专题 完全平方公式与几何图形(学生版)

专题4完全平方公式与几何图形
1．如图，通过计算大正方形的面积，可以验证一个等式，这个等式是（）
A ．2()x y z ++=x 2+y 2+z 2+2y +xz +yz
B ．2()x y z ++=x 2+y 2+z +2xy +xz +2yz
C ．2()x y z ++=x 2+y 2+z 2+2xy +2xz +2yz
D ．2()x y z ++=2()x y ++2xz +2yz
2．根据图中面积的等量关系可以得到的等式是（）
A ．22
()()a b a b a b +-=-B ．222()2a b a ab b -=-+C ．22()a a b a ab +=+D ．2()a a b a ab
-=-3．如图，4张边长分别为a 、b ）
A ．()()224a b a b ab +--=
B ．()2
222a b a ab b +=++C ．()2222a b a ab b -=-+D ．()()22a b a b a b
+-=-4．图（1）是一个长为2a ，宽为2()b a b >的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图（2）那样拼成一个正方形，则中间空的部分的面积是（）
A ．2ab
B ．2()a b +
C ．22
a b -D ．2
()a b -
5．直接依据图中图形面积之间的关系，通过计算可以表示的等式是（）
A．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2B．（a+b）2＝a2+2ab+b2
C．2a（a+b）＝2a2+2ab D．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2
6．如图，正方形中阴影部分的面积为（）
A．a2﹣b2B．a2+b2C．ab D．2ab
7．如图，由四张大小相同的矩形纸片拼成一个大正方形和一个小正方形．如果大正方形的面积为75，小正方形的面积为3，则矩形的宽AB为________．
8．把长和宽分别为a和b的四个相同的小长方形拼成如图所示的大正方形，若图中每个小长方形的面积均为6，
a b-的值为______．
大正方形的面积为25，则()2
9．边长为a 的正方形ABCD 与边长为b 的正方形DEFG 按如图所示的方式摆放，点A ，D ，G 在同一直线上．已知a ＋b ＝10，ab ＝24．则图中阴影部分的面积为________．
10．如图，在边长为a （cm ）的大正方形内放入三个边长都为b （cm ）
（a ＞b ）的小正方形纸片，这三张纸片没有盖住的面积是4cm2，则a 2－2ab ＋b 2的值为________．
11．如图，已知两个正方形的边长分别为()a b a b >、，如果68a b ab +==，，那么阴影部分的面积是________．
12．如图，“赵爽弦图”由4个完全一样的直角三角形所围成，在Rt ABC 中，AC b =，BC a =，90ACB ∠=︒，若图中大正方形的面积为34，小正方形的面积为4，则a b +的值为_________．
13．试用两种不同的方法表示图1中阴影部分的面积：
方法（一）：____________；
方法（二）：____________；
从中你有什么发现，请用等式表示出来：____________；
利用你发现的结论，解决下列问题：
如图2，两个正方形的边长分别为a ，b ，且a ＋b ＝ab ＝9，求图2中阴影部分的面积．
14．利用图1中边长分别为a ，b 的正方形，以及长为a ，宽为b 的长方形卡片若干张拼成图2（卡片间不重叠、无缝隙），可以用来解释完全平方公式：()2
222a b a ab b +=++．
请你解答下面的问题：
(1)填空：()222349a a ka +=++，则k =______；()2
252510x m x x n +=++，则m =_______，n =_______；(2)利用图1中的三种卡片若干张拼成图3，可以解释等式：_______；
(3)利用上述拼图的方法计算：()()23a b a b ++=______．
15．完全平方公式222()2a b a ab b ±=±+进行适当的变形后，可以解决很多的数学问题．
如：若x 满足()()944x x --=，求22(9)(4)x x -+-的值．解题思路；由222()2a b a ab b +=++得222()2a b a b ab +=+-，可设9x a -=，4x b -=，则()()944x x ab --==，()()945a b x x +=-+-=，
222222(9)(4)()252417x x a b a b ab ∴-+-=+=+-=-⨯=；
(1)请仿照上面的方法求解下面问题：
①若x 满足()()522x x --=，求22(5)(2)x x -+-的值；
②若x 满足()()924x x ++=，求22(9)(2)x x +++的值；
(2)应用上面的解题思路解决问题：如图，点C 是线段AB 上的一点，以AC ，BC 为边向两边作正方形，设6AB =，两正方形的面积和1218S S +=，求图中阴影部分的面积．
16．两个边长分别为a 和b 的正方形（a b >）如图放置（图1，2，3），若阴影部分的面积分别记为1S ，2S ，3S ．
(1)用含a ，b 的代数式分别表示1S ，2S ，3S ；
(2)若11S =，33S =，求2S 的值；
(3)若对于任意的正数a 、b ，都有132S mS kS +=（,m k 为常数），求m ，k 的值．
拼成一个“回形”正方形（如图2）
(1)观察图2请你写出2()a b +，2()a b -，ab 之间的等量关系是____________；
(2)根据（1）中的结论，若5x y +=，94
x y ⋅=，则x y -=____________；(3)拓展应用：若22(2021)(2022)2023m m -+-=，求(2021)(2022)m m --的值．
个正方形．
(1)你认为图b 中的阴影部分的正方形的边长等于多少？
(2)请用两种不同的方法求图中阴影部分的面积．
方法1：
方法2：
(3)观察图b 你能写出下列三个代数式之间的等量关系吗？
代数式：()()2
2,,m n m n mn
+-(4)根据（3）题中的等量关系，解决如下问题：
若75a b ab +==，，则2()a b -=．（请直接写出计算结果）
拼成一个“回形”正方形（如图2）．
(1)观察图2请你写出2()a b +、2()a b -、ab 之间的等量关系是
；(2)根据（1）中的结论，若x +y =5，x •y =94，则x ﹣y =；
(3)拓展应用：若22(2021)(2022)7m m -+-=，求（2021﹣m ）（m ﹣2022）的值．
20．我们知道对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式，例如：由图1可得到()2222a b a ab b +=++．
(1)写出由图2所表示的数学等式：_____________；
(2)写出由图3阴影部分面积所表示的数学等式：______________；
(3)利用上述结论，解决问题：已知12a b c ++=，47bc ac ab ++=，求222a b c ++的值．。