2.3圆的切线的性质及判定定理课件人教新课标3

【变式1】 如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，且 AD＋BC＝AB，AB为⊙O的直径． 求证：⊙O与CD相切．
证明 过 O 作 OE⊥CD，垂足为 E. 因为 AD∥BC，∠C＝90°，所以 AD∥OE∥BC. 因为 O 为 AB 的中点，所以 E 为 CD 的中点． 所以 OE＝12(AD＋BC)． 又因为 AD＋BC＝AB， 所以 OE＝12AB， 且等于⊙O 的半径． 所以⊙O 与 CD 相切．
⊙O的割线，与⊙O交于B、C两点，圆心O在∠PAC的内部， 点M是BC的中点．
(1)证明：A、P、O、M四点共圆； (2)求∠OAM＋∠APM的大小．
(1)证明 连接OP，OM，
因为AP与⊙O相切于点P，所以OP⊥AP. 因为M是⊙O的弦BC的中点，所以OM⊥BC. 于是∠OPA＋∠OMA＝180°， 由圆心O在∠PAC的内部， 可知四边形APOM的对角互补， 所以A，P，O，M四点共圆．
又∠P 为公共角，∴△PAB∽△PCA. ∴CABA＝PPAC＝1200＝12. ∵BC 为⊙O 的直径，∴∠CAB＝90°. ∴AC2＋AB2＝BC2＝225.∴AC＝6 5，AB＝3 5. 又∠ABC＝∠E，∠CAE＝∠EAB， ∴△ACE∽△ADB，∴AABE＝AADC. ∴AD·AE＝AB·AC＝3 5×6 5＝90.
自学导引
1．圆的切线的性质定理及推论 (1)定理：圆的切线垂直于经过切点的 半径 ． (2)推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过 切点 ． (3)推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过 圆心 ．
斟酌引申：(1)本定理及其两个推 论可以用一个定理叙述出来，即： 如果圆的一条直线满足以下三个 条件中的任意两条，那么就一定 满足第三条．它们是：①垂直于切线；②过切点；③过圆心． (2)本定理题设为：一条直线既过圆心又过切点，结论为：这条直 线与圆的切线垂直．如图所示，若直线l切⊙O于A，直线l′经过点 O、A，则直线l′⊥l.
2．圆的切线的判定定理 (1)判定定理：经过半径的外端并且垂直于 这条半径 的直线是 圆的切线． (2)圆的切线的判断方法
判断方法
语言描述
①定义法
和圆有且只有一个公共点的直线 是圆的切线
圆心到直线的距离等于半径的直 ②数量关系法
线是圆的切线
③切线的判定 过半径的外端且与这条半径垂直
定理
的直线是圆的切线
证明 连接OQ.因为QR是⊙O的切线，所以OQ⊥QR. 因为OB＝OQ，所以∠B＝∠OQB. 因为BO⊥OA， 所以∠BPO＝90°－∠B＝∠RPQ， ∠PQR＝90°－∠OQP. 所以∠RPQ＝∠PQR. 所以RP＝RQ. 反思感悟 题目中若有圆的切线，第一可以连接圆心和切点，出 现垂直关系．
【变式2】 如图所示，在⊙O中，AB是⊙O的直径，AD是弦，过 点B的切线与AD的延长线交于点C，且AD＝DC，求∠ABD的 度数． 解 ∵BC是⊙O的切线， ∴AB⊥BC. ∴△ABC是直角三角形． ∵CD＝AD，∴BD＝AD. ∵AB是⊙O的直径， ∴AD⊥BD. ∴△ABD是等腰直角三角形． ∴∠ABD＝45°.
[思维启迪] (1) a＋b、ab的值 ― 配―方→ a2＋b2＝c2 直――角―三――角―形――的―定―→义
△ABC是直角三角形 (2)tan A＝34→ a、b、c的长 → BC∥OE → OE的长 → AE的长 (1)证明 依据题意，得 a＋b＝c＋4，ab＝4(c＋2)， 则 a2＋b2＝(a＋b)2－2ab ＝(c＋4)2－2×4(c＋2)＝c2， 所以△，P，O，M四点共圆， 所以∠OAM＝∠OPM. 由(1)得OP⊥AP. 由圆心O在∠PAC的内部， 可知∠OPM＋∠APM＝90°， 所以∠OAM＋∠APM＝90°.
【示例 2】 如图所示，PA 为⊙O 的切线， A 为切点，PBC 是过点 O 的割线，PA＝ 10，PB＝5，∠BAC 的平分线与 BC 和⊙O 分别交于点 D 和 E，求 AD·AE 的值． 解 如图所示，连接 CE，∵PA 是⊙O 的切线，PBC 是⊙O 的 割线， ∴PA2＝PB·PC.又 PA＝10，PB＝5， ∴PC＝20，BC＝15. ∵PA 切⊙O 于 A， ∴∠PAB＝∠ACP.
斟酌引申：(1)圆的切线的判定定理还可表述为：如果一条直线经 过圆的一条半径的外端点，并且垂直于这条半径，那么这条直线 就是这个圆的切线． (2)判断一条直线是否是切线的三种方法中：②③是由①推出的； ②是用数量关系来判断；③是用位置关系来判断．
名师点睛 1．直线与圆的位置关系的性质和判定
如果⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，那么 (1)直线l和⊙O相交⇔d<r(如图(1)所示)； (2)直线l和⊙O相切⇔d＝r(如图(2)所示)； (3)直线l和⊙O相离⇔d>r(如图(3)所示)．
反思感悟 (1)用切线的性质定理求解线段的长度时，应注意的问 题 ①视察图形，作辅助线； ②利用相关知识，如圆周角定理、圆的切线性质定理、判定定理 等． (2)在应用切线的性质定理及其推论进行几何证明和求解时，如果 已知切点，则连接圆心和切点构成垂直是一种常用的方法．
【变式 3】 如图所示，PB 与⊙O 相切于点 B，PO 交⊙O 于点 A，
2.3 圆的切线的性质及判定定理
【课标要求】 1．理解切线的性质定理、判定定理及两个推论，能应用定理及 推论解决相关的几何问题． 2．能归纳并正确表述由圆的切线性质定理和两个推论整合而成 的定理．
【核心扫描】 1．圆的切线的判定定理、性质定理的理解．(重点) 2．用切线的判定定理、性质定理解决问题．(难点)
题型三 有关线段的求解问题 【例 3】 如图所示，在△ABC 中，a、b、c 分别为∠A、∠B、∠
C 的对边，且 a、b 是关于 x 的一元二次方程 x2＋4(c＋2)＝(c ＋4)x 的两个根，点 D 在 AB 上，以 BD 为直径的⊙O 切 AC 与 点 E. (1)求证：△ABC 是直角三角形； (2)若 tan A＝34，求 AE 的长度．
(2)解 ∵∠C＝90°，tan A＝ab＝34， ∴不妨设 a＝3k，b＝4k，则 c＝5k(k>0)， 代入 a＋b＝c＋4，得 k＝2. ∴a＝6，b＝8，c＝10. 连接 OE，得 BC∥OE. ∴OBCE＝AAOB，即O6E＝10－10OE.解得 OE＝145.在 Rt△AOE 中，tan A ＝OAEE＝34，∴AE＝5.
说明：(1)命题左边反应的是两个图形(直线和圆)的位置关系，右 边反应的是两个数量的大小关系． (2)对于两个图形(直线l和⊙O)的位置关系，或两个数(d和r)的大 小关系，有且仅有一种情况是成立的． (3)从左端推出右端是直线和圆的位置关系的性质，从右端推出左 端是直线和圆的位置关系的判定．
2．圆的切线的性质与判定的综合运用 在解决有关圆的切线问题(无论是计算还是证明)时，通常需要 添加辅助线．一般地，添加辅助线有以下规律： (1)已知一条直线是圆的切线时，通常连接圆心和切点，这条 半径垂直于切线． (2)要证明某条直线是圆的切线时，若已知直线经过圆上的某 一点，则需作出经过这一点的半径，证明直线垂直于这条半 径，简记为“连半径，证垂直”；若直线与圆的公共点没有确 定，则应过圆心作直线的垂线，得到垂线段，再证明这条垂 线段的长等于半径，简记为“作垂直，证半径”．
BC⊥OP 于 C，若已知 OA＝3 cm，OP＝4 cm，则 AC＝____cm.
解析 如图所示，连接 OB.
∵PB 是切线，∴OB⊥PB.
∵BC⊥OP，∴OB2＝OC·OP.
∴OC＝OOBP2＝94.
∴AC＝OA－OC＝3－94＝34(cm)．
答案
3 4
方法技能 圆内接四边形与圆的切线综合的求解策略 【示例1】 如图所示，已知AP是⊙O的切线，P为切点，AC是
题型一 圆的切线的判断 【例1】 如图所示，在△ABC中，
已知AB＝AC，以AB为直径的 ⊙O交BC于点D，DE⊥AC于 点E. 求证：DE是⊙O的切线． [思维启发] 利用圆的切线的判定定理进行切线的证明，关键 是找出定理的两个条件：①过半径的外端；②该直线与某一 条半径所在的直线垂直．
证明 连接OD和AD，如图所示． ∵AB是⊙O的直径，∴AD⊥BC. ∵AB＝AC，∴BD＝CD.∵AO＝OB，∴OD∥AC. ∵DE⊥AC，∴DE⊥OD，∴DE是⊙O的切线． 反思感悟 判断一条直线是圆的切线时，常用辅助线的作法 ①如果已知这条直线与圆有公共点，则连接圆心与这个公共点， 设法证明连接所得到的半径与这条直线垂直，简记为“连半径， 证垂直”； ②若题目未说明这条直线与圆有公共点，则过圆心作这条直线的 垂线，得垂线段，再证明这条垂线段的长等于半径，简记“作垂 直，证半径”．
题型二 圆的切线性质定理的应用 【例2】 如图所示，OA和OB是⊙O的半径，并且OA⊥OB，P是
OA上任意一点，BP的延长线交⊙O于Q， 过Q作⊙O的切线交OA的延长线于R， 求证：RP＝RQ.
[思维启发] 已知QR是⊙O的切线，可利用切线的性质定理， 即OQ⊥RQ.另外，要证RP＝RQ，只要证∠RPQ＝∠RQP即可， 只要证∠BPO＝∠PQR即可，再结合OQ⊥RQ.