江苏省宿迁市马陵中学高考数学 5.3 平面向量的数量积复习测试

§5.3 平面向量的数量积
(时间：45分钟 满分：100分)
一、填空题(本大题共11小题，每小题5分，共55分)
1．已知向量a ＝⎝⎛⎭⎫8，12x ，b ＝(x,1)，其中x>0，若(a －2b)∥(2a ＋b)，则x 的值为________． 2．若向量a ＝(1,1)，b ＝(2,5)，c ＝(3，x)，满足条件(8a －b)·c ＝30，则x ＝________.
3．已知向量a ，b 的夹角为60°，且|a|＝2，|b|＝1，则向量a 与a ＋2b 的夹角等于________．
4．平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线，若AB u u u r ＝(2,4)，AC u u u r ＝(1,3)，则AD u u u r ·
BD u u u r ＝________.
5．若e1、e2是夹角为π3
的单位向量，且向量a ＝2e1＋e2，向量b ＝－3e1＋2e2，则a·b ＝______. 6．若向量a ，b 满足|a|＝1，|b|＝2且a 与b 的夹角为π3
，则|a ＋b|＝________. 7．已知向量a ，b 满足|a|＝3，|b|＝2，a 与b 的夹角为60°，则a·b ＝________，若(a －mb)⊥a ，则实数m ＝________.
8．设a 、b 、c 是单位向量，且a ＋b ＝c ，则a·c 的值为________．
9． O 是平面α上一点，A 、B 、C 是平面α上不共线的三点，平面α内的动点P 满足OP uuu r
＝OA u u u r ＋λ(AB u u u r ＋AC u u u r )，若λ＝12
时，PA u u u r ·(PB u u u r ＋PC uuu r )的值为______． 10．已知|a|＝1，|b|＝2，且a ⊥(a －b)，则向量a 与向量b 的夹角是________．
11．已知|a|＝3，|b|＝4，(a ＋b)·(a ＋3b)＝33，则a 与b 的 夹角为________．
二、解答题(本大题共3小题，共45分)
12．(14分)不共线向量a ，b 的夹角为小于120°的角，且|a|＝1，|b|＝2，已知向量c ＝a ＋2b ，求|c|的取值范围．
13．(15分)已知平面向量a ＝(1，x)，b ＝(2x ＋3，－x)，x ∈R.
(1)若a ⊥b ，求x 的值；
(2)若a ∥b ，求|a －b|.
14．(16分)向量a ＝(cos 23°，cos 67°)，向量b ＝(cos 68°，cos 22°)．
(1)求a·b ；
(2)若向量b 与向量m 共线，u ＝a ＋m ，求u 的模的最小值．
答案
1.4
2.4
3.30°
4.8
5.－72
6.7
7.3 3
8.12
9.0 10.π4
11.120° 12.解 |c|2＝|a ＋2b|2＝|a|2＋4a·b ＋4|b|2＝17＋8cos θ(其中θ为a 与b 的夹角)．
∵0°<θ<120°，∴－12<cos θ<1，∴13<|c|<5，
∴|c|的取值范围为(13，5)．
13.解 (1)若a ⊥b ，
则a·b ＝(1，x)·(2x ＋3，－x)
＝1×(2x ＋3)＋x(－x)＝0.
整理得x2－2x －3＝0，解得x ＝－1或x ＝3.
(2)若a ∥b ，则有1×(－x)－x(2x ＋3)＝0，
即x(2x ＋4)＝0，解得x ＝0或x ＝－2.
当x ＝0时，a ＝(1,0)，b ＝(3,0)，
∴a －b ＝(1,0)－(3,0)＝(－2,0)，
∴|a －b|＝(－2)2＋02＝2.
当x ＝－2时，a ＝(1，－2)，b ＝(－1,2)，a －b ＝(2，－4)， ∴|a －b|＝22＋(－4)2＝2 5.
综上，|a －b|＝2或2 5.
14.解 (1)a·b ＝cos 23°·cos 68°＋cos 67°·cos 22°
＝cos 23°·sin 22°＋sin 23°·cos 22°＝sin 45°＝2
2.
(2)由向量b 与向量m 共线，得m ＝λb (λ∈R)， u ＝a ＋m ＝a ＋λb
＝(cos 23°＋λcos 68°，cos 67°＋λcos 22°)
＝(cos 23°＋λsin 22°，sin 23°＋λcos 22°)，
|u|2＝(cos 23°＋λsin 22°)2＋(sin 23°＋λcos 22°)2
＝λ2＋2λ＋1＝⎝⎛⎭⎫λ＋2
22＋12，
∴当λ＝－2
2时，|u|有最小值为2
2.。