课标专用5年高考3年模拟A版2021高考数学专题二函数的概念与基本初等函数6函数的图象课件理
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x
作出y=2|x|与y=-x2+3的函数图象如图所示:
由图象可知两函数图象有两个交点,故f(x)有2个零点.故选C. 答案 C
方法技巧
方法1 识图与辨图问题的常见类型及解题策略
1.由解析式确定函数图象.此类问题往往需要化简函数解析式,利用函数的 性质(单调性、奇偶性、过定点等)判断,常用排除法. 2.已知函数图象确定相关函数的图象.此类问题主要考查函数图象的变换 (如平移变换、对称变换等),要注意函数y=f(x)与y=f(-x)、y=-f(x)、y=-f(-x)、 y=f(|x|)、y=|f(x)|等的相互关系. 3.借助动点探究函数图象.解决此类问题可以根据已知条件求出函数解析 式后再判断函数的图象;也可采用“以静观动”,即将动点处于某些特殊的 位置处考察图象的变化特征,从而作出选择.
b-a
(3)函数y=f(a+x)与y=f(b-x)的图象的对称轴为x= 2 .
(4)函数y=f(x-a)+b与y=-f(a-x)+b的图象关于点(a,b)对称.
考向突破 考向一 作函数图象
例1 作出下列函数的图象:
(1)y=
x3 |x|
;(2)y=
x2 x-1
;(3)y=|log2x-1|.
解析
f(x)=
x4 4x -1
→0,排除C.故选D.
答案 D
考向三 函数图象的应用
例3 (2018湖南张家界二模,7)已知f(x)= 2|x| +x- 3 ,则y=f(x)的零点个数是
xx
()
A.4
B.3
C.2
D.1
解析 f(x)= 2|x| x2 -3 ,令f(x)=0,可得2|x|=-x2+3,
- x,x 0,
作出y=h(x)与y=g(x)的函数图象,如图所示:
∵f(x)与g(x)的图象上存在关于y轴对称的点, ∴y=h(x)与y=g(x)的图象有交点,∴-a≤-e,即a≥e.故选C. 答案 C
y=logax(a>0且a≠1); y=|f(x)|; y=f(|x|).
①y=f(x) ②y=f(x)
y=f(ax). y=af(x).
3.函数图象的对称性
ab
(1)若y=f(x)满足f(a+x)=f(b-x),则f(x)的图象关于直线x= 2 对称.
(2)若y=f(x)满足f(x)=2b-f(2a-x),则f(x)的图象关于点(a,b)中心对称.
研究中,常用函数的图象来研究函数的性质,也常用函数的解析式来琢磨函
数的图象的特征.如函数f(x)=|4xx
4
-1|
的图象大致是
(
)
解析
对于函数f(x)=
x |4 x
4
-1|
,
f(-x)=
(-x)4 |4-x -1|
=
x4 4x |4x -1|
,易得f(x)为非奇非偶函数,排
除A、B,当x→+∞时,
(1)首先要化简解析式:y=
x2 ,x 0,
-Байду номын сангаас
x2
,x
0.
易知y= x3 为奇函数,作出y=x2,x>0的图象后,再根据奇函数的图象关于原点
|x|
对称,作出x<0时的图象,如图①所示.
(2)y= x 2 =1+ 3 ,先作出y= 3 的图象,将其图象向右平移一个单位,再向上
x-1 x-1
x
平移一个单位,即得y= x 2 的图象,如图②所示.
例2 若函数f(x)=ln x(x 0), 与g(x)=|x+a|+1的图象上存在关于y轴对称的
- -x(x 0)
点,则实数a的取值范围是 ( )
A.R
B.(-∞,-e]
C.[e,+∞)
D.⌀
解题导引
解析 设y=h(x)与y=f(x)的图象关于y轴对称, 则h(x)=f(-x)=ln (-x),x 0,
【温馨提示】 熟记口诀“左加右减,上加下减”,左加右减只针对x本身,与x的系数无关, 上加下减指的是在f(x)整体上加减.
(2)对称变换
①y=f(x) ②y=f(x) ③y=f(x) ④y=ax(a>0且a≠1)
⑤y=f(x)
⑥y=f(x) (3)伸缩变换
y=-f(x); y=f(-x); y=-f(-x);
高考理数
2.6 函数的图象
考点清单
考点 函数图象
考向基础 1.利用描点法作函数的图象 首先,(1)确定函数的定义域,(2)化简函数解析式,(3)讨论函数的性质(奇偶 性、单调性、周期性);其次,列表(尤其注意特殊点,零点,最大值与最小值, 与坐标轴的交点),描点,连线(用平滑的曲线连点).
2.函数图象的变换 (1)平移变换
x-1
(3)先作出y=log2x的图象,再将其图象向下平移一个单位,保留x轴上及x轴上
方的部分,将x轴下方的图象翻折到x轴上方,即得y=|log2x-1|的图象,如图③
所示.
考向二 函数图象的识辨
例2 (2019河南郑州三模,5)我国著名数学家华罗庚先生曾说:数缺形时少
直观,形缺数时难入微,数形结合百般好,隔裂分家万事休.在数学的学习和
例1 (2018课标全国Ⅲ,7,5分)函数y=-x4+x2+2的图象大致为 ( )
解析 解法一:令y=f(x)=-x4+x2+2, 则f '(x)=-4x3+2x=-2x·(2x2-1), 易知f(x)有3个极值点,排除A,C. 由f(1)=2,排除B.故选D. 解法二:设y=f(x)=-x4+x2+2, 易知f(x)=f(-x), 所以f(x)为偶函数, 所以f(x)的图象关于y轴对称, 故只需考虑x≥0的情形.
当x=0时,y=2,排除A和B; 当x>0时,y'=-4x3+2x=2x(1-2x2),
令y'=0,则x= 2 ,
2
当0<x< 2 时,y'>0,函数递增;
2
当x> 2 时,y'<0,函数递减.
2
所以C错误,D正确. 答案 D
方法2 函数图象的应用
1.利用函数的图象研究函数的性质 对于已知或易画出在给定区间上图象的函数,其性质(单调性、奇偶性、 周期性、最值(值域)、零点)常借助图象研究,但一定要注意性质与图象特 征的对应关系. 2.利用函数的图象研究不等式 当不等式问题不能用代数法求解,但其与函数有关时,常将不等式问题转化 为两函数图象的上下关系问题,从而利用数形结合法求解. 3.利用函数的图象研究方程的根 当方程与基本初等函数有关时,可以通过函数图象来研究方程的根,方程 f(x)=0的根就是函数f(x)的图象与x轴的交点的横坐标,方程f(x)=g(x)的根就 是函数f(x)与g(x)图象的交点的横坐标.
作出y=2|x|与y=-x2+3的函数图象如图所示:
由图象可知两函数图象有两个交点,故f(x)有2个零点.故选C. 答案 C
方法技巧
方法1 识图与辨图问题的常见类型及解题策略
1.由解析式确定函数图象.此类问题往往需要化简函数解析式,利用函数的 性质(单调性、奇偶性、过定点等)判断,常用排除法. 2.已知函数图象确定相关函数的图象.此类问题主要考查函数图象的变换 (如平移变换、对称变换等),要注意函数y=f(x)与y=f(-x)、y=-f(x)、y=-f(-x)、 y=f(|x|)、y=|f(x)|等的相互关系. 3.借助动点探究函数图象.解决此类问题可以根据已知条件求出函数解析 式后再判断函数的图象;也可采用“以静观动”,即将动点处于某些特殊的 位置处考察图象的变化特征,从而作出选择.
b-a
(3)函数y=f(a+x)与y=f(b-x)的图象的对称轴为x= 2 .
(4)函数y=f(x-a)+b与y=-f(a-x)+b的图象关于点(a,b)对称.
考向突破 考向一 作函数图象
例1 作出下列函数的图象:
(1)y=
x3 |x|
;(2)y=
x2 x-1
;(3)y=|log2x-1|.
解析
f(x)=
x4 4x -1
→0,排除C.故选D.
答案 D
考向三 函数图象的应用
例3 (2018湖南张家界二模,7)已知f(x)= 2|x| +x- 3 ,则y=f(x)的零点个数是
xx
()
A.4
B.3
C.2
D.1
解析 f(x)= 2|x| x2 -3 ,令f(x)=0,可得2|x|=-x2+3,
- x,x 0,
作出y=h(x)与y=g(x)的函数图象,如图所示:
∵f(x)与g(x)的图象上存在关于y轴对称的点, ∴y=h(x)与y=g(x)的图象有交点,∴-a≤-e,即a≥e.故选C. 答案 C
y=logax(a>0且a≠1); y=|f(x)|; y=f(|x|).
①y=f(x) ②y=f(x)
y=f(ax). y=af(x).
3.函数图象的对称性
ab
(1)若y=f(x)满足f(a+x)=f(b-x),则f(x)的图象关于直线x= 2 对称.
(2)若y=f(x)满足f(x)=2b-f(2a-x),则f(x)的图象关于点(a,b)中心对称.
研究中,常用函数的图象来研究函数的性质,也常用函数的解析式来琢磨函
数的图象的特征.如函数f(x)=|4xx
4
-1|
的图象大致是
(
)
解析
对于函数f(x)=
x |4 x
4
-1|
,
f(-x)=
(-x)4 |4-x -1|
=
x4 4x |4x -1|
,易得f(x)为非奇非偶函数,排
除A、B,当x→+∞时,
(1)首先要化简解析式:y=
x2 ,x 0,
-Байду номын сангаас
x2
,x
0.
易知y= x3 为奇函数,作出y=x2,x>0的图象后,再根据奇函数的图象关于原点
|x|
对称,作出x<0时的图象,如图①所示.
(2)y= x 2 =1+ 3 ,先作出y= 3 的图象,将其图象向右平移一个单位,再向上
x-1 x-1
x
平移一个单位,即得y= x 2 的图象,如图②所示.
例2 若函数f(x)=ln x(x 0), 与g(x)=|x+a|+1的图象上存在关于y轴对称的
- -x(x 0)
点,则实数a的取值范围是 ( )
A.R
B.(-∞,-e]
C.[e,+∞)
D.⌀
解题导引
解析 设y=h(x)与y=f(x)的图象关于y轴对称, 则h(x)=f(-x)=ln (-x),x 0,
【温馨提示】 熟记口诀“左加右减,上加下减”,左加右减只针对x本身,与x的系数无关, 上加下减指的是在f(x)整体上加减.
(2)对称变换
①y=f(x) ②y=f(x) ③y=f(x) ④y=ax(a>0且a≠1)
⑤y=f(x)
⑥y=f(x) (3)伸缩变换
y=-f(x); y=f(-x); y=-f(-x);
高考理数
2.6 函数的图象
考点清单
考点 函数图象
考向基础 1.利用描点法作函数的图象 首先,(1)确定函数的定义域,(2)化简函数解析式,(3)讨论函数的性质(奇偶 性、单调性、周期性);其次,列表(尤其注意特殊点,零点,最大值与最小值, 与坐标轴的交点),描点,连线(用平滑的曲线连点).
2.函数图象的变换 (1)平移变换
x-1
(3)先作出y=log2x的图象,再将其图象向下平移一个单位,保留x轴上及x轴上
方的部分,将x轴下方的图象翻折到x轴上方,即得y=|log2x-1|的图象,如图③
所示.
考向二 函数图象的识辨
例2 (2019河南郑州三模,5)我国著名数学家华罗庚先生曾说:数缺形时少
直观,形缺数时难入微,数形结合百般好,隔裂分家万事休.在数学的学习和
例1 (2018课标全国Ⅲ,7,5分)函数y=-x4+x2+2的图象大致为 ( )
解析 解法一:令y=f(x)=-x4+x2+2, 则f '(x)=-4x3+2x=-2x·(2x2-1), 易知f(x)有3个极值点,排除A,C. 由f(1)=2,排除B.故选D. 解法二:设y=f(x)=-x4+x2+2, 易知f(x)=f(-x), 所以f(x)为偶函数, 所以f(x)的图象关于y轴对称, 故只需考虑x≥0的情形.
当x=0时,y=2,排除A和B; 当x>0时,y'=-4x3+2x=2x(1-2x2),
令y'=0,则x= 2 ,
2
当0<x< 2 时,y'>0,函数递增;
2
当x> 2 时,y'<0,函数递减.
2
所以C错误,D正确. 答案 D
方法2 函数图象的应用
1.利用函数的图象研究函数的性质 对于已知或易画出在给定区间上图象的函数,其性质(单调性、奇偶性、 周期性、最值(值域)、零点)常借助图象研究,但一定要注意性质与图象特 征的对应关系. 2.利用函数的图象研究不等式 当不等式问题不能用代数法求解,但其与函数有关时,常将不等式问题转化 为两函数图象的上下关系问题,从而利用数形结合法求解. 3.利用函数的图象研究方程的根 当方程与基本初等函数有关时,可以通过函数图象来研究方程的根,方程 f(x)=0的根就是函数f(x)的图象与x轴的交点的横坐标,方程f(x)=g(x)的根就 是函数f(x)与g(x)图象的交点的横坐标.