完整版高一函数大题训练带答案解析

完整版高一函数大题训练带答案解析
一、解答题
1．已知函数()f x 满足()()22f x f x +=，当()0,2x ∈时，()1ln 2f x x ax a ⎛
⎫=+<- ⎪⎝
⎭，当
()4,2x ∈--时，()f x 的最大值为-4. （1）求()0,2x ∈时函数()f x 的解析式；
（2）是否存在实数b 使得不等式
()x b
x f x x
->+对于()()0,11,2x ∈时恒成立，若存在，求
出实数b 的取值集合，若不存在，说明理由. 2．已知偶函数
满足：当
时，
，当
时，
.
(1)求当
时，
的表达式； (2)试讨论：当实数
满足什么条件时，函数
有4个零点，且这4个零点
从小到大依次构成等差数列.
3．已知函数2
1()|1|,R.f x x x =-∈我们定义
211312()(()),()(()),,f x f f x f x f f x ==11()(()).n n f x f f x -=其中2,3,.n =
（1）判断函数1()f x 的奇偶性，并给出理由； （2）求方程13()()f x f x =的实数根个数；
（3）已知实数0x 满足00()(),i j f x f x m ==其中1,0 1.i j n m ≤<≤<<求实数m 的所有可能值构成的集合.
4．已知函数()()21f x x x a x R =--+∈. （1）当1a =时，求函数()y f x =的零点.
（2）当30,2a ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
，求函数()y f x =在[]1,2x ∈上的最大值；
（3）对于给定的正数a ，有一个最大的正数()T a ，使()0,x T a ∈⎡⎤⎣⎦时，都有()1f x ≤，试求出这个正数()T a 的表达式.
5．已知2()2(1)3()=-++∈f ax x a x R a .
（1）若函数()f x 在3
[,3]2
单调递减，求实数a 的取值范围；
（2）令()()1=-f x h x x ，若存在123,[,3]2∈x x ，使得121
()()2
+-≥a h x h x 成立，求实数a 的取值范围.
6．对于函数()f x ，若存在定义域中的实数a ，b 满足0b a >>且()()2(
)02
a b
f a f b f +==≠，则称函数()f x 为“M 类” 函数. （1）试判断()sin f x x =，x ∈R 是否是“M 类” 函数，并说明理由；
（2）若函数()2|log 1|f x x =-，()0,x n ∈，*n N ∈为“M 类” 函数，求n 的最小值. 7．对于函数()()f x x D ∈，若存在正常数T ，使得对任意的x D ∈，都有()()f x T f x +≥成立，我们称函数()f x 为“T 同比不减函数”．
（1）求证：对任意正常数T ，()2
f x x =都不是“T 同比不减函数”；
（2）若函数()sin f x kx x =+是“
2
π
同比不减函数”，求k 的取值范围； （3）是否存在正常数T ，使得函数()11f x x x x =+--+为“T 同比不减函数”，若存在，求T 的取值范围；若不存在，请说明理由．
8．已知定义在R 上的函数()x ϕ的图像是一条连续不断的曲线，且在任意区间上()x ϕ都不是常值函数.设011i i n a t t t t t b -=<<
<<<
<=，其中分点121n t t t -、、、将区间[],a b 任意
划分成()
*
n n N ∈个小区间[]1,i i t t -，记
{}()()()()()()01121,,n n M a b n t t t t t t ϕϕϕϕϕϕ-=-+-++-，称为()x ϕ关于区间[],a b 的
n 阶划分“落差总和”.
当{},,M a b n 取得最大值且n 取得最小值0n 时，称()x ϕ存在“最佳划分”{}0,,M a b n . (1)已知()x x ϕ=，求{}1,2,2M -的最大值0M ；
(2)已知()()a b ϕϕ<，求证：()x ϕ在[],a b 上存在“最佳划分”{},,1M a b 的充要条件是()x ϕ在[],a b 上单调递增.
(3)若()x ϕ是偶函数且存在“最佳划分”{}0,,M a a n -，求证：0n 是偶数，且00110i i n t t t t t -++
+++
=.
9．已知集合M 是满足下列性质的函数()f x 的全体；在定义域内存在实数t ，使得
(2)()(2)f t f t f +=+．
（1）判断()32f x x =+是否属于集合M ，并说明理由； （2）若2()lg
2
a
f x x =+属于集合M ，求实数a 的取值范围； （3）若2()2x f x bx =+，求证：对任意实数b ，都有()f x M ∈．
10．定义在D 上的函数()y f x =，如果满足：对任意x D ∈，存在常数0M >，都有|()|f x M ≤成立，则称函数()y f x =是D 上的有界函数，其中M 称为函数的上界.已知函数
1112()1,()2412x x
x x m f x a g x m -⋅⎛⎫⎛⎫
=+⋅+=
⎪ ⎪+⋅⎝⎭⎝⎭
. （1）当1a =时，求函数()y f x =在(,0)-∞上的值域，并判断函数()y f x =在(,0)-∞上是否为有界函数，请说明理由；
（2）若函数()y f x =在[0,)+∞上是以3为上界的有界函数，求实数a 的取值范围； （3）若0m >，函数()y g x =在[]0,1上的上界是()T m ，求()T m 的解析式. 11．已知函数()y f x =的定义域D ，值域为A .
（1）下列哪个函数满足值域为R ，且单调递增？（不必说明理由）
①()1tan[()],(0,1)2
f x x x π=-∈，②()1
lg(1),(0,1)g x x x =-∈.
（2）已知12
()log (21),()sin 2,f x x g x x =+=函数[()]f g x 的值域[1,0]A =-，试求出满足条件
的函数[()]f g x 一个定义域D ；
（3）若D A ==R ，且对任意的,x y R ∈，有()()()f x y f x f y -=-，证明：
()()()f x y f x f y +=+.
12．已知函数()f x ，对任意a ，b R ∈恒有()()()f a b f a f b 1+=+-，且当x 0>时，有
()f x 1>．
(Ⅰ)求()f 0；
(Ⅱ)求证：()f x 在R 上为增函数；
(Ⅲ)若关于x 的不等式(
()222f[2log x)4f 4t 2log x 2⎤-+-<⎦对于任意11x ,82⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
恒成立，求实数t 的取值范围．
13．对于函数f （x ），若f （x 0）=x 0，则称x 0为f （x ）的“不动点”；若f [f （x 0）]=x 0，则称x 0为f （x ）的“稳定点”满足函数f （x ）的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为A 和B ，即A ={x |f （x ）=x }，B ={x |f [f （x ）]=x }． （Ⅰ）设f （x ）=x 2-2，求集合A 和B ； （Ⅱ）若f （x ）=x 2-a ，且满足∅
A =
B ，求实数a 的取值范围．
14．对于函数()f x ，若在定义域内存在实数0x ，满足00()()f x f x -=-，则称()f x 为“M 类函数”.
（1）已知函数()sin()3
f x x π
=+，试判断()f x 是否为“M 类函数”？并说明理由；
（2）设()2x f x m =+是定义在[1,1]-上的“M 类函数”，求是实数m 的最小值；
（3）若22log (2)()3
x mx f x ⎧-=⎨-⎩,2
,2x x ≥<为其定义域上的“M 类函数”，求实数m 的取值范围.
15．一般地，我们把函数1110()()N --=∈n n n n h x a x a x a x a n ++++称为多项式函数，其中系数0a ，1a ，…, n a ∈R ．设()f x ，()g x 为两个多项式函数，且对所有的实数x 等式
[()][()]f g x g f x =恒成立．
（1）若2()3f x x =+，()(0)g x kx b k =+≠． ①求()g x 的表达式； ②解不等式()()5f x g x ->．
（2）若方程()()f x g x =无实数根，证明方程[()][()]f f x g g x =也无实数解．
【参考答案】
一、解答题
1．（1）f （x ）＝lnx －x ；（2）{1} 【解析】 【详解】
试题分析：（1）由已知得：f （x ）＝2f （x ＋2）＝4f （x ＋4），设x ∈（－4，－2）时，则x ＋4∈（0，2），代入x ∈（0，2）时，f （x ）＝lnx ＋ax （a ＜−1
2），求出f （x ＋4）＝ln （x ＋4）＋a （x ＋4），再根据当x ∈（－4，－2）时，f （x ）的最大值为－4，利用导数求得它的最大值，解方程即可求得a 的值，进而求得结论； （2）假设存在实数b
使得不等式
()x b
f x x
->+对于x ∈（0，1）∪（1，2）时恒成立，由
（1）可得：x ∈（0，1）∪（1，2
）时，不等式
()x b
f x x
->+恒成立，利用分离参数的方
法，转化为求函数的最值问题，即可求得b 的值． 试题解析：（1）由已知，f （x ）＝2f （x ＋2）＝4f （x ＋4） 当x ∈（0，2）时，f （x ）＝lnx ＋ax （a ＜－1
2） 当x ∈（－4，－2）时，x ＋4∈（0，2）， ∴f （x ＋4）＝ln （x ＋4）＋a （x ＋4）
∴当x ∈（－4，－2）时，f （x ）＝4f （x ＋4）＝4ln （x ＋4）＋4a （x ＋4）
∴f '（x ）＝44
x +＋4a ＝4a•1
44
x a x ++
+， ∵a ＜−1
2，∴−4＜−1a
−4＜−2，
∴当x ∈（−4， −1a
−4）时，f′（x ）＞0，f （x ）为增函数， 当x ∈（−1a
−4，−2）时，f′（x ）＜0，f （x ）为减函数， ∴f （x ）max ＝f （−1a
−4）＝4ln （−1a
）＋4a （−1a
）＝−4，∴a ＝－1 ∴当x ∈（0，2）时，f （x ）＝lnx －x
（2）由（1）可得：x ∈（0，1）∪（1，2
）时，不等式()x b
f x x
->+
即为
ln x b
x
-> ①当x ∈（0，1
）时，
ln x b
x
- ⇒b ＞
，令g （x ）＝
，x ∈（0，1） 则g′（x ）＝
令h （x ）＝2x −lnx−2， 则当x ∈（0，1）时，h′（x ）＝
11
x x -＝1x x
-＜0 ∴h （x ）＞h （1）＝0，∴g ′（x ）＝
()
2h x x
＞0， ∴g （x ）＜g （1）＝1，故此时只需b≥1即可； ②当x ∈（1，2）时，
ln x b
x x
-> ⇒b ＜x−x lnx ，令φ（x ）＝x−x lnx ，x ∈（1，2） 则φ′（x ）＝1−
ln 12x x x -＝2ln 12x x x
-- 令h （x ）＝2x −lnx−2， 则当x ∈（1，2）时，h′（x ）＝
11
x x -＝1x x
-＞0 ∴h （x ）＞h （1）＝0，∴φ′（x ）＝
()
2h x x
＞0， ∴φ（x ）＞φ（1）＝1，故此时只需b≤1即可， 综上所述：b ＝1，因此满足题中b 的取值集合为：{1}
考点：利用导数研究函数的单调性，最值，函数的周期性，不等式恒成立问题，分类讨论．
2．（1）()()(2)f x x a x =+--；（2）①23a <+时，34
m =；②4a =时，1m =；
③1047
3a +>时，23201216a a m -+=
. 【解析】 【详解】
(1)因为f(x)为偶函数，只需用-x 代替中的x 即可得到当
时，的表达式; (2)
零点
，
与
交点有4个且均匀分布.所以
,然后再分或24a <<或或四种情况讨论求出m 的
值．解：（1）设则，
又偶函数
所以， ………………………3分 （2）
零点，
与
交点有4个且均匀分布
（Ⅰ）时， 得，
所以时， …………………………5分 （Ⅱ）24a <<且时 ， ，
所以 时，
……………………………7分
（Ⅲ）
时m=1时 符合题意………………… ……8分
（IV ）时，，,m
此时
所以 （舍） 且时，时存在 ………10分
综上： ①时，
②时，
③
时，
符合题意 ………12分
3．（1）偶函数；答案见解析；（2）实数根个数为11；（3）51⎧-⎪
⎨⎪⎪⎩⎭
.
【解析】
（1）由函数奇偶性的定义运算即可得解；
（2）令1()f x t =，转化条件为0=t 或151-15
+，再解方程即可得解；
（3）按照51m ⎛-∈ ⎝⎭、51m ⎫-∈⎪⎪⎝⎭分类，结合函数的单调性可得()(1,2,
,)k f m m k n ≠=，再代入51m -=.
【详解】
（1）因为1()f x 的定义域R 关于原点是对称的，
又22
11()|()1||1|()f x x x f x -=--=-=，故函数1()f x 是偶函数；
（2）令1()f x t =，则0t ≥，
于是()()22
31211()()()|1|1t f x f f x f f t t ====--，
于是22|1|1t t -=+或22|1|1.t t -=-
又0t ≥，解得0=t 或1，
则方程13()()f x f x =的实数根个数即为2
10x -=或1的根的总个数，
解得1x =±或0或 所以方程13()()f x f x =的实数根个数为11； （3）因为01m <<，
当(0,1)m ∈时，1()f m 在(0,1)单调递减，且1(0)1f =，1(1)0f =， 则12(),(),
,()n f m f m f m 的值域均为(0,1)，
①当m ⎛∈ ⎝⎭时，2
1()1f m m ⎫=-∈⎪⎪⎝⎭，于是1
()f m m >，
因为当m ⎛∈ ⎝
⎭时，210m m +-<， 所以()()()()
42222
211110m m m m m m m m m m m -+-=---=-+-<，
所以()()()()21422
21112f m f f m m m m m ==--=-+<，即2()f m m <， 注意到1()f x 在(0,1)单调递减，
于是()()()3121413112()()(),()()()()f m f f m f m f m f f m f f m f m =>=<=，
()()()()514123615134()()()(),()()()(),.f m f f m f f m f m f m f f m f f m f m =>==<=
于是6421350()()()()()()1f m f m f m m f m f m f m <
<<<<<<<<
<，
②当m ⎫∈⎪⎪⎝⎭时，类比同理可得 5312460()()()()()()1f m f m f m m f m f m f m <
<<<<<<<<
<，
于是当(0,1)m ∈且m ≠
()(1,2,,)k f m m k n ≠=，
若0()i f x m =，其中(0,1)m ∈，m ≠
则().j i f m m -≠，即()00()()j i i i f f x f x -≠，也就是00()()j i f x f x ≠；
当m =
()i f x 的值域为[)0,+∞，所以存在0x 使得0()i f x =
又1f ⎝⎭
所以()()()(
)()
011011
10()()()j j i f x f f x f f f f x -==
==
，
即00()()i j f x f x ==
所以实数m
的所有可能值构成的集合为⎪⎪⎩⎭
.
【点睛】
本题考查了函数奇偶性、函数与方程及函数单调性的应用，考查了运算求解能力，属于难题.
4．（1
）零点为11；（2）max
12,0,21
()1,1,2354,1,2a a f x a a a ⎧<≤⎪⎪⎪=<<⎨⎪
⎪
-≤<⎪⎩
；（3
）
()a a T a a a ⎧≥⎪=⎨+<<⎪⎩
【解析】 【分析】
（1）将1a =代入，令()0f x =，去掉绝对值直接求解即可得出零点；
（2）依题意，最大值在()()()1,2,2f f f a 中取得，然后分类讨论即可得出答案； （3）问题可转化为在给定区间内()1f x ≥-恒成立，分211a -+≤-及211a -+>-讨论得出答案． 【详解】
（1）当1a =时，()2221,22121,2x x x f x x x x x x ⎧-++≥=--+=⎨-+<⎩
，
令2210-++=x x
，解得：1x =
1舍)； 令2210x x -+=，解得：1x =； ∴函数()y f x =
的零点为11；
（2）由题意得：()2221,221,2x ax x a
f x x ax x a ⎧-++≥=⎨-+<⎩
，其中()()021f f a ==，
30,2a ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
，∴最大值在()()()1,2,2f f f a 中取. 当021a <≤，即102
a <≤时，()f x 在[]1,2上单调递减，()()max 12f x f a ∴==； 当122a a <<<，即
1
12
a <<时，()f x 在[]1,2a 上单调递增，[]2,2a 上单调递减， ()()max 21f x f a ∴==；
当122a a ≤<<，即12a ≤<时，()f x 在[]1,a 上单调递减，[],2a 上单调递增，
()()(){}max max 1,2f x f f ∴=；
()()()()122254230f f a a a -=---=-<，()()max 254f x f a ∴==-；
综上所述：()max
12,021
1,12354,12a a f x a a a ⎧
<≤⎪⎪⎪=<<⎨⎪
⎪
-≤<⎪⎩
；
（3）()0,x ∈+∞时，0x -<，20x a -≥，()max 1f x ∴=， ∴问题转化为在给定区间内()1f x ≥-恒成立.
()21f a a =-+，分两种情况讨论：
当211a -+≤-时，()T a 是方程2211x ax -+=-的较小根，
即a ≥(
)T a a =
当211a -+>-时，()T a 是方程2211x ax -++=-的较大根，
即0a <<(
)T a a =；
综上所述：(
)a a T a a a ⎧⎪=⎨
<<⎪⎩ 【点睛】
本题考查函数的最值及其几何意义，函数的零点与方程根的关系，属于难题. 5．（1）12a ≤（2
）4([,).5
∈-∞⋃+∞a 【解析】
【分析】
（1）对a 讨论，0a =，0a >，0a <，结合二次函数的图象和单调性的性质，得到不等式组，解不等式即可得到a 的范围；
（2）由题意可得在3[,3]2∈x 上，max min 1()()2+-≥a h x h x 成立， 1()(1)21a
h x a x x -=-+
--，令11[,2]2
=-∈t x ，则11
()2,[,2]2a g t a t t t -=⋅+-∈．对a 讨论，（i ）当0a ≤时，（ii ）当01a <<时，求出单调性和最值，即可得到a 的范围.
【详解】
（1）①当0a =时，()23f x x =-+，显然满足，
②0101
23a a a a >⎧⎪
⇒<<+⎨≥⎪⎩，③0
0132a a a a <⎧⎪⇒<+⎨≤⎪⎩， 综上实数a 的取值范围：1
2
a ≤
. （2）存在123,[,3]2∈x x ，使得121
()()2
+-≥a h x h x 成立即：
在3[,3]2∈x 上，max min 1
()()2
+-≥a h x h x ，
因为()1()(1)211-=
=-+---f x a h x a x x x ，令1
1[,2]2=-∈t x ， 则11
()2,[,2]2
a g t a t t t -=⋅+
-∈ （i ）当0a ≤时，()g t 在1
[,2]2t ∈上单调递减，所以max min 1()()2+-≥a g t g t ，
等价于112
()(2)227
+-≥
⇒≤a g g a ，所以0a ≤； （ii ）当01a <<时，1()()2-=+-a
a g t a t t ，
()g t 在上单调递减，在)+∞上单调递增.
①1
2
≤时，即451a ≤<，()g t 在1[,2]2t ∈上单调递增.
由max min 1()()2+-≥a g t g t 得到114
(2)()225+-≥
⇒≥a g g a ，所以45
1a ≤<.
②2≥时，即105a <≤，()g t 在1[,2]2t ∈上单调递减，
由max min 1()()2+-≥a g t g t 得到112()(2)227
+-≥
⇒≤a g g a ，所以1
05a <≤.
③当
122<<时，即1455a <<，min ()=g t g ，最大值则在(2)g 与1()2g 中取较
大者，
作差比较13
(2)()322
-=-g g a ，得到分类讨论标准：
a .当1152<<a 时，13(2)()3022-=-<g g a ，此时max 1
()()2
=g t g ，
由max min 1
()()2
+-≥
a g t g t ，
得到211()32409022a g g a a a +-≥⇒-+≥⇒≥或a ≤，
所以15<≤a
b .当
1425≤<a 时，13
(2)()3022
-=->g g a ，此时max ()(2)=g t g ，
由max min 1()()2+-≥a g t g t ，得到14
(2)25
+-≥⇒≥≥a g g a a ，此时无解，
在此类讨论中，4
[,1).5
∈⋃a
c .当1a ≥，()g t 在1
[,2]2t ∈上单调递增，由max min 1()()2+-≥a g t g t ，
得到114
(2)()225
+-≥
⇒≥a g g a ，所以1a ≥，
综合以上三大类情况，4
([,).5
∈-∞⋃+∞a 【点睛】
本题考查函数的单调性的应用，考查存在性问题的解法，注意运用分类讨论的思想方法，以及转化思想，考查运算能力，属于难题. 6．（1）不是.见解析（2）最小值为7. 【解析】
（1）不是，假设()f x 为M 类函数，得到2b a k π=+或者2b a k ππ+=+，代入验证不成立.
（2）()22
1log ,02
log 1,2x x f x x x -<≤⎧=⎨->⎩，得到函数的单调区间，根据题意得到
326480b b b ---=，得到()6,7b ∈，得到答案. 【详解】 （1）不是.
假设()f x 为M 类函数，则存在0b a >>，使得sin sin a b =， 则2b a k π=+，k Z ∈或者2b a k ππ+=+，k Z ∈， 由sin 2sin
2
a b
a +=， 当2
b a k π=+，k Z ∈时，有()sin 2sin a a k π=+，k Z ∈， 所以sin 2sin a a =±，可得sin 0a =，不成立；
当2b a k ππ+=+，k Z ∈时，有sin 2sin()2
a k π
π=+，k Z ∈，
所以sin 2a =±，不成立， 所以()f x 不为M 类函数.
（2）()22
1log ,02log 1,2x x f x x x -<≤⎧=⎨->⎩，则()f x 在()0,2单调递减，在()2,+∞单调递增，
又因为()f x 是M 类函数，
所以存在02a b <<<，满足2221log log 12|log 1|2
a b
a b +-=-=-， 由等式可得：()2log 2ab =，则4ab =，
所以()2
2142(4)0222a a b a a a
-+-=+-=
>， 则2
log 102a b +->，所以得22
log 12log 12a b b +⎛
⎫-=- ⎪⎝⎭
，
从而有222log 1log 2a b b +⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则有()224
a b b +=，即2
48b b b ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 所以43288160b b b -++=，则()()
32
26480b b b b ----=，
由2b >，则326480b b b ---=，
令()32648g x x x x =---，当26x <<时，()()2
6480g x x x x =---<，且
()6320g =-<，()7130g =>，且()g x 连续不断，由零点存在性定理可得存在()6,7b ∈， 使得()0g b =，此时()0,2a ∈，因此n 的最小值为7. 【点睛】
本题考查了函数的新定义问题，意在考查学生对于函数的理解能力和应用能力. 7．（1）证明见解析 （2
）k ≥（3）存在，4T ≥
【解析】 【分析】
（1）取特殊值使得()()f x f x T ≤+不成立，即可证明；
（2）根据“T 同比不减函数”的定义，sin sin 22k x x kx x ππ⎛⎫⎛
⎫+++≥+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭恒成立，分离参数
k ，构造函数，转化为k 与函数的最值关系，即可求出结果；
（3）去绝对值化简函数()f x 解析式，根据“T 同比不减函数”的定义，取1x =-，因为
()()()1113f T f f -+≥-==成立，求出T 的范围，然后证明对任意的x ∈R ，()()f x T f x +≥恒成立，即可求出结论. 【详解】
证明：（1）任取正常数T ，存在0x T =-，所以00x T +=，
因为()()()()2
000f x f T T f f x T =-=>=+，
即()()f x f x T ≤+不恒成立，
所以()2
f x x =不是“T 同比不减函数”.
（2）因为函数()sin f x kx x =+是“
2
π
同比不减函数”， 所以()2f x f x π⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭恒成立，即sin sin 22k x x kx x ππ⎛⎫⎛
⎫+++≥+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭恒成立，
(
)2sin cos 4x x x k ππ
π
⎛
⎫- ⎪
-⎝⎭≥=
对一切x ∈R 成立.
所以max
4x k ππ⎛⎫⎛
⎫- ⎪ ⎪⎝⎭
⎪≥= ⎪
⎪⎝⎭ （3）设函数()11f x x x x =+--+是“T 同比不减函数”，
()()()()211121x x f x x x x x ⎧-≥⎪
=--<<⎨⎪+≤-⎩
，
当1x =-时，因为()()()1113f T f f -+≥-==成立， 所以13T -+≥，所以4T ≥， 而另一方面，若4T ≥， （Ⅰ）当(],1x ∈-∞-时，
()()()112f x T f x x T x T x T x +-=+++--++-+ 112T x T x T =++--++-
因为()()1111x T x T x T x T +--++≥-+--++2=-， 所以()()220f x T f x T +-≥--≥，所以有()()f x T f x +≥成立. （Ⅱ）当()1,x ∈-+∞时，
()()()211f x T f x x T x x x +-=+--+--+
211T x x =---++
因为()()11112x x x x +--≥-+--=-， 所以()()220f x T f x T +-≥--≥， 即()()f x T f x +≥成立.
综上，恒有有()()f x T f x +≥成立， 所以T 的取值范围是[)4,+∞. 【点睛】
本题考查新定义的理解和应用，考查等价转化思想，考查从特殊到一般的解决问题方法，属于较难题.
8．(1)3；(2)见解析；(3)见解析 【解析】 【分析】
(1)直接利用题中给的定义求解即可；
(2)利用函数的单调性和数列的信息应用求出充要条件；
(3)利用函数的奇偶性和存在的最佳划分，进一步建立函数的单调区间，最后求出函数的关系式. 【详解】
(1)()()()()010023M ϕϕϕϕ=--+-=； (2)若()x ϕ在[],a b 上单调递增，则
{}()()()(){}11,,,,1n
i i i M a b n t t b a M a b ϕϕϕϕ-==-=-=⎡⎤⎣⎦∑，
故()x ϕ在[],a b 上存在“最佳划分”{},,1M a b
若()x ϕ在[],a b 上存在“最佳划分”{},,1M a b ，倘若()x ϕ在[],a b 上不单调递增， 则存在[]()()121212,,,,x x a b x x x x ϕϕ∈<>.
由()()()()()()()()1122a b a x x x x b ϕϕϕϕϕϕϕϕ-≤-+-+-（*）
等号当且仅当()()()()()()11220,0,0a x x x x b ϕϕϕϕϕϕ-≥->-≥时取得，此时
()()()()()()()()()()11220a b a x x x x b a b ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ-=-+-+-=-<，与题设矛盾，
舍去，故（*）式中等号不成立，即：增加分点12,x x 后，“落差总和”会增加，故{},,M a b n 取最大值时n 的最小值大于1，与条件矛盾. 所以()x ϕ在[],a b 上单调递增；
(3)由(2)的证明过程可知，在任间区间[],a b 上，若()x ϕ存在最佳划分{},,1a b ，则当
()()a b ϕϕ=时，()x ϕ为常值函数（舍）；当()()a b ϕϕ<时，()x ϕ单调递增；当()()a b ϕϕ>时，()x ϕ单调递减，
若()x ϕ在[],a b 上存在最佳划分{}0,,M a b n ，则此时在每个小区间[]()10,1,2,
,i i t t i n -=上均
为最佳划分{}1,,1i i M t t -.否则，添加分点后可使()x ϕ在[],a b 上的“落差总和”增大，从而
{}0,,M a b n 不是“落差总和”的最大值，与“()x ϕ在[],a b 上存在最佳划分{}0,,M a b n ”矛盾，
故()x ϕ在每个小区间[]()10,1,2,
,i i t t i n -=上都是单调，
若()x ϕ在[],a b 上存在最佳划分{}0,,M a b n ，则()x ϕ在相邻的两个区间[][]11,,i i i i t t t t -+、上具有不同的单调性，否则，()()()()()()11111i i i i i t t t t t t ϕϕϕϕϕϕ-+-+-=-+-，
减少分点i t ，“落差总和”的值不变，而n 的值减少1，故n 的最小值不是0n ，与“()x ϕ在
[],a b 上存在最佳划分{}0,,M a b n ”矛盾，
()x ϕ存在“最佳划分”{}0,,M a a n -，故()x ϕ在每个小区间[]()10,1,2,
,i i t t i n -=上都单调，
而()x ϕ是偶函数，故()x ϕ在y 轴两侧的单调区间对称，共有偶数个单调区间，且当
000,1,
,
2n i j n i ⎛
⎫
+== ⎪⎝
⎭
时，0i j t t +=，从而有00120n t t t t ++++=.
【点睛】
本题是信息给予题，考查了数学阅读能力，考查了函数和数列的综合应用能力，考查了数学运算能力.
9．（1）不属于,理由详见解析；（2）[12-+；（3）详见解析. 【解析】 【分析】
（1）利用f （x ）＝3x +2，通过f （t +2）＝f （t ）+f （2）推出方程无解，说明f （x ）＝3x +2不属于集合M ； （2）由()22
a f x lg
x =+属于集合M ，推出()222622a a a lg lg lg x x =++++有实解，即（a ﹣6）x 2+4ax +6（a ﹣2）＝0有实解，对参数分类讨论，利用判断式求解即可；
（3）当f （x ）＝2x +bx 2时，方程f （x +2）＝f （x ）+f （2）⇔3×2x +4bx ﹣4＝0，令g （x ）＝3×2x +4bx ﹣4，则g （x ）在R 上的图象是连续的，当b ≥0时，当b ＜0时，判断函数是否有零点，证明对任意实数b ，都有f （x ）∈M ． 【详解】
解：（1）当()32f x x =+时，方程(2)()(2)38310f t f t f t t +=+⇔+=+ 此方程无解，所以不存在实数t ，使得(2)()(2)f t f t f +=+， 故()32f x x =+不属于集合M ﹒ （2）由2()lg 2
a
f x x =+，属于集合M ，可得 方程22lg
lg lg (2)226
a a a
x x =++++有实解
()22(2)262a x x ⎡⎤⇔++=+⎣⎦有实解2
(6)46(2)0a x ax a ⇔-++-=有实解，
若6a =时，上述方程有实解；
若6a ≠时，有21624(6)(2)0a a a ∆=---≥
，解得1212a -≤≤+， 故所求a
的取值范围是[12-+．
（3）当2()2x f x bx =+时，方程(2)()(2)f x f x f +=+⇔ 2222(2)24432440x+x x b x bx b bx ++=+++⇔⨯+-=，
令()3244x g x bx =⨯+-，则()g x 在R 上的图像是连续的，
当0b ≥时，(0)10g =-<，(1)240g b =+>，故()g x 在(0,1)内至少有一个零点
当0b <时，(0)10g =-<，1
1320b g b ⎛⎫
=⨯> ⎪⎝⎭
，故()g x 在1,0b ⎛⎫ ⎪⎝⎭内至少有一个零点
故对任意的实数b ，()g x 在R 上都有零点，即方程(2)()(2)f x f x f +=+总有解， 所以对任意实数b ，都有()f x M ∈． 【点睛】
本题考查抽象函数的应用，函数的零点以及方程根的关系，考查转化思想以及计算能力．
10．（1）见解析；（2）51a -≤≤；（3
）1,012()12,12m m m
T m m m m ⎧-<≤⎪
+⎪=⎨-⎪
⎪+⎩.
【解析】 【分析】
（1）通过判断函数()y f x =的单调性，求出()y f x =的值域，进而可判断()y f x =在
(,0)-∞上是否为有界函数；
（2）利用题中所给定义，列出不等式，换元，转化为恒成立问题，通过分参求构造函数的最值，就可求得实数a 的取值范围；
（3）通过分离常数法求()y g x =的值域，利用新定义进而求得()T m 的解析式． 【详解】
（1）当1a =时，11()124x x
f x ⎛⎫⎛⎫
=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，由于()f x 在(,0)-∞上递减，
∴()(0)3,f x f >=∴函数()y f x =在(,0)-∞上的值域为(3,)+∞，故不存在常数0M >，使得|()|f x M ≤成立，∴函数()y f x =在(,0)-∞上不是有界函数 （2）
()y f x =在[0,)+∞上是以3为上界的有界函数，即|()|3f x ≤，令12x
t ⎛⎫= ⎪⎝⎭
，则1131324x
x
a ⎛⎫⎛⎫-≤+⋅+≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，即2
313,01at t t -≤++≤<<
由213at t ++≤得2
(01)a t t t
≤-<<， 令2
()(01)h t t t t
=
-<<，()h t 在(0,1)上单调递减，所以()(1)1h t h >= 由213at t ++≥-得4(01)a t t t ⎛⎫
≥-+<< ⎪⎝⎭
，
令4()(01)h t t t t ⎛⎫
=-+<< ⎪⎝⎭
，()h t 在(0,1)上单调递增，所以()(1)5h t h <=-
所以51a -≤≤；
（3）122
()1,0,01,()1221
x x x
m g x m x g x m m -⋅==->≤≤∴+⋅⋅+在[]0,1上递减， (1)()(0)g g x g ∴≤≤，即
121()121m m
g x m m
--≤≤++， 当1121|2m m m m --≥++
时，即当0m <≤1|()|1m g x m -≤+
当
1121|2m m m m --<++
时，即当m >时，12|()|12m g x m -≤+
∴1,012()12,12m m m
T m m m m ⎧-<≤⎪
+⎪=⎨
-⎪>⎪+⎩. 【点睛】
本题主要考查学生利用所学知识解决创新问题的能力，涉及到函数求值域的有关方法，以及恒成立问题的常见解决思想．
11．（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析 【解析】 【分析】
（1）由正切函数与对数函数的性质可直接判断；
（2）由()()[]12
log 2sin211,0f g x x ⎡
⎤=+∈-⎣⎦，得[]2sin211,2x +∈，进而利用正弦函数的性质列式求解即可；
（3）利用反证法，假设存在,a b 使得()()()f a b f a f b +≠+，结合条件推出矛盾即可证得.
【详解】
（1）()()1tan ,0,12f x x x π⎡⎤
⎛⎫=-∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦满足.
()()1lg 1,0,1g x x x ⎛⎫
=-∈ ⎪⎝⎭
不满足.
（2）因为()()[]12
log 2sin211,0f g x x ⎡
⎤=+∈-⎣⎦，所以[]2sin211,2,x +∈ 即1sin20,2x ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，
所以][522,22,2,.66x k k k k k Z πππππππ⎡⎤
∈+⋃+
+∈⎢⎥⎣⎦
所以][5,,,,12122x k k k k k Z πππππππ⎡
⎤∈+⋃+
+∈⎢⎥⎣
⎦ 满足条件的0,12D π⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦
（答案不唯一）.
（3）假设存在,a b 使得()()()f a b f a f b +≠+ 又有()()()()()(),f a f a b f b f b f a b f a =+-=+-， 所以()()()()()(),f a f a b f b f b f a b f a -=+--=+-，
结合两式：()()(),0f a f b f a b =+=，所以()()()0f b f a f a b --=+=， 故()()()f a f b f a -==.
由于()()()f a b f a f b +≠+知：()0f a ≠.
又()()1
2222
a a a f f a f f f a ⎛⎫
⎛⎫⎛⎫=-
⇒= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 类似地，由于()0f a -≠，()22a a f f a f ⎛⎫
⎛⎫
-=--
- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
得()()1
122
2a f f a f a ⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭.
所以()022a a f a f f ⎛⎫
⎛⎫
=-
-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，与()0f a ≠矛盾，所以原命题成立. 【点睛】
本题主要考查了复合函数的性质及反证法的证明，属于难题. 12．（Ⅰ）()f 01=； （Ⅱ）见解析； （Ⅲ）t 5<-. 【解析】 【分析】
(Ⅰ)根据题意，由特殊值法分析：令a b 0==，则()()f 02f 01=-，变形可得()f 0的值，
(Ⅱ)任取1x ，2x R ∈，且设12x x <，则21x x 0->，结合()()()f a b f a f b 1+=+-，分析可
得()()21f x f x >，结合函数的单调性分析可得答案；
(Ⅲ)根据题意，原不等式可以变形为(
()222f[2log x)2log x 4t 4f 0⎤-+-<⎦，结合函数的单调
性可得2
222(log x)2log x 4t 40-+-<，令2m log x =，则原问题转化为22m 2m 4t 40
-+-<在[]m 3,1∈--上恒成立，即24t 2m 2m 4<-++对任意[]m 3,1∈--恒成立，结合二次函数的性质分析可得答案． 【详解】
(Ⅰ)根据题意，在()()()f a b f a f b 1+=+-中，
令a b 0==，则()()f 02f 01=-，则有()f 01=；
(Ⅱ)证明：任取1x ，2x R ∈，且设12x x <，则21x x 0->，()21f x x 1->，
又由()()()f a b f a f b 1+=+-，
则()()()()()()221121111f x f x x x f x x f x 11f x 1f x ⎡⎤=-+=-+->+-=⎣⎦， 则有()()21f x f x >， 故()f x 在R 上为增函数．
(Ⅲ)根据题意，][(
222f[2log x)4f 4t 2log x 2⎤-+-<⎦，
即][(222f[2log x)4f 4t 2log x 11⎤-+--<⎦，则(
222f[2log x)2log x 4t 41⎤-+-<⎦，
又由()f 01=，则(
()2
22f[2log x)2log x 4t 4f 0⎤-+-<⎦，
又由()f x 在R 上为增函数，则2
222(log x)2log x 4t 40-+-<，
令2m log x =，11x ,82⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，则3m 1-≤≤-，
则原问题转化为22m 2m 4t 40-+-<在[]m 3,1∈--上恒成立， 即24t 2m 2m 4<-++对任意[]m 3,1∈--恒成立， 令2y 2m 2m 4=-++，只需4t y <最小值，
而2
219y 2m 2m 42(m )22
=-++=--+，[]m 3,1∈--，
当m 3=-时，y 20=-最小值，则4t 20<-． 故t 的取值范围是t 5<-． 【点睛】
本题考查函数的恒成立问题，涉及抽象函数的单调性以及求值，其中解答中合理利用函数的单调性和合理完成恒成立问题的转化是解答的关键，同时注意特殊值法的应用，着重考查了转化思想，以及分析问题和解答问题的能力，属于中档试题．
13．（Ⅰ）A ={-1，2}；B -13}（Ⅱ）[-14，3
4
]
【解析】 【分析】
（Ⅰ）由f （x ）=x 得x 2-x -2=0，解得x =-1，x =2，故A ={-1，2}；由f （f （x ））=x ，可得f （x 2-2）=x ，即（x 2-2）2-（x 2-2）-2=x ；求解x 可得集合B ．
（Ⅱ）理解A =B 时，它表示方程x 2-a =x 与方程（x 2-a ）2-a =x 有相同的实根，根据这个分析得出关于a 的方程求出a 的值． 【详解】
（Ⅰ）由f （x ）=x 得x 2-x -2=0，解得x =-1，x =2，故A ={-1，2}； 由f （f （x ））=x ，可得f （x 2-2）=x ，即（x 2-2）2-（x 2-2）-2=x ； 即x 4-2x 3-6x 2+6x +9=0，
即（x +1）（x -3）（x 2-3）=0，解得x =-1，x =3，x x B -13}； （Ⅱ）∵∅
A =
B ，
∴x 2-a =x 有实根，即x 2-x -a =0有实根，则△=1+4a ≥0，解得a ≥-1
4
由（x 2-a ）2-a =x ，即x 4-2ax 2-x +a 2-a =0的左边有因式x 2-x -a ， 从而有（x 2-x -a ）（x 2+x -a +1）=0． ∵A =B ，
∴x 2+x -a +1=0要么没有实根，要么实根是方程x 2-x -a =0的根． 若x 2+x -a +1=0没有实根，则a ＜3
4
；
若x 2+x -a +1=0有实根且实根是方程x 2-x -a =0的根， 由于两个方程的二次项系数相同，一次项系数不同， 故此时x 2+x -a +1=0有两个相等的根-12，此时a =3
4
方程x 2-x -a =0可化为：方程x 2-x -3
4=0满足条件，
故a 的取值范围是[-14，3
4
]．
【点睛】
本题考查对新概念的理解和运用的能力，同时考查了集合间的关系和方程根的相关知识，解题过程中体现了分类讨论的数学思想．
14．（1）函数()sin()3
f x x π=+是“M 类函数”；（2）5
4-；（3）[1,1)-.
【解析】 【详解】
试题分析：(1) 由()()f x f x -=-，得sin()sin()33x x ππ-+=-+整理可得02
x R π
=∈满足
00()()f x f x -=-
(2) 由题存在实数0[1,1]x ∈-满足00()()f x f x -=-，即方程2220x x m -++=在[1,1]-上有解.令12[,2]2x
t =∈分离参数可得11()2m t t =-+，设11()()2g t t t =-+求值域，可得
m 取最小值5
4
-
(3) 由题即存在实数0x ，满足00()()f x f x -=-，分02x ≥，022x -<<，02x ≤-三种情况讨论可得实数m 的取值范围.
试题解析：（1）由()()f x f x -=-，得：sin()sin()33
x x ππ
-+=-+
0x = 所以存在02
x R π
=
∈满足00()()f x f x -=-
所以函数()sin()3
f x x π
=+是“M 类函数”，
（2）因为()2x f x m =+是定义在[1,1]-上的“M 类函数”， 所以存在实数0[1,1]x ∈-满足00()()f x f x -=-， 即方程2220x x m -++=在[1,1]-上有解. 令12[,2]2
x
t =∈
则11()2m t t =-+，因为11()()2g t t t =-+在1
[,1]2
上递增，在[1,2]上递减
所以当12
t =
或2t =时，m 取最小值5
4-
（3）由220x mx ->对2x ≥恒成立，得1m <
因为若22log (2)()3x mx f x ⎧-=⎨-⎩
,2
,2x x ≥<为其定义域上的“M 类函数”
所以存在实数0x ，满足00()()f x f x -=-
①当02x ≥时，02x -≤-，所以2
2003log (2)x mx -=--，所以00
142m x x =
- 因为函数14
2y x x
=
-（2x ≥）是增函数，所以1m ≥- ②当022x -<<时，022x -<-<，所以33-=，矛盾
③当02x ≤-时，02x -≥，所以2
200log (2)3x mx +=，所以00142m x x =-+
因为函数14
2y x x
=-+(2)x ≤-是减函数，所以1m ≥-
综上所述，实数m 的取值范围是[1,1)-
点睛:已知方程有根问题可转化为函数有零点问题，求参数常用的方法和思路有： (1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成函数的值域问题解决；
(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一个平面直角坐标系中，画出函数的图像，然后数形结合求解.
15．（1）①()g x x =．②{2x x >或1}x <-． （2）证明见解析． 【解析】 【详解】
试题分析：（Ⅰ）根据已知条件f[g （x ）]=g[f （x ）]直接代入求解即可．
（Ⅱ）证明无解考虑用反证法证明，假设有解，与已知条件推出矛盾． 试题解析：
（Ⅰ）①∵()()f g x g f x ⎡⎤⎡⎤=⎣⎦⎣⎦，
即有()()
222223233kx b k x kbx b k x b ++=+++=++， 即有2222233k x kbx b kx k b +++=++，
∴2
22033k k kb b k b ⎧=⎪=⎨⎪+=+⎩
， 解得10
k b =⎧⎨=⎩． ∴()g x x =．
②()()5f x g x ->，即235x x -+>，
解得2x >或1x <-．
（Ⅱ）反证法：设()()()F x f x g x =-，
则()()()F f x f f x g f x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-⎣⎦⎣⎦⎣⎦，
()()()F g x f g x g g x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-⎣⎦⎣⎦⎣⎦，
若结论成立，则()()0F f x F g x ⎡⎤⎡⎤+=⎣⎦⎣⎦，
即()()F f x F g x ⎡⎤⎡⎤=-⎣⎦⎣⎦，
说明存在一点a 介于()f x 与()g x 之间，
满足()0F a =．
∵()()f x g x =无实数解，则()0F x =永远不成立，
∴假设不成立，
∴原命题成立．。