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DOI:10.3969/j.issn.1006-6403.2013.04.016
基于 MUSIC 算法方位角估计的对比性 仿真研究
[黄娇 袁正午]
摘要
方位角估计是估计空间目标的空间位置的一项重要工作。文中利用基本 MUSIC算法和ROOT-MUSIC算法进行方位角估计的对比研究。针对不同信噪比 情况下，用这两种算法估计方位角的估计效果进行对比研究；对算法估计同一 个方位角时的估计均方误差进行MATLAB仿真分析。通过对比研究，验证了基于 MUSIC算法的方位角估计在信噪比较小时，估计性能差，以至于难以分辨多个信 号的方位角。
式(8)
3
MUSIC算法
在众多高分辨 DOA 估计算法中，最经典的算法是基 于特征分解的多重信号分类算法，由Schmidt在1979年提 出。该算法是以空间划分来进行参数估计的，原理是根据 信号子空间和噪声子空间的正交性划分空间。
1 ˆ arcsin[ arg( zi )] (i 1, 2,..., N ) = θ = 2π d
各种算法在方位角估计方面的优势，以便更广泛的应用。
就需要先知道目标反射回波信号的方位角(DOA,Direction of Arrival)。方位角估计[1]技术是阵列信号处理技术的主要 组成部分，包括常规方法、参数模型方法、子空间类方 法、解卷积方法以及其他方法。传统的关于阵列信号参数 估计的研究主要集中于空间目标的波达方向[2](Direction-ofArrival，DOA)估计方法及其统计性能、相应的估计性能下 界(CRB)问题。对空间目标的DOA估计一般称为空间谱估 计。本文是利用MUSIC类方法中的算法估计方位角。 本文通过信噪比对基本MUSIC算法和ROOT-MUSIC算 法估计方位角的性能进行对比仿真，再对比分析这算法估 计方位角时的均方误差进行仿真分析，据得到的结果验证
− j 2π d sin θ 2 / λ
式(10)
技 术 交 流
转化为求式（10）的零点。由于z*幂次项的存在，上
... 1 e − j 2π d sin θ P / λ ... . . . . . . − j 2π d ( K −1) sin θ P / λ ... e
图7 MUSIC算法和ROOT-MUSIC算法RMSE曲线图
2013.04.广东通信技术
75
式中，各向量分别为
式(2)
搜索，得到方位角的估计值。
3.2 ROOT-MUSIC算法
式(3) 式(4) 式(5) 式(6)
2π d ( K − 1) sin θi )]
T
x (n) = [ x1 (n) x2 (n) ... xK (n)]T s (n) = [ s1 (n) s2 (n) ... sP (n)]T e (n) = [e1 (n) e2 (n) ... eK (n)]T A = [a (θ1 ) a (θ 2 ) ... a (θ P )]
2013.04.广东通信技术
73
技 术 交 流
进行单次仿真实验，SNR分别等于-16、-8、-4、0、16、 32情况下的MUSIC空间谱函数图如图1到图6所示。
图4 SNR=0时MUSIC谱函数图 图1 SNR=-16时MUSIC谱函数图
74
技 术 交 流
图5 SNR=16时MUSIC谱函数图 图2 SNR=-8时MUSIC谱函数图
图3 SNR=-4时MUSIC谱函数图
图6 SNR=32时MUSIC谱函数图
基于MUSIC算法方位角估计的对比性仿真研究
从以上图中可以看到信噪比越小，估计效果效果越 差，而且在信号相差较小时，若信噪比越低，就越难分辨 出两个信号，从图 5 和图 6 中可以看到 SNR 越高，两个相 隔较近的信号就越容易区分开。 在同 MUSIC 仿真条件一样的情况下，使用 RootMUSIC 算法来单次仿真其在方位角估计上的效果。可得 到如表1所示的结果。 表1 Root-MUSIC算法估计的方位角
5 6 7 8 2 3 1
参考文献
张小飞.汪飞.徐大专.阵列信号处理的理论和应用[M].北京.国 防工业出版社,2010:18-26. 张贤达.现代信号处理[M].北京:清华大学出版社,2002. 王永良,陈辉,彭应宁等.空间谱估计理论与算法[M].北京.清华 大学出版社,2004. 4 L. Taponecco, A.A. D’Amico, and U. Mengali.Joint TOA and AOA Estimation for UWB Localization Applications[J],IEEE TRANSACTIONS ON WIRELESS COMMUNICATIO NS,2011,10(7):2207-2216. 刘珂.宽带信号DOA估计算法研究[D].电子科技大学.2010. 余俊.相干信源DOA估计[D].南京.南京航天大学,2009,9-17. 周宁.宽带源方位估计算法研究[D].河南.河南大学,2010:7-12. Xiaofei Zhang, Lingyun Xu, Lei Xu, Dazhuan Xu. Direction of Departure (DOD) and Direction of Arrival (DOA) Estimation in MIMO Radar with Reduced-Dimension MUSIC[J]. EEE COMMUNICATIONS LETTERS,2010,14(12):1161-1163. 9 杨桂芹,房琪,胡滢.阵列天线DOA估计中MUSIC算法性能综合 分析[J].兰州交通大学学报,2011,30(3):86-91. （收稿日期：2013-03-04）
a (θi ) = [1 exp(− j 2π
求根 MUSIC 方法不用进行谱峰搜索，即通过多项式 求根来代替谱峰搜索。该方法定义了多项式[2]
f ( z) = ulH p( z )
(l = P + 1, P + 2,..., K )
式(9)
式中，p(z)=[1,z,…,zK-1]T，ul是协方差矩阵的K-P个小 的特征值所对应的特征向量。已知当z=exp(jω)时，多项 式的根正好在单位圆上时，p(z)是一个空间频率为ω的导 向向量。可将多项式定义[3]修改为
式中，ak(wi)是信号si(n)到达各阵元的相位差组成的 向量，所组成的矩阵A称为方向矩阵； ek(n)表示噪声向量; wi =2πdsinθi/λ；。将上式表示成向量形式为
据的变化θ按式 PMUSIC (θ ) =
1 进行谱峰 H a H (θ )U N U N a (θ )
= x (n) As (n) + e (n)
式不是z的多项式。这里只需要单位圆上的根，用pT(z-1)代 替pH(z)，可有如下的修正
H f ( z ) = z K −1 pT ( z −1 )U N U N p( z )
. . . e − j 2π d ( K −1) sin θ2 / λ
式(11)
其中，f(z)是2(K-1)次多项式，其根相对于单位圆为 镜像对，即有(K-1) 对根。在这 (K-1) 对根中有N 个根 z 1, … ,zN给出了方位角的估计值[3]为 式(12)
关键词： 方位角估计 MUSIC算法 ROOT-MUSIC算法 信噪比
72
技 术 交 流
黄娇 重庆邮电大学无线定位与空间测量研究所 ,硕士研究生，主要研究方向为移动 通信与无线定位。 袁正午 重庆邮电大学无线定位与空间测量研究所 , 教授，博士，主要研究方向为 LBS、射线跟踪、GIS系统。
1
引言
在无源定位系统中，为了估计空中目标的空间方位，
技 术 交 流
3.4 DOA估计的均方误差仿真
上面是用单次仿真来对方位角进行估计的实验，下 面将通过多次仿真估计方位角过程中的均方误差曲线进行 仿真，以对比分析各算法的估计性能。下面对 MUSIC 算 法、 ROOT-MUSIC 算法在估计一个方位角时，进行 300 次独立实验过程中的RMSE曲线进行MATLAB仿真绘制。 仿真过程中，取均匀线阵，阵元数为8，信号入射角为60 度，快拍数取 1024 ，在 -10dB 到 10dB 的信噪比范围内的 均方误差(Root Mean Square Error,RMSE)如图7所示。
综上所述， Root-MUSIC 算法步骤为： (1) 求接收信 号的协方差矩阵R；(2)对协方差矩阵R进行特征值分解； (3)由特征值分解确定信号子空间与噪声噪声子空间；(4) 据式（ 11 ）求出多项式根； (5) 找单位圆上的根，并据式 （12）求出估计的方位角。
3.1 基本MUSIC算法
MUSIC 算法在空域内的一维谱峰搜索估计信号源的 方位角。据天线阵列协方差矩阵，然后进行特征分解的 DOA 估计算法中， MUSIC 算法是普遍适用的，根据天线 的阵列形式就可以得到高分辨的估计结果。 基本MUSIC算法的步骤为：(1)计算接收信号的协方 差矩阵R；(2)对R进行特征值分解得到R=UΣUH；(3)将特
基于MUSIC算法方位角估计的对比性仿真研究
= xk ( n)
∑ s ( n )a
i =1 i
P
k
( wi ) + ek (n)
式(1)
征值按从大到小的顺序排列，把前P个特征值和对应的特 征向量记为信号子空间，其余K-P个特征值和特征向量记
H 为噪声子空间，并且有 ；(4)根 = R U s Σ sU sH + U N Σ N U N
H f ( z ) = p H ( z )U N U N p( z )
λ
d sin θi ) ... 可有
1 e − j 2π d sin θ1 / λ . A= . . − j 2π d ( K −1) sin θ1 / λ e 1 e
2
信号模型
接收天线阵列按一定的形式排列，并且在空间中的
坐标已知，常用的阵列 [2]形式有均匀线阵、均匀圆阵、 L 型阵列等。本文中选取结构简单，处理方便的均匀线阵阵 列形式，设线阵由K个阵元均匀排列，阵元间距d=λ/2， λ是波长。空间有P个信号源，是远场窄带信号，且满足 M>P。设信号的波达角为{θ1,θ2,…,θP}，到底阵列的形 式是平面波，将阵列中第一个阵元作为基准点，在这个点 的各信源包络分别是s1(n)，s2(n)，…，sP(n)，信号si(n)在 第k个阵元上的接收信号为si(n)e-j(k-1)wi，则第k个阵元上的 接收信号[2]可表示为
由图7中可见，总体上讲ROOT-MUSIC算法的估计均 方误差较 MUSIC 算法的小，估计效果较好，正好验证了 上面所得到的结论。
4
总结与结论
本文主要是对方位角估计算法中的经典算法：
MUSIC 类算法的部分算法进行了理论上的对比研究。文 中对MUSIC类算法中的基本MUSIC算法和ROOT-MUSIC 算法进行理论上的研究，并利用这两种算法对方位角进 行估计的 MATLAB 仿真。算法对 一 个 方 位 角 估 计 进 行 多次 独立 仿真实 验，对 仿真 过程中的 均 方误差 曲线进
3.3 基于MUSIC类算法的DOA估计仿真
通过以上对 MUSIC 算法和 Root-MUSIC 算法的理论 分析，这里通过MATLAB仿真来研究两种算法对方位角估 计的效果。仿真条件设为：天线阵元数为 10 ，阵元间距 d=λ/2，信号入射角度分别为-45。、-30。、60。，快拍数 为1024，对不同信噪比下MUSIC算法估计方位角的效果
Root-MUSIC 算法只能估计角度，不能画出功率谱 图，所以对它的仿真结果就只有表1。从表中，可以看到 信噪比SNR越小，估计的偏差就越大，当SNR=32时，估 计的角度就很接近于真实的方位角角度。
行绘 制， 对比分 析各算 法的 优劣性， 可 以得到 ：利用 MUSIC算法估计的方位角比较正确，均方误差也较 小，结果准确。
基于 MUSIC 算法方位角估计的对比性 仿真研究
[黄娇 袁正午]
摘要
方位角估计是估计空间目标的空间位置的一项重要工作。文中利用基本 MUSIC算法和ROOT-MUSIC算法进行方位角估计的对比研究。针对不同信噪比 情况下，用这两种算法估计方位角的估计效果进行对比研究；对算法估计同一 个方位角时的估计均方误差进行MATLAB仿真分析。通过对比研究，验证了基于 MUSIC算法的方位角估计在信噪比较小时，估计性能差，以至于难以分辨多个信 号的方位角。
式(8)
3
MUSIC算法
在众多高分辨 DOA 估计算法中，最经典的算法是基 于特征分解的多重信号分类算法，由Schmidt在1979年提 出。该算法是以空间划分来进行参数估计的，原理是根据 信号子空间和噪声子空间的正交性划分空间。
1 ˆ arcsin[ arg( zi )] (i 1, 2,..., N ) = θ = 2π d
各种算法在方位角估计方面的优势，以便更广泛的应用。
就需要先知道目标反射回波信号的方位角(DOA,Direction of Arrival)。方位角估计[1]技术是阵列信号处理技术的主要 组成部分，包括常规方法、参数模型方法、子空间类方 法、解卷积方法以及其他方法。传统的关于阵列信号参数 估计的研究主要集中于空间目标的波达方向[2](Direction-ofArrival，DOA)估计方法及其统计性能、相应的估计性能下 界(CRB)问题。对空间目标的DOA估计一般称为空间谱估 计。本文是利用MUSIC类方法中的算法估计方位角。 本文通过信噪比对基本MUSIC算法和ROOT-MUSIC算 法估计方位角的性能进行对比仿真，再对比分析这算法估 计方位角时的均方误差进行仿真分析，据得到的结果验证
− j 2π d sin θ 2 / λ
式(10)
技 术 交 流
转化为求式（10）的零点。由于z*幂次项的存在，上
... 1 e − j 2π d sin θ P / λ ... . . . . . . − j 2π d ( K −1) sin θ P / λ ... e
图7 MUSIC算法和ROOT-MUSIC算法RMSE曲线图
2013.04.广东通信技术
75
式中，各向量分别为
式(2)
搜索，得到方位角的估计值。
3.2 ROOT-MUSIC算法
式(3) 式(4) 式(5) 式(6)
2π d ( K − 1) sin θi )]
T
x (n) = [ x1 (n) x2 (n) ... xK (n)]T s (n) = [ s1 (n) s2 (n) ... sP (n)]T e (n) = [e1 (n) e2 (n) ... eK (n)]T A = [a (θ1 ) a (θ 2 ) ... a (θ P )]
2013.04.广东通信技术
73
技 术 交 流
进行单次仿真实验，SNR分别等于-16、-8、-4、0、16、 32情况下的MUSIC空间谱函数图如图1到图6所示。
图4 SNR=0时MUSIC谱函数图 图1 SNR=-16时MUSIC谱函数图
74
技 术 交 流
图5 SNR=16时MUSIC谱函数图 图2 SNR=-8时MUSIC谱函数图
图3 SNR=-4时MUSIC谱函数图
图6 SNR=32时MUSIC谱函数图
基于MUSIC算法方位角估计的对比性仿真研究
从以上图中可以看到信噪比越小，估计效果效果越 差，而且在信号相差较小时，若信噪比越低，就越难分辨 出两个信号，从图 5 和图 6 中可以看到 SNR 越高，两个相 隔较近的信号就越容易区分开。 在同 MUSIC 仿真条件一样的情况下，使用 RootMUSIC 算法来单次仿真其在方位角估计上的效果。可得 到如表1所示的结果。 表1 Root-MUSIC算法估计的方位角
5 6 7 8 2 3 1
参考文献
张小飞.汪飞.徐大专.阵列信号处理的理论和应用[M].北京.国 防工业出版社,2010:18-26. 张贤达.现代信号处理[M].北京:清华大学出版社,2002. 王永良,陈辉,彭应宁等.空间谱估计理论与算法[M].北京.清华 大学出版社,2004. 4 L. Taponecco, A.A. D’Amico, and U. Mengali.Joint TOA and AOA Estimation for UWB Localization Applications[J],IEEE TRANSACTIONS ON WIRELESS COMMUNICATIO NS,2011,10(7):2207-2216. 刘珂.宽带信号DOA估计算法研究[D].电子科技大学.2010. 余俊.相干信源DOA估计[D].南京.南京航天大学,2009,9-17. 周宁.宽带源方位估计算法研究[D].河南.河南大学,2010:7-12. Xiaofei Zhang, Lingyun Xu, Lei Xu, Dazhuan Xu. Direction of Departure (DOD) and Direction of Arrival (DOA) Estimation in MIMO Radar with Reduced-Dimension MUSIC[J]. EEE COMMUNICATIONS LETTERS,2010,14(12):1161-1163. 9 杨桂芹,房琪,胡滢.阵列天线DOA估计中MUSIC算法性能综合 分析[J].兰州交通大学学报,2011,30(3):86-91. （收稿日期：2013-03-04）
a (θi ) = [1 exp(− j 2π
求根 MUSIC 方法不用进行谱峰搜索，即通过多项式 求根来代替谱峰搜索。该方法定义了多项式[2]
f ( z) = ulH p( z )
(l = P + 1, P + 2,..., K )
式(9)
式中，p(z)=[1,z,…,zK-1]T，ul是协方差矩阵的K-P个小 的特征值所对应的特征向量。已知当z=exp(jω)时，多项 式的根正好在单位圆上时，p(z)是一个空间频率为ω的导 向向量。可将多项式定义[3]修改为
式中，ak(wi)是信号si(n)到达各阵元的相位差组成的 向量，所组成的矩阵A称为方向矩阵； ek(n)表示噪声向量; wi =2πdsinθi/λ；。将上式表示成向量形式为
据的变化θ按式 PMUSIC (θ ) =
1 进行谱峰 H a H (θ )U N U N a (θ )
= x (n) As (n) + e (n)
式不是z的多项式。这里只需要单位圆上的根，用pT(z-1)代 替pH(z)，可有如下的修正
H f ( z ) = z K −1 pT ( z −1 )U N U N p( z )
. . . e − j 2π d ( K −1) sin θ2 / λ
式(11)
其中，f(z)是2(K-1)次多项式，其根相对于单位圆为 镜像对，即有(K-1) 对根。在这 (K-1) 对根中有N 个根 z 1, … ,zN给出了方位角的估计值[3]为 式(12)
关键词： 方位角估计 MUSIC算法 ROOT-MUSIC算法 信噪比
72
技 术 交 流
黄娇 重庆邮电大学无线定位与空间测量研究所 ,硕士研究生，主要研究方向为移动 通信与无线定位。 袁正午 重庆邮电大学无线定位与空间测量研究所 , 教授，博士，主要研究方向为 LBS、射线跟踪、GIS系统。
1
引言
在无源定位系统中，为了估计空中目标的空间方位，
技 术 交 流
3.4 DOA估计的均方误差仿真
上面是用单次仿真来对方位角进行估计的实验，下 面将通过多次仿真估计方位角过程中的均方误差曲线进行 仿真，以对比分析各算法的估计性能。下面对 MUSIC 算 法、 ROOT-MUSIC 算法在估计一个方位角时，进行 300 次独立实验过程中的RMSE曲线进行MATLAB仿真绘制。 仿真过程中，取均匀线阵，阵元数为8，信号入射角为60 度，快拍数取 1024 ，在 -10dB 到 10dB 的信噪比范围内的 均方误差(Root Mean Square Error,RMSE)如图7所示。
综上所述， Root-MUSIC 算法步骤为： (1) 求接收信 号的协方差矩阵R；(2)对协方差矩阵R进行特征值分解； (3)由特征值分解确定信号子空间与噪声噪声子空间；(4) 据式（ 11 ）求出多项式根； (5) 找单位圆上的根，并据式 （12）求出估计的方位角。
3.1 基本MUSIC算法
MUSIC 算法在空域内的一维谱峰搜索估计信号源的 方位角。据天线阵列协方差矩阵，然后进行特征分解的 DOA 估计算法中， MUSIC 算法是普遍适用的，根据天线 的阵列形式就可以得到高分辨的估计结果。 基本MUSIC算法的步骤为：(1)计算接收信号的协方 差矩阵R；(2)对R进行特征值分解得到R=UΣUH；(3)将特
基于MUSIC算法方位角估计的对比性仿真研究
= xk ( n)
∑ s ( n )a
i =1 i
P
k
( wi ) + ek (n)
式(1)
征值按从大到小的顺序排列，把前P个特征值和对应的特 征向量记为信号子空间，其余K-P个特征值和特征向量记
H 为噪声子空间，并且有 ；(4)根 = R U s Σ sU sH + U N Σ N U N
H f ( z ) = p H ( z )U N U N p( z )
λ
d sin θi ) ... 可有
1 e − j 2π d sin θ1 / λ . A= . . − j 2π d ( K −1) sin θ1 / λ e 1 e
2
信号模型
接收天线阵列按一定的形式排列，并且在空间中的
坐标已知，常用的阵列 [2]形式有均匀线阵、均匀圆阵、 L 型阵列等。本文中选取结构简单，处理方便的均匀线阵阵 列形式，设线阵由K个阵元均匀排列，阵元间距d=λ/2， λ是波长。空间有P个信号源，是远场窄带信号，且满足 M>P。设信号的波达角为{θ1,θ2,…,θP}，到底阵列的形 式是平面波，将阵列中第一个阵元作为基准点，在这个点 的各信源包络分别是s1(n)，s2(n)，…，sP(n)，信号si(n)在 第k个阵元上的接收信号为si(n)e-j(k-1)wi，则第k个阵元上的 接收信号[2]可表示为
由图7中可见，总体上讲ROOT-MUSIC算法的估计均 方误差较 MUSIC 算法的小，估计效果较好，正好验证了 上面所得到的结论。
4
总结与结论
本文主要是对方位角估计算法中的经典算法：
MUSIC 类算法的部分算法进行了理论上的对比研究。文 中对MUSIC类算法中的基本MUSIC算法和ROOT-MUSIC 算法进行理论上的研究，并利用这两种算法对方位角进 行估计的 MATLAB 仿真。算法对 一 个 方 位 角 估 计 进 行 多次 独立 仿真实 验，对 仿真 过程中的 均 方误差 曲线进
3.3 基于MUSIC类算法的DOA估计仿真
通过以上对 MUSIC 算法和 Root-MUSIC 算法的理论 分析，这里通过MATLAB仿真来研究两种算法对方位角估 计的效果。仿真条件设为：天线阵元数为 10 ，阵元间距 d=λ/2，信号入射角度分别为-45。、-30。、60。，快拍数 为1024，对不同信噪比下MUSIC算法估计方位角的效果
Root-MUSIC 算法只能估计角度，不能画出功率谱 图，所以对它的仿真结果就只有表1。从表中，可以看到 信噪比SNR越小，估计的偏差就越大，当SNR=32时，估 计的角度就很接近于真实的方位角角度。
行绘 制， 对比分 析各算 法的 优劣性， 可 以得到 ：利用 MUSIC算法估计的方位角比较正确，均方误差也较 小，结果准确。