高考数学总复习 第十一篇 概率与统计 易失分点清零10课件 理

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解析 X的可能取值为3,4,5.
P(X＝3)＝133＋233＝13；
P(X＝4)＝C23×232×13×23＋C23×132×23×13＝1207；
P(X＝5)＝C24×232×132×23＋13＝287.所以X的分布列为
X3 4 5
P
1 3
10 27
8 27
所以E(X)＝3×13＋4×1207＋5×287＝12077.故填12077.
易失分点清零(十) 计数原理、统计与概率
易失分点1 不能选择恰当的方法求解几种常见的排列组合
问题
【示例1】 现有8个人排成一排照相，其中甲、乙、丙3人
不能相邻的排法有
( )．
A．A36·A55种 C．A35·A33种
B．(A88－A66·A33)种 D．(A88－A46)种
解析 在8个人全排列的方法数中减去甲、乙、丙全相邻的
易失分点6 分布列的性质把握不准致错 【示例6】► 某射手有5发子弹，射击一次命中的概率为0.9.
如果命中就停止射击，否则一直到子弹用尽，求耗用子弹 数ξ的分布列． 解 P(ξ＝1)＝0.9，P(ξ＝2)＝0.1×0.9＝0.09， P(ξ＝3)＝0.1×0.1×0.9＝0.009， P(ξ＝4)＝0.1×0.1×0.1×0.9＝0.000 9. 当ξ＝5时，只要前四次射击不中都要射第5发子弹，第5发 子弹可能射中也可能射不中．
易失分点7 求分布列错误而致均值或方差错误
【示例7】► 下午第三节体育课进行篮球达标测试，规定：
每位同学有5次投篮机会，若投中3次，则达标；否则，
不达标．为了节约时间，同时规定：若投篮不到5次就
达标，则停止投篮；若前3次均未投中，不能达标，则
停止投篮．已知李俊同学投篮的命中率为
2 3
，且每次投
篮互不影响，设X为测试中李俊投篮的次数，则E(X)＝
警示 解本题容易出错的地方，一是对“恰有2次”、“至 少有2次”理解错误，误用二项分布；二是对随机事件“5次 预报中恰有2次准确，且其中第3次预报准确”的意义理解错 误，不能把问题归结为“在第1，2，4，5次预报中有1次准 确，在第3次也预报准确”，出现仍然用5次独立重复试验的 概率模型解决问题的错误.
，依题意，得C
2 n
＝C
7 n
，于是n＝2＋
7＝9.所以在(2x＋1)9的展开式中，所有项的系数之和等于
(2×1＋1)9＝39，故选C.
答案 C
频率 易失分点3 混淆频率与组距致误 【示例3】► 某棉纺厂为了解一批棉花的质量，从中随机抽 测了100根棉花纤维的长度(棉花纤维的长度是棉花质量 的重要指标)，所得数据均在区间[5,40]中，其频率分布直 方图如图所示，则在抽测的100根中，有________根棉花 纤维的长度小于20 mm.
解析 由频率分布直方图可得，棉花纤维长度小于20 mm的 频率为(0.01＋0.01＋0.04)×5＝0.3，则棉花纤维长度小于20 mm的频数为100×0.3＝30(根)． 答案 30
警示 考生误认为频率分布直方图中纵轴表示的是频率，这 是错误的，而是“频率/组距”，所以频率对应的不是矩形 的高，而是该矩形的面积.
易失分点5 不能确定随机变量的取值及概率而致错 【示例5】► 甲、乙两个排球队进行比赛，规定两队中有一
队胜4场，整个比赛就结束，若甲、乙两队每场比赛中 获胜的概率都是12，记比赛的场数为x，求x的概率分布．
解 由题意可知，x的可能取值是4,5,6,7.当x＝4时，意味着 甲队或乙队胜了4场． ∴P(x＝4)＝2C44·124·120＝18； 当x＝5时，意味着甲队在第5场获胜，前4场中胜3场或乙队 在第5场获胜，前4场中胜3场．
解析 由两组数据的散点图可看出样本B的数据一般均高于 样本A，即得 x A< x B，又由样本B的波动程度小于样本A的波 动程度，可知sA>sB，故应选B. 答案 B
警示 没有掌握方差与稳定性的关系，或混淆两者的关系， 方差越小，就代表稳定性越好.同时要注意方差的计算公 式，考生常常易在运算方面出现错误.
果保留到小数点后面第2位) (1)5次预报中恰有2次准确的概率； (2)5次预报中至少有2次准确的概率； (3)5次预报中恰有2次准确，且其中第3次预报准确的概 率．
解 设“5次预报中恰有2次准确”为事件A，“5次预报中 至少有2次准确”为事件B，“5次预报恰有2次准确，且其 中第3次预报准确”为事件C. (1)P(A)＝C254521－453＝10×1265×1125≈0.05. (2)P(B)＝1－C054501－455－C15×451－454 ≈0.99. (3)P(C)＝C14×451－453×45≈0.02.
答案
107 27
警示 明确随机变量X取值的意义.X＝3表示前3次投篮全中 或全不中；X＝4表示前3次投篮中2次投中且第4次也投中或 前3次投篮中2次未中且第4次也未中；而X＝5表示前4次投篮 中2次投中，第5次投中或未中.
易失分点8 对二项分布理解不准而致错 【示例8】► 某气象站天气预报的准确率为80 %，计算：(结
∴P(x＝5)＝2C34·123·121×12＝14； 同理，P(x＝6)＝2C35123·122×12＝156， P(x＝7)＝2C36·123·123×12＝156. ∴x的分布列为
x45 6 7
P
1 8
1 4
5 16
5 16
警示 以下几种情况下，不能正确求出分布列： (1)不能正变量取某值的概率.
∴P(ξ＝5)＝0.15＋0.14×0.9＝0.14， ∴耗用子弹数ξ的分布列为
ξ1 2
3
4
5
P 0.9 0.09 0.009 0.000 9 0.000 1
警示 ξ＝5时应包含的两种情形：一是前4发都没有命中， 恰好第5发命中，概率为0.14×0.9；二是5发子弹均未命中目 标，概率为0.15，所以P(ξ＝5)＝0.14×0.9＋0.15＝0.0001，或 P(ξ＝5)＝1－(0.9＋0.09＋0.009＋0.0009)＝0.0001，而易发生 P(ξ＝5)＝0.15或P(ξ＝5)＝0.14×0.9等错误.发生错误的原因一 是对ξ的取值情况漏解或考虑不全面，二是对分布列性质不 理解，不会应用分布列中概率和为1进行检验.
易失分点4 对样本特征数理解不透彻致误
【示例4】► 如图，样本A和B分别取自两个不同的总体，它
们的样本平均数分别为 x A和 x B，样本标准差分别为sA和
sB，则
( )．
A. x A> x B，sA>sB C. x A> x B，sA<sB
B. x A< x B，sA>sB D. x A< x B，sA<sB
方法数，就得到甲、乙、丙3人不相邻的方法数，即A
8 8
－
A66·A33，故选B.
答案 B
警示 (1)本题易出现的错误是把“甲、乙、丙3人不能相 邻”理解为“甲、乙、丙3人互不相邻”的情况，使结果中 遗漏甲、乙、丙3人中有两人相邻的情况. (2)不相邻与间隔问题是不同的，不相邻问题可以直接利用插 空法求解，即先排其他元素，然后把不相邻的元素插空；而 元素的间隔问题则指定了元素之间间隔的元素个数，应先排 好指定的元素，然后从其他元素中选出m个元素排好放在指 定元素中间，一起捆绑，再与剩余的元素排列.
易失分点2 混淆二项式系数与项的系数而致误
【示例2】► 若在(2x＋1)n的展开式中，第3项的二项式系数与
第8项的二项式系数相等，则其展开式中所有项的系数之
和等于
( )．
A．29
B．211
C．39
D．311
解析
在(2x＋1)n的展开式中，第3项的二项式系数是C
2 n
，
第8项的二项式系数是C
7 n