中考数学 专题三 开放探究型问题复习1

[对应训练] 2．(2015·凉山州)如图，在正方形ABCD中，G是BC上任意一点， 连接AG，DE⊥AG于E，BF∥DE交AG于F，探究线段AF，BF， EF三者之间的数量关系，并说明理由．
解：线段 AF，BF，EF 三者之间的数量关系 AF＝BF＋EF，
理由如下：∵四边形 ABCD 是正方形，∴AB＝AD，∠DAB＝∠ABC ＝90°.∵DE⊥AG 于 E，BF∥DE 交 AG 于 F，∴∠AED＝∠DEF ＝∠AFB＝90°，∴∠ADE＋∠DAE＝90°，∠DAE＋∠BAF＝90 °，∴∠ADE＝∠BAF.在△ABF 和△DAE 中∠∠BAAFFB＝ ＝∠∠ADDEAE， ，∴
解：(1)答：添加：EH＝FH，证明：∵点 H 是 BC 的中点，∴ BH＝CH，在△BEH 和△CFH 中，B∠HB＝HECH＝∠CHF，∴△BEH≌
EH＝FH
△CFH(SAS)
(2)解：当 BH＝EH 时．∵BH＝CH，EH＝FH，∴四边形 BFCE
是平行四边形(对角线互相平分的四边形为平行四边形)，∵当 BH＝ EH 时，则 BC＝EF，∴平行四边形 BFCE 为矩形(对角线相等的平 行四边形为矩形)
解：(1)x2－7x＋12＝0，解得 x1＝3，x2＝4，∵OA＞OB，∴OA＝4，
OB＝3，过 D 作 DE⊥y 轴于点 E，∵正方形 ABCD，∴AD＝AB，
∠DAB＝90°，∠DAE＋∠OAB＝90°，∠ABO＋∠OAB＝90°，
∴ ∠ ABO ＝ ∠DAE ， ∵ DE ⊥ AE ， ∴ ∠ AED ＝ 90 ° ＝ ∠AOB ， 在 △DAE 和 △ABO 中 ， ∠∠AAEBDO＝＝∠∠DAOAEB＝90° ， ∴ △ DAE ≌ △
(2)x 轴上存在一点 D，使△ABD 为直角三角形．将 y＝2x 与 y
＝2x联立成方程组得：yy＝ ＝22xx，，解得：xy11＝＝21，，xy22＝＝－－21，，∴A(1，2)， B(－1，－2)，①当 AD⊥AB 时，如图①，设直线 AD 的关系式为 y
＝－12x＋b，将 A(1，2)代入上式得：b＝52，∴直线 AD 的关系式为 y
4．(2015·赤峰)如图，四边形 ABCD 中，AD∥BC，E 是 DC 上 一点，连接 BE 并延长交 AD 延长线于点 F，请你只添加一个条件：
____B_D__∥__F_C___使得四边形 BDFC 为平行四边形．
5．(2014·北京)如图，在平面直角坐标系 xOy 中，正方形 OABC 的边长为 2.写出一个函数 y＝kx(k≠0)，使它的图象与正方形 OABC 有公共点，这个函数的表达式为
__y_＝__1x_，__y_＝__kx_(0_＜__k_≤__4_)_(_答__案__不__唯__一__) __________．
解析：∵正方形 OABC 的边长为 2，∴B 点坐标为(2，2)，当函数 y ＝kx(k≠0)过 B 点时，k＝2×2＝4，∴满足条件的一个反比例函数解
析式为 y＝1x.故答案为：y＝1x，y＝kx(0＜k≤4)(答案不唯一)
＝OA，∵A(1，2)，∴OC＝1，AC＝2，由勾股定理得：OA＝ OC2＋AC2 ＝ 5，∴OD＝ 5，∴D( 5，0)．根据对称性，当 D 为直角顶点，
且 D 在 x 轴负半轴时，D(－ 5，0)．故 x 轴上存在一点 D，使△ABD
为直角三角形，点 D 的坐标为(5，0)或(－5，0)或( 5，0)或(－ 5， 0)
数 学
专题三 开放探究型问题
开放探究型问题的内涵：所谓开放探究型问题是指已知条件、解 题依据、解题方法、问题结论这四项要素中，缺少解题要素两个或 两个以上，需要通过观察、分析、比较、概括、推理、判断等探索 活动来确定所需求的条件或结论或方法．
(1)常规题的结论往往是唯一确定的，而多数开放探究题的结论 是不确定或不是唯一的，它是给学生有自由思考的余地和充分展示 思想的广阔空间；
【点评】 判断一个四边形是平行四边形的基本依据是：平行四 边形的定义及其判定定理，而本题告诉的四边形已有一组对边平 行的条件，由此可以想到：①两组对边分别平行；②一组对边平 行且相等；③一组对边平行，一组对角相等．都能得到平行四边 形的结论．
[对应训练] 1．(2014·巴中)如图，在四边形ABCD中，点H是BC的中点，作射 线AH，在线段AH及其延长线上分别取点E，F，连接BE，CF. (1) 请 你 添 加 一 个 条 件 ， 使 得 △ BEH≌△CFH ， 你 添 加 的 条 件 是 _____E__H_＝__F_H______，并证明． (2)在问题(1)中，当BH与EH满足什么关系时，四边形BFCE是矩形 ，请说明理由．
条件开放型问题
【例1】 已知四边形ABCD，AB∥CD，要得出四边形ABCD是平行 四边形的结论，还应具备什么条件？
解：当AB∥CD时，只要具备下列条件之一，便可得出四边形ABCD 是平行四边形．(1)AD∥BC；(2)AB＝CD；(3)∠A＝∠C；(4)∠B＝ ∠D；(5)∠A＋∠B＝180°……
(2)解决此类问题的方法，可以不拘形式，有时需要发现问题的 结论，有时需要尽可能多地找出解决问题的方法，有时则需要指出 解题的思路等．
对于开放探究型问题，需要通过观察、比较、分析、综合及猜想 ，展开发散性思维，充分运用已学过的数学知识和数学方法，经过 归纳、类比、联想等推理的手段，得出正确的结论．在解开放探究 题时，常通过确定结论或补全条件，将开放性问题转化为封闭性问 题．
2．(2015·齐齐哈尔)如图，点B，A，D，E在同一直线上，BD＝ AE，BC∥EF，要使△ABC≌△DEF，则只需添加一个适当的条件
是_B_C_＝__E__F_或__∠__B_A__C_＝__∠__E_D__F．(只填一个即可)
3．(2014·漳州)双曲线 y＝k＋x 1所在象限内，y 的值随 x 值的增 大而减小，则满足条件的一个数值 k 为____3_(_答__案__不__唯__一__)___．
得，73kk＋ ＋bb＝ ＝30，解得bk＝＝－ 43 94，∴y＝34x－94
(3)存在．点 P 与点 B
重合时，P1(3，0)，点 P 与点 B 关于点 C 对称时，P2(11，6)
【点评】 本题是一道典型的“存在性问题”，主要利用了解一 元二次方程、正方形的性质、全等三角形的判定与性质、待定系 数法求一次函数解析式、等腰直角三角形的判定与性质，作辅助 线构造出全等三角形是解题的关键，考查了等腰三角形存在的条 件，有一定的开放性．
解：(1)∵反比例函数与正比例函数的图象相交于 A，B 两点， ∴A，B 两点关于原点对称，∴OA＝OB，∴△BOC 的面积＝△AOC 的面积＝2÷2＝1，又∵A 是反比例函数 y＝kx图象上的点，且 AC⊥x
轴于点 C，∴△AOC 的面积＝12|k|，∴12|k|＝1，∵k＞0，∴k＝2.故这 个反比例函数的解析式为 y＝2x
AB＝AD， △ABF≌△DAE (AAS)，∴BF＝AE.∵AF＝AE＋EF，∴AF＝BF
＋EF
存在开放型问题
【例3】 (2014·龙东)如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD 的顶点A在y轴正半轴上，顶点B在x轴正半轴上，OA，OB的长分 别是一元二次方程x2－7x＋12＝0的两个根(OA＞OB)． (1)求点D的坐标． (2)求直线BC的解析式． (3)在直线BC上是否存在点P，使△PCD为等腰三角形？若存在，请 直接写出点P的坐标；若不存在，说明理由．
(3)条件和结论都开放型：此类问题没有明确的条件和结论，并 且符合条件的结论具有多样性，需将已知的信息集中进行分析，探 索问题成立所必须具备的条件或特定的条件应该有什么结论，通过 这一思维活动得出事物内在联系，从而把握事物的整体性和一般性 ．
1．(2015·北京)关于 x 的一元二次方程 ax2＋bx＋14＝0 有两个相 等的实数根，写出一组满足条件的实数 a，b 的值：a＝__4____，b＝ ___2___．
AB＝AD
ABO(AAS)，∴DE＝OA＝4，AE＝OB＝3，∴OE＝7，∴D(4，7)
(2)过点 C 作 CM⊥x 轴于点 M，同上可证得△BCM≌△ABO，
∴CM＝OB＝3，BM＝OA＝4，∴OM＝7，∴C(7，3)，设直线 BC
的解析式为 y＝kx＋b(k≠0，k，b 为常数)，代入 B(3，0)，C(7，3)
综合开放型问题
【例4】 看图说故事． 请你编一个故事，使故事情境中出现的一对变量x，y满足图示的函 数关系式，要求：①指出变量x和y的含义；②利用图中数据说明这 对变量变化过程的实际意义，其中须涉及“速度”这个量．
解：①该函数图象表示小明骑车离出发地的路程y(单位： km)与他 所用的时间x(单位： min)的关系．②小明以400 m/ min的速度匀速
骑了5 min，在原地休息了6 min，然后以500 m/ min的速度匀速骑 车回出发地．(本题答案不唯一) 【点评】解决综合开放性问题时，需要类比、试验、创新和综合运 用所学知识，建立合理的数学模型，从而使问题得以解决．综合开 放型问题的解题方法一般不唯一或解题路径不明确，要求解题者不 墨守成规，敢于创新，积极发散思维，优化解题方案和过程．
三个解题方法 (1)条件开放型问题：由已知的结论反思题目应具备怎样的条件 ，即从题目的结论出发，结合图形挖掘条件，逆向追索，逐步探寻 ，是一种分析型思维方式．它要求解题者善于从问题的结论出发， 逆向追索，多途寻因； (2)结论开放型问题：从剖析题意入手，充分捕捉题设信息，通 过由因导果，顺向推理或联想、类比、猜测等，从而获得所求的结 论；
三角形
(2)作 AF⊥AB 于 A，使 AF＝BD，连接 DF，CF，如图，∵AF ⊥AD，∠ABC＝90°，∴∠FAD＝∠DBC，在△FAD 与△DBC 中， A∠DF＝ADB＝C，∠DBC，∴△FAD≌△DBC(SAS)，∴FD＝DC，∴△CDF AF＝BD， 是等腰三角形，∵△FAD≌△DBC，∴∠FDA＝∠DCB，∵∠BDC ＋∠DCB＝90°，∴∠BDC＋∠FDA＝90°，∴△CDF 是等腰直角
＝－12x＋52，令 y＝0 得：x＝5，∴D(5，0)；
②当 BD⊥AB 时，如图②，设直线 BD 的关系式为 y＝－12x＋b，
将 B(－1，－2)代入上式得：b＝－52，∴直线 AD 的关系式为 y＝－ 12x－52，令 y＝0 得：x＝－5，∴D(－5，0)；
③当 AD⊥BD 时，如图③，∵O 为线段 AB 的中点，∴OD＝12AB
三角形，∴∠FCD＝45°，∵AF∥CE，且 AF＝CE，∴四边形 AFCE
是平行四边形，∴AE∥CF，∴∠APD＝∠FCD＝45°
【点评】解结论开放型问题时要充分利用已知条件或图形特征， 进行猜想、归纳、类比，透彻分析出给定条件下可能存在的结论 现象，然后经过论证作出取舍，这是一种归纳类比型思维．它要 求解题者充分利用条件进行大胆而合理的猜想，发现规律，得出 结论，这类题主要考查解题者的发散性思维能力和知识应用能力 ．
[对应训练] 3．(2015·乐山)如图，正比例函数 y＝2x 的图象与反比例函数 y ＝kx的图象交于 A，B 两点，过点 A 作 AC 垂直 x 轴于点 C，连接 BC.若△ABC 的面积为 2. (1)求 k 的值； (2)x 轴上是否存在一点 D，使△ABD 为直角三角形？若存在， 求出点 D 的坐标；若不存在，请说明理由．
结论开放型问题
【例2】 (2015·菏泽)如图，已知∠ABC＝90°，D是直线AB上的 点，AD＝BC. (1)如图①，过点A作AF⊥AB，并截取AF＝BD，连接DC，DF， CF，判断△CDF的形状D，直线AE，CD相交于 点P，∠APD的度数是一个固定的值吗？若是，请求出它的度数； 若不是，请说明理由．
解：(1)△CDF 是等腰直角三角形，理由如下：∵AF⊥AD，∠ABC ＝ 90 ° ， ∴ ∠ FAD ＝ ∠DBC ， 在 △FAD 与 △DBC 中 ，
A∠DF＝ADB＝C，∠DBC，∴△FAD≌△DBC(SAS)，∴FD＝DC，∴△CDF AF＝BD， 是等腰三角形，∵△FAD≌△DBC，∴∠FDA＝∠DCB，∵∠BDC ＋∠DCB＝90°，∴∠BDC＋∠FDA＝90°，∴△CDF 是等腰直角