数学晨读

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1.设a>0，b>0，则下列不等式中 不一定成立的是（ ） a b ≥2 A. + B.ln(ab+1)≥0
b a
C.a2+b2+2≥2a+2b D.a3+b3≥2ab2
• 选项A由基本不等式易知正确；选项B由对 数函数性质易知正确； • 选项C由基本不等式得：a2+1+b2+1≥2a+2b， 命题成立.选项D通过排除易知命题错误.
• 2.设a、b、c三数成等比数列 而x、y分别为 、b 设 、 、 三数成等比数列 三数成等比数列,而 、 分别为 分别为a、 的等差中项,试证 和b、c的等差中项 试证 a c 、 的等差中项 试证:
x
+
y
= 2.
•
a b , 又由题设: = • 由比例性质有: a+b b+c a+b b+c x= ,y= . 2 2 a c 2a 2c 2b 2c + = + = + = • 所以 x y a+b b+c b+c b+c 2 b+c （ ） • = 2.原题得证. b+c
答案： 答案：p≥q
6.已知 已知a>0，b>0，且a＋b>2，求证： 已知 ， ， ＋ ，求证： 中至少有一个小于2. 中至少有一个小于
证明： 证明：假设 则 ≥2， ， ≥2， ，
都不小于2， 都不小于 ，
∵a>0，b>0， ， ， ∴1＋b≥2a,1＋a≥2b， ＋ ＋ ， ∴1＋1＋a＋b≥2(a＋b)，即2≥a＋b. ＋ ＋ ＋ ＋ ， ＋ 这与已知a＋ 矛盾， 这与已知 ＋b>2矛盾，故假设不成立 矛盾 故假设不成立. 即 中至少有一个小于2. 中至少有一个小于
• 4.设a＝lg2＋lg5，b＝ex(x<0)，则a与b大 设 ＝ ＋ ， ＝ ， 与 大 ) 小关系为 ( • A.a>b B.a<b • C.a＝b D.a≤b ＝ • 解析：a＝lg2＋lg5＝1， 解析： ＝ ＋ ＝ ， • ∵x<0，∴b＝ex<1， ， ＝ ， • ∴a>b. • 答案：A 答案：
5.设p＝2x4＋1，q＝2x3＋x2，x∈R，则p与q的 设 ＝ ＋ ， ＝ ＋ ， ∈ ， 与 的 大小关系 是________． ． • • • • • 解析： 解析：∵p－q＝2x4－2x3－x2＋1 － ＝ － － ＋ ＝2x3(x－1)－(x＋1)(x－1)＝(x－1)(2x3－x－1) － － ＋ － ＝ － － － ＝(x－1)2(2x2＋2x＋1) － ＋ ＋ ＝(x－1)2·[x2＋(x＋1)2]≥0， － ＋ ＋ ， ∴p≥q.
• 键.
巧妙利用比例的性质是解决本例的关
反证法
.已知a>0，b>0，且a+b>2，求证:
1+ b 1+ a • 中至少有一个小于2. , a b
• • 则
假设 1 + b , 1 + a 都不小于2,
a
b
1+ b 1+ a ≥ 2, ≥ 2, a b
• 因为a>0,b>0,所以1+b≥2a,1+a≥2b. • 所以1+1+a+b≥2(a+b),即2≥a+b. • 这与已知a+b>2矛盾,故假设不成立.即 • 1+ b , 1 + a 中至少有一个小于2. • • a b • 结论中若有“都是”、“都不是”、“至多”、“至少” 等字眼，或直接从正面证明较为困难的问题，一般可以考虑 使用反证法.