河南省郑州市高中毕业班第一次质量预测数学理科试卷

河南省郑州市高中毕业班第一次质量预测数学理科试卷
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至8页，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：
1． 答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。

2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在答卷上的无效。

参考公式： 如果事件A 、B 互斥，那么
球的表面积公式
()()()P A B P A P B +=+
24S R π=
如果事件A 、B 相互独立，那么
球的体积公式
()()()P A B P A P B =
如果事件A 在一次实验中发生的概率是P
34
3
V R π=球
那么n 次独立重复实验中恰好发生k 次概率
其中R 表示球的半径
()(1)
k k n k
n n P k C P P -=- 第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．若全集U R =，集合2{|10},{|20}A x x B x x x =-<=-≤，()A B ⋂=
A ．{|12}x x <<
B ．{|12}x x <≤
C ．{|12}x x x <≥或
D ．{|12}x x x ≤>或
2．复数6
1
(1)i
+的值是
A ．－8
B ．8
C ．－8i
D ．8i
3．已知双曲线的方程为2
2
23(0)x y m m -=>，则此双曲线的离心率为
A ．
32
B ．
153
C ．
52
D ．与m 的值有关
4．“平面a 那的两条直线l 、m 都平行于平面β”是“平面a //β”的
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分又不必要条件
5．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若15918a a a ++=，则9S 等于
A ．45
B ．36
C ．54
D ．60
6．已知向量( 5.3),(2,)a x b x =--=，且a b ⊥，则由x 的值构成的集合是
A ．{2，3}
B ．{－1，6}
C ．{2}
D ．{6}
7．函数22(0)y x x x =-+≤的反函数为 A ．11(0)y x x =-≤ B ．11(1)y x x =-≤
C ．11(0)y x x =--≤
D ．11(1)y x x =--≤
8．长方体1111ABCD A BC D -中，1111AA A D ==,
2AB =,E 为AB 的中点，则1C 到平面1D DE 的距离为
A 2
B ．2
C 25
D 39．若曲线3y x =的切线l 与直线380x y +-=垂直，则l 的方程为 A ．320x y -+= B ．330x y -+=或330x y --=
B ．320x y --=
D ．320x y --=或320x y -+=
10．现有男生4人，女生4人，将它们任意排成一排，左边4人全是女生的概率是
A ．
1
70
B ．
135
C ．
11680
D ．
2
35
11．在ABC ∆中，设角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，则cos 2cos C a c
B b
-=，则角B =
A ．300
B ．60
C ．900
D ．1200
12．已知直线10ax by +-=（a 、b 不全为零）与圆2
2
50x y +=有公共点，且公共点的横、纵坐标均为整数，那么这样的直线共有
A ．66条
B ．72条
C ．74条
D ．78条
第Ⅱ卷（非选择题
共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）
13．二项式9
2()4x x
+
的展开式中常数项为________ .（用数字作答） 14．已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱的高为4，底面边长为2，则这个球的表面积是__________。

15．若满足条件11y x
x y y ≤⎧⎪
+≤⎨⎪≥-⎩
，则2z x y =+的最大值是__________。

16．对于定义在R 上的函数()f x ，有下述四个命题：①若()f x 是奇函数，则(1)f x -的图像关于点
A （1，0）对称；②若对于任意x R ∈，有(1)(1)f x f x +=-，则函数()f x 的图像关于直线1x =对
称；③若函数(1)f x -的图像关于直线1x =对称，则()f x 为偶函数；④函数(1)y f x =+与函数
(1)y f x =-的图像关于直线1x =对称。

其中正确命题的序号为_________。

（把你认为正确命题的序号都填上）
三、解答题（本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分） 已知2()2cos 3sin 2,f x x x a a R =++∈ （Ⅰ）若()f x 有最大值为2，求实数a 的值； （Ⅱ）求函数()y f x =的单调区间。

18．（本小题满分12分）
如图，A 、B 两点5条连线并联，它们在单位时间内能通过的最大信息量依次为2，3，4，3，2。

现记从中任取三条线且在单位时间内都通过的最大信息总量为ξ。

（Ⅰ）写出最大信息量ξ的分布列； （Ⅱ）求最大信息总量ξ的数学期望。

19．（本小题满分12分）
如图，四棱锥P ABCD -中，PB ⊥底面ABCD ，CD PD ⊥，底面ABCD 为直角梯形，
//AD BC ,AB BC ⊥,3AB AD PB ===,点E 在棱PA 上，且2PE EA =.
（Ⅰ）求证：PC //平面BDE ； （Ⅱ）求异面直线PA 与CD 所成的角； （Ⅲ）求二面角E BD A --的大小。

20．（本小题满分12分） 已知数列{}n a 满足递推关系式122(2)n n n a a n -=+≥，其中464a = （Ⅰ）求123,,a a a ；
（Ⅱ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅲ）求数列{}n a 的前n 项和为n S
21．（本小题满分12分）
已知定点(1,0)A 和定直线1x =-上的两个动点E 、F ，满足AE AF ⊥,动点P 满足EP //OA ，//FO OP （其中O 为坐标原点）。

（Ⅰ）求动点P 的轨迹C 的方程；
（Ⅱ）过点(0,2)B 的直线l 与（Ⅰ）中轨迹C 相交于两个不同的点M 、N ，若0AM AN <,
求直线l 的斜率的取值范围。

22．（本小题满分14分） 已知函数2
1()ln 2
f x x x =
+ （Ⅰ）求函数()f x 在[1,]e 上的最大，最小值； （Ⅱ）当[1,)x ∈+∞时，求证：
2312ln 23
x x x +<
参考答案
一、选择题 1．D
2．D
3．B
4．B
5．C
6．C
7．C
8．A
9．D
10．A
11．B 12．B
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分） 13． 84；
14． 24π；
15．3；
16． ① ③
三、解答题（本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）
(1)()2sin(2)1.
6
2()(),46
2
(),()3,6
32, 1.6()2[2,2]()10622():[f x x a x k Z f x x k Z f x a a a f x x k k k Z f x kx π
ππππ
ππππ
ππ=+++∴+=
∈=
∈++==-+∈-++∈解：当+2k 时，有最大值…………分
解得+k 时取最大值由解得…………………………………分(2)由函数y=sinx 的性质知，
的单调增区间应满足:（）……分
的单调增区间是,]().362:[,]().1263k k Z kx k k Z ππ
πππ
π-
+∈++∈单调减区间是…………………分
18．（本小题满分12分）
解：（1）由已知，ξ的取值为7，8，9，10. .………….…………2分
∵ P （ξ=7）=351222C C C =51, P （ξ=8）= 3512221122C C C C C +=310, P （ξ=9）=3
51
11212C C C C =52
, P （ξ=10）=3
5
1
122C C C =101。

…………6分 ∴ξ的概率分布列为
ξ
7 8 9 10
P
51
310 52 10
1 .………….………….……………8分
132142
(2)()789108.4. 125105105
E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯==⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅分
19．（本小题满分12分）
（1）∵PB ⊥底面ABCD ，CD ⊥PD ，∴CD ⊥BD .
在直角梯形ABCD 中，
AB⊥BC，AD∥BC，∴∠BAD =90°.又∵AB =AD =3，
3 2.BD ∴= ∠DBC =45°.3 2.CD ∴= BC =6.
连结AC 交BD 于G ，连结EG ，
∴PC∥EG. EG EBD PC EBD ⊂⊄又平面，平面；
∴ PC∥平面EBD ；………………4分
（2）取BC 的中点M ， 则AD ∥CM ，∴AM∥CD ，3 2.AM ∴=
∴∠PAM 为异面直线PA 与CD 所成的角.
22222
2
2
2
003332333 2.326060.
8PA AB PB PM BM PB AM PAM PAM PA CD =+=+==+=+==∴∆∴∠=∴，又
，是等边三角形；
，异面直线与所成的角为分
（3）在△PAB 中，过E 作EF∥PB，交AB 于F.
.;11 2.
3
2tan ;
22
arctan 22
arctan 2
EF ABCD F FH DB EH BD EHF E BD A EF PB EF EHF HF
EHF ⊥⊥⊥∴∠--=
==
∴∠=
=∴∠=0
则平面；
过作于H ，连EH ，由三垂线定理得：为二面角的平面角又，FH=BFsin45即所求二面角的大小为 －－－－－－－－－－－－－－12分
11,,.22AG AD AE AG AE
GC BC EP GC EP
∴===∴=又P
A
B
C
D
E
G P
A
B
C
D
E
G
M
P
A
B
C
D
E
G
F
H
1444332120(1)226422,24,8, 2.
4.
n n n a a a a a a a a -=+==+===.解:由及知
解得：同理得分
1
1
1111
11(2)
22,
1,1;2222
{}1622(1)1;(2).2.8222
n n n n n n n n n n
n n n n n n
n n n a a a a a a a a a a a n a n a n -----=+∴
=+∴
-=∴=+-⋅=∴=∴=⋅即构成以为首项，以为公差的等差数列，分分
23123412341111(3)
122232(1)22;2122232(1)22;
2222222(12)
2(1)2 2.
12
(1)2 2.12n n n n n n n n n n n n n n S n n S n n S n n n S n -+++++=⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+-⋅+⋅∴=
⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+-⋅+⋅∴-=++++⋅⋅⋅+-⋅-=-⋅=-⋅--∴=-⋅+分
21．（本小题满分12分）
（I ）设12(,),(1,),(1,)P x y E y F y --（1y 、2y 均不为0）
由EP //OA 得1y y =，即(1,)E y -
2分 由FO //OP 得2y y x =-，即(1,)y
F x
--
4分
由AE AF ⊥得
212120(2,)(2,)044(0)AE AF y y y y y x x ⋅=⇒-⋅=⇒=-⇒=≠ ∴动点P 的轨迹C 的方程为24(0)y x x =≠
6分
（II ）设直线l 的方程为22
12
122(0),(,),(,)44
y y y kx k M y N y =+≠
联立2
24y kx y x
=+⎧⎨
=⎩消去x 得2
480ky y -+= 121248
,y y y y k k
∴+=
=，
8分
且16320k ∆=->即1.2
k <
2222
1212
1212(1,)(1,)(1)(1)4444y y y y AM AN y y y y ∴⋅=-⋅-=--+
2222
1212121()164
y y y y y y =-+++1 22411616812()14k k k k k k
+=
--++= 0,120.AM AN k ⋅<∴-<<
12分
22．（本小题满分14分）
()()()[]1
(1) >0,
10.
f x x x x f x '=+'∴在，e 恒大于
()[]()()min
11
1,
2
f x f x f ∴∴==在，e 上单调递增,
()()2
max
1.2
e f x f e ==+ …………………4分
()32
21ln ,32
u x x x x =
--(2)证明：设 ()()[)()[)()[)222221121
(1)(1)(1);61,,1
0,(1)0,
0,(1)0.0.8u x x x x x x x x x x x x x x
x x x x x x
u x x u x x ⎛
⎫'∴=--
=-+- ⎪⎝⎭=-+-++∈+∞∴>->>++>'∴∈∞∴∈∞分
在1，+上恒大于分在1，+上单调递增.
()1
1>0 ,6u =
又
()[)3221
ln 0;
1232u x x x x x ∴=--∈∞在1，+上恒大于分
[)[)3223
21
ln 0.
32
12ln .1423
x x x x x x x x ∈∞-->∈∞+<即：1，+时，即：1，+时，分。