天津市河北区汇森中学2021-2022学年九年级上学期期中数学试题

天津市河北区汇森中学2021-2022学年九年级上学期期中数
学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题
1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
2．已知点P 的坐标是（﹣6，5），则P 点关于原点的对称点的坐标是（ ） A ．（﹣6，﹣5）
B ．（6，5）
C ．（6，﹣5）
D ．（5，﹣6）
3．二次函数y ＝（x ＋2）2﹣1的顶点是（ ） A ．（2，﹣1）
B ．（2，1）
C ．（﹣2，﹣1）
D ．（﹣2，1）
4．将抛物线()2
y x 13=-+向左平移1个单位，再向下平移3个单位后所得抛物线的解析式为【 】 A ．()2
y x 2=-
B ．()2
y x 26=-+
C ．2y x 6=+
D ．2y x =
5．“凤鸣”文学社在学校举行的图书共享仪式上互赠图书，每个同学都把自己的图书向本组其他成员赠送一本，某组共互赠了210本图书，如果设该组共有x 名同学，那么依题意，可列出的方程是（ ） A ．x （x+1）＝210 B ．x （x ﹣1）＝210 C ．2x （x ﹣1）＝210
D ．1
2
x （x ﹣1）＝210
6．一次函数y ＝ax+c 的图象如图所示，则二次函数y ＝ax 2+x+c 的图象可能大致是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
7．如图,AB 是⊙O 的直径,弦CD ⊙AB 于点E ,5,8OC cm CD cm ==,则AE =( )
A ．8cm
B ．5cm
C ．3cm
D ．2cm
8．如图，PA 、PB 分别与半径为3的O 相切于点A ，B ，直线CD 分别交PA 、PB 于点C ，D ，并切O 于点E ，当5PO =时，PCD 的周长为（ ）
A ．4
B ．5
C ．8
D ．10
9．如图，正方形OABC 的两边OA 、OC 分别在x 轴、y 轴上，点D （5，3）在边AB 上，以C 为中心，把CDB 旋转90°，则旋转后点D 的对应点D 的坐标是（ ）
A ．（2，10）
B ．（﹣2，0）
C ．（2，10）或（﹣2，0）
D ．（10，2）或（﹣2，0）
10．已知抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ＜0）与x 轴交于点A （﹣1，0），与y 轴的交点在（0，2），（0，3）之间（包含端点），顶点坐标为（1，n ），则下列结论：①4a +2b ＜0； ①﹣1≤a ≤2
3
-； ①对于任意实数m ，a +b ≥am 2+bm 总成立；①关于x 的方程
ax 2+bx +c ＝n ﹣1有两个不相等的实数根．其中结论正确的个数为（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个
二、填空题
11．如果2
2(1)-=-m m y m x 是二次函数，则m =__________．
12．已知二次函数y=（x ﹣1）2+2，当x ＞1时，y 随x 的增大而_____（填“减小”或“增大”）．
13．若二次函数26y x x c =-+的图象过()11,A y -，()22,B y ，()35,C y ，则1y ，2y ，3y 的大小关系是________．
14．如图所示，ABC 中，33BAC ∠=︒，将ABC 绕点A 按顺时针方向旋转50︒，对应得到A B C '''，则B AC '∠的度数为_____________．
15．一球从地面抛出的运动路线呈抛物线.当球离抛出地的水平距离为10m 时，达到最大高度5m ，则球被抛出__________m.
16．如图，A 、B 、C 是①O 上三点，①ACB ＝30°，则①AOB 的度数是_____．
17．如图，已知A 、B 两点的坐标分别为（2，0）、（0，4），P 是△AOB 外接圆△C 上的一点，且△AOP=45°，则点P 的坐标为________．
18．如图，在平面直角坐标系xOy 中，P 是直线y ＝2上的一个动点，①P 的半径为1，直线OQ 切①P 于点Q ，则线段OQ 取最小值时，Q 点的坐标为_____．
三、解答题
19．解方程：28120x x -+=
20．已知二次函数2y ax bx c =++的图象经过()0,3，()1,0-，()3,0三点． （1）求抛物线的解析式； （2）求它的对称轴和顶点．
21．如图，BE 是O 的直径，点A 和点D 是⨀0上的两点，过点A 作①O 的切线交BE 延长线于点C ．
（1）若①ADE=25°，求①C 的度数； （2）若AC=4，CE=2，求①O 半径的长.
22．一种进价为每件80元的T 恤，若销售单价为100元，则每月可卖出200件，为提
高利润，欲对该T 恤进行涨价销售，经过调查发现：若每涨价5元，则每月少卖出10件，求该T 恤涨价后每月的销售利润y （元）与销售单价x （元）之间的函数关系式，并求销售单价定为多少元时，每月的销售利润最大？
23．如图，在平面直角坐标系中，O 为原点，点(0,8)A ，点(,0)B m ，且0m >，把
AOB ∆绕点A 逆时针旋转90︒，得ACD ∆，点O ，B 旋转后的对应点为C ，D .
（1）点C 的坐标为______. （2）解答下列问题：
①设BCD ∆的面积为S ，用含m 的式子表示S ，并写出m 的取值范围. ①当6S =时，求点B 的坐标（直接写出结果即可）.
24．已知：抛物线1l ：2y x 2x 3=-++交x 轴于点A ，B （点A 在点B 的左侧），交y 轴于点C ，抛物线2l 经过点A ，与x 轴的另一个交点为()6,0E ，交y 轴于点()0,3D -． （1）求抛物线2l 的函数表达式；
（2）如图1，P 为抛物线1l 的对称轴上一动点，连接P A ，PC ，当90APC ∠=︒时，求点P 的坐标；
（3）如图2，M 为抛物线2l 上一动点，过点M 作直线MN y ∥轴，交抛物线1l 于点N ，求点M 自点A 运动至点E 的过程中，线段MN 长度的最大值．
参考答案：
1．D
【解析】
【分析】
根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
【详解】
A．是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意．
故选：D．
【点睛】
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
2．C
【解析】
【分析】
根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，可以直接得到答案．
【详解】
解：①点P的坐标是（﹣6，5），
①P点关于原点的对称点的坐标是（6，﹣5），
故选：C．
【点睛】
本题主要考查点的坐标关于原点对称，熟练掌握点的坐标关于原点对称的特点是解题的关键．
3．C
【解析】
【分析】
因为顶点式y ＝a （x −h ）2＋k ，其顶点坐标是（h ，k ），对照求二次函数y ＝（x ＋2）2−1的顶点坐标即可． 【详解】
解：①二次函数y ＝（x ＋2）2−1是顶点式， ①顶点坐标为（−2，−1）， 故选C ． 【点睛】
本题考查了二次函数的性质，注意：顶点式y ＝a （x −h ）2＋k ，顶点坐标是（h ，k ），对称轴是x ＝h ． 4．D 【解析】 【详解】
根据“左加右减、上加下减”的原则，
将抛物线()2
y x 13=-+向左平移1个单位所得直线解析式为：()2
2y x 113y x 3=-++⇒=+；
再向下平移3个单位为：22y x 33y x =+-⇒=．故选D ． 5．B 【解析】 【详解】
设全组共有x 名同学，那么每名同学送出的图书是(x−1)本； 则总共送出的图书为x(x−1)； 又知实际互赠了210本图书， 则x(x−1)=210. 故选：B. 6．C 【解析】 【详解】
①一次函数y=ax+c 的图象经过一、三、四象限，
①a＞0，c＜0，
故二次函数y=ax2+x+c的图象开口向上，对称轴在y轴左边，交y轴于负半轴，
故选C．
7．A
【解析】
【分析】
根据垂径定理可得出CE的长度，在Rt△OCE中，利用勾股定理可得出OE的长度，再利用AE=AO+OE即可得出AE的长度．
【详解】
①弦CD①AB于点E，CD=8cm，
①CE=1
CD=4cm．
2
在Rt△OCE中，OC=5cm，CE=4cm，
=3cm，
①AE=AO+OE=5+3=8cm．
故选A．
【点睛】
本题考查了垂径定理以及勾股定理，利用垂径定理结合勾股定理求出OE的长度是解题的关键．
8．C
【解析】
【分析】
连接OB,根据切线性质求出PB,根据切线长定理求出PA,再根据切线长定理得出
DE=DB,CE=CA,进而算出三角形周长即可.
【详解】
解:连接OB，
①PB是①O的切线，
①①PBO=90°，
=4
①PA、PB分别与①O相切，
①PA=PB=4，
①CD分别交PA、PB于点C，D，并切①O于点E,
①DE=DB，CE=CA，
①①PCD的周长=PC+CD+PD=PC+CA+DE+PD=PA+PB=8，
故选C.
【点睛】
本题考查切线的性质及切线长定理,关键在于转换线段的长度. 9．C
【解析】
【分析】
分顺时针旋转和逆时针旋转两种情况讨论解答即可．
【详解】
解：①点D（5，3）在边AB上，
①BC＝5，BD＝5﹣3＝2，
①若顺时针旋转，则点D在x轴上，O D＝2，
所以，D（﹣2，0），
①若逆时针旋转，则点D到x轴的距离为10，到y轴的距离为2，所以，D（2，10），
综上所述，点D的坐标为（2，10）或（﹣2，0）．
故选：C．
【点睛】
本题考查了坐标与图形变化﹣旋转，正方形的性质，难点在于分情况讨论． 10．C 【解析】 【分析】
①由抛物线的顶点横坐标可得出b=-2a ，进而可得出4a+2b=0，结论①错误；
①利用一次函数图象上点的坐标特征结合b=-2a 可得出a=-3
c
，再结合抛物线与y 轴交点的
位置即可得出-1≤a≤-2
3
，结论①正确；
①由抛物线的顶点坐标及a ＜0，可得出n=a+b+c ，且n≥ax 2+bx+c ，进而可得出对于任意实数m ，a+b≥am 2+bm 总成立，结论①正确；
①由抛物线的顶点坐标可得出抛物线y=ax 2+bx+c 与直线y=n 只有一个交点，将直线下移可得出抛物线y=ax 2+bx+c 与直线y=n-1有两个交点，进而可得出关于x 的方程ax 2+bx+c=n-1有两个不相等的实数根，结合①正确． 【详解】
：①①抛物线y=ax 2+bx+c 的顶点坐标为（1，n ）， ①-2b
a
=1， ①b=-2a ，
①4a+2b=0，结论①错误；
①①抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴交于点A （-1，0）， ①a-b+c=3a+c=0， ①a=-3
c ．
又①抛物线y=ax 2+bx+c 与y 轴的交点在（0，2），（0，3）之间（包含端点）， ①2≤c≤3，
①-1≤a≤-2
3
，结论①正确；
①①a＜0，顶点坐标为（1，n），
①n=a+b+c，且n≥ax2+bx+c，
①对于任意实数m，a+b≥am2+bm总成立，结论①正确；
①①抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为（1，n），
①抛物线y=ax2+bx+c与直线y=n只有一个交点，
又①a＜0，
①抛物线开口向下，
①抛物线y=ax2+bx+c与直线y=n-1有两个交点，
①关于x的方程ax2+bx+c=n-1有两个不相等的实数根，结合①正确．
故选C．
【点睛】
本题考查了二次函数图象与系数的关系、抛物线与x轴的交点以及二次函数的性质，观察函数图象，逐一分析四个结论的正误是解题的关键．
11．2
【解析】
【分析】
根据二次函数的定义列式计算即可.
【详解】
解：由题意得：22
m m
-=，且210
m-≠，
解得：2
m=，
故答案为：2．
【点睛】
本题主要考查的是二次函数的定义，由二次函数的定义得到22
m m
-=，且210
m-≠是解题的关键．
12．增大
【解析】
【详解】
解：①y=（x﹣1）2+2，
①二次函数开口向上，在对称轴右侧y 随x 的增大而增大，
①对称轴为x=1，
①当x ＞1时，y 随x 的增大而增大，
故答案为：增大．
13．132y y y >>
【解析】
【分析】
根据函数解析式的特点，其对称轴为3x =，图象开口向上；利用对称轴左侧y 随x 的增大而减小，再根据112-<<，即可做出判断．
【详解】
解：①二次函数26y x x c =-+的对称轴为3x =，
①二次函数图象的对称性可知，3(5,)C y 与3(1,)y 对称，
1(1,)A y -，2(2,)B y 和3(1,)y 在对称轴的左侧，y 随x 的增大而减小，
因为112-<<，于是132y y y >>．
故答案为：132y y y >>．
【点睛】
本题考查了函数图象上的点的坐标与函数解析式的关系，解题的关键是掌握二次函数的对称性及增减性．
14．17°
【解析】
【分析】
直接根据旋转的性质解答即可．
【详解】
解：①将ABC 绕点A 按顺时针方向旋转50︒，对应得到A B C '''，
①BAB '∠=50°，又33BAC ∠=︒，
①B AC '∠=BAB '∠﹣BAC ∠=50°﹣33°=17°，
故答案为：17°．
【点睛】
本题考查旋转的性质，正确找到旋转角是解答的关键．
15．20
【解析】
【分析】
根据抛物线的对称性解答即可.
【详解】
解：如图，由题意知：当AD=10m时，最大高度CD=5m，所以直线CD是抛物线的对称轴，根据抛物线的对称性可知：AB=2AD=20m.
故答案为20.
【点睛】
此题考查了抛物线的对称性在实际中的应用，正确理解题意、熟知抛物线的对称性是解答的关键.
16．60°
【解析】
【分析】
直接利用圆周角定理，即可求得答案．
【详解】
①A、B、C是①O上三点，①ACB=30°，
①①AOB的度数是：①AOB =2①ACB=60°．
故答案为：60°．
【点睛】
考查了圆周角定理的运用，同弧或等弧所对的圆周角等于圆心角的一半．
17．（3，3）
【解析】
【分析】
由OA与OB的长，利用勾股定理求出AB的长，根据①AOP=45°，得到三角形OPE为等腰直角三角形，即P横纵坐标相等，设为P（a，a），由①AOB为直角，利用直角所对的弦
为直径得到AB为直径，Rt①AOB外接圆的圆心为AB中点，求出圆心C坐标，过点C作CF①OA，过点P作PE①OA于E交CF于F，在直角三角形PCF中，利用勾股定理列出关于a的方程，求出方程的解得到a的值，确定出P的坐标即可．
【详解】
：
①OB=4，OA=2，
①①AOP=45°，
①P点横纵坐标相等,可设为a,即P(a,a)，
①①AOB=90°，
①AB是直径，
①Rt①AOB外接圆的圆心为AB中点,坐标C(1,2)，
P点在圆上,P
过点C作CF①OA，过点P作PE①OA于E交CF于F，
①①CFP=90°，
①根据勾股定理得：(a−2)2+(a−1)22，
解得：a=3，
①P(3,3)；
故答案为(3,3).
【点睛】
本题考查的知识点是圆心角、弧、弦的关系及全等三角形的判定与性质及角平分线的性质以及圆周角定理，解题的关键是熟练的掌握圆心角、弧、弦的关系及全等三角形的判定与性质及角平分线的性质以及圆周角定理.
18．（32）． 【解析】
【分析】
连接PQ 、OP ，如图，根据切线的性质得PQ①OQ ，再利用勾股定理得到利用垂线段最短，当OP 最小时，OQ 最小，然后求出OP 的最小值，得到OQ 的最小值，于是得到结论．
【详解】
连接PQ 、OP ，如图，
①直线OQ 切①P 于点Q ，
①PQ ①OQ ，
在Rt △OPQ 中，OQ
当OP 最小时，OQ 最小，
当OP ①直线y ＝2时，OP 有最小值2，
①OQ
设点Q 的横坐标为a ，
①S △OPQ ＝12×112
×2×|a ，
①a ＝，
①Q 32，
①Q 点的坐标为（，32），
故答案为（，32）． 【点睛】
本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了勾股定理．
19．126,2x x ==
【解析】
【分析】
把常数项12移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数-8的一半的平方．
【详解】
解：移项得：2812x x -=-
配方得：2228(4)12(4)x x -+-=-+-
即2(4)4x -=
开平方得：42x -=±
解得：126,2x x ==
【点睛】
本题考查了解一元二次方程-配方法．配方法的一般步骤：
（1）把常数项移到等号的右边；
（2）把二次项的系数化为1；
（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．
20．（1）2y x 2x 3=-++；（2）对称轴是直线1x =，顶点坐标是()1,4
【解析】
【分析】
（1）用待定系数法，将已知的三个点坐标代入函数求解即可；
（2）将（1）所得函数解析式化为顶点式，然后写出对称轴与顶点坐标即可．
【详解】
（1）①二次函数2y ax bx c =++的图象经过()0,3，
1,0，3,0三点，
①93003a b c a b c c ++=⎧⎪-+=⎨⎪=⎩，
解得：123a b c =-⎧⎪=⎨⎪=⎩
，
①二次函数解析式为：2y x 2x 3=-++；
（2）①()2
22314y x x x =-++=--+，
①对称轴是直线1x =，顶点坐标是()1,4．
【点睛】
本题考查了抛物线解析式的确定，配方法确定抛物线的对称轴，顶点坐标，熟练掌握待定系数法，配方法是解题的关键.
21．（1）①C=40°；（2）⨀O 半径的长是3.
【解析】
【分析】
（1）连接OA ，由圆周角定理得①A0C=2①ADE=50°，再由AC 是切线可得①OAC=90°，则可求①C ；
（2）设OA OE r ==，在Rt OAC 中运用勾股定理即可求解.
【详解】
（1）连接OA ，
①①ADE=25°，由圆周角定理得：①A0C=2①ADE=50°，
①AC 切①O 于A ，
①①OAC=90°，
①①C=180°-①AOC-①OAC=180°-50°-90°=40°；
（2）设OA OE r ==，
在Rt OAC 中，由勾股定理得：222OA AC OC +=，
即()2
2242r r +=+，
解得：r=3，
答：①O 半径的长是3.
【点睛】
本题主要考查了圆的性质中圆周角定理以及切线的性质，熟练掌握性质和定理是解题的关键.
22．关系式为：2256032000y x x =-+-，当销售单价定为140元，每月的销售利润最大是7200.
【解析】
【分析】
售价x 元，涨价()100-x 元，则每件利润为()80x -元，每月少卖出
100105-⨯x 件，每月销量为100(20010)5
--⨯x 件，根据总利润=每件利润×销售量，可得出函数关系式，再利用配方法求出最值即可.
【详解】
根据题意得()10080(20010)5
x y x -=--⨯ 整理得：2256032000y x x =-+-
因为()2
225603200021407200=-+-=--+y x x x
所以当140x =时，max 7200y =.
答：当销售单价定为140元，每月的销售利润最大是7200.
【点睛】
本题考查二次函数的应用，营销问题关键是找出单件利润和销售量的表达式，建立等式关系.
23．（1）(8,8);（2）①2142S m m =-，(8)m >，或2142
S m m =-+，(08)m <<.①
(4+，(2,0)或(6,0). 【解析】
【分析】
（1）由旋转的性质得出AC=AO=8，①OAC=90°，得出C （8，8）即可；（2）①由旋转的性质得出DC=OB=m ，①ACD=①AOB=90°，①OAC=90°，得出①ACE=90°，证出四边形OACE 是矩形，得出DE①x 主，OE=AC=8，分三种情况：a 、当点B 在线段OE 的延长线
上时，得出BE=OB-OE=m-8，由三角形的面积公式得出S=1
2
m2-4m（m＞8）即可；b、
当点B在线段OE上（点B不与O，E重合）时，BE=OE-OB=8-m，由三角形的面积公式
得出S=-1
2
m2+4m（0＜m＜8）即可；c、当点B与E重合时，即m=8，△BCD不存在；
①当S=6，m＞8时，得出1
2m2-4m=6，解方程求出m即可；当S=6，0＜m＜8时，得出-1
2
m2+4m=6，解方程求出m即可．
【详解】
解：（1）①点A（0，8），
①AO=8，
①①AOB绕点A逆时针旋转90°得△ACD，
①AC=AO=8，①OAC=90°，
①C（8，8），
故答案为（8，8）；
（2）①延长DC交x轴于点E，
①点B（m，0），
①OB=m，
①①AOB绕点A逆时针旋转90°得△ACD，
①DC=OB=m，①ACD=①AOB=90°，①OAC=90°，①①ACE=90°，
①四边形OACE是矩形，
①DE①x主，OE=AC=8，
分三种情况：
a、当点B在线段OE的延长线上时，如图1所示：
则BE=OB-OE=m-8，
①S=12DC•BE=1
2
m （m-8）， 即S=12m 2-4m （m ＞8）；
b 、当点B 在线段OE 上（点B 不与O ，E 重合）时，如图2所示：
则BE=OE-OB=8-m ， ①S=12DC•BE=12
m （8-m ）， 即S=-12m 2+4m （0＜m ＜8）；
c 、当点B 与E 重合时，即m=8，△BCD 不存在；
综上所述，S=12m 2-4m （m ＞8），或S=-12m 2+4m （0＜m ＜8）；
①当S=6，m ＞8时，12
m 2-4m=6，
解得：，
当S=6，0＜m ＜8时，-12m 2+4m=6，
解得：m=2或m=6，
①点B 的坐标为（0）或（2，0）或（6，0）．
【点睛】
本题考查了坐标与图形性质、旋转的性质、矩形的判定与性质、三角形面积公式、一元二次方程的解法等知识；本题综合性强，有一定难度．
24．（1）215322y x x =
--；（2）P 点的坐标为()1,1或1,2；（3）21 【解析】
【分析】
（1）通过解方程2230x x -++=得(1,0)A -设交点式(1)(6)y a x x =+-，然后把D 点坐标代
入求出a 的值即可得到得抛物线2l 的解析式；
（2）先求出(0,3)C 和抛物线2y x 2x 3=-++的对称轴为直线1x =，则设(1,)P t ，利用两点间的距离公式和勾股定理得到22221(3)210t t +-++=，然后解方程求出t 即可得到点P 的坐标；
（3）抛物线2l 与抛物线1l 经过的另一个交点为F ，如图2，先通过解方程
2215
32322
x x x x --=-++得(4,5)F -，设215(,3)22M x x x --，则2(,23)N x x x -++，讨论：当
14x -<时，23
9622MN x x =-++；当46x 时，22393375
6()22228
MN x x x =--=--
，然后分别利用二次函数的性质求出两种情况下的MN 的最大值，再比较大小即可得到点M 自点A 运动至点E 的过程中，线段MN 长度的最大值． 【详解】
解：（1）当0y =时，2230x x -++=，解得11x =-，23x =，则(1,0)A - 设抛物线2l 的解析式为(1)(6)y a x x =+-， 把(0,3)D -代入得1(6)3a -=-，解得12
a =
， 所以抛物线2l 的解析式为1
(1)(6)2
y x x =+-，即215
322
y x x =--； （2）当0x =时，2233y x x =-++=，则(0,3)C 抛物线2y x 2x 3=-++的对称轴为直线1x =，
设(1,)P t ，则2221310AC =+=，2221(3)PC t =+-，2222PA t =+，
90APC ∠=︒，
222PC PA AC ∴+=，即2222
1(3)210t t +-++=，
整理得2320t t -+=，解得11t =，22t =，
∴点P 的坐标为(1,1)或(1,2)；
（3）抛物线2l 与抛物线1l 经过的另一个交点为F ，如图2，
解方程221532322
x x x x --=-++得11x =-，24x =，则(4,5)F -， 设215(,3)22
M x x x --，则2(,23)N x x x -++，
当14x -<时，222215393375
23(3)6()222222
8MN x x x x x x x =-++---=-++=--+，此时32
x =时，MN 有最大值
758
； 当46x 时，22221
5393375
3(23)6()2222228
MN x x x x x x x =----++=--=--
，此时6x =时，MN 有最大值21；
所以点M 自点A 运动至点E 的过程中，线段MN 长度的最大值为21． 【点睛】
本题考查了二次函数的综合题，解题的关键是熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质；会利用待定系数法求二次函数的解析式，会求抛物线与坐标轴的交点坐标；理解坐标与图形的性质，记住两点间的距离公式和勾股定理．。