上取点时，把所取的点都密集在圆F1的一段弧上，
不像丙和丁同学那样在圆F1的四周都取了点。

那么，丙和丁同学的结果是否就不具有片面性？我们知道，对于取点作图问题，取的点越多，作出来的图像就越精确。

但是要想取遍圆周上
所有点，这个工作量太大，我们还是借助于电脑来绘图。

（图8）
类比推导椭圆定义的推导过程，请同学们带着下面一系列问题自主探究：
问题1：折痕与线段P1F1之间是什么关系？
问题2：回忆刚才折纸的过程，思考对于双曲线左支上的任意一点M1（图9）,M1F2-
M1F1的值是多少？该结果有何特点？
问题3：在左支上另取一点，该结果是否会改变？
问题4：如果在右支上任取一点M2，则M2F2-M2F1的值是多少？该结果有何特点？
问题5：那么对于双曲线上任意一点M，则Mf2-Mf1结果有何特点？
问题6：类比椭圆的定义，你能否尝试着双概括一下双曲线的定义？
问题7：如果把这个常数记作2a,你能否用一个数学表达式表示出来？
问题8：如果我们把定点F1、F2之间的距离记作2c，则2a和2c的大小关系如何？（注
意与椭圆的区别）
问题9：我们再来看一下刚才丙和丁同学的作品，虽然他们画的都是两支曲线，但是还
是有细微的差别，你能看出来有什么不一样的地方吗？
问题10：我发给大家的是同样大小的白纸，在相同的地方印有相同大小的圆，可是为什
么折出来的双曲线开口程度却不一样？这是什么原因造成的？
问题11：如果把圆F1的半径变大，定点F2在圆外的位置保持不变，那么折纸得到的双
曲线形状又将如何？
师：通过前面椭圆的学习，我们知道要研究曲线所具有的性质必须通过研究其方程来得到。

请你类比前面推导椭圆标准方程的过程，尝试着推导双曲线的标准方程(以下过程略)。

四、触类旁通，活学活用
新课标的教材编写特别注重知识的系统性，对于抛物线的教学引入也
可以用折纸的背景。

类比前面椭圆和双曲线的推导过程，该探究过程完全可
以放手，让学生去独立完成(参照苏教版《选修》P46第9题)(图10)，将一张长方形纸片ABCD的一只角斜折，使D点总是落在对边AB上，然后展开纸片，得到一条折痕L（为了看
清楚，可以把直线L画出来）．这样继续下去，得到若干折痕．观察这些折痕围成的轮廓，
它们形成何种曲线？(具体实施过程不再赘述)
众所周知，知识来源于实践，数学知识更是如此。

对于某些数学概念，若能由学生亲自
动手操作，通过观察、分析、比较、归纳，进而行成数学概念，这样可以让学生从中体验获
取数学知识的乐趣，养成动手和思考的良好的学习习惯。

因此笔者认为，在平时的课堂教学
中若能适当地让学生自主地去动手操作，再经过教师的引导、点拔和提示，能使学生从被动
地接受教师灌输的状态中解脱出来，充分发挥学生的积极性、主动性，使所获得的知识更加
深刻和牢固，并对养成学生的动手能力、对知识的探索拓展、独立思考能力等都大有裨益。

参考文献：
[1]弗赖登塔尔著.陈昌平译.作为教育任务的数学[M].上海：上海教育出版社，1995.
[2]尹成江.新课程理念下的“再创造”活动探讨[J].数学通报，2004(8).
作者单位：江苏省溧阳市光华高级中学
邮政编码：213300。