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专题四、动力学中的临界问题
在动力学问题中，常常会出现临界状态，对于此类问题的解法一般有以下三种方法：
1．极限法：
在题目中如果出现“最大”、“最小”、“刚好”等关键词时，一般隐藏着临界问题，处理
这类问题时，常常把物理问题或过程推向极端，从而将临界状态及临界条件显露出来，达到
尽快求解的目的。

[ 例1] 如图1— 1 所示，质量为m的物体放在水平地面上，物体与地面间的动摩擦因数
为，对物体施加一个与水平方向成角的力F，试求：
（1）物体在水平面上运动时力 F 的最小值；
（2）物体在水平面上运动所获得的最大加速度。

解析：要使物体能够运动，水平方向的力必须要大于最大静摩擦力（近似等于此时的滑
动摩擦力），当力 F 有极小值时，物体恰好在水平面上做匀速直线运动，对物体的受力如图
1— 2 所示，由图示得：
F
F min cos ①F min sin N mg ②
N
﹚θ
解得：
mg
F ③
min
cos sin
图1— 1
当力 F 有最大值时，物体将脱离水平面，此时地面对物体的支持力恰好为零，根据受力
分析得：N
F y F
F cos ma
max ④F max sin mg ⑤﹚θ
F X
解得：
mg
F ⑥
max
sin
G
图1— 2 ∴
物体在水平面上运动所获得的最大加速度： a gctg ⑦
则物体在水平面上运动时F 的范围应满足：
cos m g
sin
≤
F≤
mg
sin
[ 例2] 如图甲，质量为m=1Kg的物块放在倾角为θ的斜面上，斜面体质量为M=2Kg，斜
面与物块间的动摩擦因数μ=0.2 ，地面光滑，θ=37
0，现对斜面体施一水平推力F，要使物体m相对斜面静止，力F应为多大？（设物体与斜面间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，g
取10m/s 2 ）
[ 解析] ：现采用极限法把
F 推向两个极端来分析：当 F
较大时（足够大），物块将相
对斜面上滑；当F较小时（趋
于零），物块将沿斜面加速下
滑；因此 F 不能太小，也不能
太大，F 的取值是一个范围
（1）设物块处于相对斜
面向下滑的临界状态时，推力
为F1，此时物块受力如图乙，取加速度 a 的方向为x轴正方向。

对m：x 方向：NSinθ- μNCosθ=ma1
y 方向：NCosθ+μNSinθ-mg=0
对整体：F1=（M+m）a1
把已知条件代入，解得：a1=4.78m/s 2，F
1=14.34N
1=14.34N
（2）设物块处于相对斜面向上滑的临界状态时，推力为F2，此时物块受力如图丙，
对m：x 方向：NSinθ+μNCosθ=ma2
y 方向：NCosθ- μNSinθ-mg=0
对整体：F2=（M+m）a2
把已知条件代入，解得：a2=11.2m/s 2，F
2=33.6N
2=33.6N
则力 F 的范围：14.34N ≤F≤33.6N
[ 例3] 如图2— 1 所示，质量均为M的两个木块A、B 在水平力 F 的作用下，一起沿光滑的水平面运动， A 与B的接触面光滑，且与水平面的夹角为60°
，求使 A 与B 一起运动时的水平力 F 的范围。

解析：当水平推力 F 很小时，A与B一起作匀加速运动，当F较大时，B对A的弹力竖直向上的分力等于A的重力时，F
A B
﹚60°
图2— 1 地
面对A的支持力为零，此后，物体 A 将会相对B滑动。

显而易见，本题的临界条件就是水平力F为某一值时，恰好使A沿AB面向上滑动，即物体A对地面的压力恰好为零，受力分析如图2—2。

对整体： F 2Ma ①
N 隔离A：
N 0 ②A
F ﹚60°
F N o
sin 60 Ma ③
G 图2— 2
N o
cos60 Mg 0 ④
联立上式解得： F 2 3M g
∴水平力 F 的范围是：0＜F≤ 2 3Mg
[ 例4] 如图1所示，光滑小球恰好放在木块的圆弧槽中，它左边的接触点为A，槽的半径为R，且OA与水平线成α角，通过实验知道，当木块的加速度过大时，小球可以从槽中
滚出来，圆球的质量为m，木块的质量为M，各种摩擦及绳和滑轮的质量不计，则木块向右
的加速度最小为多大时，小球恰好能滚出圆弧槽。

图1
解析：当木块加速度a=0 时，小球受重力和支持力，支持力的作用点在最低处。

当木
块加速度逐渐增大，支持力的作用点移到 A 点时，小球将滚出圆弧槽，此状态为临界状态，
小球受力如图 2 所示，由牛顿第二定律有，得，当木块向右的加速度至少为时小球能滚出圆弧槽。

图2
点拨：当圆弧槽静止时，小球受到支持力的作用点在最低处，当圆弧槽的加速度逐渐增
大时，支持力的作用点逐渐向 A 点靠近，当支持力的作用点在 A 处时，圆弧槽的加速度最大，
圆弧槽加速度再增大，小球会从圆弧槽内滚出来。

确定临界点，是求解此题的关键。

2．假设法：
有些物理过程没有出现明显的临界问题的线索，但在变化过程中可能出现临界状态，也可能不会出现临界状态，解答此类问题，一般用假设法，即假设出现某种临界状态，物体的
受力情况及运动状态与题设是否相符，最后再根据实际情况进行处理。

[ 例5] 一斜面放在水平地面上，倾角为= 53°，一个质量为0.2kg 的小球用细绳吊在
斜面顶端，如图3—1 所示。

斜面静止时，球紧靠在斜面上，绳与斜面平行，不计斜面与水
平面的摩擦，当斜面以 2
10m / s 的加速度向右运动时，求细绳的拉力及斜面对小球的弹力。

T
a ﹚θma
﹚θG
图3— 2
图3—1
解析：根据题意，先分析物理情景：斜面由静
止向右加速运动过程中，斜面对小球的支持力将会
随着 a 的增大而减小，当 a 较小时（a→0），小球受
到三个力（重力、细绳拉力和斜面的支持力）作用，此时细绳平行于斜面；当 a 足够大时，斜面对小球的支持力将会减少到零，小球将会“飞离”斜面，此时绳与水平方向的夹角将会
大于角。

而题中给出的斜面向右的加速度 2
a 10m / s ，到底是属于上述两种情况的哪一
种，必须先假定小球能够脱离斜面，然后求出小球刚刚脱离斜面的临界加速度才能断定，这
是解决此类问题的关键所在。

设小球刚刚脱离斜面时斜面向右的加速度为a，此时斜面对小球的支持力恰好为零，
小球只受到重力和细绳的拉力，且细绳仍然与斜面平行。

对小球受力分析如图3—2 所示。

易知：mgctg ma ∴
2 a
0 gctg 7.5m/ s
∵ 2
a 10m / s ＞a0
∴小球已离开斜面，斜面的支持力N = 0 ，
同理，由图3—2 的受力分析可知（注意：此时细绳与斜面的夹角小于）, 细绳的拉力：
2 ma 2
T = (mg )( ) 2 2 2.83 牛方向沿着细绳向上。

[ 例6] 一个物体沿摩擦因数一定的斜面加速下滑，下列图象，哪个比较准确地描述了加
速度 a 与斜面倾角θ的关系？
[ 解析] ：设摩擦因数为μ，则a=gSin θ- μgCosθ
做如下几种假设：
（1）当θ=0 时，物体静止在水平面上，a=0
（2）当θ=arctg μ时，物体开始匀速下滑，a=0
（3）当θ>arctg μ时，物体加速下滑，a>0
0=0，加速度达到极限值，a=g 即物体做自由落体运动。

（4）当θ=90 时，F=μmgCos90
综上假设，不难判断出“D”答案是合理的。

[ 例7] 如图 3 所示，质量为m=1kg的物块放在倾角为的斜面体上，斜面质量为，斜面与物块间的动摩擦因数为，地面光滑，现对斜面体施一水平推力F，要使物体m相对斜面静止，试确定推力 F 的取值范围。

（）
图3
解析：：此题有两个临界条件，当推力 F 较小时，物块有相对斜面向下运动的可能性，
此时物体受到的摩擦力沿斜面向上；当推力 F 较大时，物块有相对斜面向上运动的可能性，
此时物体受到的摩擦力沿斜面向下。

找准临界状态，是求解此题的关键。

（1）设物块处于相对斜面向下滑动的临界状态时的推力为F1，此时物块受力如图 4 所示，取加速度的方向为x 轴正方向。

图4
对物块分析，在水平方向有
竖直方向有
对整体有
代入数值得
（2）设物块处于相对斜面向上滑动的临界状态时的推力为F2
对物块分析，在水平方向有
竖直方向有，
对整体有
代入数值得。

综上所述可知推力 F 的取值范围为：
3．数学方法：
将物理过程转化为数学表达式，然后根据数学中求极值的方法，求出临界条件。

如二次函数、不等式、三角函数等等。

[ 例8] 如图4—1 所示，质量为M的木块与水平地面的动摩擦因数为，用大小为 F 的恒力使木块沿地面向右作直线运动，木块M 可视为质点，则怎
F 样施力才能使木块产生最大的加速度？最大加速度为多少？
解析：设当力 F 与水平方向成角时，M的加速度最大，
﹚θ图4—2 所示，对M有，
F cos (Mg F sin ) Ma ①
图4—1
N
F
﹚
θ f
G。