江西省南昌市二十八中教育集团联盟2023-2024学年九年级上学期开学考试数学试题(含答案)

南昌二十八中教育集团2023—2024学年暑期开学阶段性测试卷
九年级数学
一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
1.中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”，其中不是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
2.石墨烯具有优异的光学、电学、力学特性，在材料学、微纳加工、能源、生物医学和药物传递等方面具有重要的应用前景，被认为是一种未来革命性的材料，石墨烯中每两个相邻碳原子间的键长为0.000000000142米，数字“0.000000000142”用科学记数法表示为（
）A. B. C. D.3.若一个三角形的三边长分别为2、6、a ，则a 的值可以是（ ）
A.3
B.4
C.7
D.84.
合并的是（ ）
5.如图，在中，点D ，E ，F 分别是，，中点，以这些点为顶点，在图中能画出多少个平行四边形（ ）
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
6.如图，用弹簧测力计将一铁块悬于盛有水的水槽中，然后匀速向上提起，使铁块完全露出水面，并上升一定高度，则下列能反映弹簧测力计的读数y （单位：N ）与铁块被提起的时间x （单位：s ）之间的函数关系的大致图象是（ ）
91.4210-⨯101.4210-⨯90.14210-⨯111.4210
-⨯ABC △AB BC AC
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7.分解因式：_____________.
8.某校举行了“珍爱生命，预防溺水”为主题的演讲比赛，提高学生的安全意识.演讲者的最终比赛成绩按照演讲内容、现场效果、外在形象三项得分分别占40%，40%，20%的比例折算.已知李明同学的三项原始得分分别是90分，95分，90分，那么李明同学最终比赛成绩为__________分.
9.在平面直角坐标系中，将向下平移3个单位，所得函数图象过，则a 的值为____________.
10.以正五边形的顶点C 为旋转中心，按顺时针方向旋转，使得新五边形的顶点落在直线上，则正五边形旋转的度数至少为__________°.11.如图，在中，，，D ，E 分别是边，的中点，点F 在上，且，则的长是__________.
12.已知函数与，若，则x 的值是__________.
三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13.计算：（1
（2）解方程：14.以下是某同学化简分式的部分运算过程：3
327x x -=21y x =-+(),3a ABCDE A B CD E ''''D 'BC ABCDE ABC △8AB =14BC =AB AC DE 90AFB ∠=︒EF 12y x =-()22(1)136(3)
x x y x x ⎧--=⎨-+>⎩…12y y =101(3)2π-⎛⎫-+ ⎪⎝⎭()()
3222x x x -=-22a b ab b a a a ⎛⎫--÷- ⎪⎝⎭
解：原式 ……第一步 ……第二步 ……第三步（1）上面的运算过程中第__________步开始出现了错误；（2）请你写出完整的解答过程.
15.如图，等边三角形的边长是4，D ，E 分别为边，的中点，延长至点F ，使，连接，，.（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）求的长.
16.已知四边形是平行四边形，为对角线，分别在图①、图②中按要求作图（保留作图痕迹，不写做法）.
图① 图②
（1）如图①，点P 为上任意一点，请仅用无刻度的直尺在上找出另一点Q ，使；
（2）如图②，点P 为上任意一点，请仅用无刻度的直尺在上找出一点Q ，使.
17.已知关于x 的一元二次方程，其中a ，b ，c 分别为三边的长.
（1）如果是方程的一个根，试判断的形状，并说明理由；
（2）如果是等边三角形，试求这个一元二次方程的根.
四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18.“人间烟火味，最抚凡人心”，地摊经济、小店经济是就业岗位的重要来源.某经营者购进了A 型和B 型两种玩具，已知用520元购进A 型玩具的数量比用175元购进B 型玩具的数量多30个，且A 型玩具单价是B 型玩具单价的1.6倍.
2
2a b a b ab b a a a a
---=÷-÷2
12a b a b a a a a ab b --=⋅-⋅-222a b a b a ab b --=
--ABC AB AC BC 12
CF BC =CD DE EF DCFE EF ABCD BD AB CD AP CQ =BD BD BP DQ =()()220a b x cx a b +-+-=ABC △1x =ABC △ABC △
（1）求两种型号玩具的单价各是多少元？
根据题意，甲、乙两名同学分别列出如下方程：
甲：，解得，经检验是原方程的解.乙：，解得，经检验是原方程的解.则甲所列方程中的x 表示______________，乙所列方程中的x 表示______________；
（2）该经营者准备用1350元以原单价再次购进这两种型号的玩具共200个，则最多可购进A 型玩具多少个？
19.已知一次函数（k 、b 为常数，且）的图象（如图1）.
图1 图2
（1）求k ，b 的值；
（2）正比例函数（m 为常数，）与一次函数相交于点P （如图2），则不等式
的解集为______________；不等式组的解集为______________.20.古希腊的几何学家海伦在他的《度量》一书中给出了利用三角形的三边求三角形面积的“海伦公式
”：如果一个三角形的三边长分别为a 、b 、c ，设，则三角形的面积.我国南宋著名的数学家秦九韶，曾提出利用三角形的三边求面积的“秦九韶公式”（三斜求积术）：如果一个三
角形的三边长分别为a
、b 、c ，则三角形的面积.依据上述公式解决下列问题：（1）若一个三角形的三边长分别是5，6，7，则这个三角形的面积等于___________；
（2
3，
.
五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21.甲、乙两名队员参加射击训练，每人射击10次，成绩分别如下：根据以上信息，整理分析数据如下：
520175301.6x x
=+5x =5x =5201751.630x x =⨯-65x =65x =y kx b =+0k ≠y mx =0m ≠y kx b =+mx kx b >+00
mx kx b >⎧⎨+>⎩2a b c p ++=S =S =
平均成绩/环
中位数/环众数/环方差甲
a 77 1.2乙7
b 8c
（1）__________，__________，__________.
（2）填空：（填“甲”或“乙”）.
从中位数的角度来比较，成绩较好的是__________；从众数的角度来比较，成绩较好的是__________；成绩相对较稳定的是__________.
（3）从甲、乙两名队员中选一名队员参加比赛，选谁更合适，为什么？
22.已知：直线与x 轴、y 轴分别相交于点A 和点B ，点C 在线段上.将沿折叠后，点O 恰好落在边上点D 处.
（1）直接写出点A ，点B 的坐标；
（2）求的长度；
（3）取的中点M ，若点P
在
y 轴上，点Q 在直线上，存在以C 、M 、P 、Q 为顶点的四边形为平行四边形，则点Q 的坐标为____________.
六、（本大题共1题，共12分）
23.我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”.数学中，数和形是两个最主要的研究对象，它们之间有着十分密切的联系，在一定条件下，数和形之间可以相互转化，相互渗透.
某校数学兴趣小组，在学习完勾股定理和实数后，进行了如下的问题探索与分析：
【提出问题】已知
的最小值a =b =c =3124
y x =+AO ABO △BC AB OC AB AB 01x <<+
的线段，将代数求和转化为线段求和问题.
【解决问题】
（1）如图，我们可以构造边长为1的正方形，P为边上的动点.设，则.则线段__________
线段__________；
（2）在（
1）的条件下，已知
的最小值；
（3）
的最大值.
南昌二十八中教育集团2023--2024
学年暑期开学阶段性测试卷
九年级数学（答案）
一、选择题（本大题共6小题，共18分）
1.A.
2.B.
3.C.
4.B.
5.C.
6.D.
二、填空题（本大题共6小题，共18分）
7.. 8.92. 9.. 10.72. 11.3. 12.1或2或4
三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13.解：（1）原式；∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙3分（2），
或，解得，.∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙6分
14.解：（1）上面的运算过程中第一步开始出现了错误；
故答案为：一；∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙2分（2）原式.∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙6分15.（1）证明：∵D、E分别是，中点，∴是的中位线，
ABCD BC BP x
=1
PC x
=-
=+
01
x
<<
()()
333
x x x
+-
5
2
-
2123
=-+=
()()()()()()
3222,32220,2320
x x x x x x x x
-=----=--=
20
x-=320
x-=
1
2
x=
2
2
3
x=
22
2
21
()
a b a ab b a b a
a a a a
b a b
--+-
=÷=⋅=
--
AB AC DE ABC
△
∴，，∵，∴，且，∴四边形是平行四边形；∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙3分
（2）解：由（1）可知，四边形为平行四边形，∴，
∵是等边三角形，∴，∵D 为的中点，
∴，，∴，∴，∴.∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙3分16.解：（1）如图，点Q 即为所求作.∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙1分
（2）如图，点Q 即为所求作.∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙2分 图① 图② ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙6分
17.解：（1）是等腰三角形，
理由：∵是方程的根，∴，∴，
∴，∴，∴是等腰三角形；∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙3分
（2）如果是等边三角形，则，原方程可化为：，
∴，解得：，.∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙6分四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18.解：B 型玩具的单价；A 型玩具的数量；∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙4分
（2）设可购进A 型玩具a 个，则B 型玩具个，
根据题意得：，，∴整数a 最大值是116，答：最多可购进A 型玩具116个.∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙8分
19.解：（1）分别将，代入得：
，解得；∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙4分（2），.∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙4
分
DE BC ∥12DE BC =12
CF BC =DE CF =DE CF ∥DCFE DCFE EF DC =ABC △4AB BC ==AB 122
BD AB ==CD AB ⊥90BDC ∠=
︒DC =
=
=EF =ABC △1x =()()20a b c a b +-+-=20a b c a b +-+-=0a c -=a c =ABC △ABC △a b c ==2
220ax ax -=20x x -=10x =21x =()200a -()852001350a a +- (261163)
a …()0,4()2,0y kx
b =+402b k b =⎧⎨=+⎩42b k =⎧⎨=-⎩
1x >02x <<
20.解：（1），
答：这个三角形的面积等于.
故答案为：.∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙4分
（2）.答：这个三角形的面积是3.∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙8分
五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21.解：（1），，，故答案为：7，
7.5，4.2；∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙3
分（2）由表中数据可知，甲，乙平均成绩相等，乙的中位数，众数均大于甲，说明乙的成绩
好于甲，乙的方差大于甲.
从平均数和中位数的角度来比较，成绩较好的是乙；从平均数和众数的角度来比较，成绩较好的是乙
；成绩相对较稳定的是甲.
故答案为：乙，乙，甲；∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙6分
（3）选乙，理由：甲、乙两名队员平均成绩一样，但乙的中位数比甲高，众数比甲高，说明乙的高分比甲多，所以选乙更合适.（答案不唯一）.
∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙9分
22.解：（1）对于直线，令，则，令，则，∴，；∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙2分
（2）由（1）知，，由勾股定理得，，
∵将沿折叠后，点O 恰好落在边上点D 处.
∴，，，∴，
设，则，
在中，由勾股定理得，，解得，∴；∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙6分
（3）∵，，∴的中点，567922
a b c p ++++===S ===3S ====()152647289710a =⨯+⨯+⨯+⨯+=()1787.52
b =⨯+=22222221(37)(47)(67)2(77)3(87)(97)(107) 4.210
c ⎡⎤=⨯-+-+-+⨯-+⨯-+-+-=⎣⎦3124
y x =+0x =12y =0y =16x =-()0,12B ()16,0A -12OB =16OA =20AB =ABO △BC AB OC CD =12OB BD ==90ADC BOC ∠=∠=︒8AD =OC CD m ==16AC m =-Rt ACD △222
8(16)m m +=-6m =6OC =()0,12B ()16,0A -AB ()8,6M -
设，，当为对角线时，由中点坐标公式得：
，解得，∴，当为对角线时，由中点坐标公式得：
，解得，∴，当为对角线时，由中点坐标公式得：
，解得，∴，综上：或或.∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙9分六、（本大题共1题，共12分）
23.解：（1
，
故答案为：、
；∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙2分
（2）如图，作点A 关于的对称点H ，连接交于点P ，此时，
由题意得：，，
则，
∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙7分
（3）如图，在矩形的基础上，构建，连接、，设，，，，
()0,P p 3,124Q q q ⎛
⎫+ ⎪⎝⎭
CM 680306124q p q --=+⎧⎪⎨+=++⎪⎩
14q =-314,2Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭CP 68q -=-+2q =272,2Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭
CQ 680q -+=-+2q =-212,2Q ⎛⎫- ⎪⎝
⎭314,2Q ⎛
⎫- ⎪⎝⎭272,2⎛⎫ ⎪⎝⎭212,2⎛⎫- ⎪⎝⎭
AP PD =+AP PD BC HD BC AP PD +22AH AB ==1AD =DH =
==+BEDF ABC △AD CD 6BE =1BF =AB x =3BC =
则，
，
当A 、C 、D 共线时，
.∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙12分
AC ==AD ==AC AD CD -=-CD ==
==。