2021年北京市初三(上)期末数学试题汇编：相似三角形

2021北京初三（上）期末数学汇编
相似三角形
一、单选题
1．（2021·北京门头沟·九年级期末）在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC ，垂足为D ，AD ＝3，BD ＝2，则CD 的长为（ ）
A ．2
B ．3
C ．43
D ．92
2．（2021·北京平谷·九年级期末）如图，DAB CAE ∠=∠，请你再添加一个条件，使得ADE ABC ∆∆∽．则下列选项不成立的是（ ）
A ．D
B ∠=∠ B ．E
C ∠=∠ C ．A
D A
E AB AC = D ．AD DE AB BC
= 3．（2021·北京顺义·九年级期末）如图，在△ABC 中，D 、E 分别是边AB 、AC 上的点，且DE ∥BC ，若AD ：DB ＝2：3，则△ADE 与△ABC 的面积比等于（ ）
A ．2：3
B ．4：5
C ．4：9
D ．4：25
4．（2021·北京石景山·九年级期末）大约在两千四五百年前，如图1墨子和他的学生做了世界上第一个小孔成倒像的实验．并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”．如图2所示的小孔成像实验中，若物距为10cm ，像距为15cm ，蜡烛火焰倒立的像的高度是6cm ，则蜡烛火焰的高度是（ ）
A ．3cm
B ．4cm
C ．6cm
D ．9cm
二、填空题
5．（2021·北京平谷·九年级期末）如图所示的网格是正方形网格，A ，B ，C ，D 是网格线交点，AC 与BD 相交于点O ，则△ABO 的面积与△CDO 的面积的比为_____．
6．（2021·北京丰台·九年级期末）如图，在平行四边形ABCD 中，点E 在边AD 上，AC ，BE 交于点O ，若AE ：ED ＝1：2，AOE S ：COB S △＝___．
7．（2021·北京平谷·九年级期末）如图，小东用长2米的竹竿CD 做测量工具，测量学校旗杆的高度AB ，移动竹竿，使竹竿、旗杆顶端的影子恰好落在地面的同一点O ．此时，3OD =米，6DB =米，则旗杆AB 的高为_____米．
8．（2021·北京房山·九年级期末）如图，点D ，E 分别在△ABC 的AB ，AC 边上．只需添加一个条件即可证明△ADE ∽△ACB ，这个条件可以是_____．(写出一个即可)
9．（2021·北京通州·九年级期末）如图，在ABC 中，//DE BC ，且DE 分别交AB ，AC 于点D ，E ，若:2:1AD DB =，则ADE 与四边形DECB 的面积之比等于__________．
10．（2021·北京·九年级期末）《九章算术》是中国古代的数学专著，书中记载了这样一个问题：“今有句五步，股十二步．问句中容方几何．”其大意是：如图，Rt ABC 的两条直角边的长分别为5和12，则它的内接正方形CDEF 的边长为____．
11．（2021·北京顺义·九年级期末）如图，线段AB ＝9，AC ⊥AB 于点A ，BD ⊥AB 于点B ，AC ＝2，BD ＝4，点P 为线段AB 上一动点，且以A 、C 、P 为顶点的三角形与以B 、D 、P 为顶点的三角形相似，则AP 的长为_______________．
12．（2021·北京通州·九年级期末）如图，在平面直角坐标系xOy 中，点()10,0A ，OB =90B ∠=︒，则点B 坐标为___________．
13．（2021·北京大兴·九年级期末）如图，在ABC 中，AB AC >，将ABC 以点A 为中心顺时针旋转，得到AED ，点D 在BC 上，DE 交AB 于点F ．如下结论中：①DA 平分EDC ∠；②AEF DBF △∽△；③
BDF CAD ∠=∠；④EF BD =．所有正确结论的序号是_____．
14．（2021·北京海淀·九年级期末）如图，在测量旗杆高度的数学活动中，某同学在脚下放了一面镜子，然后向后退，直到他刚好在镜子中看到旗杆的顶部．若眼睛距离地面 1.5m AB =，同时量得m 2BC =，12m CD =，则旗杆高度DE =__________m ．
15．（2021·北京石景山·九年级期末）如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，四边形ABCD 的面积是_____．若四边形EFGH 与四边形ABCD 相似，则四边形EFGH 的面积是_____．
16．（2021·北京丰台·九年级期末）如图，为了测量操场上一棵大树的高度，小英拿来一面镜子，平放在离树根部5m 的地面上，然后她沿着树根和镜子所在的直线后退，当她后退1m 时，正好在镜中看见树的顶端．小英估计自己的眼睛到地面的距离为1.6m ，则大树的高度是________m ．
17．（2021·北京昌平·九年级期末）图，平行四边形ABCD 中，延长AD 至点E ，使DE ＝1
2AD ，连接
BE ，交CD 于点F ，若△DEF 的面积为2，则△CBF 的面积为__________．
18．（2021·北京门头沟·九年级期末）如图：在ABC 中，//DE BC ，1AD =，2BD =，则
S ABC S ADE
=△△________．
三、解答题
19．（2021·北京房山·九年级期末）如图，已知AB ∥CD ，AB AD DC DE
=．求证：B C ∠=∠．
20．（2021·北京顺义·九年级期末）已知：如图，△ABC ∽△ACD ，CD 平分∠ACB ，AD ＝2，BD ＝3，求AC 、DC 的长．
21．（2021·北京通州·九年级期末）如图，AD 与BC 交于O 点，B D ∠=∠，4AO =，2CO =，3CD =，求AB 的长．
22．（2021·北京丰台·九年级期末）如图，在ABC 中，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，连接DE ，且AD AB AE AC ⋅=⋅．
（1）求证：ADE ∽ACB ；
（2）若∠B=55°，∠ADE =75°，求∠A 的度数．
23．（2021·北京海淀·九年级期末）如图，在Rt ABC △和Rt ACD 中，90B ACD ∠=∠=︒，AC 平分BAD ∠．
（1）证明：A ABC CD ∽△△；
（2）若4AB =，5AC =，求BC 和CD 的长．
24．（2021·北京东城·九年级期末）如图，AM 平分BAD ∠，作//BF AD 交AM 于点F ，点C 在BF 的延长线上，CF BF =，DC 的延长线交AM 于点E ．
（1）求证：AB BF =；
（2）若1,4AB AD ==，求:EFC EAD S S 的值．
25．（2021·北京昌平·九年级期末）如图，AC 平分∠BAD ，∠B ＝∠ACD ．
（1）求证：△ABC ∽△ACD ；
（2）若AB ＝2，AC ＝3，求AD 的长．
参考答案
1．D
【分析】先证明△BDA ∽△ADC ，然后再根据相似三角形的性质列出比例式，最后代入已知数据计算即可．
【详解】解：∵∠BAC ＝90°，
∴∠BAD +∠CAD ＝90°，
∵AD ⊥BC ，
∴∠C +∠CAD ＝90°，
∴∠C ＝∠BAD ，
∵∠BDA ＝∠ADC ＝90°，
∴△BDA ∽△ADC ， ∴BD AD AD DC =，即233DC =，解得：DC ＝92
． 故选：D ．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，根据已知条件证得△BDA ∽△ADC 是解答本题的关键．
2．D
【分析】先根据DAB CAE ∠=∠，可得DAE BAC ∠=∠，然后根据相似三角形的判定定理逐一解答即可．
【详解】DAB CAE ∠=∠，
DAB BAE CAE BAE ∴∠+∠=∠+∠，
DAE BAC ∴=∠∠，
A 、当添加条件D
B ∠=∠时，则ADE AB
C ∆∆∽，故选项A 不符合题意；
B 、当添加条件E
C ∠=∠时，则ADE ABC ∆∆∽，故选项B 不符合题意；
C 、当添加条件
AD AE AB AC =时，则ADE ABC ∆∆∽，故选项C 不符合题意； D 、当添加条件
AD DE AE BC
=时，则ADE ∆和ABC ∆不一定相似，故选项D 符合题意； 故选：D ．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定定理．
3．D
【分析】先由平行线判定ADE ABC ，再根据相似三角形对应边成比例性质及已知条件AD ：DB ＝2：3，解得相似比为25
，最后根据相似三角形面积比等于相似比的平方解题即可． 【详解】DE//BC ，
ADE
ABC ∴ AD DE AE AB BC AC
∴==
又 AD ：DB ＝2：3，
25AD DE AE AB BC AC ∴
=== 224()525ADE ABC S
S ∴== 故选：D ．
【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
4．B 【分析】根据小孔成像的性质及相似三角形的性质求解即可．
【详解】根据小孔成像的性质及相似三角形的性质可得：蜡烛火焰的高度与火焰的像的高度的比值等于物距与像距的比值，设蜡烛火焰的高度为xcm ，则
10615
x =，x=4， 即蜡烛火焰的高度为4cm ，
故答案为：B ．
【点睛】本题考查了相似三角形性质的应用，解题的关键在于理解小孔成像的原理得到相似三角形．
5．1：4
【分析】证明△AOB ∽△COD ，只需求出其相似比的平方即得两三角形面积比．
【详解】解：如图，设小方格的边长为1，
∵△ABE 、△DCF 分别是边长为1和2的等腰直角三角形，
∴∠ABE ＝∠CDF
＝45°，
AB =CD =，
∵BE //DF ，
∴∠EBO ＝∠FDO ，
∴∠ABO ＝∠CDO ，
又∠AOB ＝∠COD ，
∴△ABO ∽△CDO ，
∴S △ABO ：S △CDO ＝（AB ：CD ）
2，
∴2:1:4ABO CDO
S S
==△△，
故答案为：1∶4．
【点睛】本题考查相似三角形面积比与相似比的关系，关键是判断两三角形相似，确定其相似比．
6．1：9##19
【分析】利用平行四边形的性质证明△AOE ∽△COB ，利用相似三角形面积之比等于相似比的平方计算即可．
【详解】∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AE ∥BC ，AD =BC ，
∴△AOE ∽△COB ，
∴AOE S ：COB S △=2()AE BC
， ∵AE ：ED ＝1：2，
∴AE ：AD ＝1：3，
∴AE ：BC ＝1：3，
∴AOE S ：COB S △=21()3
=1：9， 故答案为：1：9．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，三角形相似的判定和性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键．
7．6
【分析】结合题意，得//CD AB COD AOB ∽，得
AB OB CD OD
=，通过计算即可得到答案 【详解】竹竿CD 和旗杆AB 均垂直于地面，
∴//CD AB
∴COD AOB ∽ ∴AB OB CD OD =， ∵3OD =米，6DB =米，2m CD =， ∴3623
AB +=， 6AB ∴=米
故答案为：6．
【点睛】本题考查了相似三角形、平行线的知识；解题的关键是熟练掌握相似三角形的性质，从而完成求解．
8．∠ADE=∠C 或∠AED=∠B 或AD AE AC AB
= 【分析】由已知得到∠A 是公共角，只需添加另一组角相等过夹角A 的两条边成比例即可．
【详解】∵∠A=∠A ，
∴当∠ADE=∠C 或∠AED=∠B 时，ADE ∽△ACB ； 当AD AE AC AB
=时，ADE ∽△ACB ； 故答案为：∠ADE=∠C 或∠AED=∠B 或
AD AE AC AB =． 【点睛】此题考查相似三角形的判定定理，熟记定理是解题的关键．
9．4:5 【分析】根据2AD DB =，可以得到23
AD AB =的值，再根据DE ∥BC ，可以得到△ADE ∽△ABC ，从而可以求得△ADE 和△ABC 的面积之比即可求解． 【详解】解：∵
2AD DB =， ∴23
AD AB =， ∵DE ∥BC ，
∴△ADE ∽△ABC ， ∴2224()()39
ADE ABC S AD S AB ∆∆===， ∴45
ADE
DBCE S S ∆=四边形 故答案为：4:5．
【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 10．6017
【分析】由题意可判断EBF ABC ∆∆∽ ，利用三角形相似的性质可得
EF BF AC BC = ，又BC=12，AC=5，BF=BC-CF=12-EF ，代入可求EF ，即得正方形CDEF 的边长 【详解】解： 四边形CDEF 为正方形，
∴ 90EFB ACB ∠=∠=︒
又EBF ABC ∠=∠
EBF ABC ∴∆∆∽
EF BF AC BC
∴= 又BC=12，AC=5，BF=BC-CF=12-EF
12512
EF EF −∴= 解得：EF=6017
故答案为：60 17
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟记三角形相似的判定定理及性质是解本题的关键11．1或3或8
【分析】根据相似三角形的性质列方程求解，但这里没有指明对应边，故要分两种情况进行讨论.【详解】解：设AP=x，则BP=9-x，
（1）当AC与BP是对应边时，
∵△ACP∽△BPD，
∴AC AP BP BD
=
∵AC=2，BD=4，AP=x，BP=9-x，
∴
2
94
x
x
=−
解得，x1=1，x2=8．
（2）当AC与BD是对应边时，∵△ACP∽△BDP，
∴AC AP BD BP
=
∵AC=2，BD=4，AP=x，BP=9-x，
∴2
49
x
x =
−
解得；x=3．
综上所述，AP的长为1或3或8．
故答案为：1或3或8．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质，注意分类讨论是解题的关键．12．()
2,4
【分析】过点B作BC⊥OA于点C，由题意易得OA=10，然后由勾股定理可得AB=△BOC∽△AOB，设OC=x，则有BC=2x，最后利用勾股定理可求解．
【详解】解：过点B作BC⊥OA于点C，如图所示：
∵∠B=∠BCO=90°，∠BOA=∠BOA，
∴△BOC∽△AOB，
∵点()10,0A ，
∴OA=10，
∵OB =
∴AB ==
∴AB=2OB ，
∴BC=2OC ，
∴在Rt △BOC 中，
222OB BC OC =+，即2520OC =，
∴2OC =，
∴BC=4，
∴点B 的坐标为()2,4；
故答案为()2,4．
【点睛】本题主要考查相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
13．①②③
【分析】由旋转性质得AD=AC ，∠ADE=∠C ，利用AD=AC 得到∠ADC=∠C ，即可推出
∠ADC=∠ADE ，判断①正确；根据∠E=∠B ，∠AFE=∠BFD ，即可证明△AEF ∽△DBF ，判断②正确；利用三角形的外角性质判断③正确；由∠FAD 不一定等于∠CAD ，不能证明△ADF 全等于△ADC ，故CD 不一定等于DF ，由此判断④错误．
【详解】由旋转得：AD=AC ，∠ADE=∠C ，
∵AD=AC ，
∴∠ADC=∠C ，
∴∠ADC=∠ADE ，即DA 平分∠EDC ，故①正确；
∵∠E=∠B ，∠AFE=∠BFD ，
∴△AEF ∽△DBF ，故②正确；
∵∠ADB=∠ADE+∠BDF=∠C+∠CAD ，∠ADE=∠C ，
∴BDF CAD ∠=∠，故③正确；
∵∠FAD 不一定等于∠CAD ，AD=AD ，∠ADC=∠ADE ，
∴不能证明△ADF 全等于△ADC ，
故CD 不一定等于DF ，
∴DE-DF 不一定等于BC-CD ，即无法证明EF=BD ，故④错误；
故答案为：①②③．
【点睛】此题考查旋转的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定及性质，三角形的外角性质，是一道三角形的综合题．
14．9
【分析】先根据光的反射定律得出∠ACB=∠ECD ，再得出Rt △ACB ∽Rt △ECD ，根据相似三角形对应边成比例即可得出结论.
【详解】已知CD= 12m ，AB= 1.5m ，BC=2m ，
根据光的反射定律，∠ACB=∠ECD,又∠ABC=∠EDC
∴Rt △ACB ∽Rt △ECD ∴
AB BC DE CD =, 即1.5212
DE =, 解得DE=9
故答案为:9
【点睛】本题考查的是相似三角形的实际应用，熟知相似三角形的对应边成比例是解答此题的关键. 15． 92
818 【分析】连接BD ，由勾股定理分别求出AB 、AD 的长，由勾股定理的逆定理得出△ABD 为等腰直角三角形，继而由=ABD BCD ABCD S S
S +四边形，利用面积公式进行计算即可得 四边形ABCD 的面积；由相似的性质可得出2
ABCD
EFGH S BC S GF ⎛⎫= ⎪⎝⎭四变形四边形，代入值即可得出四边形EFGH 的面积． 【详解】连接BD ，如图，
由图可知，AB =
AD ==
BD =4BC =，
∵222+5510AB AD BD =+==，
∴ △ABD 为等腰直角三角形，
∴
22115==22
2ABD S AB =⨯，11=41=222BCD S BC h ⨯⨯=⨯⨯， ∴59==+2=22
ABD BCD ABCD S S S +四边形； ∵四边形EFGH 与四边形ABCD 相似，
∴42=63
BC CD AB AD GF HG EF EH ====， ∴2
2224==39ABCD
EFGH
S BC S
GF ⎛⎫= ⎪⎝⎭四变形四边形，
由（1）求得
9
=
2
ABCD
S
四边形
，
∴
9981
==
248
EFGH
S
四边形
；
故答案为：9
2
；
81
8
【点睛】本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，相似三角形的性质，能灵活运用相关定理和性质进行推理和计算是解题的关键．相似三角形对应线段（对应高、对应中线、对应角平分线）的比等于相似比，相似三角形面积的比等于相似比的平方．
16．8
【分析】入射角等于反射角，两个直角相等，那么图中的两个三角形相似，利用对应边成比例可求得树高．
【详解】如图：
∵∠ABC=∠DBE，∠ACB=∠DEB=90°，
∴△ABC∽△DBE，
∴BC：BE=AC：DE，
即1：5=1.6：DE，
∴DE=8m，
故答案为：8．
【点睛】本题考查了相似三角形性质的应用．解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．
17．8
【分析】根据平行四边形的性质得到△CBF∽△DEF，根据相似三角形的性质即可求解．
【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC//AE，BC=AD
∴△CBF∽△DEF
∵DE＝1
2
AD
∴DE＝1
2
BC
∴△CBF 与△DEF 的相似比为2：1
∵△DEF 的面积为2
∴△CBF 为22×2=8
故答案为：8．
【点睛】此题主要考查相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质，解题的关键是熟知相似三角形的面积比等于相似比的平方．
18．9
【分析】由//DE BC ，证得△ADE ∽△ABC ，推出
13
AD AB =，根据相似三角形的性质即可得到答案． 【详解】∵//DE BC ，
∴△ADE ∽△ABC ，
∴相似比=AD AB ， ∵1AD =，2BD =，
∴AB=AD+BD=3， ∴
13AD AB =， ∴2()9S ABC AB S ADE AD
==△△， 故答案为：9．
【点睛】此题考查相似三角形的判定及性质，熟记相似三角形的性质：相似三角形的面积的比等于相似比的平方，由此证明三角形相似解答．
19．见解析
【分析】根据平行线的性质可得A CDE ∠=∠，结合
AB AD DC DE
=可证△ABD ∽△DCE ，由相似三角形的性质即可证明结论．
【详解】证明：∵AB ∥CD ，
∴A CDE ∠=∠． ∵AB AD DC DE =， ∴△ABD ∽△DCE ．
∴B C ∠=∠．
【点睛】本题主要考查了三角形相似的判定与性质，掌握相似三角形的判定与性质并能根据已知准确选择判定方法是解题的关键．
20．AC =；DC =3．
【分析】根据相似三角形的性质及角平分线的定义即可求解．
【详解】证明： 如图
∵△ABC ∽△ACD ，
∴∠1=∠B ，AD AC AC AB
= 又∵CD 是平分∠ACB ，
∴∠1=∠2，
∴∠2=∠B ，
∴BD =DC ．
∵BD =3，
∴DC =3；
又∵AD =2，BD =3，
∴AB=5 由AD AC AC AB
= 得2AC AD AB =
即2AC =2×5=10
∴AC =．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质即角平分线性质，解题关键是熟练掌握相似三角形的性质及角平分线的定义．
21．6AB =
【分析】由B D ∠=∠，AOB COD ∠=∠可得出AOB COD ∽，利用相似三角形的性质可得出
AO CO AB CD =，代入4AO =，2CO =，3CD =即可求出AB 的长．
【详解】据题意，AOB COD ∠=∠；
又∵ B D ∠=∠，
∴ AOB COD ∽；
∴ AO CO AB CD
=； ∵ 4AO =，2CO =，3CD =，
∴ 6AB =．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，牢记相似三角形对应边的比相等是解题的关键．
22．（1）见解析；（2）50°
【分析】（1）由AD AB AE AC ⋅=⋅得AD AE AC AB
=，由两边对应成比例且夹角相等得△ADE ∽△ACB ； （2）由△ADE ∽△ACB ，得∠ADE =∠ACB =75°，再由∠B =55°及三角形的内角和为180°可求出∠A ．
【详解】（1）证明：∵AD AB AE AC ⋅=⋅， ∴AD AE AC AB
=. 又∵∠A =∠A ，
∴△ADE ∽△ACB ；
（2）解：∵△ADE ∽△ACB ，
∴∠ADE =∠ACB ，
∵∠ADE =75°，∴∠ACB =75°.
又∵∠B =55°，
∴∠A =180°-∠ACB -∠B =50°．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质、三角形的内角和定理，熟记定理是解题的关键． 23．（1）证明见解析；（2）3BC =，154
CD =． 【分析】（1）先根据角平分线的定义可得BAC CAD ∠=∠，再根据相似三角形的判定即可得证；
（2）先利用勾股定理可求出BC 的长，再利用相似三角形的性质即可得CD 的长．
【详解】（1）AD 平分BAD ∠，
BAC CAD ∴∠=∠，
在ABC 和ACD △中，90BAC CAD B ACD ∠=∠⎧⎨∠=∠=︒⎩
， ABC ACD ~∴；
（2）在Rt ABC 中，90B ∠=︒，4AB =，5AC =， 2222543BC AC AB ，
由（1）已证：ABC
ACD ， AC CD AB BC ∴=，即543
CD =， 解得154
CD =． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．
24．（1）见解析；（2）116
． 【分析】（1）由角平分线的性质得出∠BAF=∠DAF ，再根据平行线的性质得出∠BAF=∠AFB ，最后得出结果； （2）先证△EFC ∽△EAD ，再利用相似三角形的性质求解即可．
【详解】（1）证明：∵AM 平分BAD ∠，
∴∠BAF=∠DAF ，
∵//BF AD ，
∴∠AFB=∠DAF ，
∴∠BAF=∠AFB ，
∴AB BF =；
（2）∵CF BF =，AB BF =，
∴AB=CF=1
∵//BF AD ，1,4AB CF AD ===，
∴△EFC ∽△EAD ， ∴1=4
FC EF AD AE = ， ∴:EFC EAD S S =211()416
=． 【点睛】本题考查了角平分线的性质，平行线的性质及相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握这些性质．
25．（1）证明见解析；（2）92
． 【分析】（1）根据角平分线的性质可知∠BAC=∠CAD ，再根据题意∠B=∠ACD ，即可证明
△ABC ∽△ACD ．
（2）利用三角形相似的性质，可知
AC AD AB AC =，再根据题意AB 和AC 的长，即可求出AD ． 【详解】（1）∵AC 分∠BAD ，
∴∠BAC=∠CAD ，
∵∠B=∠ACD ，
∴ △ABC ∽△ACD ．
（2）∵△ABC ∽△ACD ，
∴ AC AD AB AC
=， ∵AB=2，AC=3，
∴AD=92
． 【点睛】本题考查角平分线的性质、三角形相似的判定和性质．掌握三角形相似的判定条件是解答本题的关键．。