中考数学复习(福建专版 ) 第39课时 圆
合集下载
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
备考指导
· 类型1 与圆的性质有关的证明或计算 · 类型2 矩形与切线有关的证明或计算 · 类型3 与动点结合 · 类型4 与坐标系结合 · 类型5 四点共圆
类型1 与圆的性质有关的证明或计算【福建2022年， 2019年，2018年考过】 例1 【2022福建8分】如图1，△ABC内接于⊙O，AD∥BC
∴A︵C的长＝1501×8π0×3＝52π.
(答图1)
例2 【2018福建12分】已知四边形ABCD是⊙O的内接四边 形，AC是⊙O的直径，DE⊥AB，垂足为E.
(1)延长DE交⊙O于点F，延长DC，FB交于点P，如图2①.求 证：PC＝PB；
(图2)
证明：∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC＝90°. ∵DE⊥AB，∴∠DEA＝90°＝∠ABC， ∴BC∥DF，∴∠F＝∠PBC. ∵四边形BCDF是⊙O的内接四边形， ∴∠F＋∠DCB＝180°. 又∵∠PCB＋∠DCB＝180°，∴∠F＝∠PCB， ∴∠PBC＝∠PCB，∴PC＝PB.
设DE交AC于点N.∵BC∥DE，∴∠ONH＝∠ACB＝60°，
∴∠NOH＝180°－(∠ONH＋∠OHD)＝40°，
∴∠DOC＝∠DOH－∠NOH＝40°.
∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA， ∴∠OAD＝ 1∠DOC＝20°，∴∠CBD＝∠OAD＝20°.
2 ∵BC∥DE，∴∠BDE＝∠CBD＝20°.
＝20°，所以∠BDE＝20°
例3 【2019福建12分】如图3，四边形ABCD内接于⊙O，AB ＝AC，AC⊥BD，垂足为E，点F在BD的延长线上，且 DF＝DC，连接AF，CF.
(1)求证：∠BAC＝2∠CAD；
(图3)
证明：∵AB＝AC，∴ A︵B＝A︵C ，∠ABC＝∠ACB，
∴∠ABC＝
【2018福建12分】已知四边形ABCD是⊙O的内接四边 形，AC是⊙O的直径，DE⊥AB，垂足为E. (2)过点B作BG⊥AD，垂足为G，BG交DE于点H，且点O和点 A都在DE的左侧，如图2②.若AB＝ 3 ，DH＝1，∠OHD ＝80°，求∠BDE的大小．
(图2)
解：如答图2，连接OD，
∵AC是⊙O的直径，∴∠ADC＝90°.
分析
易得1 ∠ACB＝60°，故∠CAB＝30°，故BC ＝ 2 AC＝OD，进而得BC＝DH＝OD
由DH＝OD得∠DOH＝80°，由BC∥DE得 ∠ONH＝__6_0_°____(N为DE与AC的交点)，故 ∠NOH＝40°，故∠COD＝__4_0_°____，由三
角形外角定理得∠OAD＝20°，所以∠CBD
∴AB2－AE2＝BC2－CE2，即100－x2＝80－(10－x)2，
解得x＝6，
∴AE＝6，CE＝4，∴易得BE＝8.
∵∠ECD＝∠ABD，∠CED＝∠BEA，
∴△CED∽△BEA，∴ DAEE＝CBEE， ∴DE＝ AEB·ECE＝6×84＝3， ∴BD＝BE＋DE＝8＋3＝11.
(答图3)
∵BG⊥AD，∴∠AGB＝90°＝∠ADC，∴BG∥DC. (答图2) ∵BC∥DE，∴四边形DHBC是平行四边形，
∴BC＝DH＝1. 在Rt△ABC中，AB＝ 3，BC＝1，∴tan∠ACB＝ ABBC＝ 3， ∴∠ACB＝60°，∴∠CAB＝30°，
∴BC＝AC＝OD
1 2
(180°－∠BAC)＝90°－
12 ∠BAC.
又∵∠ACB＝∠ADB，∴∠ABC＝∠ADB.
∵AC⊥BD，∴∠AED＝90°，
∴∠ADB＝90°－∠CAD，
∴90°－ 1∠BAC＝90°－∠CAD， 2
∴∠BAC＝2∠CAD.
【2019福建12分】如图3，四边形ABCD内接于⊙O，AB ＝AC，AC⊥BD，垂足为E，点F在BD的延长线上，且 DF＝DC，连接AF，CF. (2)若AF＝10，BC＝4 5，求tan∠BAD的值．
已知条件
分析
由DF＝DC可得∠DFC＝∠DCF.由∠BDC＝
DF＝DC， 2∠DFC结合(1)中结论得∠CFD＝∠CAD，易
AC⊥BD 得∠CFD＝∠CBD，所以CF＝CB. 又由
AC⊥BD即可证得AC垂直平分BF，得AB＝AF
思路导航
问题
分析
由(1)知BC∥DE，所以求∠BDE可转化为求 求∠BDE
∠CBD
已知条件
分析
BG⊥AD
由BG⊥AD且直径所对圆周角∠ADC＝90°， 可得到BG∥DC，又由(1)知BC∥DE，故四边 形DHBC是平行四边形，所以BC＝DH＝1
已知条件 AB＝ 3 ， DH＝1
∠OHD＝ 80°
交⊙O于点D，DF∥AB交BC于点E，交⊙O于点F，连
接AF，CF.
(2)若⊙O的半径为3，∠CAF＝30°，求
︵ AC
的长(结果保留π)．
(图1)
解：如答图1，连接AO，CO.
∵∠AFC＝∠ACF，∠CAF＝30°， ∴∠AFC＝ 180°－ 2 30°＝75°， ∴∠AOC＝2∠AFC＝150°，
交⊙O于点D，DF∥AB交BC于点E，交⊙O于点F，连 接AF，CF. (1)求证：AC＝AF；
(图1)
证明：∵AD∥BC，DF∥AB， ∴四边形ABED是平行四边形， ∴∠B＝∠D. 又∵∠AFC＝∠B，∠ACF＝∠D， ∴∠AFC＝∠ACF，∴AC＝AF.
【2022福建8分】如图1，△ABC内接于⊙O，AD∥BC
(图3)
解：∵DF＝DC，∴∠DFC＝∠DCF， ∴∠BDC＝∠DFC＋∠DCF＝2∠DFC. ∵∠BAC＝∠BDC，且∠BAC＝2∠CAD， ∴∠CFD＝∠CAD. 又∵∠CAD＝∠CBD，∴∠CFD＝∠CBD，∴CB＝CF. 又∵AC⊥BD，∴AC是线段BF的垂直平分线， ∴AB＝AF＝10，∠AEB＝∠CEB＝90°，∴AC＝10. 设AE＝x，则CE＝10－x，
过点D作DH⊥AB于点H，如答图3.
∵12AB·DH＝12BD·AE， ∴DH＝AEA·BBD＝6×1011＝353， ∴BH＝ BD2－DH2＝454， ∴AH＝AB－BH＝10－454＝65， ∴tan∠BAD＝DAHH＝121.
思路导航
问题
分析
可构造直角三角形，求得直角三角形中两条直 求tan∠BAD 角边的长度，即可求得tan∠BAD
· 类型1 与圆的性质有关的证明或计算 · 类型2 矩形与切线有关的证明或计算 · 类型3 与动点结合 · 类型4 与坐标系结合 · 类型5 四点共圆
类型1 与圆的性质有关的证明或计算【福建2022年， 2019年，2018年考过】 例1 【2022福建8分】如图1，△ABC内接于⊙O，AD∥BC
∴A︵C的长＝1501×8π0×3＝52π.
(答图1)
例2 【2018福建12分】已知四边形ABCD是⊙O的内接四边 形，AC是⊙O的直径，DE⊥AB，垂足为E.
(1)延长DE交⊙O于点F，延长DC，FB交于点P，如图2①.求 证：PC＝PB；
(图2)
证明：∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC＝90°. ∵DE⊥AB，∴∠DEA＝90°＝∠ABC， ∴BC∥DF，∴∠F＝∠PBC. ∵四边形BCDF是⊙O的内接四边形， ∴∠F＋∠DCB＝180°. 又∵∠PCB＋∠DCB＝180°，∴∠F＝∠PCB， ∴∠PBC＝∠PCB，∴PC＝PB.
设DE交AC于点N.∵BC∥DE，∴∠ONH＝∠ACB＝60°，
∴∠NOH＝180°－(∠ONH＋∠OHD)＝40°，
∴∠DOC＝∠DOH－∠NOH＝40°.
∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA， ∴∠OAD＝ 1∠DOC＝20°，∴∠CBD＝∠OAD＝20°.
2 ∵BC∥DE，∴∠BDE＝∠CBD＝20°.
＝20°，所以∠BDE＝20°
例3 【2019福建12分】如图3，四边形ABCD内接于⊙O，AB ＝AC，AC⊥BD，垂足为E，点F在BD的延长线上，且 DF＝DC，连接AF，CF.
(1)求证：∠BAC＝2∠CAD；
(图3)
证明：∵AB＝AC，∴ A︵B＝A︵C ，∠ABC＝∠ACB，
∴∠ABC＝
【2018福建12分】已知四边形ABCD是⊙O的内接四边 形，AC是⊙O的直径，DE⊥AB，垂足为E. (2)过点B作BG⊥AD，垂足为G，BG交DE于点H，且点O和点 A都在DE的左侧，如图2②.若AB＝ 3 ，DH＝1，∠OHD ＝80°，求∠BDE的大小．
(图2)
解：如答图2，连接OD，
∵AC是⊙O的直径，∴∠ADC＝90°.
分析
易得1 ∠ACB＝60°，故∠CAB＝30°，故BC ＝ 2 AC＝OD，进而得BC＝DH＝OD
由DH＝OD得∠DOH＝80°，由BC∥DE得 ∠ONH＝__6_0_°____(N为DE与AC的交点)，故 ∠NOH＝40°，故∠COD＝__4_0_°____，由三
角形外角定理得∠OAD＝20°，所以∠CBD
∴AB2－AE2＝BC2－CE2，即100－x2＝80－(10－x)2，
解得x＝6，
∴AE＝6，CE＝4，∴易得BE＝8.
∵∠ECD＝∠ABD，∠CED＝∠BEA，
∴△CED∽△BEA，∴ DAEE＝CBEE， ∴DE＝ AEB·ECE＝6×84＝3， ∴BD＝BE＋DE＝8＋3＝11.
(答图3)
∵BG⊥AD，∴∠AGB＝90°＝∠ADC，∴BG∥DC. (答图2) ∵BC∥DE，∴四边形DHBC是平行四边形，
∴BC＝DH＝1. 在Rt△ABC中，AB＝ 3，BC＝1，∴tan∠ACB＝ ABBC＝ 3， ∴∠ACB＝60°，∴∠CAB＝30°，
∴BC＝AC＝OD
1 2
(180°－∠BAC)＝90°－
12 ∠BAC.
又∵∠ACB＝∠ADB，∴∠ABC＝∠ADB.
∵AC⊥BD，∴∠AED＝90°，
∴∠ADB＝90°－∠CAD，
∴90°－ 1∠BAC＝90°－∠CAD， 2
∴∠BAC＝2∠CAD.
【2019福建12分】如图3，四边形ABCD内接于⊙O，AB ＝AC，AC⊥BD，垂足为E，点F在BD的延长线上，且 DF＝DC，连接AF，CF. (2)若AF＝10，BC＝4 5，求tan∠BAD的值．
已知条件
分析
由DF＝DC可得∠DFC＝∠DCF.由∠BDC＝
DF＝DC， 2∠DFC结合(1)中结论得∠CFD＝∠CAD，易
AC⊥BD 得∠CFD＝∠CBD，所以CF＝CB. 又由
AC⊥BD即可证得AC垂直平分BF，得AB＝AF
思路导航
问题
分析
由(1)知BC∥DE，所以求∠BDE可转化为求 求∠BDE
∠CBD
已知条件
分析
BG⊥AD
由BG⊥AD且直径所对圆周角∠ADC＝90°， 可得到BG∥DC，又由(1)知BC∥DE，故四边 形DHBC是平行四边形，所以BC＝DH＝1
已知条件 AB＝ 3 ， DH＝1
∠OHD＝ 80°
交⊙O于点D，DF∥AB交BC于点E，交⊙O于点F，连
接AF，CF.
(2)若⊙O的半径为3，∠CAF＝30°，求
︵ AC
的长(结果保留π)．
(图1)
解：如答图1，连接AO，CO.
∵∠AFC＝∠ACF，∠CAF＝30°， ∴∠AFC＝ 180°－ 2 30°＝75°， ∴∠AOC＝2∠AFC＝150°，
交⊙O于点D，DF∥AB交BC于点E，交⊙O于点F，连 接AF，CF. (1)求证：AC＝AF；
(图1)
证明：∵AD∥BC，DF∥AB， ∴四边形ABED是平行四边形， ∴∠B＝∠D. 又∵∠AFC＝∠B，∠ACF＝∠D， ∴∠AFC＝∠ACF，∴AC＝AF.
【2022福建8分】如图1，△ABC内接于⊙O，AD∥BC
(图3)
解：∵DF＝DC，∴∠DFC＝∠DCF， ∴∠BDC＝∠DFC＋∠DCF＝2∠DFC. ∵∠BAC＝∠BDC，且∠BAC＝2∠CAD， ∴∠CFD＝∠CAD. 又∵∠CAD＝∠CBD，∴∠CFD＝∠CBD，∴CB＝CF. 又∵AC⊥BD，∴AC是线段BF的垂直平分线， ∴AB＝AF＝10，∠AEB＝∠CEB＝90°，∴AC＝10. 设AE＝x，则CE＝10－x，
过点D作DH⊥AB于点H，如答图3.
∵12AB·DH＝12BD·AE， ∴DH＝AEA·BBD＝6×1011＝353， ∴BH＝ BD2－DH2＝454， ∴AH＝AB－BH＝10－454＝65， ∴tan∠BAD＝DAHH＝121.
思路导航
问题
分析
可构造直角三角形，求得直角三角形中两条直 求tan∠BAD 角边的长度，即可求得tan∠BAD