江苏省南京师范大学苏州实验学校2021-2022学年高三上学期期中数学试题
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对于C，如图，将△ADE翻折到与平面ABFE共面，则当D、P、F三点共线时， 取得最小值 ，故C错误；
对于D，将该几何体补成正方体，则外接球半径为 ，外接球表面积为 ，故D正确.
故选：BD.
13．
【分析】
先对函数求导，根据导数的几何意义，由题中条件，列出方程，求解，即可得出 ，再由切点坐标，即可求出结果.
【详解】
解：因为 的导数为 ，
又函数 在 处的切线方程为 ，
可得 ，解得 ，
所以 ，切点为 ，
代入直线方程得可得 ，即 .
故答案为： .
14．10
【分析】
由题可得 ，再结合条件及等差数列前n项和公式即得.
【详解】
∵ ，又
∴ ，数列公差小于零，数列为递减数列，
∴ ，
∴当 时， ，当 时， .
故答案为：10.
3．若 ，则 （）
A． B． C． D．7
4．函数 的部分图象大致为（）
A． B．
C． D．
5．已知 是边长为1的等边三角形，点D，E分别是边 的中点，连结 并延长到点F，使得 ，则 的值为（）
A． B． C．1D．
6．定义方程 的实数根 叫做函数 的“躺平点”.若函数 ， 的“躺平点”分别为 ， ，则 ， 的大小关系为（）
在 中，由余弦定理得， ，即 ，所以 ，
所以 ，所以 ，所以四边形ABCD是以AC为直径的圆的内接四边形，所以 ，
又 底面 ， 底面 ，所以 ，
又 ，所以 面 ，所以 .
（2）
解：又 底面 ， 底面 ，所以 ，由（1）知 ，又 ，所以 面 ，
又 面 ，所以 ，又 ，所以 就是二面角 的平面角，所以
所以 为等腰直角三角形，所以 ，
【详解】
解：因为集合 ，
所以 ，
故选：C.
2．B
【分析】
利用特殊值法，结合基本不等式及充分条件、必要条件的定义判断可得出结论.
【详解】
解：充分性：由于 ， ，且 ，取 ， ，则 成立，但 ，所以充分性不成立.
必要性：由于 ， ，且 ，由基本不等式 ，当且仅当 时取等号，所以 ，解得 ，即 ，所以由“ ”能推出“ ”，所以必要性成立.
B．若数列 存在“等比分割数列” ，则有 和 成立，其中
C．数列 ： ， ，2存在“等比分割数列”
D．数列 的通项公式为 ，若数列 的“等比分割数列” 的首项为1，则公比
二、多选题
9．已知实数a满足， （i为虚数单位），复数 ，则（）
A．z为纯虚数B． 为虚数C． D．
10．已知不等式 的解集是 ，则b的值可能是（）
【详解】
解：对A：因为 ，所以 是偶函数，故选项A正确；
对B：因为 ， ，所以 ，而 时 ，所以 的最小值为 ，故选项B正确；
对C：当 时， ，令 ，可得 ， ，
又由A知函数 为偶函数，所以函数 在区间 上也有两个零点 ， ，所以函数 在区间 上有4个零点，故选项C正确；
对D：当 时， ，
因为 ，所以 ，而 在 上单调递增，在 上单调递减，故选项D错误.
A． B． C． D．
7．已知函数 ，直线 与 的图象在 轴右侧交点的横坐标依次为 、 、 、 、 、 ，（其中 ），若 ，则 （）
A． B． C． D．
8．设数列 ，若存在公比为q的等比数列 ，使得 ，其中 ，则称数列 为数列 的“等比分割数列”，则下列说法错误的是（）
A．数列 ；2，4，8，16，32是数列 ：3，7，12，24的一个“等比分割数列”
（2）利用条件可得 ，再利用向量模长公式可求 ，即得.
（1）
∵在等腰直角三角形 中，已知 ，D为 的中点， ，
∴
又三角形 的面积为4，
∴
∴ ，又
∴E为 的中点.
（2）
∵在等腰直角三角形 中， ， ，
∴ ，又 ，
∴ ，
解得 ，
∴ .
20．
（1）证明见解析
（2）
【分析】
（1在 中，由正弦定理求得 ，在 中，由余弦定理得求得 ，
15．400
【分析】
由题设扇形的半径为 ，可得 ，利用基本不等式及二次不等式可求.
【详解】
如图，设扇形的半径为 ，则弧长为 ，扇形面积为 ，
∴ ，即 ，
又 ，当且仅当 ，即 是取等号，
∴ ，令
∴ ，解得 ，则 ，
∴当 ， ， 时水池面积最大，最大值为400平方米.
故答案为：400.
16．2
【分析】
由已知可得函数 关于 对称，继而由函数 为奇函数，可得函数 的周期；由函数的单调性的定义得函数 在 上是增函数，令 ，设 ，运用导函数分析函数的单调性，由此得 ，由对称性及周期性作函数 的示意图和 的图象，运用数形结合的思想可求得不等式的解集.
（2）证明见解析.
【分析】
（1）选①：由题意， ，所以 或 ，又因为数列 的任意相邻两项均不相等，且 ，所以数列 为 ，即 ，
构造等比数列 即可求解；选②：由 ， ，两式相减可得 ，以下过程与①相同；选③：由 ，可得 ，
又 ， 时， ，所以 ，因为 ，所以 也满足上式，所以 ，即 ，以下过程与①相同.
故选：ABC.
12．BD
【分析】
由题可知 ，可判断A；根据条件可知△PBF的面积不变，D到平面PBF的距离也不变，可判断B；将△ADE翻折到与平面ABFE共面，即可判断C；由正方体的性质可判断D.
【详解】
对于A，连接 ，易得 ，故A错误；
对于B，P在直线 上运动时，△PBF的面积不变，D到平面PBF的距离也不变，故三棱锥 的体积不变，故B正确；
【详解】
定义域为 ， ，由题意得： ，令 ， ，则 为函数 的零点， ，所以 在 上单调递增，又 ， ，由零点存在性定理， .
另外 ， ，由题意得： ，令 ，则 为函数 的零点， ，令 得： 或 ，令 得： ，所以 单调递增区间为 ， ，单调递减区间为 ， 在 处取得极大值， ，在 处取得极小值，故 在 上无零点，因为函数在 上单调递增，且 ， ，由零点存在性定理：
在 中， ， ，所以 是正三角形，所以 ，
由（1）得 面 ，又M是 上一点，且 ，所以M点到平面PAC的距离d等于点B到平面PAC的距离的 ，所以 ，
然后由分组求和法可得前n项和 ；
（2）由（1）求出 ， ，则 ，利用裂项相消求和法求出前n项和记为 即可证明.
（1）
解：选①：因为 ，数列 为常数列，
所以 ，解得 或 ，
又因为数列 的任意相邻两项均不相等，且 ，
所以数列 为 ，
所以 ，即 ，
所以 ，又 ，
所以 是以 为首项，公比为 的等比数列，
所以 ，即 ；
因为 ，所以排除选项B；
又 时， ，故排除选项D；
故选：A.
5．B
【分析】
设 ， ，作为一个基底，表示向量 ， ， ，然后再用数量积公式求解.
【详解】
解：设 ， ，
所以 ， ， ，
所以 .
故选：B.
6．D
【分析】
对 求导，构造函数 ，研究其单调性和零点，利用零点存在性定理求出 ；同样的方法求出 ，得到答案.
由勾股定理得 ，由此得四边形ABCD是以AC为直径的圆的内接四边形，根据圆的垂径定理证得 ，由线面垂直的性质证得 ，根据线面垂直的判定和性质可得证.
（2）由二面角的定义得 就是二面角 的平面角，再运用等体积法可求得三棱锥的体积.
（1）
证明：在 中， ， ， ， ，由正弦定理得，
，即 ，解得 ，所以 ，
【详解】
对于A，因为 符合定义，故A正确；
对于B，由定义知 ，故B正确；
对于C，若正确，则 ， ，则 矛盾，故C错误；
对于D， ，解得 ，故D正确.
故选：C.
9．ACD
【分析】
根据复数的乘法运算以及复数相等可求得a，得到复数z和 ，逐一判断可得选项.
【详解】
解：因为 ，所以 ，所以 ，所以 ， ，
所以 为纯虚数，故A正确；
三、填空题
13．已知曲线 在 处的切线方程为 ，则 ___________.
14．已知数列 是等差数列， ，则使 的最大整数n的值为___________.
15．某区域规划建设扇形观景水池，同时紧贴水池周边建设一圈人行步道.要求总预算费用24万元，水池造价为每平方米400元，步道造价为每米1000元（不考虑宽度厚度等因素），则水池面积最大值为___________平方米.
四、双空题
16．已知 是定义在 上的奇函数，且 ，则 的最小正周期为___________；若对任意的 ，当时 ，都有 ，则关于x的不等式 在区间 上的解集为___________.
五、解答题
17．已知向量 ，向量 ，记 .
（1）求 表达式；
（2）解关于x的不等式 .
18．在下列条件：①数列 的任意相邻两项均不相等，且数列 为常数列，② ，③ 中，任选一个，补充在横线上，并回答下面问题.
A． B．3C．2D．0
11．关于函数 有下述四个结论，则（）
A． 是偶函数B． 的最小值为
C． 在 上有4个零点D． 在区间 单调递增
12．如图，正方形 与正方形 边长均为1，平面 与平面 互相垂直，P是 上的一个动点，则（）
A． 的最小值为 B．当P在直线 上运动时，三棱锥 的体积不变
C． 的最小值为 D．三棱锥 的外接球表面积为
选②：因为 ， ，
所以两式相减可得 ，即 ，以下过程与①相同；
选③：由 ，可得 ，
又 ， 时， ，所以 ，
因为 ，所以 也满足上式，
所以 ，即 ，以下过程与①相同；
所以 ；
（2）
解：由（1）知 ， ，
所以 ，
所以
.
19．
（1）证明见解析；
（2） .
【分析】
（1）利用条件及三角形面积公式可得 ，即证；
则不等式的解集为 .
故答案为：2； .
17．
（1）
（2）
【分析】
（1）由向量的数量积运算以及三角恒等变换化简，得函数 的表达式；
（2）由正弦函数的性质，整体代换可得不等式的解集.
（1）解：因为向量 ，向量 ，所以.所以 .
（2）
解：由（1）得 ，所以 ，即 ，
解得 ，
所以 的解集为 .
18．
（1） ， ；
江苏省南京师范大学苏州实验学校2021-2022学年高三上学期期中数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知集合 ，则 （）
A． B． C． D．
2．若 ，则“ ”是“ ”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
为实数，故B不正确；
，故C正确；
，故D正确，
故选：ACD.
10．BC
【分析】
由已知得 ，解得 ，由此可得选项.
【详解】
解：因为不等式 的解集是 ，
所以 ，解得 ，
故选：BC.
11．ABC
【分析】
对A：根据偶函数的定义即可作出判断；对B：由有界性 ， ，且 时 即可作出判断；对C：当 时， ，可得函数 有两个零点，根据偶函数的对称性即可作出判断；对D：当 时， ，利用三角函数的图象与性质即可作出判断.
已知数列 的前n项和为 ，___________.
（1）求数列 的通项公式 和前n项和 ；
（2）设 ，数列 的前n项和记为 ，证明： .
19．在等腰直角三角形 中，已知 ，点D，E分别在边 ， 上， .
（1）若D为 的中点，三角形 的面积为4，求证：E为 的中点；
（2）若 ，求 的面积.
20．如图，四棱锥 中， 底面 ， ， ， ， ，M是 上一点，且 ，N是 中点.
【详解】
解：因为 ，所以函数 关于 对称，又函数 为奇函数，故函数 关于原点对称，所以函数 的周期为 ，
因为对任意的 ，当时 ，都有 ，不妨设 ，所以 ，所以函数 在 上是增函数，
所以当 时， ，
令 ，设 ，则 ，所以 是单调递减函数，
所以当 ， ，
所以当 时， ，即 ，由对称性及周期性作函数 的示意图和 的图象如下图所示，
（1）求证： ；
（2）若二面角 大小为 ，求棱锥 的体积.
21．已知函数 .
（1）求 的单调区间；
（2）若 有两个极值点 ，且不等式 恒成立，求实数m的取值范围.
22．已知函数 ， 为 的导函数.
（1）求证： 在 上存在唯一零点;
（2）求证: 有且仅有两个不同的零点.
参考答案
1．C
【分析】
先求出集合N，再根据交集的定义即可求解.
所以 .
故选：D
7．B
【分析】
令 ，分析可知 ，由 可得出 ，结合同角三角函数的基本关系可求得 的值.
【详解】
由 可得 ， ，则 .
若 ，则 ，不合乎题意，所以， .
令 ， ，如下图所示：
由图可知， ，则 ，
，所以， ，
所以， ，
所以， ，
整理可得 ，
由题意可得 ，解得 .
故选：B.
8．C
【分析】
利用“等比分割数列”的定义判断即得.
所以，当 ， 时，“ ”是“ ”的必要不充分条件.
故选：B.
3．D
【分析】
利用二倍角公式以及弦化切可求得所求代数式的值.
【详解】
因为 ，则 ，
.
故选：D.
4．A
【分析】
先根据奇偶性排除选项C，然后根据 排除选项B，最后由 时， 即可得答案.
【详解】
解：因为 ， ，
所以 ，又 定义域为R，
所以 为R上的偶函数，图象关于 轴对称，故排除选项C；
对于D，将该几何体补成正方体，则外接球半径为 ，外接球表面积为 ，故D正确.
故选：BD.
13．
【分析】
先对函数求导，根据导数的几何意义，由题中条件，列出方程，求解，即可得出 ，再由切点坐标，即可求出结果.
【详解】
解：因为 的导数为 ，
又函数 在 处的切线方程为 ，
可得 ，解得 ，
所以 ，切点为 ，
代入直线方程得可得 ，即 .
故答案为： .
14．10
【分析】
由题可得 ，再结合条件及等差数列前n项和公式即得.
【详解】
∵ ，又
∴ ，数列公差小于零，数列为递减数列，
∴ ，
∴当 时， ，当 时， .
故答案为：10.
3．若 ，则 （）
A． B． C． D．7
4．函数 的部分图象大致为（）
A． B．
C． D．
5．已知 是边长为1的等边三角形，点D，E分别是边 的中点，连结 并延长到点F，使得 ，则 的值为（）
A． B． C．1D．
6．定义方程 的实数根 叫做函数 的“躺平点”.若函数 ， 的“躺平点”分别为 ， ，则 ， 的大小关系为（）
在 中，由余弦定理得， ，即 ，所以 ，
所以 ，所以 ，所以四边形ABCD是以AC为直径的圆的内接四边形，所以 ，
又 底面 ， 底面 ，所以 ，
又 ，所以 面 ，所以 .
（2）
解：又 底面 ， 底面 ，所以 ，由（1）知 ，又 ，所以 面 ，
又 面 ，所以 ，又 ，所以 就是二面角 的平面角，所以
所以 为等腰直角三角形，所以 ，
【详解】
解：因为集合 ，
所以 ，
故选：C.
2．B
【分析】
利用特殊值法，结合基本不等式及充分条件、必要条件的定义判断可得出结论.
【详解】
解：充分性：由于 ， ，且 ，取 ， ，则 成立，但 ，所以充分性不成立.
必要性：由于 ， ，且 ，由基本不等式 ，当且仅当 时取等号，所以 ，解得 ，即 ，所以由“ ”能推出“ ”，所以必要性成立.
B．若数列 存在“等比分割数列” ，则有 和 成立，其中
C．数列 ： ， ，2存在“等比分割数列”
D．数列 的通项公式为 ，若数列 的“等比分割数列” 的首项为1，则公比
二、多选题
9．已知实数a满足， （i为虚数单位），复数 ，则（）
A．z为纯虚数B． 为虚数C． D．
10．已知不等式 的解集是 ，则b的值可能是（）
【详解】
解：对A：因为 ，所以 是偶函数，故选项A正确；
对B：因为 ， ，所以 ，而 时 ，所以 的最小值为 ，故选项B正确；
对C：当 时， ，令 ，可得 ， ，
又由A知函数 为偶函数，所以函数 在区间 上也有两个零点 ， ，所以函数 在区间 上有4个零点，故选项C正确；
对D：当 时， ，
因为 ，所以 ，而 在 上单调递增，在 上单调递减，故选项D错误.
A． B． C． D．
7．已知函数 ，直线 与 的图象在 轴右侧交点的横坐标依次为 、 、 、 、 、 ，（其中 ），若 ，则 （）
A． B． C． D．
8．设数列 ，若存在公比为q的等比数列 ，使得 ，其中 ，则称数列 为数列 的“等比分割数列”，则下列说法错误的是（）
A．数列 ；2，4，8，16，32是数列 ：3，7，12，24的一个“等比分割数列”
（2）利用条件可得 ，再利用向量模长公式可求 ，即得.
（1）
∵在等腰直角三角形 中，已知 ，D为 的中点， ，
∴
又三角形 的面积为4，
∴
∴ ，又
∴E为 的中点.
（2）
∵在等腰直角三角形 中， ， ，
∴ ，又 ，
∴ ，
解得 ，
∴ .
20．
（1）证明见解析
（2）
【分析】
（1在 中，由正弦定理求得 ，在 中，由余弦定理得求得 ，
15．400
【分析】
由题设扇形的半径为 ，可得 ，利用基本不等式及二次不等式可求.
【详解】
如图，设扇形的半径为 ，则弧长为 ，扇形面积为 ，
∴ ，即 ，
又 ，当且仅当 ，即 是取等号，
∴ ，令
∴ ，解得 ，则 ，
∴当 ， ， 时水池面积最大，最大值为400平方米.
故答案为：400.
16．2
【分析】
由已知可得函数 关于 对称，继而由函数 为奇函数，可得函数 的周期；由函数的单调性的定义得函数 在 上是增函数，令 ，设 ，运用导函数分析函数的单调性，由此得 ，由对称性及周期性作函数 的示意图和 的图象，运用数形结合的思想可求得不等式的解集.
（2）证明见解析.
【分析】
（1）选①：由题意， ，所以 或 ，又因为数列 的任意相邻两项均不相等，且 ，所以数列 为 ，即 ，
构造等比数列 即可求解；选②：由 ， ，两式相减可得 ，以下过程与①相同；选③：由 ，可得 ，
又 ， 时， ，所以 ，因为 ，所以 也满足上式，所以 ，即 ，以下过程与①相同.
故选：ABC.
12．BD
【分析】
由题可知 ，可判断A；根据条件可知△PBF的面积不变，D到平面PBF的距离也不变，可判断B；将△ADE翻折到与平面ABFE共面，即可判断C；由正方体的性质可判断D.
【详解】
对于A，连接 ，易得 ，故A错误；
对于B，P在直线 上运动时，△PBF的面积不变，D到平面PBF的距离也不变，故三棱锥 的体积不变，故B正确；
【详解】
定义域为 ， ，由题意得： ，令 ， ，则 为函数 的零点， ，所以 在 上单调递增，又 ， ，由零点存在性定理， .
另外 ， ，由题意得： ，令 ，则 为函数 的零点， ，令 得： 或 ，令 得： ，所以 单调递增区间为 ， ，单调递减区间为 ， 在 处取得极大值， ，在 处取得极小值，故 在 上无零点，因为函数在 上单调递增，且 ， ，由零点存在性定理：
在 中， ， ，所以 是正三角形，所以 ，
由（1）得 面 ，又M是 上一点，且 ，所以M点到平面PAC的距离d等于点B到平面PAC的距离的 ，所以 ，
然后由分组求和法可得前n项和 ；
（2）由（1）求出 ， ，则 ，利用裂项相消求和法求出前n项和记为 即可证明.
（1）
解：选①：因为 ，数列 为常数列，
所以 ，解得 或 ，
又因为数列 的任意相邻两项均不相等，且 ，
所以数列 为 ，
所以 ，即 ，
所以 ，又 ，
所以 是以 为首项，公比为 的等比数列，
所以 ，即 ；
因为 ，所以排除选项B；
又 时， ，故排除选项D；
故选：A.
5．B
【分析】
设 ， ，作为一个基底，表示向量 ， ， ，然后再用数量积公式求解.
【详解】
解：设 ， ，
所以 ， ， ，
所以 .
故选：B.
6．D
【分析】
对 求导，构造函数 ，研究其单调性和零点，利用零点存在性定理求出 ；同样的方法求出 ，得到答案.
由勾股定理得 ，由此得四边形ABCD是以AC为直径的圆的内接四边形，根据圆的垂径定理证得 ，由线面垂直的性质证得 ，根据线面垂直的判定和性质可得证.
（2）由二面角的定义得 就是二面角 的平面角，再运用等体积法可求得三棱锥的体积.
（1）
证明：在 中， ， ， ， ，由正弦定理得，
，即 ，解得 ，所以 ，
【详解】
对于A，因为 符合定义，故A正确；
对于B，由定义知 ，故B正确；
对于C，若正确，则 ， ，则 矛盾，故C错误；
对于D， ，解得 ，故D正确.
故选：C.
9．ACD
【分析】
根据复数的乘法运算以及复数相等可求得a，得到复数z和 ，逐一判断可得选项.
【详解】
解：因为 ，所以 ，所以 ，所以 ， ，
所以 为纯虚数，故A正确；
三、填空题
13．已知曲线 在 处的切线方程为 ，则 ___________.
14．已知数列 是等差数列， ，则使 的最大整数n的值为___________.
15．某区域规划建设扇形观景水池，同时紧贴水池周边建设一圈人行步道.要求总预算费用24万元，水池造价为每平方米400元，步道造价为每米1000元（不考虑宽度厚度等因素），则水池面积最大值为___________平方米.
四、双空题
16．已知 是定义在 上的奇函数，且 ，则 的最小正周期为___________；若对任意的 ，当时 ，都有 ，则关于x的不等式 在区间 上的解集为___________.
五、解答题
17．已知向量 ，向量 ，记 .
（1）求 表达式；
（2）解关于x的不等式 .
18．在下列条件：①数列 的任意相邻两项均不相等，且数列 为常数列，② ，③ 中，任选一个，补充在横线上，并回答下面问题.
A． B．3C．2D．0
11．关于函数 有下述四个结论，则（）
A． 是偶函数B． 的最小值为
C． 在 上有4个零点D． 在区间 单调递增
12．如图，正方形 与正方形 边长均为1，平面 与平面 互相垂直，P是 上的一个动点，则（）
A． 的最小值为 B．当P在直线 上运动时，三棱锥 的体积不变
C． 的最小值为 D．三棱锥 的外接球表面积为
选②：因为 ， ，
所以两式相减可得 ，即 ，以下过程与①相同；
选③：由 ，可得 ，
又 ， 时， ，所以 ，
因为 ，所以 也满足上式，
所以 ，即 ，以下过程与①相同；
所以 ；
（2）
解：由（1）知 ， ，
所以 ，
所以
.
19．
（1）证明见解析；
（2） .
【分析】
（1）利用条件及三角形面积公式可得 ，即证；
则不等式的解集为 .
故答案为：2； .
17．
（1）
（2）
【分析】
（1）由向量的数量积运算以及三角恒等变换化简，得函数 的表达式；
（2）由正弦函数的性质，整体代换可得不等式的解集.
（1）解：因为向量 ，向量 ，所以.所以 .
（2）
解：由（1）得 ，所以 ，即 ，
解得 ，
所以 的解集为 .
18．
（1） ， ；
江苏省南京师范大学苏州实验学校2021-2022学年高三上学期期中数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知集合 ，则 （）
A． B． C． D．
2．若 ，则“ ”是“ ”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
为实数，故B不正确；
，故C正确；
，故D正确，
故选：ACD.
10．BC
【分析】
由已知得 ，解得 ，由此可得选项.
【详解】
解：因为不等式 的解集是 ，
所以 ，解得 ，
故选：BC.
11．ABC
【分析】
对A：根据偶函数的定义即可作出判断；对B：由有界性 ， ，且 时 即可作出判断；对C：当 时， ，可得函数 有两个零点，根据偶函数的对称性即可作出判断；对D：当 时， ，利用三角函数的图象与性质即可作出判断.
已知数列 的前n项和为 ，___________.
（1）求数列 的通项公式 和前n项和 ；
（2）设 ，数列 的前n项和记为 ，证明： .
19．在等腰直角三角形 中，已知 ，点D，E分别在边 ， 上， .
（1）若D为 的中点，三角形 的面积为4，求证：E为 的中点；
（2）若 ，求 的面积.
20．如图，四棱锥 中， 底面 ， ， ， ， ，M是 上一点，且 ，N是 中点.
【详解】
解：因为 ，所以函数 关于 对称，又函数 为奇函数，故函数 关于原点对称，所以函数 的周期为 ，
因为对任意的 ，当时 ，都有 ，不妨设 ，所以 ，所以函数 在 上是增函数，
所以当 时， ，
令 ，设 ，则 ，所以 是单调递减函数，
所以当 ， ，
所以当 时， ，即 ，由对称性及周期性作函数 的示意图和 的图象如下图所示，
（1）求证： ；
（2）若二面角 大小为 ，求棱锥 的体积.
21．已知函数 .
（1）求 的单调区间；
（2）若 有两个极值点 ，且不等式 恒成立，求实数m的取值范围.
22．已知函数 ， 为 的导函数.
（1）求证： 在 上存在唯一零点;
（2）求证: 有且仅有两个不同的零点.
参考答案
1．C
【分析】
先求出集合N，再根据交集的定义即可求解.
所以 .
故选：D
7．B
【分析】
令 ，分析可知 ，由 可得出 ，结合同角三角函数的基本关系可求得 的值.
【详解】
由 可得 ， ，则 .
若 ，则 ，不合乎题意，所以， .
令 ， ，如下图所示：
由图可知， ，则 ，
，所以， ，
所以， ，
所以， ，
整理可得 ，
由题意可得 ，解得 .
故选：B.
8．C
【分析】
利用“等比分割数列”的定义判断即得.
所以，当 ， 时，“ ”是“ ”的必要不充分条件.
故选：B.
3．D
【分析】
利用二倍角公式以及弦化切可求得所求代数式的值.
【详解】
因为 ，则 ，
.
故选：D.
4．A
【分析】
先根据奇偶性排除选项C，然后根据 排除选项B，最后由 时， 即可得答案.
【详解】
解：因为 ， ，
所以 ，又 定义域为R，
所以 为R上的偶函数，图象关于 轴对称，故排除选项C；