高三数学上学期摸底测试理试题

普通中学2021-2021学年度高中毕业班摸底测试数 学〔理科〕
制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O 二二年二月七日
本套试卷分第一卷〔选择题〕和第二卷〔非选择题〕两局部，一共22小题，一共150分，一共4页，考试时间是是120分钟，在在考试完毕之后以后，将答题卡和试题卷一起交回。

第一卷〔选择题 一共60分〕
一、选择题：本大题一一共12题，每一小题5分，一共60分，在每一小题给出的四个选项
里面，只有一个是符合题目要求。

1．设全集U=R ，2
2
{|11100,},{|60,}A x x x x N B x x x x R =-+≤∈=+-=∈，那么图中阴影表示的集合为
A ．{2}
B ．{3}
C ．{－3，2}
D ．{－2，3}
2．8tan
3
π
的值是
B.
D. 3．向量a (2,1)=-,b (1,3)=-,a-b 的值是
A. 4
B ． 5
C ． 6
D ． 7
4．从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高〔单位：厘米〕数据绘制成频率分布直方图由图，中数据可知身高在[120，130]内的学生人数为 A ．20 B ．25
a A
B
U
C ．30
D ．35
5．一个几何体的三视图如下图，那么这个几何体的体积为 A.
3
1
B. 1
C. 2
D. 2
6．点),(y x P 在不等式组2y x y x x ≤⎧⎪
≥-⎨⎪≤⎩
表示的平面区域内，那么y x z +=2的最大值为
A. 6
B. 4
C. 2
D. 1
7．向量OA ,OB 的夹角为60°，|OA |=|OB |=2，假设OC =2OA +OB ,那么△ABC 为
A. 等腰三角形
B.
等
边
三
角
形
C. 直角三角形
D. 等腰直角三角形
8．曲线y =2sin ⎪⎭
⎫
⎝
⎛+
4πx cos(
x -4
π
)与直线y =
2
1
相交，假设在y 轴右侧的交点自左向右依次记为P 1 ,P 2 ,P 3 , … ,那么|53p p |等于
A. π
B.
2π C. 3π D. 4π
9．函数1
()lg 3f x x x
=--的零点所在区间为
A ．〔0，1〕
B ．〔1，2〕
C ．〔2，3〕
D ．〔3，+∞〕
10
A ．2
B ．1
正视图
侧视图
俯视图
1
2
22
C ．1-
D ．
12
11．假设不等式2
log 0a x
x -<在〔0，2
1〕内恒成立，
那么a 的取值范围是
A. (
16
1
,1) B. (0,
161
)
C. (0,1)
D. (16
1
,1]
12．定义在R 上的函数()x f 是奇函数又是以2为周期的周期函数,那么
()()()741f f f ++等于
A ． -1
B ． 0
C ． 1
D ． 4
第二卷〔非选择题 一共90分〕
二、填空题：本大题一一共4小题，每一小题5分，一共20分．把答案填在答题卡的相应位置．
13．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c, A=
3
π
, a=3, b=1， 那么c= .
14．设m ，n 为空间的两条直线，α，β为空间的两个平面，给出以下命题：
〔1〕假设m ∥α，m ∥β，那么α∥β；
〔2〕假设m ⊥α，m ⊥β，
那么α∥β；
〔3〕假设m ∥α，n ∥α，那么m ∥n ；
〔4〕假设m ⊥α，n ⊥α，那么m ∥n ． 上述命题中，所有真命题的序号是 ．
15．在正方形ABCD 内任取一点P ，那么使0PA PB >的概率是 . 16．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,假设1≤5a ≤4，2≤6a ≤3，那么6S 的取值范围是
.
三、解答题：本大题一一共6小题，一共70分．解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤．
17．〔本小题满分是10分〕 集合{2,0,1,3},A =-在平面直角坐标系中，点M 的坐
标(,)x y 满足,x A y A ∈∈． 〔1〕请列出点M 的所有坐标； 〔2〕求点M 不在y 轴上的概率；
〔3〕求点M 正好落在区域500
0x y x y +-<⎧⎪>⎨⎪>⎩
上的概率．
18．〔本小题满分是12分〕数列{}n a 的前n 项和210n S n n =-，*
().n N ∈
〔1〕求1a 和n a ；
〔2〕记n n b a =，求数列{}n b 的前n 项和.
19．〔本小题满分是12分〕(cos ,sin ),(cos ,sin ),(1,0)a b c ααββ===. 〔1〕假设23a b ⋅=，记θβα=-，求⎪⎭
⎫ ⎝⎛+-θπθ2sin sin 2
的值； 〔2〕假设2παk ≠，()Z k k ∈≠πβ，且a ∥()
b c +，求证：2
tan tan βα=.
20．〔本小题满分是12分〕关于x,y 的方程C:0422
2
=+--+m y x y x . 〔1〕当m 为何值时，方程C 表示圆;
〔2〕在〔1〕的条件下，假设圆C 与直线l : x+2y-4=0相交于M,N 两点，且MN=
5
4,
求m 的值.
21．〔本小题满分是12分〕如下图，AB 为圆O 的直径，点E ，F 在圆上，AB∥EF, 矩形
ABCD 所在平面与圆O 所在平面互相垂直，AB=2，EF=1. 〔1〕求证：BF ⊥平面DAF ；
〔2〕求直线BF 与平面ABCD 所成的角； 〔3〕在DB 上是否存在一点M 使ME∥平面DAF?
假设不存在,请说明理由，假设存在,请找出这点，并证明.
22．〔本小题满分是12分〕函数b
x a x f --=21
)(是偶函数，a 为实常数。

〔1〕求b 的值；
〔2〕当a=1时，是否存在,m n 〔0>>m n 〕使得函数()y
f x 在区间[]m n ， 上
的函数值组成的集合也是[]m n ，，假设存在，求出m ，n 的值，否那么，说明理由；
〔3〕假设在函数定义域内总存在区间[]m n ，(m<n)，使得()y
f x 在区间[]m n ，
上的函数值组成的集合也是[]m n ，，务实数a 的取值范围．
命题、校对：孙长青
普通中学2021-2021学年度高中毕业班摸底测试
数 学〔理科〕参考答案及评分HY
一、ADBCD ACACD AB
二、13． 2 ； 14．〔2〕，〔4〕； 15． π
18
-； 16． []12,42- 三、17．解：〔1〕集合A ＝{-2,0,1,3},点M(x,y)的坐标,x A y A ∈∈，∴点M 的坐标一
共有：
4416⨯=个，分别是：
〔-2,-2〕，〔-2,0〕，〔-2,1〕，〔-2,3〕；〔0,-2〕，〔0,0〕，〔0,1〕，〔0,3〕； 〔1,-2〕，〔1,0〕，〔1,1〕，〔1,3〕；〔3,-2〕，〔3,0〕，〔3,1〕，
〔3,3〕 ………………….3分
〔2〕点M 不在y 轴上的坐标一共有12种：〔-2,-2〕，〔-2,0〕，〔-2,1〕，〔-2,3〕；〔1,-2〕，〔1,0〕，〔1,1〕，〔1,3〕；〔3,-2〕，〔3,0〕，〔3,1〕，〔3,3〕,
1123
164P =
=
……………………..6分 〔3〕点M 正好落在区域50
00
x y x y +-<⎧⎪
>⎨⎪>⎩上的坐标一共有3种：〔1,1〕，〔1,3〕，〔3,1〕2316P =
10分 18
．
解
：
〔
Ⅰ
〕
21110,1019
n S n n a S =-∴==-=.
------------------ 2分
210,n S n n =-当2n ≥，*n N ∈时，22110(1)(1)10211n S n n n n n -=---=-+- 22110)(10211)211
n n n a S S n n n n n n -∴=-=---+-=-+（
-------------------4分
又1n =时，121119a =-⨯+=211n a n ∴=-+ (*
n N ∈) ----------------5分
〔Ⅱ〕
211n a n =-+211 (5)
211 (>5)
n n n n b a n n -+≤⎧∴==⎨-⎩ 设数列{}n b 的前n 项和为n T ，
5
n ≤时
，
2
(9211)
102
n n n T n n -+=
=-，
-------------------8分
5n >时22
65(5)()
(5)(1211)
2525(5)10502
2
n n n b b n n T T n n n -+-+-=+
=+
=+-=-+
故
：
数
列
{}
n b 的前
n
项和
2
2
10 (5)
1050 (5)
n n n n T n n n ⎧-≤⎪=⎨-+>⎪⎩ ---------------------12分
19．解⑴∵cos()a b αβ⋅=-，∴2
cos 3
θ=
． ……………………………………3分 ∴22
sin sin()1cos cos 2πθθθθ-+=-- 19
=-． (6)
分
⑵∵(1cos ,sin )b c ββ+=+，a ∥()b c +，∴cos sin (1cos )sin 0αββα-+=……9分
又∵2
k π
α≠
，k βπ≠()k Z ∈，∴sin tan 1cos βαβ=+2
2sin
cos
2
2tan 22cos 2β
β
ββ=
=…12分
20．解：〔1〕方程C 可化为 m y x -=-+-5)2()1(2
2
………………3分 显
然
5
,05<>-m m 即时时方程C 表示
圆。

………………5分 〔2〕圆的方程化为 m y x -=-+-5)2()1(2
2
因为5m <，所以圆心 C 〔1，2〕，半径 m r -=5
那么圆心
C 〔1，2〕到直线
l:x+2y-4=0
的间隔 为
5
12
142212
2
=
+-⨯+=
d ……………9分
5221,54
==
MN MN 则 ，有 2
22)21(MN d r +=
225,m ∴-=+得
4=m …………………………12分
21．证明〔1〕连结AF ，
因为平面ABCD ⊥平面ABEF,AD ⊥AB,所以AD ⊥平面ABEF, 所以AD ⊥BF, 又因为AB 为圆O 直径,所以AF ⊥BF,而AF
AD=A,
所以BF ⊥平面DAF …………………………4分 (2)∠ABF 是直线BF 与平面ABCD 所成的角,连结OE,OF,因为OA ∥EF,OA=EF,所以四边形OAFE 是平行四边形,又OA=OE=OF, 所以四边形OAFE 是菱形,且3
OAF π∠=
,所以
6
ABF π
∠=
………………8分
(3)存在,此时M 是BD 的中点,
证明:连结ME,OM,OE 所以OM ∥AD,又因为OM 不在平面DAF 内,AD 在平面DAF 内, 所以 OM ∥平面DAF, 同理可证,OE ∥平面DAF,而OM OE O =,所以平面OEM ∥平面DAF
又
因
为
ME
在
平
面
OEM
内,所以ME ∥平面
DAF …………………………12分
22．解：(1)由可得，1()|2|f x a x b =-
-，且函数的定义域为D =()()22
b b
-∞⋃+∞，，．
又()y f x =是偶函数，故定义域D 关于原点对称．
于是，b =0(2
2
b
b
b D D D ≠∈∉否则，当0时，有-且，即必不关于原点对称．
又对任意()()0.x D f x f x b ∈=-=，有，可得 因此所务实数b =0． ……………………3分
〔2〕由(1)可知， 1()((0)(0))2||
f x a D x =-
=-∞⋃+∞，，． 由1
()2||
f x a x =-
的图像，可知：
()(0)f x +∞在区间，
上是增函数，()()f x -∞在区间，0上是减函数
又0>>m n ，∴()y
f x 在区间[]m n ，上是增函数。

∴有 ,211211⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧=-=-n n
m m
即方程x x
=-
21
1， 01222=+-x x ∵084<-=∆，∴不存在正实数m,n ，满足题意。

………7分
(3) 由(1)可知， 1()((0)(0))2||
f x a D x =-
=-∞⋃+∞，，．
1
()2||
f x a x =-
的图像，知()(0)f x +∞在区间，上是增函数，()()f x -∞在区间，0上是减函数 因()y
f x 在区间[]m n ，上的函数值组成的集合也是[]m n ，，故必有m n 、同号． ①当0m n <<时，()[]f x m n 在区间，上是增函数，有1212a m m
a n n ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩
，
即方程12x a x =-，2
2210x ax -+=有两个不相等的正实数根，因此2
20480
a a >⎧⎨∆=->⎩， 解
得
a >
(10)
分
②当0m n <<时，()[]f x m n 在区间，上是减函数，有1212a n m
a m n ⎧
+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩
，
化简得()0m n a -=， 0a = 综
上，
0a a a =>
的取值范围是或………12分
制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O 二二年二月七日。