向量与矩阵的乘法

向量与矩阵的乘法
向量与矩阵乘法是两个基本的概念，这两个概念在线性代数中非常重要。

本文将介绍向量与矩阵乘法的定义、性质以及如何计算它们的乘积。

一、向量的定义
向量是由一组标量组成的有序列表，它们按照特定的顺序排列。

在数学中，通常将向量用列向量的形式表示，其形式如下：
a = [a1,a2,a3,…,an]T
其中，a1,a2,a3,…,an都是标量，这些标量按照顺序排列。

T表示向量的转置，它将列向量转换为行向量。

二、矩阵的定义
矩阵是由一组标量组成的矩形数组，它们按照特定的顺序排列。

通常用方阵的形式表示，其形式如下：
A =
[a11,a12,a13,…,a1n;a21,a22,a23,…,a2n;…;am1,am2,am3,…,amn]其中，
a11,a12,a13,…,a1n;a21,a22,a23,…,a2n;…;am1,am2,am3,…,amn都是标量。

三、向量与矩阵的乘法定义
在数学中，当一个向量乘以一个矩阵时，我们将结果称为矩阵向量积。

向量与矩阵的乘法的定义如下：
设A是一个m×n的矩阵，而b是一个n维列向量，那么定义矩阵向量积为：
c=Ab
其中，c是一个m维列向量，它的每一维就是A的每一行与b对应维数的乘积之和。

四、向量与矩阵的乘法性质
（1）向量与矩阵的乘法是一种线性变换。

（2）矩阵乘法不满足交换律。

（3）矩阵乘法满足结合律。

（4）矩阵乘法是满足分配律的。

五、向量与矩阵的乘法计算
在进行向量与矩阵的乘法计算时，需要按照矩阵乘法的定义逐一计算。

例如，计算一个3维列向量和一个3×3矩阵的乘积如下：[ a1 ] [ a11,a12,a13 ]
[ a2 ] [ a21,a22,a23 ] = [ a1×a11+a2×a21+a3×a31 ] [ a3 ] [ a31,a32,a33 ] [ a1×a12+a2×a22+a3×a32 ]
[ a1×a13+a2×a23+a3×a33 ]
最后，需要注意的是，在进行向量与矩阵的乘法时，向量的维数要与矩阵的行数相同，才能进行相乘。