第二讲 图形裁剪与几何变换3
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vx V v y vz
矢量和
u x vx U V u y v y u z vz
15
第二讲 图形裁剪与几何变换 图形变换数学基础
一、矢量运算（续）
矢量的数乘
k ux k U k uy k uz
wymax
wymin
xwmin x xwmax
ywmin y ywmax
否则，P被裁剪掉。
wxmin
x wx
max
38
第二讲 图形裁剪与几何变换
二、二维线段裁剪
图形裁剪
39
第二讲 图形裁剪与几何变换
二、二维线段裁剪（续）
1. 向量线段不在窗口内
图形裁剪
40
U V cos U V 矢量的叉积
i U V ux vx
j uy vy
k uz vz
17
第二讲 图形裁剪与几何变换 图形变换数学基础
二、矩阵运算
矩阵：由m×n个数按一定位置排列的一个整体，简称 m×n矩阵。
a11 a12 ... a1n a 21 a 22 ... a 2 n ... ... ... am1 am 2 ... amn
• 造型坐标系 • 用户坐标系 • 观察坐标系 • 规格化的设备坐标系 • 设备坐标系
3
第二讲 图形裁剪与几何变换
坐标系
造型坐标系
z z
y
y x x
右手系 形体或图素在造型坐标系中定义 局部坐标系 便于定义形体和图素
4
• • • •
第二讲 图形裁剪与几何变换
坐标系
造型坐标系
5
第二讲 图形裁剪与几何变换
飞机设计技术研究所
计算机辅助设计基础
第二讲 图形裁剪与几何变换
第二讲 图形裁剪与几何变换 主要内容
坐标系 图形输出流水线 图形变换数学基础 窗口视图变换 图形裁剪
几何变换
2
第二讲 图形裁剪与几何变换
坐标系
为什么要用多种坐标系？
在图形处理的不同阶段定义不同的坐标系，有 利于提高图形处理的效率和用户便于理解。
...
am 2 bm2 ... amn bmn
kA = [ k*aij]|i=1...m,
19
第二讲 图形裁剪与几何变换 图形变换数学基础
二、矩阵运算（续）
• 乘法
设A为3×2矩阵，B为2×3矩阵
a11b11 a12b21 a13b31 C = A · B = a 21b11 a 22b21 a 23b31
第二讲 图形裁剪与几何变换
二、二维线段裁剪（续）
2. 向量线段起点坐标 在窗口内
图形裁剪
41
第二讲 图形裁剪与几何变换
二、二维线段裁剪（续）
o
z
y
. r .
x
10
第二讲 图形裁剪与几何变换
坐标系
观察坐标系
n n - 观察方向 v u v u
定义了观察平面 眼睛
• • • •
左手直角坐标系 可以在用户坐标系任意位置、任何方向定义 指定裁剪空间 定义观察平面，把用户坐标转化为规格化的设备坐标
11
第二讲 图形裁剪与几何变换 设备坐标系
30
第二讲 图形裁剪与几何变换 窗口视图变换
三、窗口与视区变换（续)
矩阵表达式：
vx, vy,1 wx, wy,1N
vxmax 0 wxmax 0 1 vxmin wxmin 0 0 0 vymax vymin wymax wymin 0 0 1 0 0 vxmin 1 0 1 vymin 0 0 1
坐标系
用户坐标系
z
y x
• • •
直角坐标系、放射坐标系、圆柱坐标系或球坐标系 定义整图或最高层图形结构 全局坐标系，子图、图组、图素等在调用后都放在用户坐标系
6
第二讲 图形裁剪与几何变换
坐标系
用户坐标系
7
第二讲 图形裁剪与几何变换
坐标系
• 直角坐标系
y
oP xi yj zk
• 仿射坐标系
22
第二讲 图形裁剪与几何变换 图形变换数学基础
二、矩阵运算（续）
• 矩阵乘法的结合律及分配律 •
A(B ·C) = (A ·B)C (A+B) · C = A · C+ B · C C ·(A+B) = C ·A + C · B 矩阵的乘法不适合交换律
23
第二讲 图形裁剪与几何变换 图形变换数学基础
a11b12 a12b22 a13b32 a 21b12 a 22b22 a 23b32
C=Cm×p = Am ×n ·Bn×p cij = ∑aik*bkj k=1,n • 单位矩阵 在一矩阵中，其主对角线各元素aii=1,其余皆为0的 矩阵称为单位矩阵。n阶单位矩阵通常记作In 。 Am ×n = Am ×n ·In
z
o
z
x
o
oP a b c
8
第二讲 图形裁剪与几何变换
坐标系
• 圆柱坐标系 ( , , z)
z
40
o
. z .
20
0
Z
x
-20
-40 50 -60 -60 -40 -20 0 -50 Y X 0 20 40 60
y
9
第二讲 图形裁剪与几何变换
坐标系
• 球坐标系 (r , , )
21
-1
-1
-1
图形变换数学基础
二、矩阵运算（续）
矩阵运算的基本性质 • 交换律与结合律师 A+B=B+A; A+(B+C)=(A+B)+C • 数乘的分配律及结合律 a(A+B) = aA+aB; a(A · B) = (aA) ·B=A ·(aB) (a+b)A = aA + bA a(bA) = (ab)A
20
第二讲 图形裁剪与几何变换 图形变换数学基础
二、矩阵运算（续）
• 逆矩阵
若矩阵A存在A·A =A ·A=I，则称A 为A的逆矩阵 • 矩阵的转置 把矩阵A=(aij)m×n的行和列互换而得到的n×m矩阵称为A的 转置矩阵,记作AT 。 (AT) T = A (A+B)T = AT + BT (aA)T = aAT (A·B)T = BT ·AT 当A为n阶矩阵，且A=AT ，则 A是对称矩阵。
三、窗口与视区变换
窗口
wymax
（vx,vy）
1
vymax
vymin
（wx,wy）
wymin
视区
0
wxmin
ax
1
wx wxmin vx vxmin wxmax wxmin vxmax vxmin
wy wymin vy vymin wymax wymin vymax vymin29
造型坐标 造型变换 用户坐标 观察变换 观察坐标
规格化 设备坐标
规格化变换
投影坐标
投影变换
工作站变换
设备坐标
13
第二讲 图形裁剪与几何变换 图形变换数学基础 主要内容
矢量运算
矩阵运算 齐次坐标
14
第二讲 图形裁剪与几何变换 图形变换数学基础
一、矢量运算
u x U u y u z
二维图形输出流程
三维图形输出流程
33
第二讲 图形裁剪与几何变换 主要内容
裁剪的概念
二维线段裁剪
图形裁剪
多边形裁剪
字符裁剪 三维图形裁剪简介
34
第二讲 图形裁剪与几何变换
一、裁剪的概念
裁剪：
利用窗口技术把 整体图形分为窗口 内部分和窗口外两 部分，保留窗口内 部分。 覆盖： 利用窗口技术把整体图形分为窗口内部分和窗 口外两部分，保留窗口外部分。
• 便于变换合成 • 便于硬件实现
25
第二讲 图形裁剪与几何变换 窗口视图变换
一、用户域与窗口区
用户域
是用户定义设计对象的连续无限 的二维或三维空间。 窗 口
窗口 窗口是用户域的一个子域。在用户域中指定的一个区域， 用户只能将该区域的图形输出到图形设备上。 窗口一般是矩形区域，可用其左下角点和右上角点坐标来 表示。通常窗口的边界与坐标轴平行。 窗口可以嵌套。
26
世界（用户） 坐标系
第二讲 图形裁剪与几何变换 窗口视图变换
二、屏幕与和视图区
•屏幕域
屏幕域是图形设备上输出图形的最大区域 屏幕域是有限的整数域，如分辨率为1024×768的显示
器，其屏幕域 DC 可定义为：
DC∈[0∶1023]×[0∶767] •视图区
用户在屏幕域内指定的用于显示图形的区域
• • •
左手直角坐标系 用来在图形设备上指定窗口或视图区 也用来定义像素和位图
0, 1
坐标系
2.6, -3.1
规格化设备坐标系
• • •
左手直角坐标系 用来定义视图区 提高了应用程序的移植性
1, 1
0, 0 1, 0
2.6, 2.6
-3.1, -3.1
2.6, -3.1
12
第二讲 图形裁剪与几何变换 图形输出流水线 图形输出流水线
三、齐次坐标
所谓齐次坐标表示法就是由 n+1维向量表示一个 n维向量。 如n维向量(P1,P2, … ,Pn)表示为： （hP1,hP2,…,hPn,h） 其中，h称为哑坐标。 1、h可以取不同的值，所以同一点的齐次坐标不是唯一的。 2、 普通坐标与齐次坐标的关系为“一对多” 由普通坐标h→齐次坐标 由齐次坐标÷h→普通坐标 3、 当h=1时产生的齐次坐标称为“规格化坐标”，因为前n 24 个坐标就是普通坐标系下的n维坐标。
1 N 0 wx min
0 1 wymin
31
第二讲 图形裁剪与几何变换 窗口视图变换
三、工作站变换
1 工作站窗口 V
屏幕区
工作站视区
0
1
0
H
规范化设备坐标系
设备/图像坐标系
工作站变换：将规范化坐标变换为离散设备/图像坐标。 它本质上是第二个窗口-视区变换。
32
第二讲 图形裁剪与几何变换 窗口视图变换
矢量的点积 • 性质
U V u x vx u y v y u z vz
U V V U U V 0 U V U U 0 U 0
16
第二讲 图形裁剪与几何变换 图形变换数学基础
一、矢量运算（续）
矢量的长度
2 2 U U U ux u y uz • 夹角 2
其中，aij称为矩阵A的第i行第j列元素
18
第二讲 图形裁剪与几何变换 图形变换数学基础
二、矩阵运算（续）
• 加法
设A，B为两个具有相同行和列元素的矩阵 A+B =
•
a11 b11 ... 数乘 am1 bm1
a12 b12 ... a1n b1n ...
j=1,.. n
第二讲 图形裁剪与几何变换 窗口视图变换
三、窗口与视区变换（续)
vxmax vx wxmax vy max vy wy max
vxmin wx wxmin vxmin wxmin vy min wy wymin vymin wy min
用设备坐标定义，一般定义成矩形，由其左下角点和右
上角点坐标来定义
一个屏幕可以定义多个视图区，并且视图区可以嵌套
27
第二讲 图形裁剪与几何变换 窗口视图变换
二、屏幕与和视图区（续）
1 主菜单区 2 3 图形显示区
子 菜 单 区
4 提示信息区 图4.2.1 视图分区
28
第二讲 图形裁剪与几何变换 窗口视图变换
图形裁剪
35
第二讲 图形裁剪与几何变换
一、裁剪的概念（续）
裁剪算法：
图形裁剪
一般地，对于给定的区域，判断图形的哪些部 分在该区域内或区域外的过程称为裁剪算法。相应 的参考区域称为窗口。 裁剪技术的本质问题是对线段或多边形作求交与 裁剪，仅保留需要的部分。
36
第二讲 图形裁剪与几何变换
一、裁剪的概念（续）
第二讲 图形裁剪与几何变换 图形变换数学基础
三、齐次坐标（续）
齐次坐标的作用：
1. 将各种变换用阶数统一的矩阵来表示。提供了用矩阵运算把 二维、三维甚至高维空间上的一个点从一个坐标系变换到另 一坐标系的有效方法。 2. 便于表示无穷远点。例如：（a, b, h)，令h等于0 3. 变换具有统一表示形式的优点
裁剪算法分类： 按照裁剪对象的不同，裁剪算法分为： 点裁剪 线裁剪（直线段） 区域裁剪（多边形） 曲线裁剪 文本裁剪
图形裁剪
37
第二讲 图形裁剪与几何变换
二、点的裁剪
图形裁剪
假设裁剪窗口 xwmin , xwmax , ywmin , ywmax 是一个矩形， 其边界平行于坐标轴。 窗口 y 点裁剪 对于点P(x,y),若下面的 不等式成立，则P显示。
矢量和
u x vx U V u y v y u z vz
15
第二讲 图形裁剪与几何变换 图形变换数学基础
一、矢量运算（续）
矢量的数乘
k ux k U k uy k uz
wymax
wymin
xwmin x xwmax
ywmin y ywmax
否则，P被裁剪掉。
wxmin
x wx
max
38
第二讲 图形裁剪与几何变换
二、二维线段裁剪
图形裁剪
39
第二讲 图形裁剪与几何变换
二、二维线段裁剪（续）
1. 向量线段不在窗口内
图形裁剪
40
U V cos U V 矢量的叉积
i U V ux vx
j uy vy
k uz vz
17
第二讲 图形裁剪与几何变换 图形变换数学基础
二、矩阵运算
矩阵：由m×n个数按一定位置排列的一个整体，简称 m×n矩阵。
a11 a12 ... a1n a 21 a 22 ... a 2 n ... ... ... am1 am 2 ... amn
• 造型坐标系 • 用户坐标系 • 观察坐标系 • 规格化的设备坐标系 • 设备坐标系
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第二讲 图形裁剪与几何变换
坐标系
造型坐标系
z z
y
y x x
右手系 形体或图素在造型坐标系中定义 局部坐标系 便于定义形体和图素
4
• • • •
第二讲 图形裁剪与几何变换
坐标系
造型坐标系
5
第二讲 图形裁剪与几何变换
飞机设计技术研究所
计算机辅助设计基础
第二讲 图形裁剪与几何变换
第二讲 图形裁剪与几何变换 主要内容
坐标系 图形输出流水线 图形变换数学基础 窗口视图变换 图形裁剪
几何变换
2
第二讲 图形裁剪与几何变换
坐标系
为什么要用多种坐标系？
在图形处理的不同阶段定义不同的坐标系，有 利于提高图形处理的效率和用户便于理解。
...
am 2 bm2 ... amn bmn
kA = [ k*aij]|i=1...m,
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第二讲 图形裁剪与几何变换 图形变换数学基础
二、矩阵运算（续）
• 乘法
设A为3×2矩阵，B为2×3矩阵
a11b11 a12b21 a13b31 C = A · B = a 21b11 a 22b21 a 23b31
第二讲 图形裁剪与几何变换
二、二维线段裁剪（续）
2. 向量线段起点坐标 在窗口内
图形裁剪
41
第二讲 图形裁剪与几何变换
二、二维线段裁剪（续）
o
z
y
. r .
x
10
第二讲 图形裁剪与几何变换
坐标系
观察坐标系
n n - 观察方向 v u v u
定义了观察平面 眼睛
• • • •
左手直角坐标系 可以在用户坐标系任意位置、任何方向定义 指定裁剪空间 定义观察平面，把用户坐标转化为规格化的设备坐标
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第二讲 图形裁剪与几何变换 设备坐标系
30
第二讲 图形裁剪与几何变换 窗口视图变换
三、窗口与视区变换（续)
矩阵表达式：
vx, vy,1 wx, wy,1N
vxmax 0 wxmax 0 1 vxmin wxmin 0 0 0 vymax vymin wymax wymin 0 0 1 0 0 vxmin 1 0 1 vymin 0 0 1
坐标系
用户坐标系
z
y x
• • •
直角坐标系、放射坐标系、圆柱坐标系或球坐标系 定义整图或最高层图形结构 全局坐标系，子图、图组、图素等在调用后都放在用户坐标系
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第二讲 图形裁剪与几何变换
坐标系
用户坐标系
7
第二讲 图形裁剪与几何变换
坐标系
• 直角坐标系
y
oP xi yj zk
• 仿射坐标系
22
第二讲 图形裁剪与几何变换 图形变换数学基础
二、矩阵运算（续）
• 矩阵乘法的结合律及分配律 •
A(B ·C) = (A ·B)C (A+B) · C = A · C+ B · C C ·(A+B) = C ·A + C · B 矩阵的乘法不适合交换律
23
第二讲 图形裁剪与几何变换 图形变换数学基础
a11b12 a12b22 a13b32 a 21b12 a 22b22 a 23b32
C=Cm×p = Am ×n ·Bn×p cij = ∑aik*bkj k=1,n • 单位矩阵 在一矩阵中，其主对角线各元素aii=1,其余皆为0的 矩阵称为单位矩阵。n阶单位矩阵通常记作In 。 Am ×n = Am ×n ·In
z
o
z
x
o
oP a b c
8
第二讲 图形裁剪与几何变换
坐标系
• 圆柱坐标系 ( , , z)
z
40
o
. z .
20
0
Z
x
-20
-40 50 -60 -60 -40 -20 0 -50 Y X 0 20 40 60
y
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第二讲 图形裁剪与几何变换
坐标系
• 球坐标系 (r , , )
21
-1
-1
-1
图形变换数学基础
二、矩阵运算（续）
矩阵运算的基本性质 • 交换律与结合律师 A+B=B+A; A+(B+C)=(A+B)+C • 数乘的分配律及结合律 a(A+B) = aA+aB; a(A · B) = (aA) ·B=A ·(aB) (a+b)A = aA + bA a(bA) = (ab)A
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第二讲 图形裁剪与几何变换 图形变换数学基础
二、矩阵运算（续）
• 逆矩阵
若矩阵A存在A·A =A ·A=I，则称A 为A的逆矩阵 • 矩阵的转置 把矩阵A=(aij)m×n的行和列互换而得到的n×m矩阵称为A的 转置矩阵,记作AT 。 (AT) T = A (A+B)T = AT + BT (aA)T = aAT (A·B)T = BT ·AT 当A为n阶矩阵，且A=AT ，则 A是对称矩阵。
三、窗口与视区变换
窗口
wymax
（vx,vy）
1
vymax
vymin
（wx,wy）
wymin
视区
0
wxmin
ax
1
wx wxmin vx vxmin wxmax wxmin vxmax vxmin
wy wymin vy vymin wymax wymin vymax vymin29
造型坐标 造型变换 用户坐标 观察变换 观察坐标
规格化 设备坐标
规格化变换
投影坐标
投影变换
工作站变换
设备坐标
13
第二讲 图形裁剪与几何变换 图形变换数学基础 主要内容
矢量运算
矩阵运算 齐次坐标
14
第二讲 图形裁剪与几何变换 图形变换数学基础
一、矢量运算
u x U u y u z
二维图形输出流程
三维图形输出流程
33
第二讲 图形裁剪与几何变换 主要内容
裁剪的概念
二维线段裁剪
图形裁剪
多边形裁剪
字符裁剪 三维图形裁剪简介
34
第二讲 图形裁剪与几何变换
一、裁剪的概念
裁剪：
利用窗口技术把 整体图形分为窗口 内部分和窗口外两 部分，保留窗口内 部分。 覆盖： 利用窗口技术把整体图形分为窗口内部分和窗 口外两部分，保留窗口外部分。
• 便于变换合成 • 便于硬件实现
25
第二讲 图形裁剪与几何变换 窗口视图变换
一、用户域与窗口区
用户域
是用户定义设计对象的连续无限 的二维或三维空间。 窗 口
窗口 窗口是用户域的一个子域。在用户域中指定的一个区域， 用户只能将该区域的图形输出到图形设备上。 窗口一般是矩形区域，可用其左下角点和右上角点坐标来 表示。通常窗口的边界与坐标轴平行。 窗口可以嵌套。
26
世界（用户） 坐标系
第二讲 图形裁剪与几何变换 窗口视图变换
二、屏幕与和视图区
•屏幕域
屏幕域是图形设备上输出图形的最大区域 屏幕域是有限的整数域，如分辨率为1024×768的显示
器，其屏幕域 DC 可定义为：
DC∈[0∶1023]×[0∶767] •视图区
用户在屏幕域内指定的用于显示图形的区域
• • •
左手直角坐标系 用来在图形设备上指定窗口或视图区 也用来定义像素和位图
0, 1
坐标系
2.6, -3.1
规格化设备坐标系
• • •
左手直角坐标系 用来定义视图区 提高了应用程序的移植性
1, 1
0, 0 1, 0
2.6, 2.6
-3.1, -3.1
2.6, -3.1
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第二讲 图形裁剪与几何变换 图形输出流水线 图形输出流水线
三、齐次坐标
所谓齐次坐标表示法就是由 n+1维向量表示一个 n维向量。 如n维向量(P1,P2, … ,Pn)表示为： （hP1,hP2,…,hPn,h） 其中，h称为哑坐标。 1、h可以取不同的值，所以同一点的齐次坐标不是唯一的。 2、 普通坐标与齐次坐标的关系为“一对多” 由普通坐标h→齐次坐标 由齐次坐标÷h→普通坐标 3、 当h=1时产生的齐次坐标称为“规格化坐标”，因为前n 24 个坐标就是普通坐标系下的n维坐标。
1 N 0 wx min
0 1 wymin
31
第二讲 图形裁剪与几何变换 窗口视图变换
三、工作站变换
1 工作站窗口 V
屏幕区
工作站视区
0
1
0
H
规范化设备坐标系
设备/图像坐标系
工作站变换：将规范化坐标变换为离散设备/图像坐标。 它本质上是第二个窗口-视区变换。
32
第二讲 图形裁剪与几何变换 窗口视图变换
矢量的点积 • 性质
U V u x vx u y v y u z vz
U V V U U V 0 U V U U 0 U 0
16
第二讲 图形裁剪与几何变换 图形变换数学基础
一、矢量运算（续）
矢量的长度
2 2 U U U ux u y uz • 夹角 2
其中，aij称为矩阵A的第i行第j列元素
18
第二讲 图形裁剪与几何变换 图形变换数学基础
二、矩阵运算（续）
• 加法
设A，B为两个具有相同行和列元素的矩阵 A+B =
•
a11 b11 ... 数乘 am1 bm1
a12 b12 ... a1n b1n ...
j=1,.. n
第二讲 图形裁剪与几何变换 窗口视图变换
三、窗口与视区变换（续)
vxmax vx wxmax vy max vy wy max
vxmin wx wxmin vxmin wxmin vy min wy wymin vymin wy min
用设备坐标定义，一般定义成矩形，由其左下角点和右
上角点坐标来定义
一个屏幕可以定义多个视图区，并且视图区可以嵌套
27
第二讲 图形裁剪与几何变换 窗口视图变换
二、屏幕与和视图区（续）
1 主菜单区 2 3 图形显示区
子 菜 单 区
4 提示信息区 图4.2.1 视图分区
28
第二讲 图形裁剪与几何变换 窗口视图变换
图形裁剪
35
第二讲 图形裁剪与几何变换
一、裁剪的概念（续）
裁剪算法：
图形裁剪
一般地，对于给定的区域，判断图形的哪些部 分在该区域内或区域外的过程称为裁剪算法。相应 的参考区域称为窗口。 裁剪技术的本质问题是对线段或多边形作求交与 裁剪，仅保留需要的部分。
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第二讲 图形裁剪与几何变换
一、裁剪的概念（续）
第二讲 图形裁剪与几何变换 图形变换数学基础
三、齐次坐标（续）
齐次坐标的作用：
1. 将各种变换用阶数统一的矩阵来表示。提供了用矩阵运算把 二维、三维甚至高维空间上的一个点从一个坐标系变换到另 一坐标系的有效方法。 2. 便于表示无穷远点。例如：（a, b, h)，令h等于0 3. 变换具有统一表示形式的优点
裁剪算法分类： 按照裁剪对象的不同，裁剪算法分为： 点裁剪 线裁剪（直线段） 区域裁剪（多边形） 曲线裁剪 文本裁剪
图形裁剪
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第二讲 图形裁剪与几何变换
二、点的裁剪
图形裁剪
假设裁剪窗口 xwmin , xwmax , ywmin , ywmax 是一个矩形， 其边界平行于坐标轴。 窗口 y 点裁剪 对于点P(x,y),若下面的 不等式成立，则P显示。