自由电子论2
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2 2
自由电子系统的克分子热容为：
2 k BT 2 T u Ce N A N Ak B 0 N Ak B T V 2 EF 2 TF
即便是在较高温度下，T<<TF，所以：Ce<<CV。
~1%
但在极低温度下，晶格热容下降很快，电子热容反而会 3 显著起来。 T 12 4 3 CV N Ak B bT （见3.3节）
其中
df I0 Q EF dE Q E F dE
df I1 Q E F E E F dE dE
E EF 令x k BT
Q EF
3
U
0
E N ( E ) f ( E )d E C
0
E2 E EF 1 ex p k BT
dE
F j ( y0 )
0
y dy 1 + e x p (y-y 0 )
( y0 ) 2
y0 1
j
F j ( y 0 ) ( j 1) e x p ( y 0 )
2
5 2 2
E F k BT
2( E F ) 5 k BT 5 k BT 1 1 0 5 24 E F 8 EF
0 2
2( E F ) 5 k BT 1 0 5 12 E F
2 T T 12 4 N Ak B N Ak B 5 TD 2 TF 3
可确定出此时的温度：
Tc 5T D
2 3
2 4 T F
见：Blakemore 书p179
对于简单金属， TD ~ 102 K， TF ~ 104 K，估算出TC ~ 1 K的 数量级。所以，在很低温度下， 电子热容量与晶格热容量同数 量级，这时，电子热容量就不 可忽略。
N EF
2
Байду номын сангаас
N EF
0
U0
2
6
k BT
N
2
N EF
2
0
0
3N 2EF
0
U0
0 EF
2
k BT
EF
0
4
这里
U0
0
E N E dE
为T=0时自由电子系统的总能量
第二项为T > 0时，由于热激发自由电子系统从外界所获得 的能量。
附录：T>0 时，系统能量的计算，方法二： （共2页）
E
lim e
E
Q E 0
，其中α为大于0的常数。在
kBT << EF的情况下，有
I
0
f E Q E dE Q E F
2
6
k BT
2
Q E F
其中
f E
1 E EF e xp 1 k BT
关于EF0是对称的。但是， 由于电子的能态密度N(E) 随E的增加而增大，即EF0 以上的N(E)大于以下的 N(E) ，因此，若 EF0 上、 下电子能态占有率的增加、 减少相同，则 EF0以上要 多填一些电子。因此，若 保持 EF = EF0 ，那么系统 的电子数就要增加，但实 际上系统的电子数是一定 的，因此，EF必须略低于 EF0 。
2
2
6
k BT
Q E F
1
1 2
2
1 3
2
1 4
2
2
12
f E Q E dE
0
Q EF
2
6
k BT
2
Q E F
Sommerfeld展开式的应用 1. EF的确定
N
0 EF
f
E N E dE
2 kF 2m
N (EF )
0
3 n 2 EF
0
这也是一个十分有用的、应当记忆的参数。
5.3 金属的热容和顺磁磁化率
一. 自由电子的热容 二. 自由电子的顺磁磁化率
参考：黄昆 书p282-286,p395-399 Kittel 8版6.4节；11.6节
5.1 节中提到：室温下几乎观测不到经典理论预言的自 由电子对热容的贡献，因此索末菲自由电子理论能否正确地 解释金属热容和顺磁磁化率随温度的变化关系，克服经典电 子论的这个困难是它是否成功的考验。
U
0
E f ( E ) N ( E )d E C E
0
3 2
f ( E )d E
0
2 2 C E f ( E )d E 5
5
'
仍利用分部积分和函数 f(E) 的特点求解，可得：
5 2 k BT U U 0 1 0 12 EF
k BT
xdx
e
x
1 e
x
1
0
I2 1 2
Q E F
E
EF
2
df dE dE
x dx
2
1 Q E F 2
k BT
2
e 1 e
x
x
x
1
2
Q E N E
0
N E dE
6
EF
k BT
2
N EF
N E CE
1 2
0 EF
0
N E dE
0 EF
N E dE
2
6
k BT
2
1 1 CEF 2 2
N N N EF
0 2 2
5
U
EF
5
0
2
5 2
5 k BT 2m 2 1 0 12 E F
2 2
3
2 2 2 n k B T U 0 0 4EF
T E F / kB
0
补充：费米面处态密度的推导：
5 TD
Ce T
所以极低温度下，应有： C C e C V T bT
3
实验完全证实了这个关系，测出的 和 b 值都成了 标识材料性质的量。
热容温度关系图
3NkB
Tc
TD
金属极低温下热容的变化曲线：存在一个临界温度，此温度 以下，电子热容反而变得比 晶格热容更大些。 当Ce=CV时，有：
3 3
N (EF ) C
0
EF
0
1 2m 2 0 EF 2 2 2
2
1 2
1 2
2
2m 2 k F 2 2m
k F 3 n 3
2 1
1 m
2
2
kF
1 m
2
kF
n kF 3
3 2
3
n
2 2
1 k BT 1 exp E EF k T B 1 exp E EF k BT 1
E EF exp k BT
df 函数 的 特 点 ： dE
其实从5.2节的描述中已经定性地看到了结果，自由电子 服从费米-狄拉克分布，只有位于费米面附近的少数电子才能 受到 kBT 的热激发，对热容有贡献，其它大部分电子是不能 被激发参与热容贡献的，这就改正了经典理论全部电子都参 与贡献的错误判断。
一. 电子热容量：
5.2 中我们曾讨论了T>0K时电子的分布，此时的能量为：
(-df/dE)是（E－EF）的偶函数； (-df/dE)的值集中在 E－EF kBT的一小范围内，当 E－EF > 几个 kBT时，函数的值迅速趋于0，具有 类似于函数的性质。 因此，积分的贡献主要来自E ~ EF附近的区域，由于 EF >> kBT，所以，我们可以将积分的下限由0改为-∞， 而并不会影响积分值。
E N E dE
6
2
k BT
2
C E 2
3
1 2
F
U 0 EF N EF
0
0
E
F
EF
0
4
k BT
2
N EF
0
0 U U 0 N EF k BT 12
2
2
4
2
k BT
0
E
F
EF
0
2
12
k BT
2
N EF EF
0
0
2
EF
2 2 k BT T 0 0 E F 1 E F 1 0 12 E F 12 TF 2
2 j ( j 1) F j ( y0 ) 1 2 ( j 1) 6 y0
y0
j 1
3
5
0
E
2
E - EF 1 + ex p k BT
dE
2E 5
2 F
5 k BT 1 8 EF
df I Q E dE dE
由于(-df/dE)的值集中在E=EF附近，因此，可将Q(E) 在E=EF附近展开成Taylor级数。
Q E Q E F Q E F E E F 1 Q E F 2!
面对称的这两个区域的电子对电流的贡献相互抵消只有在费米面附近未被补偿部分的电子才对传导电流有贡献这部分电子所占的分数为1410根据这一模型对传导电流有贡献的电子数目虽然少但其运动速度很快其结果与高浓度但低漂移速度的电子对电流的贡献相同
补充：5.2节中详细计算：仅供参考
Sommerfeld展开式 设函数Q(E)在（-，+）上连续可微，Q(0)＝0 ，并且 满足条件
2. T > 0 K时自由电子系统的总能量的计算：
U
Ef E N E dE
0
Q E EN E
2
EF
0
0 EF
E N E dE
EF
6
k BT
2
d dE
EN E EF
2
0
EN E dE
0 EF
2
0 由于正常情况下 E F k B T
所以能量随温度的增加很小。
平均到每个电子的能量为：
5 2 k BT 3 0 5 2 k BT u u 0 1 0 E F 1 0 12 12 EF 5 EF
为F－D分布函数
证明：
I
f E Q E dE
0
df Q E dE dE 0
分步积分 考察：
1 df 2 k BT dE E EF exp 1 k BT
k BT
2
Q E F
0
x e
2
dx
2
e
x
1
利用Taylor展开式：
1
n
1 n
n n 1
2!
2
n n 1 n 2
3!
3
I 2 k BT
E
EF
2
df I Q EF dE dE
df Q E F E E F dE dE
1 Q E F 2
E
EF
2
df dE dE
对于金属，由于TF >> T，所以EF EF0 。我们可以定性 地分析为什么EF会略低于EF0 。当T > 0时，由于TF >> T，所 以电子的分布函数只在费米能附近几个kBT的范围内有变化， 而离费米能较远处电子的分布与T=0时相同。在有限温度下， EF0以下能态的占有几率减小，而EF0以上能态的占有几率增 大，可以认为， EF0上下电子占有几率的增大和减小
2
2
Q E F
x 2 e x 1 2 e x
0
3e
2 x
4e
3 x
d x
k BT
1 1 1 Q E F 2 ! 1 2 2 2 2 3 4
自由电子系统的克分子热容为：
2 k BT 2 T u Ce N A N Ak B 0 N Ak B T V 2 EF 2 TF
即便是在较高温度下，T<<TF，所以：Ce<<CV。
~1%
但在极低温度下，晶格热容下降很快，电子热容反而会 3 显著起来。 T 12 4 3 CV N Ak B bT （见3.3节）
其中
df I0 Q EF dE Q E F dE
df I1 Q E F E E F dE dE
E EF 令x k BT
Q EF
3
U
0
E N ( E ) f ( E )d E C
0
E2 E EF 1 ex p k BT
dE
F j ( y0 )
0
y dy 1 + e x p (y-y 0 )
( y0 ) 2
y0 1
j
F j ( y 0 ) ( j 1) e x p ( y 0 )
2
5 2 2
E F k BT
2( E F ) 5 k BT 5 k BT 1 1 0 5 24 E F 8 EF
0 2
2( E F ) 5 k BT 1 0 5 12 E F
2 T T 12 4 N Ak B N Ak B 5 TD 2 TF 3
可确定出此时的温度：
Tc 5T D
2 3
2 4 T F
见：Blakemore 书p179
对于简单金属， TD ~ 102 K， TF ~ 104 K，估算出TC ~ 1 K的 数量级。所以，在很低温度下， 电子热容量与晶格热容量同数 量级，这时，电子热容量就不 可忽略。
N EF
2
Байду номын сангаас
N EF
0
U0
2
6
k BT
N
2
N EF
2
0
0
3N 2EF
0
U0
0 EF
2
k BT
EF
0
4
这里
U0
0
E N E dE
为T=0时自由电子系统的总能量
第二项为T > 0时，由于热激发自由电子系统从外界所获得 的能量。
附录：T>0 时，系统能量的计算，方法二： （共2页）
E
lim e
E
Q E 0
，其中α为大于0的常数。在
kBT << EF的情况下，有
I
0
f E Q E dE Q E F
2
6
k BT
2
Q E F
其中
f E
1 E EF e xp 1 k BT
关于EF0是对称的。但是， 由于电子的能态密度N(E) 随E的增加而增大，即EF0 以上的N(E)大于以下的 N(E) ，因此，若 EF0 上、 下电子能态占有率的增加、 减少相同，则 EF0以上要 多填一些电子。因此，若 保持 EF = EF0 ，那么系统 的电子数就要增加，但实 际上系统的电子数是一定 的，因此，EF必须略低于 EF0 。
2
2
6
k BT
Q E F
1
1 2
2
1 3
2
1 4
2
2
12
f E Q E dE
0
Q EF
2
6
k BT
2
Q E F
Sommerfeld展开式的应用 1. EF的确定
N
0 EF
f
E N E dE
2 kF 2m
N (EF )
0
3 n 2 EF
0
这也是一个十分有用的、应当记忆的参数。
5.3 金属的热容和顺磁磁化率
一. 自由电子的热容 二. 自由电子的顺磁磁化率
参考：黄昆 书p282-286,p395-399 Kittel 8版6.4节；11.6节
5.1 节中提到：室温下几乎观测不到经典理论预言的自 由电子对热容的贡献，因此索末菲自由电子理论能否正确地 解释金属热容和顺磁磁化率随温度的变化关系，克服经典电 子论的这个困难是它是否成功的考验。
U
0
E f ( E ) N ( E )d E C E
0
3 2
f ( E )d E
0
2 2 C E f ( E )d E 5
5
'
仍利用分部积分和函数 f(E) 的特点求解，可得：
5 2 k BT U U 0 1 0 12 EF
k BT
xdx
e
x
1 e
x
1
0
I2 1 2
Q E F
E
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2
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k BT
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e 1 e
x
x
x
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2
Q E N E
0
N E dE
6
EF
k BT
2
N EF
N E CE
1 2
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0
N E dE
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k BT
2
1 1 CEF 2 2
N N N EF
0 2 2
5
U
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2
5 2
5 k BT 2m 2 1 0 12 E F
2 2
3
2 2 2 n k B T U 0 0 4EF
T E F / kB
0
补充：费米面处态密度的推导：
5 TD
Ce T
所以极低温度下，应有： C C e C V T bT
3
实验完全证实了这个关系，测出的 和 b 值都成了 标识材料性质的量。
热容温度关系图
3NkB
Tc
TD
金属极低温下热容的变化曲线：存在一个临界温度，此温度 以下，电子热容反而变得比 晶格热容更大些。 当Ce=CV时，有：
3 3
N (EF ) C
0
EF
0
1 2m 2 0 EF 2 2 2
2
1 2
1 2
2
2m 2 k F 2 2m
k F 3 n 3
2 1
1 m
2
2
kF
1 m
2
kF
n kF 3
3 2
3
n
2 2
1 k BT 1 exp E EF k T B 1 exp E EF k BT 1
E EF exp k BT
df 函数 的 特 点 ： dE
其实从5.2节的描述中已经定性地看到了结果，自由电子 服从费米-狄拉克分布，只有位于费米面附近的少数电子才能 受到 kBT 的热激发，对热容有贡献，其它大部分电子是不能 被激发参与热容贡献的，这就改正了经典理论全部电子都参 与贡献的错误判断。
一. 电子热容量：
5.2 中我们曾讨论了T>0K时电子的分布，此时的能量为：
(-df/dE)是（E－EF）的偶函数； (-df/dE)的值集中在 E－EF kBT的一小范围内，当 E－EF > 几个 kBT时，函数的值迅速趋于0，具有 类似于函数的性质。 因此，积分的贡献主要来自E ~ EF附近的区域，由于 EF >> kBT，所以，我们可以将积分的下限由0改为-∞， 而并不会影响积分值。
E N E dE
6
2
k BT
2
C E 2
3
1 2
F
U 0 EF N EF
0
0
E
F
EF
0
4
k BT
2
N EF
0
0 U U 0 N EF k BT 12
2
2
4
2
k BT
0
E
F
EF
0
2
12
k BT
2
N EF EF
0
0
2
EF
2 2 k BT T 0 0 E F 1 E F 1 0 12 E F 12 TF 2
2 j ( j 1) F j ( y0 ) 1 2 ( j 1) 6 y0
y0
j 1
3
5
0
E
2
E - EF 1 + ex p k BT
dE
2E 5
2 F
5 k BT 1 8 EF
df I Q E dE dE
由于(-df/dE)的值集中在E=EF附近，因此，可将Q(E) 在E=EF附近展开成Taylor级数。
Q E Q E F Q E F E E F 1 Q E F 2!
面对称的这两个区域的电子对电流的贡献相互抵消只有在费米面附近未被补偿部分的电子才对传导电流有贡献这部分电子所占的分数为1410根据这一模型对传导电流有贡献的电子数目虽然少但其运动速度很快其结果与高浓度但低漂移速度的电子对电流的贡献相同
补充：5.2节中详细计算：仅供参考
Sommerfeld展开式 设函数Q(E)在（-，+）上连续可微，Q(0)＝0 ，并且 满足条件
2. T > 0 K时自由电子系统的总能量的计算：
U
Ef E N E dE
0
Q E EN E
2
EF
0
0 EF
E N E dE
EF
6
k BT
2
d dE
EN E EF
2
0
EN E dE
0 EF
2
0 由于正常情况下 E F k B T
所以能量随温度的增加很小。
平均到每个电子的能量为：
5 2 k BT 3 0 5 2 k BT u u 0 1 0 E F 1 0 12 12 EF 5 EF
为F－D分布函数
证明：
I
f E Q E dE
0
df Q E dE dE 0
分步积分 考察：
1 df 2 k BT dE E EF exp 1 k BT
k BT
2
Q E F
0
x e
2
dx
2
e
x
1
利用Taylor展开式：
1
n
1 n
n n 1
2!
2
n n 1 n 2
3!
3
I 2 k BT
E
EF
2
df I Q EF dE dE
df Q E F E E F dE dE
1 Q E F 2
E
EF
2
df dE dE
对于金属，由于TF >> T，所以EF EF0 。我们可以定性 地分析为什么EF会略低于EF0 。当T > 0时，由于TF >> T，所 以电子的分布函数只在费米能附近几个kBT的范围内有变化， 而离费米能较远处电子的分布与T=0时相同。在有限温度下， EF0以下能态的占有几率减小，而EF0以上能态的占有几率增 大，可以认为， EF0上下电子占有几率的增大和减小
2
2
Q E F
x 2 e x 1 2 e x
0
3e
2 x
4e
3 x
d x
k BT
1 1 1 Q E F 2 ! 1 2 2 2 2 3 4