人教A版数学必修一湖南省岳阳市临湘市二中高一上学期第一次月考试题(解析版).docx

高中数学学习材料
马鸣风萧萧*整理制作
湖南省岳阳市临湘市二中2014-2015学年高一上学期第一次月考数学试卷
一．选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分．）
1．（5分）若集合M={a，b，c}中的元素是△ABC的三边长，则△ABC一定不是（）
A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形
2．（5分）设全集U={1，2，3，4，5}，A={1，2，3}，B={3，4，5}，则集合C U A∪B的子集个数为（）
A．3B．4C．7D．8
3．（5分）下列各图中，可表示函数y=f（x）的图象的只可能是（）
A．B．C．D．
4．（5分）已知函数f（x）=ax2﹣x﹣c，且f（x）＞0的解集为（﹣2，1），则函数y=f（﹣x）的图象为（）
A．B．C． D．
5．（5分）已知y=ax2+2（a﹣2）x+5在区间（4，+∞）上是减函数，则a的范围是（）
A．B．C．或a=0 D．a≤0
6．（5分）函数y=f（x）的图象与直线x=a的交点个数为（）
A．必有一个B．一个或两个C．至多一个D．可能两个以上
7．（5分）函数y=是（）
A．奇函数B．偶函数
C．非奇非偶函数D．是奇函数又是偶函数
8．（5分）下列每组函数是同一函数的是（）
A．B．
C．D．
9．（5分）已知f（x）=x5﹣ax3+bx+2且f（﹣5）=17，则f（5）的值为（）
A．﹣13 B．13 C．﹣19 D．19
10．（5分）设函数f（x）=，若f（﹣4）=f（0），f（﹣2）=﹣2，则关于x的方程f（x）=x的解的个数为（）
A．1B．2C．3D．4
二、填空题：（本答题共5小题，每小题5分，共25分）
11．（5分）已知函数y=f（x+1）定义域是[﹣2，3]，则y=f（2x﹣1）的定义域是．
12．（5分）若集合A={x|2a+1≤x≤3a﹣5 }，B={x|3≤x≤22 }，则能使A⊆B成立的所有a的集合是．13．（5分）已知f（x）=，则f（7）=．
14．（5分）设函数f（x）是定义在（﹣2，2）上的奇函数，且在（﹣2，2）上的减函数，若函数f （x）满足：f（m﹣1）+f（2m﹣1）＞0，则实数m的取值范围是．
15．（5分）如果函数f（x）满足：对任意实数a，b都有f（a+b）=f（a）f（b），且f（1）=1，则
=．
三、解答题：（满分75分，要求写出详细的解题过程）
16．（12分）已知集合A={x|2≤x≤8}，B={x|1＜x＜6}，C={x|x＞a}，U=R．
（1）求A∪B；
（2）求（∁U A）∩B；
（3）如果A∩C≠∅，求a的取值范围．
17．（12分）设x1x2是关于x的一元二次方程x2﹣2（m﹣1）x+m+1=0的两个实根，又y=x12+x22．（1）求y=f（m）的解析式；
（2）求y=f（m）的值域．
18．（12分）函数f（x）=，
（1）若f（x）的定义域为[﹣2，1]，求实数a的值．
（2）若f（x）的定义域为R，求实数a的取值范围．
19．（13分）已知奇函数
（1）求实数m的值，并在给出的直角坐标系中画出y=f（x）的图象．
（2）若函数f（x）在区间[﹣1，|a|﹣2]上单调递增，试确定a的取值范围．
20．（13分）某民营企业生产A，B两种产品，根据市场调查和预测，A产品的利润与投资成正比，其关系如图1，B产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图2（注：利润与投资单位是万元）
（1）分别将A，B两种产品的利润表示为投资的函数，并写出它们的函数关系式．
（2）该企业已筹集到10万元资金，并全部投入A，B两种产品的生产，问：怎样分配这10万元投资，才能使企业获得最大利润，其最大利润约为多少万元．（精确到1万元）．
21．（13分）对于定义域为D的函数y=f（x），若同时满足下列条件：
①f（x）在D内单调递增或单调递减；
②存在区间[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]上的值域为[a，b]；那么把y=f（x）（x∈D）叫闭函数．（1）求闭函数y=﹣x3符合条件②的区间[a，b]；
（2）判断函数是否为闭函数？并说明理由；
（3）若是闭函数，求实数k的取值范围．
湖南省岳阳市临湘市二中2014-2015学年高一上学期第一次月考数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分．）
1．（5分）若集合M={a，b，c}中的元素是△ABC的三边长，则△ABC一定不是（）
A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形
考点：集合的确定性、互异性、无序性．
分析：根据集合元素的互异性，在集合M={a，b，c}中，必有a、b、c互不相等，则△ABC不会是等腰三角形．
解答：解：根据集合元素的互异性，
在集合M={a，b，c}中，必有a、b、c互不相等，
故△ABC一定不是等腰三角形；
选D．
点评：本题较简单，注意到集合的元素特征即可．
2．（5分）设全集U={1，2，3，4，5}，A={1，2，3}，B={3，4，5}，则集合C U A∪B的子集个数为（）
A．3B．4C．7D．8
考点：交、并、补集的混合运算．
专题：集合．
分析：由并集运算结合已知求得C U A，再由并集运算求得C U A∪B，则集合C U A∪B的子集个数可求．
解答：解：∵U={1，2，3，4，5}，A={1，2，3}，
则集合C U A={4，5}，
又B={3，4，5}，
∴C U A∪B={3，4，5}．
∴集合C U A∪B的子集个数为23=8．
故选：D．
点评：本题考查了交、并、补集的混合运算，考查了集合子集个数的求法，含有n个元素的子集个数为2n，是基础题．
3．（5分）下列各图中，可表示函数y=f（x）的图象的只可能是（）
A．B．C．D．
考点：函数的图象；函数的概念及其构成要素．
专题：数形结合．
分析：根据函数的概念得：因变量（函数），随着自变量的变化而变化，且自变量取唯一值时，因变量（函数）有且只有唯一值与其相对应，结合图象特征进行判断即可．
解答：解：根据函数的定义知：
自变量取唯一值时，因变量（函数）有且只有唯一值与其相对应．
∴从图象上看，任意一条与x轴垂直的直线与函数图象的交点最多只能有一个交点．
从而排除A，B，C，
故选D．
点评：本小题主要考查函数的图象、函数的图象的应用、函数的概念及其构成要素等基础知识，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．函数是数学中的一种对应关系，是从非空数集A到实数集B的对应．简单地说，甲随着乙变，甲就是乙的函数．精确地说，设X是一个非空集合，Y是非空数集，f是个对应法则，若对X中的每个x，按对应法则f，使Y中存在唯一的一个元素y 与之对应，就称对应法则f是X上的一个函数，记作y=f（x）．
4．（5分）已知函数f（x）=ax2﹣x﹣c，且f（x）＞0的解集为（﹣2，1），则函数y=f（﹣x）的图象为（）
A．B．C． D．
考点：一元二次不等式的解法；函数的图象．
专题：计算题；综合题；压轴题．
分析：函数f（x）=ax2﹣x﹣c，且f（x）＞0的解集为（﹣2，1），可得a为负数，﹣2，1是不等式对应方程的根，求出a、c，确定函数y=f（﹣x），然后可以得到图象．
解答：解：由ax2﹣x﹣c＞0的解集为（﹣2，1），所以a＜0
得∴
∴f（x）=﹣x2﹣x+2．
∴f（﹣x）=﹣x2+x+2，
图象为D．
故选D．
点评：本题考查一元二次不等式的解法，函数的图象，考查分析问题解决问题的能力，是基础题．5．（5分）已知y=ax2+2（a﹣2）x+5在区间（4，+∞）上是减函数，则a的范围是（）
A．B．C．或a=0 D．a≤0
考点：二次函数的性质．
专题：计算题．
分析：由解析式对a分类：当a=0时和当a≠0时，再由一次函数和二次函数的单调性求解．
解答：解：当a=0时，y=﹣4x+5，则在区间（4，+∞）上是减函数，符合条件；
当a≠0时，y=ax2+2（a﹣2）x+5的对称轴是，
由题意得，，解得a＜0，
综上得，a的范围是a≤0．
故选D．
点评：本题考查了二次函数的单调性，当解析式含有参数时，需要对二次项的系数进行讨论．
6．（5分）函数y=f（x）的图象与直线x=a的交点个数为（）
A．必有一个B．一个或两个C．至多一个D．可能两个以上
考点：函数的概念及其构成要素．
专题：常规题型．
分析：求图象的交点，即求联立函数方程的解的个数．根据函数的定义来判断解的个数．
解答：解：联立，当x=a有定义时，把x=a代入函数y=f（x），根据函数的定义：定
义域内每一个x对应惟一的y，当x=a在定义域范围内时，有唯一解，当x=a无定义时，没有解．所以至多有一个交点．
故选C．
点评：本题考查对函数的定义的理解，得出结论：函数y=f（x）的图象与直线x=a至多有一个交点．
7．（5分）函数y=是（）
A．奇函数B．偶函数
C．非奇非偶函数D．是奇函数又是偶函数
考点：函数奇偶性的判断．
专题：计算题．
分析：先求函数的定义域，定义域关于原点对称，再用偶函数的定义验证f（x）=f（﹣x），即可．
解答：解：要使函数有意义，
只需：，解得：{x|﹣1≤x≤1}，
所以函数的定义域为{x|﹣1≤x≤1}，
{x|﹣1≤x≤1}关于原点对称．
函数f（x）可化为：，则：，
所以为偶函数．
故选B．
点评：本题重点考查判断函数的奇偶性，用到了解一元二次不等式，注意先求函数的定义域，并判是否关于原点对称．
8．（5分）下列每组函数是同一函数的是（）
A．B．
C．D．
考点：判断两个函数是否为同一函数．
专题：计算题．
分析：观察所给的函数是否是同一个函数，这种问题首先要观察这两个函数的定义域是否相同，定义域不同则不是同一函数，再观察两个函数的对应法则是否相同．
解答：解：A选项中，f（x）的定义域是R，g（x）的定义域是[1，+∞），定义域不同，它们的对应法则也不同；故不是同一函数；
B选项中两个函数的定义域相同，f（x）的定义域是R，g（x）的定义域是R，
，两个函数的对应法则相同，是同一函数；
C选项中两个函数的定义域不同，f（x）的定义域是（﹣∞，2）∪（2，+∞），g（x）的定义域是R；故不是同一函数；
D选项的定义域不同，f（x）的定义域是（﹣∞，1]∪[3，+∞），g（x）的定义域是[3，+∞），故不是同一函数；
只有B选项符合同一函数的要求，
故选B．
点评：本题考查判断两个函数是否是同一个函数，考查根式的定义域，主要考查函数的三要素，即定义域，对应法则和值域．
9．（5分）已知f（x）=x5﹣ax3+bx+2且f（﹣5）=17，则f（5）的值为（）
A．﹣13 B．13 C．﹣19 D．19
考点：函数奇偶性的性质；函数的值．
专题：计算题．
分析：函数f（x）可看成是有一个奇函数与一常数的和，根据这一奇函数的性质进行求解即可．解答：解：∵g（x）=x5﹣ax3+bx是奇函数
∴g（﹣x）=﹣g（x）
∵f（﹣5）=17=g（﹣5）+2
∴g（5）=﹣15
∴f（5）=g（5）+2=﹣15+2=﹣13
故选A．
点评：本题主要考查了函数奇偶性的应用，以及函数值的求解等有关知识，属于基础题．10．（5分）设函数f（x）=，若f（﹣4）=f（0），f（﹣2）=﹣2，则关于x的方
程f（x）=x的解的个数为（）
A．1B．2C．3D．4
考点：根的存在性及根的个数判断．
专题：函数的性质及应用．
分析：由题意可得bc的方程组，解之可得bc的值，令f（x）=x化为方程组解之可得．
解答：解：由f（﹣4）=f（0）可得16﹣4b+c=c，解之可得b=4，
再由f（﹣2）=﹣2可得4﹣2b+c=﹣2，解之可得c=2，
故f（x）=，令f（x）=x可得
，或，
解之可得x=3，或x=﹣1，或x=﹣2
故选C
点评：本题考查根的存在性及个数的判断，涉及待定系数法求二次函数的系数，属中档题．
二、填空题：（本答题共5小题，每小题5分，共25分）
11．（5分）已知函数y=f（x+1）定义域是[﹣2，3]，则y=f（2x﹣1）的定义域是．
考点：函数的定义域及其求法．
专题：计算题．
分析：利用函数的定义域是自变量的取值范围，同一法则f对括号的范围要求一致；先求出f（x）的定义域；再求出f（2x﹣1）的定义域．
解答：解：∵y=f（x+1）定义域是[﹣2，3]，
∴﹣1≤x+1≤4，
∴f（x）的定义域是[﹣1，4]，
令﹣1≤2x﹣1≤4，
解得0≤x≤，
故答案为：．
点评：本题考查知f（ax+b）的定义域求f（x）的定义域只要求ax+b的值域即可、知f（x）的定义域为[c，d]求．f（ax+b）的定义域只要解不等式c≤ax+b≤d的解集即可．
12．（5分）若集合A={x|2a+1≤x≤3a﹣5 }，B={x|3≤x≤22 }，则能使A⊆B成立的所有a的集合是（﹣∞，9]．
考点：集合的包含关系判断及应用．
专题：集合．
分析：A=∅时满足A⊆B，此时2a+1＞3a﹣5，即a＜6；A≠∅时，要使A⊆B，则a应满足
，所以解该不等式组并合并a＜6即得使A⊆B成立的所有a的集合．
解答：解：若A=∅，则2a+1＞3a﹣5，∴a＜6，满足A⊆B；
若A≠∅，要使A⊆B，则：，解得6≤a≤9；
∴能使A⊆B成立的所有a的集合是（﹣∞，9]．
故答案为：（﹣∞，9]．
点评：考查空集的概念，空集和所有集合的关系，描述法表示集合，子集的概念，不要漏了a=∅的情况．
13．（5分）已知f（x）=，则f（7）=6．
考点：函数的值；分段函数的解析式求法及其图象的作法．
专题：计算题．
分析：根据自变量的取值或范围，代入相应的解析式求得对应的函数值，重复以上过程，得出最终结果．
解答：解：∵7＜9，∴应代入第二段解析式求解．得f（7）=f[f（7+4）]=f[f（11）]，
而11＞9，∴f（11）=11﹣3=8．∴f（7）=f（8）
继续应用第二段解析式f（8）=f[f（12）]
∵12＞9，∴f（12）=9，
∴f（8）=f（9）=9﹣3=6．
故答案为：6
点评：本题考查分段函数求函数值，要确定好自变量的取值或范围，再代入相应的解析式求得对应的函数值．分段函数分段处理，这是研究分段函数图象和性质最核心的理念．
14．（5分）设函数f（x）是定义在（﹣2，2）上的奇函数，且在（﹣2，2）上的减函数，若函数f （x）满足：f（m﹣1）+f（2m﹣1）＞0，则实数m的取值范围是﹣．
考点：奇偶性与单调性的综合．
专题：函数的性质及应用．
分析：利用函数的奇偶性单调性即可得出．
解答：解：∵函数f（x）是定义在（﹣2，2）上的奇函数，函数f（x）满足：f（m﹣1）+f（2m ﹣1）＞0，
∴f（m﹣1）＞﹣f（2m﹣1）=f（1﹣2m），
∵函数f（x）在（﹣2，2）上的减函数，
∴﹣2＜m﹣1＜1﹣2m＜2，
解得﹣．
∴m的取值范围是﹣．
故答案为：﹣．
点评：本题考查了函数的奇偶性单调性，属于基础题．
15．（5分）如果函数f（x）满足：对任意实数a，b都有f（a+b）=f（a）f（b），且f（1）=1，则
=2010．
考点：抽象函数及其应用．
专题：计算题．
分析：先有f（a+b）=f（a）f（b），且f（1）=1，得到=1，再把所求结论代入即可求出结果．
解答：解：因为f（a+b）=f（a）f（b），且f（1）=1，
所以f（a+1）=f（a）f（1）=f（a），
故有=1．
∴=1+1+1+…+1=2010．
故答案为：2010．
点评：本题主要考查抽象函数及其应用．抽象函数是相对于给出具体解析式的函数来说的，它虽然没有具体的表达式，但是有一定的对应法则，满足一定的性质，这种对应法则及函数的相应的性质是解决问题的关键．
三、解答题：（满分75分，要求写出详细的解题过程）
16．（12分）已知集合A={x|2≤x≤8}，B={x|1＜x＜6}，C={x|x＞a}，U=R．
（1）求A∪B；
（2）求（∁U A）∩B；
（3）如果A∩C≠∅，求a的取值范围．
考点：交、并、补集的混合运算．
专题：计算题．
分析：（1）集合A的所有元素和集合B的所有元素合并到一起，构成集合A∪B，由此利用
A={x|2≤x≤8}，B={x|1＜x＜6}，能求出A∪B．
（2）由A={x|2≤x≤8}，U=R．知∁U A={x|x＜2，或x＞8}，再由B={x|1＜x＜6}，能求出（∁U A）∩B．（3）由A={x|2≤x≤8}，C={x|x＞a}，A∩C≠∅，能求出a的取值范围．
解答：解：（1）∵A={x|2≤x≤8}，B={x|1＜x＜6}，
∴A∪B={x|1＜x≤8}．
（2）∵A={x|2≤x≤8}，U=R．
∴∁U A={x|x＜2，或x＞8}，
∵B={x|1＜x＜6}，
∴（∁U A）∩B={x|1＜x＜2}．
（3）∵A={x|2≤x≤8}，C={x|x＞a}，A∩C≠∅，
∴a＜8．
故a的取值范围（﹣∞，8）．
点评：本题考查集合的交、并、补集的混合运算，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．
17．（12分）设x1x2是关于x的一元二次方程x2﹣2（m﹣1）x+m+1=0的两个实根，又y=x12+x22．（1）求y=f（m）的解析式；
（2）求y=f（m）的值域．
考点：根与系数的关系．
专题：函数的性质及应用．
分析：由题意可得x1+x2=2（m﹣1），x1•x2=m+1，而由△≥0，可得m≥3或m≤0．由于
=，利用二次函数的性质以及m的范围可得的值域．解答：解：∵x1，x2是于x的一元二次方程，x2﹣2（m﹣1）x+m+1=0的两个根，
∴x1+x2=2（m﹣1），x1•x2=m+1，
而△=4（m﹣1）2﹣4（m﹣1）≥0，m2﹣3m≥0，…（5分）∴m≥3或m≤0．
=4（m﹣1）2﹣2（m+1）=4m2﹣10m+2=，…（10分）∵m≥3或m≤0，∴．
∴y的值域[2，+∞）．…（14分）
点评：本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，二次函数的性质的应用，属于中档题．
18．（12分）函数f（x）=，
（1）若f（x）的定义域为[﹣2，1]，求实数a的值．
（2）若f（x）的定义域为R，求实数a的取值范围．
考点：函数的定义域及其求法．
专题：函数的性质及应用．
分析：（1）结合二次函数的性质，得不等式组，解出即可；（2）通过讨论a的范围，结合二次函数的性质，从而得出结论．
解答：解：（1）由题意得：
，
解得：a=2或a=﹣5；
（2）由题意得：
①当a=1时，f（x）=，符合题意，
②1﹣a2＞0时，△=9（1﹣a）2﹣24（1﹣a2）≤0，无解，
③a=﹣1时，f（x）=，定义域不是R，不合题意，
综上：a=1．
点评：本题考查了函数的定义域问题，考查了二次函数的性质，考查了分类讨论思想，是一道中档题．
19．（13分）已知奇函数
（1）求实数m的值，并在给出的直角坐标系中画出y=f（x）的图象．
（2）若函数f（x）在区间[﹣1，|a|﹣2]上单调递增，试确定a的取值范围．
考点：函数单调性的性质；函数的图象．
专题：计算题；数形结合；转化思想；待定系数法．
分析：（1）由奇函数的定义，对应相等求出m的值；画出图象．
（2）根据函数的图象知函数的单调递增区间，从而得到|a|﹣2的一个不等式，解不等式就求得a 的取值范围．
解答：解：（1）当x＜0时，﹣x＞0，f（﹣x）=﹣（x）2+2（﹣x）=﹣x2﹣2x
又f（x）为奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x）=﹣x2﹣2x，∴f（x）=x2+2x，∴m=2
y=f（x）的图象如右所示
（2）由（1）知f（x）=，
由图象可知，f（x）在[﹣1，1]上单调递增，要使f（x）在[﹣1，|a|﹣2]上单调递增，只需
解之得﹣3≤a＜﹣1或1＜a≤3
点评：考查奇函数的定义，应用转化的思想求值；作函数的图象，求a的取值范围，体现了作图和用图的能力，属中档题．
20．（13分）某民营企业生产A，B两种产品，根据市场调查和预测，A产品的利润与投资成正比，其关系如图1，B产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图2（注：利润与投资单位是万元）
（1）分别将A，B两种产品的利润表示为投资的函数，并写出它们的函数关系式．
（2）该企业已筹集到10万元资金，并全部投入A，B两种产品的生产，问：怎样分配这10万元投资，才能使企业获得最大利润，其最大利润约为多少万元．（精确到1万元）．
考点：函数模型的选择与应用．
专题：应用题．
分析：（1）根据函数的模型设出函数解析式，从两个图中分别找出特殊点坐标，代入函数解析式求出两个函数解析式．
（2）将企业获利表示成对产品B投资x的函数，再用换元法，将函数转化为二次函数，即可求出函数的最值．
解答：解：（1）投资为x万元，A产品的利润为f（x）万元，B产品的利润为g（x）万元，
由题设f（x）=k1x，g（x）=k2，（k1，k2≠0；x≥0）
由图知f（1）=，∴k1=
又g（4）=，∴k2=
从而f（x）=，g（x）=（x≥0）
（2）设A产品投入x万元，则B产品投入10﹣x万元，设企业的利润为y万元
y=f（x）+g（10﹣x）=，（0≤x≤10），
令，∴（0≤t≤）
当t=，y max≈4，此时x=3.75
∴当A产品投入3.75万元，B产品投入6.25万元时，企业获得最大利润约为4万元．
点评：本题考查利用待定系数法求函数的解析式、考查将实际问题的最值问题转化为函数的最值问题．解题的关键是换元，利用二次函数的求最值的方法求解．
21．（13分）对于定义域为D的函数y=f（x），若同时满足下列条件：
①f（x）在D内单调递增或单调递减；
②存在区间[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]上的值域为[a，b]；那么把y=f（x）（x∈D）叫闭函数．（1）求闭函数y=﹣x3符合条件②的区间[a，b]；
（2）判断函数是否为闭函数？并说明理由；
（3）若是闭函数，求实数k的取值范围．
考点：函数与方程的综合运用．
专题：计算题；压轴题；新定义．
分析：（1）根据单调性依据闭区间的定义等价转化为方程，直接求解．
（2）判断其在（0，+∞）是否有单调性，再据闭函数的定义判断；
（3）根据闭函数的定义一定存在区间[a，b]，由定义直接转化求解即可．
解答：解：（1）由题意，y=﹣x3在[a，b]上递减，
则解得（4分）
所以，所求的区间为[﹣1，1]；（5分）
（2）取x1=1，x2=10，则，
即f（x）不是（0，+∞）上的减函数．
取，
，
即f（x）不是（0，+∞）上的增函数
所以，函数在定义域内不单调递增或单调递减，
从而该函数不是闭函数；（9分）
（3）若是闭函数，则存在区间[a，b]，
在区间[a，b]上，函数f（x）的值域为[a，b]，
即，∴a，b为方程的两个实数根，
即方程x2﹣（2k+1）x+k2﹣2=0（x≥﹣2，x≥k）有两个不等的实根（11分）
当k≤﹣2时，有，解得，（13分）
当k＞﹣2时，有，无解，（15分）
综上所述，．
点评：考查函数的单调性及新定义型函数的理解，以及问题的等价转化能力．。