20.反比例函数(基础)知识讲解

反比例函数（基础）
【学习目标】
1. 理解反比例函数的概念和意义，能根据问题的反比例关系确定函数解析式．
2. 能根据解析式画出反比例函数的图象，初步掌握反比例函数的图象和性质．
3. 会用待定系数法确定反比例函数解析式，进一步理解反比例函数的图象和性质．
4. 会解决一次函数和反比例函数有关的问题． 【要点梳理】
【高清课堂 反比例函数 知识要点】
要点一、反比例函数的定义
如果两个变量的每一组对应值的乘积是一个不等于零的常数，那么就说这两个变量成反比例.即xy k =，或表示为k
y x
=
，其中k 是不等于零的常数. 一般地，形如k
y x
=
(k 为常数，0k ≠)的函数称为反比例函数，其中x 是自变量，y 是函数，自变量x 的取值范围是不等于0的一切实数.
要点诠释：（1）在k y x =
中，自变量x 是分式k x 的分母，当0x =时，分式k
x
无意义，所以自变量x 的取值范围是，函数y 的取值范围是0y ≠.故函
数图象与x 轴、y 轴无交点.
（2）k y x =
()可以写成(
)的形式，自变量x 的指数是
－1，在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数这一条件.
（3）k y x
=
()也可以写成
的形式，用它可以迅速地求出反比
例函数的比例系数k ，从而得到反比例函数的解析式.
【典型例题】
类型一、反比例函数的定义
1、（2014春•惠山区校级期中）下列函数：①y=2x ，②y=
，③y=x ﹣1
，④y=
．其
中，是反比例函数的有（ ）.
A. 0个
B. 1个
C. 2个
D. 3个 【答案】C ； 【解析】
解：①y 是x 正比例函数；
②y 是x 反比例函数； ③y 是x 反比例函数； ④y 是x+1的反比例函数． 故选：C ．
【总结升华】本题考查了反比例函数的定义，重点是将一般(0k
y k x
=≠）
转化为y=kx ﹣1（k≠0）的形式．
要点二、确定反比例函数的关系式
确定反比例函数关系式的方法仍是待定系数法，由于反比例函数k
y x
=
中，只有一个待定系数k ，因此只需要知道一对x y 、的对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出k 的值，从而确定其解析式.
用待定系数法求反比例函数关系式的一般步骤是： （1）设所求的反比例函数为：k
y x
=
(0k ≠)； （2）把已知条件（自变量与函数的对应值）代入关系式，得到关于待定系数的方程； （3）解方程求出待定系数k 的值；
（4）把求得的k 值代回所设的函数关系式k
y x
= 中.
类型二、确定反比例函数的解析式
2、已知正比例函数y kx =和反比例函数3
y x
=的图象都过点A(m ，1) ．求此正比例函数的关系式及另一个交点的坐标．
【思路点拨】点A 的坐标(m ，1)同时满足函数y kx =和3
y x
=
，所以可求出m 的值，进而求出A 点坐标，将其代入y kx =中求得k ，再令两关系式相等，从而求得另一个交点的坐标．
【答案与解析】 解： 因为3y x =
的图象经过点A(m ，1)，则3
1m
=，所以m ＝3． 把A(3，1)代入y kx =中，得13k =，所以1
3
k =．
所以正比例函数关系式为1
3
y x =．
由1,33,y x y x ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
得3x =±．
当3x =时，1y =；当3x =-时，1y =-．所以另一个交点的坐标为(－3，－1)．
【总结升华】确定解析式的方法是待定系数法，由于正比例函数y kx =中有一个待定系数，因此只需一对对应值即可． 举一反三：
【变式】已知y 与x 成反比，且当6x =-时，4y =，则当2x =时，y 值为多少？ 【答案】 解：设k
y x =
，当6x =-时，4y =， 所以46k
=-，则k ＝－24，
所以有24
y x
-=．
当2x =时，24
122
y -==-．
要点三、反比例函数的图象和性质
1、 反比例函数的图象特征：
反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限；反比例函数的图象关于原点对称，永远不会与x 轴、y 轴相交，只是无限靠近两坐标轴.
要点诠释：（1）若点(a b ，)在反比例函数k
y x
=
的图象上，则点(a b --，
)也在此图象上，所以反比例函数的图象关于原点对称； （2）在反比例函数
(k 为常数，0k ≠) 中，由于
，所以
两个分支都无限接近但永远不能达到x 轴和y 轴．
2、画反比例函数的图象的基本步骤：
（1）列表：自变量的取值应以O 为中心，在0的两侧取三对（或三对以上）互为相反数的值，填写y 值时，只需计算右侧的函数值，相应左侧的函数值是与之对应的相反数；
（2）描点：描出一侧的点后，另一侧可根据中心对称去描点；
（3）连线：按照从左到右的顺序连接各点并延伸，连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接，切忌画成折线.注意双曲线的两个分支是断开的，延伸部分有逐渐靠
近坐标轴的趋势，但永远不与坐标轴相交；
（4）反比例函数图象的分布是由k 的符号决定的：当0k >时，两支曲线分别位于第一、三象限内，当0k <时，两支曲线分别位于第二、四象限内． 3、反比例函数的性质
（1）如图1，当0k >时，双曲线的两个分支分别位于第一、三象限，在每个象限内，y 值随x 值的增大而减小；
（2）如图2，当0k <时，双曲线的两个分支分别位于第二、四象限，在每个象限内，y 值随x 值的增大而增大；
要点诠释：反比例函数的增减性不是连续的，它的增减性都是在各自的象限内的增减情况，反比例函数的增减性都是由反比例系数k 的符号决定的；反过来，由双曲线所在的位置和函数的增减性，也可以推断出k 的符号.
类型三、反比例函数的图象和性质
3、在函数21
a y x
--=（a 为常数）的图象上有三点(11x y ，)，(22x y ，)，(33x y ，)，
且1230x x x <<<，则123y y y ，，的大小关系是（ ）．
A ．231y y y <<
B ．321y y y <<
C ．123y y y <<
D ．312y y y << 【答案】D ；
【解析】
解：因为221(1)0k a a =--=-+<，所以函数图象在第二、四象限内，且在第二、四象限
内，y 随x 的增大而增大．因为12x x <，所以12y y <．因为33(,)x y 在第四象限，而
11(,)x y ，22(,)x y 在第二象限，所以31y y <．所以312y y y <<．
【总结升华】已知反比例函数k
y x
=
，当k ＞0，x ＞0时，y 随x 的增大而减小，需要强调的是x ＞0；当k ＞0，x ＜0时，y 随x 的增大而减小，需要强调的是x ＜0．这里不能说成当k ＞0，y 随x 的增大而减小．例如函数2
y x
=
，当x ＝－1时，y ＝－2，当x ＝1时，y ＝2，自变量由－1到1，函数值y 由－2到2，增大了．所以，只能说：当k ＞0时，在第一象限内，y 随x 的增大而减小． 举一反三：
【变式1】已知2
(3)m y m x
-=-的图象是双曲线，且在第二、四象限，
(1)求m 的值．
(2)若点(－2，1y )、(－1，2y )、(1，3y )都在双曲线上，试比较1y 、2y 、3y 的大小． 【答案】
解：(1)由已知条件可知：此函数为反比例函数，且21
30
m m -=-⎧⎨
-≠⎩，∴ 1m =.
(2)由(1)得此函数解析式为：2y x
=-
． ∵ (－2，1y )、(－1，2y )在第二象限，－2＜－1，∴ 120y y <<． 而(1，3y )在第四象限，30y <． ∴ 312y y y <<
【高清课堂 反比例函数 例5】
【变式2】（2014秋•娄底月考）对于函数y=，下列说法错误的是（ ） A. 它的图象分布在一、三象限； B. 它的图象与坐标轴没有交点；
C. 它的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形；
D. 当x ＜0时，y 的值随x 的增大而增大. 【答案】D ；
解：A 、k=2＞0，图象位于一、三象限，正确；
B 、因为x 、y 均不能为0，所以它的图象与坐标轴没有交点，正确；
C 、它的图象关于y=﹣x 成轴对称，关于原点成中心对称，正确；
D ，当x ＜0时，y 的值随x 的增大而减小， 故选：D ．
要点四：反比例函数(
)中的比例系数
k 的几何意义
过双曲线x k
y =
(0k ≠) 上任意一点作x 轴、y 轴的垂线，所得矩形的面积为k . 过双曲线x
k
y =(0k ≠) 上任意一点作一坐标轴的垂线，连接该点和原点，所得三角形
的面积为
2
k
.
要点诠释：只要函数式已经确定，不论图象上点的位置如何变化，这一点与两坐标轴的垂线和两坐标轴围成的面积始终是不变的.
类型四、反比例函数综合
4、已知点A(0，2)和点B(0，－2)，点P 在函数1
y x
=-
的图象上，如果△PAB 的面积是6，求P 点的坐标．
【思路点拨】由已知的点A 、B 的坐标，可求得AB ＝4，再由△PAB 的面积是6，可知P 点到y 轴的距离为3，因此可求P 的横坐标为±3，由于点P 在1
y x
=-的图象上，则由横坐标为±3可求其纵坐标． 【答案与解析】
解：如图所示，不妨设点P 的坐标为00(,)x y ，过P 作PC ⊥y 轴于点C ．
∵ A(0，2)、B(0，－2)， ∴ AB ＝4．
又∵ 0||PC x =且6PAB S =△，
∴
01
||462
x =，∴ 0||3x =，∴ 03x =±． 又∵ 00(,)P x y 在曲线1y x =-上，∴ 当03x =时，013y =-；当03x =-时，01
3
y =．
∴ P 的坐标为113,3P ⎛⎫- ⎪⎝⎭或213,3P ⎛⎫- ⎪⎝⎭
．
【总结升华】通过三角形面积建立关于0x 的方程求解，同时在直角坐标系中，点到坐标轴的距离等于相应坐标的绝对值．
举一反三：
【变式】已知：如图所示，反比例函数k
y x
=
的图象与正比例函数y mx =的图象交于A 、B ，作AC ⊥y 轴于C ，连BC ，则△ABC 的面积为3，求反比例函数的解析式．
【答案】
解：由双曲线与正比例函数y mx =的对称性可知AO ＝OB ，
则1322
AOC ABC S S =
=△△． 设A 点坐标为(A x ，A y )，而AC ＝|A x |，OC ＝|A y |， 于是111
3
||||222
2
AOC A A A A S AC OC x y x y ===-=
△， ∴ 3A A x y =-，
而由A A
k
y x =
得A A x y k =，所以3k =-，
所以反比例函数解析式为3y x
-=
．
【巩固练习】
一.选择题
1. 点（3,－4）在反比例函数k
y x
=
的图象上，则在此图象上的是点（ ）． A ．（3，4） B ．（－2，－6） C ．（－2，6） D ．（－3，－4） 2. 若反比例函数1
k y x
-=的图象在其每个象限内，y 随x 的增大而减小，则k 的值可以是（ ）． A ．－1
B ．3
C ．0
D ．－3
3.下列四个函数中：①5y x =；②5y x =-；③5y x =
；④5
y x
=-． y 随x 的增大而减小的函数有（ ）．
A ． 0个
B ． 1个
C ． 2个
D ． 3个 4. 在反比例函数()0k
y k x
=
<的图象上有两点()11,y x A ，()22,y x B ，且021>>x x ，则12y y -的值为（ ）
A. 正数
B. 负数
C. 非正数
D. 非负数
5. （2015•潮南区一模）已知一次函数y=kx+k ﹣1和反比例函数y=，则这两个函数在同一平面直角坐标系中的图象不可能是（ ）
6. 已知反比例函数1
y x
=，下列结论中不正确的是（ ） A.图象经过点（－1，－1）
B.图象在第一、三象限
C.当1x >时，01y <<
D.当0x <时，y 随着x 的增大而增大
二.填空题
7. 若y 是x 的反比例函数，x 是z 的正比例函数，则y 是z 的 _________ 函数． 8. 已知反比例函数10
2
)2(--=m
x m y 的图象，在每一象限内y 随x 的增大而减小，则反比
例函数的解析式为 ．
9. （2015•和平区模拟）若点（x 1，y 1）、（x 2，y 2）、（x 3，y 3）都是反比例函数y=
的图象上的点，并且x 1＜0＜x 2＜x 3，y 1，y 2，y 3的大小关系为 ． 10. 已知直线mx y =与双曲线x
k
y =
的一个交点A 的坐标为（－1，－2）．则m ＝_____；k ＝____；它们的另一个交点坐标是______．
11. 如图，如果曲线1l 是反比例函数k
y x
=在第一象限内的图象，且过点A (2，1)， 那么
与1l 关于x 轴对称的曲线2l 的解析式为 (0x >).
12. 已知正比例函数的图象与双曲线的交点到x 轴的距离是1, 到y 轴的距离是2,则双曲线的解析式为_______________. 三.解答题
13. 已知反比例函数2
m y x
=的图象过点(－3，－12)，且双曲线m y x =位于第二、四象限，
求m 的值．
14. （2015秋•龙安区月考）如图，已知反比例函数y=
（m 为常数）的图象经过
□ABOD 的顶点D ，点A 、B 的坐标分别为（0，3），（﹣2，0）
（1）求出函数解析式；
（2）设点P 是该反比例函数图象上的一点，若OD=OP ，求P 点的坐标．
15. 已知点A(m ，2)、B(2，n )都在反比例函数x
m y 3
+=
的图象上． (1)求m 、n 的值；
(2)若直线y mx n =-与x 轴交于点C ，求C 关于y 轴对称点C ′的坐标． 【答案与解析】 一.选择题 1.【答案】C ；
【解析】由题意得12
y x
=-
，故点（－2，6）在函数图象上. 2.【答案】B ；
【解析】由题意知k －1＞0，k ＞1，故选B. 3.【答案】B ； 【解析】只有②，注意不要错误地选了③，反比例函数的增减性是在每一个象限内讨论的. 4.【答案】A ；
【解析】函数在二、四象限，y 随x 的增大而增大，故120y y ->. 5.【答案】C ；
【解析】当k ＞0时，反比例函数y=的图象在一、三象限，一次函数y=kx+k ﹣1的图象
过一、三、四象限，或者一、二、四象限，A 、B 选项正确；当k ＜0时，反比例函数y=的图象在二，四象限，一次函数y=kx+k ﹣1的图象过一、三、四象限，选项D 正确，C 不正确； 故选C ．
6.【答案】D ；
【解析】D 选项应改为，当0x <时，y 随着x 的增大而减小. 二.填空题
7.【答案】反比例；
【解析】由题意12,k y x k z x =
=，代入求得12k
y k z
=，故y 是z 的反比例函数. 8.【答案】1y x
=
； 【解析】由题意2101
20m m ⎧-=-⎨->⎩
，解得3m =.
9.【答案】y 2＜y 3＜y 1； 【解析】∵﹣a 2
﹣1＜0，
∴反比例函数图象位于二、四象限，如图在每个象限内，y 随x 的增大而增大，
∵x 1＜0＜x 2＜x 3，∴y 2＜y 3＜y 1．
10.【答案】 2m = ；2k =； (1，2)；
【解析】另一个交点坐标与A 点关于原点对称. 11.【答案】x y 2-
=；
12.【答案】2y x =
或2y x
=-； 【解析】由题意交点横坐标的绝对值为2，交点纵坐标的绝对值为1，故可能是点（2，1）或（－2，－1）或（－2，1）或（2，－1）.
三.解答题 13.【解析】
解：根据点在图象上的含义，只要将(－3，－12)代入2m y x =中，得2
123
m -=-，
∴ m ＝±6 又∵ 双曲线m
y x
=
位于第二、四象限， ∴ m ＜0， ∴ m ＝－6． 14.【解析】 解：（1）∵四边形ABOC 为平行四边形，
∴AD ∥OB ，AD=OB=2， 而A 点坐标为（0，3）， ∴D 点坐标为（2，3），
∴1﹣2m=2×3=6，m=﹣，
∴反比例函数解析式为y=．
（2）∵反比例函数y=的图象关于原点中心对称，
∴当点P 与点D 关于原点对称，则OD=OP ，此时P 点坐标为（﹣2，﹣3）， ∵反比例函数y=的图象关于直线y=x 对称，
∴点P 与点D （2，3）关于直线y=x 对称时满足OP=OD ，此时P 点坐标为（3，2）， 点（3，2）关于原点的对称点也满足OP=OD ，此时P 点坐标为（﹣3，﹣2）， 综上所述，P 点的坐标为（﹣2，﹣3），（3，2），（﹣3，﹣2）．
15.【解析】
解：（1）将点A(m ，2)、B(2，n )的坐标代入x
m y 3+= 得：32m m +=，解得3m =；333322
m n ++===， 所以3m n ==.
（2）直线为33y x =-，
令01y x ==，，
所以该直线与x 轴的交点坐标为C （1,0），
C 关于y 轴对称点C ′的坐标为(－1，0)．。