线性代数-§1.2-n阶行列式-习题与答案

§1.2 n 阶行列式
为了得到更为一般的线性方程组的求解公式，我们需要引入n 阶行列式的概念。

为此，先介绍排列的有关知识。

㈠排列与逆序：(课本P4)
１、排列的定义：由数码1，2，…，n ，组成一个有序数组12
n i i i ，称为一个n 级
排列。

【例1】1234是一个4级排列，
3412也是一个4级排列，
而52341是一个5级排列。

(课本P4中例)
【例2】由数码1，2，3 组成的所有3级排列为：123，132，213，231，312，321共有3! = 6个。

【例3】数字由小到大的n 级排列1234…n 称为自然序排列。

２、逆序的定义：在一个n 级排列12
n i i i 中，如果有较大的数t i 排在s i 的前面，则称t
i 与s i 构成一个逆序。

(课本P4)
【例4】在4 级排列3412中， 31，32，41，42，各构成一个逆序，
在5 级排列34152中， 31，32，41，42，52，共构成5个逆序。

3、逆序数的定义：一个n 级排列12
n i i i 中逆序的总数，称为这个排列的逆序数，记为
12()n N i i i 。

(课本P4)
【例5】排列3412的逆序数为N (3412) = 4，
排列52341的逆序数为N (52341) = 7， 自然序排列的逆序数为0。

4、奇、偶排列的定义：如果排列12
n i i i 的逆序数12()n N i i i 是奇数，则将12n i i i 称
为奇排列；如果排列12n i i i 的逆序数12()n N i i i 是偶数，则将12n i i i 称为偶排列。

(课本
P4)
【例6】由于N (3412) = 4，知排列3412是偶排列，
由于N (52341) =7，知排列52341是奇排列， 由于N (123…n ) = 0，知自然排列123…n 是偶排列。

【例7】由数码1，2，3组成的所有3级排列为：123，132，213，231，312，321共有3! = 6个，其中，奇排列有132，213，321三个，偶排列有123，312，231三个。

奇偶排列各占一半。

5、对换的定义：在一个n 级排列1
t s n i i i i 中，
如果其中某两个数t i 与s i 对调位置，其余各数位置不变，就得到另一个新的n 级排列1s t n i i i i ，这样的变换称为一个对换，
记作(,)t s i i 。

(课本P5)
【例8】在排列3412中，将4与2对换， 得到新的排列3214。

【例9】偶排列3412经过4与2的对换后，变成了奇排列3214；
反之，奇排列3214经过2与4的对换后，变成了偶排列3412。

定理1.1 任意一个排列经过一个对换后，其奇偶性改变。

(课本P5) 定理的证明见课本P5。

【例10】奇排列132经对换(3，2)得到偶排列123，
偶排列312经对换(1，2)得到奇排列321。

定理1. 2 n 个数码(2n )共有n ！个n 级排列，其中奇、偶排列各占一半。

(课本P6)
定理的证明见课本P6。

【例11】由数码1，2，3组成的所有3级排列为：123，132，213，231，312，321共有3!
= 6个，其中，奇排列有132，213，321三个，偶排列有123，312，231三个。

相应练习见课本
【第四版】习题一(A)中的8大题。

=============================================== ㈡ n 阶行列式的定义：(课本P6)
我们从观察二阶、三阶行列式的特征入手，引出n 阶行列式的定义。

二阶行列式为
1112
112212212122
a a a a a a a a =-，
三阶行列式为1112
13
2122
2331
32
33
a a a a a a a a a 112233122331132132a a a a a a a a a =++ 112332122133132231a a a a a a a a a ---，
我们可以从二阶、三阶行列式中发现以下规律：
(1) 二阶行列式是2！项的代数和，三阶行列式是3！项的代数和；
(2) 二阶行列式中每一项是两个元素的乘积，它们分别取自不同的行和不同的列， 三阶行列式中的每一项是三个元素的乘积，它们也是取自不同的行和不同的列； (3) 每一项的符号是：当这一项中元素的行标是按自然序排列时，如果元素的列标为偶排列，则取正号；为奇排列，则取负号。

作为二、三阶行列式的推广，我们给出n 阶行列式的定义。

定义1.2 用2
n 个元素ij a （,1,2,
,i j n =）和双竖线组成的记号
11121212221
2
n n n n nn
a a a a a a a a a
称为n 阶行列式。

有时简记为ij a 。

(课本P7)
n 阶行列式的定义包含如下的内容：
⑴构成：n 阶行列式的横排称为行，纵排称为列。

元素ij a 的第一个下标i 表示这个元素位于第i 行，称为行标，第二个下标j 表示这个元素位于第j 列，称为列标。

(课本P7)
【例12】三阶行列式 258
147369
A 有3行3列共32
= 9个元素。

其中，第二行元素为 1，4，7；第二列元素为5，4，6，
元素7的位置为第2行第3列。

⑵含义：n 阶行列式是n ! 个项的代数和，其中每一项是取自不同行和不同列的n 个元素的乘积。

(课本P8)
由于一个项中的n 个乘积元素来自不同的行，而乘法满足交换率，故为方便分析，可以将n 个元素按行码的自然数顺序排列，再分析列码的状态。

当行码按自然序列排列后，列码的不同排列即对应不同的项，由于n 个元素共有不同排列n!个，从而n 阶行列式中共有n!个不同的项。

【例13】一阶行列式│a │= a 只有1个项。

【例14】三阶行列式
1112
13
2122
2331
32
33
a a a A a a a a a a =112233122331132132a a a a a a a a a =++ 112332122133132231a a a a a a a a a ---，
共有3！＝6个不同的项，
112233a a a 和132132a a a 的元素都来自不同行且不同列，都可能是A 中的一个项，
而112133a a a 中的11a 与21a 同来自第1列，不是其中的一个项，
132122a a a 中的21a 与22a 同来自第2行，也不是其中的一个项， 112233a a a 与221133a a a 是同一个项， 112332a a a 与112233a a a 是不同的项。

⑶各项符号：n 阶行列式中各项符号的确定有两种方法：
①只考察列标的排列：若该项中各元素的行标按自然数顺序排列，则列标构成的排列
为偶排列时，该项取正号；为奇排列时，该项取负号。

亦即，将某项中各元素的行标按自然数顺序排列后得到12
12n i i ni a a a ，含
1122
n n i j i j i j a a a 的项应带符号为12
()
(1)n N i i i -。

于是n 阶行列式所表示的代数和中的一般项为
12
()
(1)n N i i i -1212n i i ni a a a 。

(课本P7)
【例15】在5阶行列式中，1223354154a a a a a 与1221354354a a a a a 这两项各取什么符号？ 【解】由于该两项的行标已按自然数顺序排列，故
1223354154a a a a a 应取符号为(23514)(1)N -4(1)1=-=+，为正号，
1221354354a a a a a 应取符号为(21534)(1)N -3(1)1=-=-，为负号。

②综合考察行标与列标的排列：若该项中各元素的行标构成的排列的逆序数为S ，列
标构成的排列的逆序数为T ，则S+T 为偶数时，该项取正号；S+T 为为奇数时，该项取负号。

亦即，含1122
n n i j i j i j a a a 的项应带符号为12
12()()
(1)n n N i i i N j j j +-。

于是n 阶行列式所表示的代数和中的一般项为
12
12()()
(1)n n N i i i N j j j +-1122n n i j i j i j a a a 。

(课本P10)
显见，①为②的特例。

【例16】在5阶行列式中，含3223154154a a a a a 或含1241552433a a a a a 的两项各取什么符号？ 【解】由于该两项的行标未按自然数顺序排列，故
含3223154154a a a a a 的项应取符号为
(32145)(23514)(1)N N +-34(1)1+=-=-，为负号，
含1241552433a a a a a 的项应取符号为
(14523)(21543)(1)N N +-44(1)1+=-=+，为正号。

⑷ n 阶行列式的展开式：(课本P10)
n 阶行列式的展开式有两种表达方式，一种较为简单，是将各项元素的行标按自然数
顺序排列形式的表达式，另一种是各项元素任意排列的表达式。

具体分别叙述如下：
①各项元素的行标按自然数顺序排列时：
1112121
22
212
n n n n nn
a a a a a a a a a 12
1212()
121,,,(1)n n n N i i i i i ni i i i n
a a a ≤≤=
-∑。

其中，1212()
12(1)n n N i i i i i ni a a a -称为n 阶行列式的一般项。

这里，
∑
为连加号，表示对该符号下的所有项求和。

于是，n 阶行列式展开后是n !个项的和，各项都含两个因素：
1》n 个来自不同行和不同列的元素的乘积，
2》将一个项的n 个元素的行标按自然数顺序排列后，该项的符号由列标的排列数
的奇偶性确定为12
()
(1)
n N i i i -。

②一般情况下：
12
1212
1111121222()
121
2
(1)n n n n n N j j j j j nj j j j n n n nn
a a a a a a a a a a a a =
-∑
遍取所有级排列
12
1211221212()()
i (1)n n n n n
n
N i i i N j j j i j i j i j i i n j j j a a a +=
-∑
遍取所有级排列
其中，1212
1122()()
(1)
n n n n N i i i N j j j i j i j i j a a a +-是n 阶行列式的一般项的普通形式。

于是，n 阶行列式展开后是n !个项的和，各项都含两个因素：
1》n 个来自不同行和不同列的元素的积。

2》一个项的符号由行标的排列数与列标的排列数的和的奇偶性确定为
12
12()()
(1)n n N i i i N j j j +-。

【例17】求4阶行列式中带负号且包含因子11a 和23a 的所有项。

【解】4阶行列式中，当行标按自然数顺序排列后，包含因子11a 和23a 的项为
112334(1)N i j a a a a -其中，,i j 可以分别是2，4之一。

由于2，4两个数可以产生两个不同的排列24和42，所以，4阶行列式中包含因子11
a 和23a 的所有项可以为(1324)11233244(1)N a a a a -或(1342)11233442(1)N a a a a -两项，
但题目要求的是带负号的项，而因为(1324)1N =为奇数，(1342)2N =为偶数，故
4阶行列式中带负号且包含因子11a 和23a 的所有项只有一个，为
(1324)1123324411233244(1)N a a a a a a a a -=-。

【例18】判断14233142a a a a ，11233244a a a a ，11243344a a a a 以及31244312a a a a 是否为四阶行列式
11
121314
212223
24
313233344142
43
44
a a a a a a a a D a a a a a a a a =
中的一项？ 【解】①14233142a a a a 的行标为1234，这4个元素来自不同的行，列标为4312，这4个元素来自不同的列。

由于行标已按自然数顺序排列，其符号应为(4312)
5(1)
(1)1N -=-=-，故
14233142a a a a 不是4阶行列式中的一项；
②11233244a a a a 的行标为1234，这4个元素来自不同的行，列标为1324，这4个元素
来自不同的列。

由于行标已按自然数顺序排列，其符号应为(1324)
1(1)
(1)1N -=-=-，故
11233244a a a a 不是4阶行列式中的一项；
③11243344a a a a 的行标为1234，这4个元素来自不同的行，列标为1434，这4个元素
中
24a 和44a 都来自相同的第4列。

故11243344a a a a 不是4阶行列式中的一项；
④31244312a a a a 的行标为3241，这4个元素来自不同的行，列标为1432，这4个元素来自不同的列。

其符号应为(3241)(1432)43(1)(1)1N N ++-=-=-，故31244312a a a a 不是4阶行列式中的一项；
【例19】若(432)(5214)5423214(1)N i k N j i j k a a a a a +-是五阶行列式ij a 的一项，则,,j j k 应为何值？此时该项的符号是什么？（课本P11例2）
【解】①由于行列式定义规定每一项的元素来自不同行不同列，故五阶行列式的项中，行标和列标都只能是1，2，3，4，5这五个数字的排列，从而，该项的列标52j 14中的j 只能是3，该项的行标i 432k 中的i 和k 只能从1和5中选择，于是1,5i k ==或5,1i k ==，综合起来，应得两组答案：1,3,5i j k ===或5,3,1i j k ===。

②当1,3,5i j k ===时，该项的符号是
(14325)(52314)36(1)(1)1N N ++-=-=-，
即1542332154a a a a a -是五阶行列式ij a 的一项；
当5,3,1i j k ===时，该项的符号是
(54321)(52314)106(1)(1)1N N ++-=-=+，
即5542332114a a a a a 是五阶行列式ij a 的一项。

【例20】计算行列式
0000000
a b
c d e f g h 。

【解】由于该4阶行列式的各项中，只要含有一个0元素，该项就为0，所以，要计算该4阶行列式，只须找到其由不同行不同列的4个非0元素相乘的所有项。

考虑到来自不同行及不同列的要求，该4阶行列式不为0的项，使行标按自然数顺序
排列后，只有含adfh 及含bdfg 的两个，
而含adfh 的项，其符号为(1342)2(1)(1)1N -=-=+，知该项为adfh ， 含bdfg 的项，其符号为(2341)
3(1)
(1)1N -=-=-，知该项为bdfg -，
从而，
00
00
000
0a b
c d e f g h adfh =bdfg -。

【例21】用行列式定义计算
01011
01001000
01
1。

（课本P11） 【解】用ij a 表示行列式中第i 行第j 列元素，
由于该4阶行列式的各项中，只要含有一个0元素，该项就为0，所以，要计算该4
阶行列式，只须找到其不为0的所有项。

而要得到非0项，项中各元素必须非0！
【解法一】第一行若取12a ，这样第二行无论取21a 还是23a ，第三行都必然取到0，这样无法得到非0项；
第一行若取14a ，这样第二行无论取21a 还是23a ，第三行都必然取32a ，
这时，当第二行取21a 时，取完第三行后得到142132a a a ，第四行可取43a ，
当第二行取23a 时，取完第三行后得到142332a a a ，第四行必然取到0，
综上知，该行列式中仅有含14213243a a a a 的一项非0，该项符号为
(4123)3(1)(1)1N -=-=-，于是，由于142132431a a a a ====，得
1011
01010
1000011
=-。

【解法二】由于第三行只有一个非零元，故可以从它入手，按不同行不同列的原则去确定展开式中的项的构成：
取定32a 后，第一行就只能取14a 了，从而第四行也就只能取43a 了，于是，最后确定第二行只能取21a 了。

于是确定展开式中仅有一个非零项，它由14a ，21a ，32a ，43a 构成，
而含这四个元素的项的符号由逆序数(4123)3N =确定，为负号，
即知，0
101101010
1000011
=-。

【例22】计算上、下三角形行列式和对角形行列式。

【补充定义】上三角形行列式就是主对角线下方元素全为0的行列式，下三角形行列式就是主对角线上方元素全为0的行列式，对角形行列式就是主对角线以外元素全为0的行列式。

【解】先计算上三角形行列式的值：
11
12131222323330
0000n n n nn a a a a a a a a a a 要得到其非零项，第一列元素只能取11a ，这时，第二列元素只能取22a ，从而，第三列元素只能取33a ，…，最后，第n 列元素只能取nn a ，于是，11
12131222323331122330
0000n n n nn nn a a a a a a a a a a a a a a =。

结论：上三角形行列式的值等于其主对角线上元素的相乘积。

同样道理，下三角形行列式和对角形行列式的值都等于其主对角线上元素的相乘积。

11
21
2231
32331122331
2300
0000nn n n n nn a a a a a a a a a a a a a a =，
11
2233
1122
330000000
00000nn nn a a a a a a a a =。

结论是：上三角形、下三角形、对角形行列式的计算结果，都是主对角线上元素的相乘积。

相应练习见课本
【第四版】课本习题一(A)中的⒏⒐⒑⒒12.大题。