2019-2020学年广东省揭阳市普宁市高一上学期期末数学试题(解析版)

2019-2020学年广东省揭阳市普宁市高一上学期期
末数学试题
一、单选题
1．如果全集U =R ,{}|24A x x =<≤,{}3,4B =,则()
U A B =I ð( ) A ．()()2,33,4U B ．(]2,3
C ．()(]2,33,4U
D ．(]2,4
【答案】A
【解析】根据题意,先确定U B ð的范围,再求出()
U A B ∩ð即可. 【详解】
{}3,4U B x x x =≠≠Q ð,
()(2,3)(3,4)U A B ∴=I U ð,
故选:A.
本题考查集合的运算,属于简单题.
2．下列函数中，既是偶函数又在(0,)+∞上是单调递增的函数是（ ） A ．2
1
y x =
B ．lg ||y x =
C ．1y x x
=-
D ．2
x
y -=
【答案】B
【解析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系，即可得到结论． 【详解】
根据函数奇偶性和单调性，
A ，（0，+∞）上是单调递减，错误
B ，偶函数，（0，+∞）上是递增，正确．
C ，奇函数，错误，
D ，x ＞0时，（0，+∞）上是函数递减，错误，
故选：B ．
根据函数奇偶性和单调性之间的关系是解决本题的关键 3．已知直线l 的方程为1y x =+，则该直线l 的倾斜角为（ ） A ．30o B ．45o
C ．60o
D ．135o
【答案】B
【解析】试题分析：直线的斜率，其倾斜角为．
【考点】直线的倾斜角．
4．已知,m n 是两条不同直线，,,αβγ是三个不同平面，下列命题中正确的是（ ）
A ．若,,m n αα‖‖则m n ‖
B ．若,,αγβγ⊥⊥则α
β‖ C ．若,,m
m αβ‖‖则αβ‖ D ．若,,m n αα⊥⊥则m n ‖
【答案】D 【解析】【详解】
A 项，,m n 可能相交或异面,当时，存在，，故A 项错误；
B 项，αβ，可能相交或垂直,当 时，存在，，故B 项错误；
C 项，αβ，可能相交或垂直,当
时，存在
，
，故C 项错误；
D 项，垂直于同一平面的两条直线相互平行，故D 项正确,故选D. 本题主要考查的是对线，面关系的理解以及对空间的想象能力.
【考点】直线与平面、平面与平面平行的判定与性质；直线与平面、平面与平面垂直的判定与性质.
5．用二分法求函数()()ln 2623x
f x x =++-零点时,用计算器得到下表：
x
1.00 1.25 1.375 1.50 ()f x
1.0794
0.1918
-0.3604
-0.9989
则由表中数据,可得到函数的一个零点的近似值（精确度为0.1）为( ) A ．1.125 B ．1.3125
C ．1.4375
D ．1.46875
【答案】B
【解析】根据二分法的思想,确定函数零点所在区间,并确保精确度为0.1即可. 【详解】
根据二分法的思想,因为(1.25)(1.50)0f f ⋅<, 故()f x 的零点在区间(1.25,1.50)内,
但区间(1.25,1.50)的长度为0.250.1>,不满足题意,
因而取区间(1.25,1.50)的中点1.375, 由表格知(1.25)(1.375)0f f ⋅<, 故()f x 的零点在区间(1.25,1.375)内,
但区间(1.25,1.375)的长度为0.1250.1>,不满足题意, 因而取区间(1.25,1.375)的中点1.3125,
可知区间(1.25,1.3125)和(1.3125,1.375)中必有一个存在()f x 的零点, 而区间长度为0.06250.1<, 因此1.3125是一个近似解, 故选:B.
本题考查二分法求零点问题,注意满足题意的区间要满足两个条件:①区间端点的函数值要异号;②区间长度要小于精确度0.1.
6．在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB BC ==，11AA =，则直线1BC 与平面
11BB DD 所成角的正弦值为（ ）
A ．
63
B ．
102
C ．
155
D ．
105
【答案】D
【解析】由题意，由于图形中已经出现了两两垂直的三条直线,所以可以利用空间向量的方法求解直线与平面所成的夹角． 【详解】
解：以D 点为坐标原点，以1,,DA DC DD 所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，
则1(2,0,0),(2,2,0),(0,2,0),A B C C (0,2,1),
1(2,0,1),(2,2,0),BC AC AC ∴=-=-u u u u r u u u r u u u r
为平面11BB D D 的一个法向量． 110
cos ,558
BC AC ∴<>=
=⋅u u u u r u u u r
． ∴直线1BC 与平面11BB DD 所成角的正弦值为10
5
. 故选：D ．
此题重点考查了利用空间向量，抓住直线与平面所成的角与该直线的方向向量与平面的法向量的夹角之间的关系,利用向量方法解决立体几何问题．
7．圆1C ：()2211x y -+=与圆2C ：()2
224x y +-=的位置关系是( ) A ．相交 B ．相离 C ．外切 D ．内切
【答案】A
【解析】求出两圆的圆心和半径,用圆心距与半径和､差作比较,得出结论. 【详解】
圆1C 的圆心为(1,0),半径为1, 圆2C 的圆心为(0,2),半径为2,
故两圆圆心距为5,两半径之和为3,两半径之差为1, 其中153<<,故两圆相交,
故选:A.
本题主要考查两圆的位置关系,需要学生熟悉两圆位置的五种情形及其判定方法,属于基础题.
8．已知lg lg 0a b +=，则函数()x f x a =与函数1()log b
g x x =的图象可能是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】B
【解析】条件化为1ab =，然后由()f x 的图象 确定,a b 范围，再确定()g x 是否相符． 【详解】
lg lg 0,lg 0a b ab +=∴=Q ，即1ab =.
∵函数()f x 为指数函数且()f x 的定义域为R ，函数()g x 为对数函数且()g x 的定义域为()0,∞+，A 中，没有函数的定义域为()0,∞+，∴A 错误；B 中，由图象知指数函数()f x 单调递增，即1a >，()g x 单调递增，即01b <<，ab 可能为1，∴B 正确；C 中，由图象知指数函数()f x 单调递减，即01a <<，()g x 单调递增，即01b <<，
ab 不可能为1，∴C 错误；D 中，由图象知指数函数()f x 单调递增，即1a >，()g x 单
调递减，即1b >，ab 不可能为1，∴D 错误． 故选：B.
本题考查指数函数与对数函数的图象与性质，确定这两个的图象与性质是解题关键． 9．若直线:30l x y n -+=与圆2
2
240x y x y ++-=交于,A B 两点，,A B 关于直线
30x y m ++=对称，则实数m 的值为（ ）
A ．1
B ．1-
C ．3-
D ．3
【答案】A
【解析】由题意，得直线30x y m ++=是线段AB 的中垂线，则其必过圆
22240x y x y ++-=的圆心，将圆心代入直线30x y m ++=，即可得本题答案．
【详解】
解：由题意，得直线30x y m ++=是线段AB 的中垂线， 所以直线30x y m ++=过圆2
2
240x y x y ++-=的圆心， 圆2
2
240x y x y ++-=的圆心为()1,2-，
()3120m ∴⨯-++=，解得1m =.
故选：A.
本题给出直线与圆相交，且两个交点关于已知直线对称，求参数m 的值．着重考查了直线与圆的位置关系等知识，属于基础题.
10．(南昌高三文科数学(模拟一)第9题) 我国古代数学名著《九章算术》中有如下问题：今有甲乙丙三人持钱，甲语乙丙：各将公等所持钱，半以益我，钱成九十（意思是把你们两个手上的钱各分我一半，我手上就有90钱）；乙复语甲丙,各将公等所持钱，半以益我，钱成七十；丙复语甲乙：各将公等所持钱，半以益我，钱成五十六，则乙手上有（ ）钱． A ．28 B ．32
C ．56
D ．70
【答案】B
【解析】设甲乙丙各有,,x y z 钱，则有90,70,56,222222
y z x z x y
x y z ++=++=++=解得72,32,4x y z ===，选B.
11．已知H 是球O 的直径AB 上一点,:1:2AH HB =,AB ⊥平面α,H 为垂足,α截球O 所得截面的面积为π,则球O 的表面积为( ) A ．5
2
π B ．72
π
C ．92
π
D ．
112
π 【答案】C
【解析】设球O 的半径为R ,根据题意知球心到平面α的距离1
3
OH R =
,α截球O 所得截面圆的半径为1,由OH ,截面圆半径,球半径构成直角三角形,利用勾股定理,即可求出球半径R ,进而求出球的表面积. 【详解】
如图所示,设球O 的半径为R ,
因为:1:2AH HB =,所以21,33
AH R OH R =
=, 又因为α截球O 所得截面的面积为π,所以1CH =,
在Rt OCH V 中,有222CH OH OC +=,即22
1
1()3
R R +=, 所以2
9=8R ,故球的表面积2
94=2
S R ππ=, 故选:C.
本题主要考查球的基本应用,答题关键点在于明确球心到截面的距离,截面圆半径,球半径三者可构成直角三角形,进而满足勾股定理.
12．函数()f x 的定义域为D ，若满足；（1）()f x 在D 内是单调函数；（2）存在[],a b D ⊆，
()a b <使得()f x 在[],a b 上的值域也是[],a b ，则称()y f x =为闭函数；若
()f x k x =k 的取值范围是（ ）
A ．1,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭
B ．1,2⎡⎫
-+∞⎪⎢⎣⎭
C ．1,04⎛⎤
- ⎥⎝⎦
D ．11,24⎡⎫--⎪⎢⎣⎭
【答案】C
【解析】先判定函数()f x 的单调性,然后根据条件建立方程组,转化为使方程
20x x k --=有两个相异的非负实根,最后建立关于k 的不等式,解之即可.
【详解】
因为函数()f x k x =+
是单调递增函数,
所以()()f a a f b b =⎧⎨=⎩
,即()f x x =有两个相异非负实根,
所以20x x k -=有两个相异非负实根,
令t x =
,所以20t t k --=有两个相异非负实根,
令2
()g t t t k =--,
则(0)014()0
g k ≥⎧⎨-⨯->⎩,解得1(,0]4k ∈-.
故选C .
本题考查了函数与方程,二次方程实根的分布,转化法,属于中档题.
二、填空题
13．若函数()f x 的定义域为[－2，2]，则函数(32)f x -的定义域为 ______． 【答案】15,22
⎡⎤⎢⎥⎣⎦
【解析】∵函数()f x 的定义域为[－2，2] ∴2322x -≤-≤，∴
15
x 22
≤≤ ∴函数()32f x -的定义域为15,22
⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
14．直线13kx y k -+=,当k 变动时,所有直线都通过定点______. 【答案】(3,1)
【解析】将直线方程变形为(3)1k x y -=-,得到30
10
x y -=⎧⎨-=⎩,解出,x y ,即可得到定点
坐标. 【详解】
由13kx y k -+=,得(3)1k x y -=-,
对于任意k ∈R ,式子恒成立,则有30
10x y -=⎧⎨-=⎩
,
解出3,1x y ==, 故答案为:(3,1).
本题考查直线过定点问题,直线111222()0k A x B y C A x B y C +++++=一定过两直线1110A x B y C ++=､2220A x B y C ++=的交点.
15．已知函数()log (2)a f x x a =-在区间12,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦
，上恒有()0f x >则实数a 的取值范围
是_____. 【答案】1,13⎛⎫
⎪⎝⎭
【解析】根据对数函数的图象和性质可得，函数f （x ）＝log a （2x ﹣a ）在区间[12
,
23
]上恒有f （x ）＞0，即01021a x a <<⎧⎨<-<⎩，或1
21a x a >⎧⎨->⎩
，分别解不等式组，可得答案．
【详解】
若函数f （x ）＝log a （2x ﹣a ）在区间[12
,
23
]上恒有f （x ）＞0， 则01021a x a <<⎧⎨
<-<⎩，或1
21
a x a >⎧⎨->⎩
当01021a x a <<⎧⎨<-<⎩时，解得13＜a ＜1，当121a x a >⎧⎨->⎩
时，不等式无解.
综上实数a 的取值范围是（1
3
，1） 故答案为（
1
3
，1）． 本题考查的知识点是复合函数的单调性，及不等式的解法，其中根据对数函数的图象和性质构造不等式组是解答的关键，属于中档题．
16．已知圆O ：2
2
1x y +=,P 为圆O 上一点,()1,2A 、()3,2B -、()4,0C ,则
222
PA PB PC ++的最大值为______.
【答案】53
【解析】设(,)P x y ,则2
2
1x y +=,从而求出222
PA PB PC ++1637x =-+,再根据x 的取值范围,求出式子的最大值. 【详解】 设(,)P x y ,
因为P 为圆O 上一点,则2
2
1x y +=,且[]1,1x ∈-,
则222
222222(1)(2)(3)(2)(4)PA PB PC x y x y x y ++=-+-+-+++-+
22331634x y x =+-+
1637x =-+
53≤(当且仅当1x =-时取得最大值),
故答案为:53.
本题属于圆与距离的应用问题,主要考查代数式的最值求法.解决此类问题一是要将题设条件转化为相应代数式;二是要确定代数式中变量的取值范围.
三、解答题
17．已知点()2,2A -,直线1l ：3420x y+=-. （Ⅰ）求过点A 且与直线1l 垂直的直线方程；
（Ⅱ）直线2l 为过点A 且和直线1l 平行的直线,求平行直线1l ,2l 的距离. 【答案】（Ⅰ）4320x y ++=；（Ⅱ）12
5
. 【解析】(Ⅰ)由题知直线1l 的斜率为
34
,则所求直线的斜率为4
3-,设方程为
4
3y x b =-+,代点()2,2A -入直线方程,解得23
b =-,即可得直线方程;
(Ⅱ)因为直线2l 过点A 且与直线1l 平行,所以两平行线之间的距离等于点A 到直线1l 的距离,故而求出A 到直线1l 的距离即可. 【详解】
(Ⅰ)由题知,直线1l 的斜率为34
,则所求直线的斜率为4
3-,
设所求直线方程为4
3y x b =-
+,代点()2,2A -入直线方程,解得23b =-, 故所求直线方程为42
33
y x =--,即4320x y ++=;
(Ⅱ)因为直线2l 过点A 且与直线1l 平行,
所以直线1l ,2l 之间的距离等于点A 到直线1l 的距离,
由题知点A 且到直线1l 的距离12
5
d ==
所以两平行线1l ,2l 之间的距离为
125
. 本题考查了利用直线间的垂直平行关系求直线方程,以及相关距离的应用,要求学生对相关知识熟练掌握,属于简单题. 18．已知()2
4
x
f x x =
+,()2,2x ∈-. （Ⅰ）求证：函数()f x 在()2,2-上是增函数；
（Ⅱ）若()()2120f a f a ++->,求实数a 的取值范围.
【答案】（Ⅰ）答案见详解;（Ⅱ）1(0)2
-，
. 【解析】(Ⅰ)利用定义法证明函数单调性;
(Ⅱ)判断函数()f x 奇偶性,并结合()f x 的单调性将不等式()()2120f a f a ++->转化为不等式组,求出实数a 的取值范围. 【详解】
(Ⅰ)任取1222x x -<<<, 则12122212()()44
x x f x f x x x -=-++ 2212212212(4)(4)(4)(4)
x x x x x x +-+=++ 12212212(4)()(4)(4)
x x x x x x --=++ 12122122,40,0x x x x x x -<<<∴-<->Q ,
12()()0f x f x ∴-<,即12()()f x f x <,
所以函数()f x 在()2,2-上是增函数;
(Ⅱ)因为函数()f x 定义域为()2,2x ∈-,关于原点对称,
又()22()()44
x x f x f x x x --==-=--++, 所以函数()f x 为奇函数,
又()()2120f a f a ++->,
即()()212f a f a +>--,即()()221f a f a +>-,
由(Ⅰ)知函数()f x 在()2,2-上是增函数,
所以2212222212a a a a +>-⎧⎪-<+<⎨⎪-<-<⎩
,即102a -<<, 故实数a 的取值范围为1(0)2-，
. (1)大题中一般采用定义法证明函数单调性;(2)利用单调性解不等式问题,一般需要注意三个方面:①注意函数定义域范围限制;②确定函数的单调性;③部分需要结合奇偶性转化.
19．如图,在四棱锥P ABCD -中,PD ⊥平面ABCD ,底面ABCD 是菱
形,60BAD ∠=︒,2AB =
,PD =O 为AC 与BD 的交点,E 为棱PB 上一点.
（Ⅰ）证明：AC ⊥平面PBD ；
（Ⅱ）若//PD 平面EAC ,求三棱锥P EAD -的体积.
【答案】（Ⅰ）答案见详解;（Ⅱ）22
. 【解析】(Ⅰ)PD ⊥Q 平面ABCD ,PD AC ∴⊥,Q 四边形ABCD 是菱
形,BD AC ∴⊥,AC ∴⊥平面PBD ;
(Ⅱ)连接OE ,由//PD 平面EAC ,推出//PD OE ,从而E 是PB 的中点,那么三棱锥P EAD -的体积则可通过中点进行转化,变为三棱锥P BAD -体积的一半.
【详解】
(Ⅰ)PD ⊥Q 平面ABCD ,AC ⊂平面ABCD ,
PD AC ∴⊥,
Q 四边形ABCD 是菱形,
BD AC ∴⊥,
PD BD D ⋂=Q ,
AC ∴⊥平面PBD ;
(Ⅱ)如图,连接OE ,
//PD Q 平面EAC ,平面PBD I 平面EAC OE =,
//PD OE ∴,
O Q 是BD 的中点,
E ∴是PB 的中点,
Q 菱形ABCD 中,60BAD ∠=︒,2AB =,
ABD ∴V 是等边三角形,2,3BD AO ==132ABD S BD AO ∴=
⋅=V , 1122
P EAD E PAD B PAD P BAD V V V V ----∴===
1123BAD S PD =⋅⋅V 22
=.
本题主要考查线面垂直的证明以及棱锥体积的计算,属于中档题.一般计算规则几何体的体积时,常用的方法有顶点转换,中点转换等,需要学生有一定的空间思维能力和计算能力.
20．某校高一（1）班共有学生50人,据统计原来每人每年用于购买饮料的平均支出是a 元,经测算和市场调查,若该班学生集体改饮某品牌的桶装纯净水,则年总费用由两部分组成：一部分是购买纯净水的费用,另一部分是其他费用780元,其中纯净水的销售价x （元/桶）与年购买总量y （桶）之间满足如图所示的关系.
（Ⅰ）求x 与y 的函数关系；
（Ⅱ）当a 为120时,若该班每年需要纯净水380桶,请你根据提供的信息分析一下：该班学生集体改饮桶装纯净水与个人买饮料相比,哪一种花钱更少？
【答案】（Ⅰ）80720y x =-+;（Ⅱ）该班学生集体改饮桶装纯净水花钱更少.
【解析】(Ⅰ)根据题意设出直线方程y kx b =+,再代入图示数据,即可得出x 与y 的函数关系;
(Ⅱ)分别求出两种情形下的年花费费用,进行比较即可.
【详解】
(Ⅰ)根据题意,可设y kx b =+,
4x =Q 时,400y =;5x =时,320y =,
40043205k b k b =+⎧∴⎨=+⎩
,解得80720k b =-⎧⎨=⎩, 所以x 与y 的函数关系为:80720y x =-+;
(Ⅱ)该班学生购买饮料的年费用为50120=6000⨯(元),
由(Ⅰ)知,当380y =时, 4.5x =,
故该班学生购买纯净水的年费用为:380 4.57802395⨯+=(元),比购买饮料花费少, 故该班学生集体改饮桶装纯净水花钱更少.
本题考查函数模型的选取及实际应用,属于简单题.
21．已知函数()3,0ln ,0x x f x x x e
-<⎧=⎨<<⎩的值域为M ,函数()()142x x g x x M +=-∈. （Ⅰ）求M ；
（Ⅱ）当x M ∈时,若函数()()142x x h x b b R +=--∈有零点,求b 的取值范围,并讨论零点的个数.
【答案】（Ⅰ)(,1)(3,)-∞+∞U ;(Ⅱ)答案见详解.
【解析】(Ⅰ)对分段函数()f x 求值域,分别求出每一段函数的值域,再求其并集即可; (Ⅱ)函数()()142x x h x b b R +=--∈有零点,即表示方程1()42x x b g x +==-有根, y b =与()y g x =函数图像有交点,因而将()g x 换元,利用二次函数性质求出其值域,再数形结合讨论零点个数即可.
【详解】
(Ⅰ)如下图所示:
当0x <时,(3,)y ∈+∞;当0x e <<时,(,1)y ∈-∞,
所以函数()f x 的值域M 为(,1)(3,)-∞+∞U ;
(Ⅱ)若函数()()142x x h x b b R +=--∈有零点,
即方程1()42x x b g x +==-有根,
即y b =与()y g x =函数图像有交点,
令2x t =,2
2y t t =-,
当(,1)(3,)x ∈-∞+∞U 时,(0,2)(8,)t ∈⋃+∞,
此时[1,0)(48,)y ∈-+∞U ,
即函数()g x 的值域为[1,0)(48,)-+∞U ,
故而:当[1,0)(48,)b ∈-+∞U 时,函数()h x 有零点,
且当1b =-或(48,)b ∈+∞时,函数()h x 有一个零点;
当(-1,0)b ∈时,函数()h x 有两个零点.
(1)对分段函数求值域,先求出每一段函数的值域,再求其并集即可,也可利用函数图像去求;
(2)函数零点问题一般可以转换为方程的根,或者两函数图像交点的问题,在答题时,需要根据实际情况进行转换,本题利用了转化及数形结合的思想,属于中档题.
22．已知圆O 经过()1,0A -,1,22B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
两点,且圆心O 在直线1l ：y x =上. （Ⅰ）求圆O 的方程；
（Ⅱ）若点P 在直线2l ：230x y +-=上,过点P 作圆的一条切线,C 为切点,求切线长PC 的最小值；
（Ⅲ）已知点M 为()1,1,若在直线1l ：y x =上存在定点N （不同于点M ）,满足对于圆O 上任意一点Q ,都有
QN QM 为一定值,求所有满足条件点N 的坐标.
【答案】(Ⅰ)221x y +=;(Ⅱ;(Ⅲ)11(,)22. 【解析】(Ⅰ)根据题意,设出圆O 的标准方程,代入条件,列方程求解即可;
(Ⅱ)由勾股定理得2222=1PC PO CO PO =--,所以要求PC 的最小值,即求PO 的最小值,而PO 最小时,PO 垂直于直线2l ,据此可得结论;
(Ⅲ)设(,),(,)N n n Q x y ,QN QM
列出相应等式化简,再利用Q 点的任意性,列出
方程组求解即可.
【详解】
(Ⅰ)设圆O 的方程为222()()x a y b r -+-=,
根据题意有222
222(1)1())2a b r a b r a b ⎧--+=⎪⎪-+-=⎨⎪=⎪⎩
,解得001a b r =⎧⎪=⎨⎪=⎩, 所以圆O 的方程为221x y +=;
(Ⅱ)由勾股定理得222PC PO CO =-,即221PC PO =-,
所以要求PC 的最小值,即求PO 的最小值,
而当PO 垂直于直线2l 时,PO 最小,
此时PO =所以PC
; (Ⅲ)设(,),(,)N n n Q x y ,满足221x y +=, 假设QN QM
则222
222()()=(1)(1)QN x n y n x y QM
λ-+-=-+-, 化简得22()2()1230x n y n n λλλ-+-++-=,
因为对于圆O 上任意一点(,)Q x y 上式都成立,
所以201230n n λλ-=⎧⎨+-=⎩
,解得12n λ==(1λ=舍), 因此满足条件点N 的坐标为11
(,)22.
本题涉及圆与直线的综合应用,利用了数形结合等思想,考查了学生分析解决问题的能力,综合性较强.在答题时要注意:
①线外一点到线上一点的距离中,垂线段最短;
②解决任意性问题的关键是令含参部分的系数为0,最常见的就是过定点问题.。