苏科版八年级上册数学 数学活动 探寻勾股数 教案

《探寻勾股数》活动课教案
【活动目标】
1. 通过对勾股数深入的探索，由简单的勾股数发现其内在的规律，进行对勾股数计算、证明，会写一些勾股数；
2. 让学生在操作实践中获得数学活动的经验，感受“观察、实验、猜想、验证和归纳”的学习方法，验证勾股数；
3. 培养学生勤于实践、勇于发现、乐于创新的学习品质，激发学生初步感受科学思维的价值；
4. 利用类比、分类思想来探索勾股数，体会由特殊到一般再到特殊的思想过程，在解决问题中会运用转化和类比以及分类讨论的数学思想方法.
【教学重点难点】
重点：由简单的勾股数发现其内在的规律，探索一些复杂的勾股数，对发现的勾股数的规律进行计算、验证.
难点：会用分类、类比的思想，从不同角度探索勾股数，并对探索发现加以验证.
【教学活动过程】
一、创设情境：
考古学家发现的一块石碑，经潜心研究，是一张数据缺损的数表, 你觉得这块碑文表示什么？
图1 图2
科学家将表格中的部分数据整理出来了，缺失的数据是什么？
a b c
3 4 5
7 24
9
11
45 60
56 90 106
2700 2291 3541
240
设计意图：考古图片的引入应发学生的兴趣，缺失的数据激发学生探索的热情。

二、探索过程：
活动一（探索基础）
问题1. 什么是勾股数？你能写出哪些勾股数？（学生活动，尽可能写出较多个）问题2. 你还能写出更多的勾股数吗？
问题3. 对于这些勾股数你有没有什么发现？怎样探索勾股数呢？
交流： 同学们所写的一些勾股数之间有没有什么共同的特征？可以用什么方法来进行研究？
设计意图：回顾勾股数，从同学们熟知的勾股数开始研究，让学生感受到探索就是来自于身边，并为接下来的探索做准备。

通过观察数据，培养学生大胆尝试分类研究问题的数学思想方法。

活动二（探索尝试）
设（a,b,c ）为一组勾股数，这里a <b <c ，对勾股数进行分类讨论、整理如下表，填表：
表1 表2
交流：表1、表2中的数据各有什么特征？小组合作交流探讨.
问题1. 在表1中， a 为奇数，正整数b 和c 之间的数量关系是_________,b 、c 与a 2之间的关系式是___________.
根据以上规律，写出勾股数（13，____,_____）.
问题2. 一般地，当a=2n +1（n 为正整数）时，请给出计算勾股数的一组公式. 问题3. 怎样说明满足所给公式的三个数是勾股数？
问题4. 在表2中，a 为大于4的偶数，正整数b 和c 之间的数量关系是_______,b 、c 与a 2之间的关系式是___________.
根据以上规律，写出勾股数（16，____,_____）.
问题5 一般地，当a=2n （n>1为正整数）时，请给出计算勾股数的一组公式. 问题6. 怎样说明满足所给公式的三个数是勾股数？
设计意图：通过分类、观察发现其内在归规律，进而对勾股数进行深入探索，并对公式给出证明，体现新知获得过程要符合科学严谨性。

交流： 表1和表2的一些数据之间有没有什么联系？你还能找出其他的计算勾股数的公式吗？
问题7. 说明当（a,b,c ）是勾股数时，（k a,kb,kc ）也是勾股数，其中k 为正整数。

问题8. 已知⎪⎩
⎪⎨⎧+==-=.,2,2222n m c mn b n m a 其中n m >，m 、n 为正整数，a 、b 、c 是勾股数吗？
为什么？
交流：通过以上这些探究过程，你有什么发现？
设计意图：由简单的勾股数发现内在规律，了解勾股数的常见几种计算公式，并体会勾股数的计算公式有很多，这些公式都是222
a b c +=的特列或者变形，渗透了转化思想.
活动三（拓展延伸）
问题1. 现在你能帮考古学家将表格中缺失的数据补齐吗？
问题2. 你有多少种不同的填法？
设计意图：运用探索出来的规律，发现有多种填法，并让学生体会到探究的价值.
问题3. 你认为含“9”的勾股数有多少组？应该怎么去继续探究？
设计意图：发现新的问题、升华思维，寻找新的方法，由前面几组公式的验证，希望学生能体会到勾股数的计算公式最终都是满足222
a b c +=，要想解决此问题，只要对公式222a b c +=进行变形利用，“9”是公式中的“a ”或“c ”也要分类讨论进行研究，若“9”是“c ”，则问题好解决；若“9”是“a ”，实际上问题可以转化成“222
9(c b)(c b)c b =-=+-”，最后转化成“81”的因数和方程组问题。

这一探索再次让学生感受到分类讨论思想和转化的数学思想。

（此部分只是让学生有所了解，不是本节课的重点.）
三、小结与思考
通过今天的学习你有怎样的收获？
相关知识拓展：
勾股数的很多有趣的性质：
1. 勾股数中的额三个数不能全是奇数.
2. 勾股数里的三个数要么全是偶数，要么只有一个偶数.
3. 大于2的任何一个整数都可以作为直角三角形的一条边长.
4. 如果一组勾股数中两个较大的数组相差1，那么这两个数的和就是第三个数的平方.
5. 如果两个较大的数相差2，那么这两个数中间所夹的整数是第三个数的一般的平方.
6. 所有的勾股数中至少有一个是3的倍数，至少有一个是4的倍数，至少有一个是5的倍数.
课后尝试与创新：
问题1. 是否存在这样的这样的4个整数a 、b 、c 、d 满足2222a b c d ++=？你能进行一番探索吗？试试看.
问题2. 如图1，已知四边形ABCD 是长方形，AC 为对角线，则有222AC BC AB =+,即AB 、BC 、AC 满足勾股定理.如图2， 1111D C B A ABCD -是长方体，图1中的
线段AB 、BC 、AC 分别对应图2中的面
11A ABB 、11B BCC 、11A ACC .若长方体
的面11A ABB 、11B BCC 、11A ACC 的面积分别用α、β、γ表示，则是否有222γ
βα=+仍然成立？请说明理由.。