吉林省蛟河市一中2020学年高二数学下学期第三次测试试题 理

吉林省蛟河市一中2020学年高二数学下学期第三次测试试题 理
一、选择题(本大题共12小题，每小题4分，共48分） 1．已知()()1i 12i z =-+，i 是虚数单位，则z =（ ） A ．1i -
B ．1i +
C ．3i +
D ．3i -
2．如图，要用三根数据线将四台电脑A ，B ，C ，D 连接起来以实现资源共享，则不同的连接方案种数为( )
A ．20
B ．16
C ．10
D ．8
3．已知随机变量ξ服从正态分布N (3，σ2
)，则P (ξ＜3)等于( )
A ．15
B ．14
C ．13
D ．12 4．三角形的面积为()1
2
S a b c r =
++⋅，其中a ，b ，c 为三角形的边长，r 为三角形内切圆的半径，则利用类比推理，可得出四面体的体积为（ ） A ．1
3V abc =
B ．1
3
V Sh =
C ．()1
3
V ab bc ca h =++，
（h 为四面体的高） D ．()12341
3
V S S S S r =
+++，
（1S ，2S ，3S ，4S 分别为四面体的四个面的面积，r 为四面体内切球的半径）
5．下列是x 与y 之间的一组数据：则y 关于x 的线性回归方程y ＝bx ＋a 对应的直线必过点( )
A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫32，4
B ．⎝ ⎛⎭
⎪⎫32，2 C ．(2,2) D ．(1,2) 6．已知函数()y xf x '=的图象如图所示(其中()f x '是函数()f x 的导函数)，则下面四个图象中，()y f x =的图象大致是（ ）
A ．
B ．
x 0 1 2 3
y 1 3 5 7
C ．
D ．
7．甲、乙、丙、丁四位同学参加一次数学智力竞赛，决出了第一名到第四名的四个名次．甲说：“我不是第一名”；乙说：“丁是第一名”；丙说：“乙是第一名”；丁说：“我不是第一名”．成绩公布后，发现这四位同学中只有一位说的是正确的，则获得第一名的同学为（ ） A ．甲
B ．乙
C ．丙
D ．丁
8．将三枚骰子各掷一次，设事件A 为“三个点数都不相同”，事件B 为“至少出现一个6点”，则概率P (A |B )的值为( )
A ．6091
B ．12
C ．518
D ．91216 9．某射手射击所得环数ξ的分布列为
已知ξ的均值Eξ＝8.9，则x ，y 的值分别为( ) A ．0.2,0.3
B ．0.3,0.4
C ．0.2,0.4
D ．0.4,0.2 10．如图，阴影部分的面积是（ ） A ．23
B ．23-
C ．
35
3
D ．
323
11．若函数()331f x x bx =-+在区间(]1,2内是减函数，b ∈R ，则（ ） A ．4b ≤ B ．4b < C ．4b ≥
D ．4b >
12．已知定义在R 上的可导函数()f x ，对于任意实数x 都有()()2f x f x x -=-成立，且当(],0x ∈-∞时，都有()21f x x '<+成立，若()()()2131f m f m m m <-++，则实数m 的取值范
围为（ ） A ．11,3⎛⎫- ⎪⎝⎭ B ．()1,0- C ．(),1-∞- D ．1,3⎛⎫
-+∞ ⎪⎝⎭
二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．请把正确答案填在题中的横线上) 13．曲线y ＝2ln x ＋x 2
－2x 在x ＝1处的切线方程为__________．
14．设(1＋x )＋(1＋x )2
＋(1＋x )3
＋…＋(1＋x )10
＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2
＋…＋a 10x 10
，则a 2的值是________．
15．将正整数有规律地排列如下： 1
2 3 4 5 6 7 8 9
10 11 12 13 14 15 16 ……………
则在此表中第45行第83列出现的数字是_______________
16．某射手射击1次，击中目标的概率是0.9，他连续射击4次，且他各次射击是否击中目标相互之间没有影响．有下列结论：
①他第3次击中目标的概率是0.9； ②他恰好击中目标3次的概率是0.93
×0.1； ③他至少击中目标1次的概率是1－0.14．
其中正确结论的序号是________．(写出所有正确结论的序号)
三、解答题：
17．（10分）知复数12i z m =-，复数21i z n =-，其中i 是虚数单位，m ，n 为实数． （1）若1n =，1z 为纯虚数，求 （2，求m ，n 的值．
18．（10分）已知函数()2ln f x bx a x =-在1x =处的切线方程为y x =． （1）求a ，b 的值；
（2）求()f x 的单调区间与极值．
19．(本小题满分12分)一个袋中装有若干个大小相同的黑球、白球和红球．已知从袋中任意摸出1个球，得到黑球的概率是25；从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是7
9
．
(1)若袋中共有10个球． ①求白球的个数；
②从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为X ，求随机变量X 的数学期望EX ． (2)试说明从袋中任意摸出2个球，至少得到1个黑球的概率不大于7
10，并指出袋中哪种
颜色的球的个数最少．
20．(本小题满分12分)2020年4月14日，某财经频道报道了某地建筑市场存在违规使用未经淡化海砂的现象．为了研究使用淡化海砂与混凝土耐久性是否达标有关，某大学实验室随机抽取了60个样本，得到了相关数据如下表：
(1)根据表中数据，求出s ，t 的值，利用独立性检验的方法判断，能否在犯错误的概率不超过1%的前提下认为使用淡化海砂与混凝土耐久性是否达标有关？
(2)若用分层抽样的方法在使用淡化海砂的样本中抽取了6个，现从这6个样本中任取2个，则取出的2个样本混凝土耐久性都达标的概率是多少？
参考数据：
P (χ2≥k )
0.10 0.050 0.025 0.010 0.001 k
2.706
3.841
5.024
6.635 10.828
参考公式：χ2
＝2a ＋b
c ＋
d a ＋c
b ＋d
．
21(本小题满分12分)．已知函数()2e 2e 4x x f x x =--． （1）求()f x 的单调区间；
（2）当0x >时，()()e 41x af x a x <-+恒成立，求a 的取值范围．
答案 1．【答案】D
【解析】由()()1i 12i 3i z =-+=+，∴D ．
2解析：画一个正方形和它的两条对角线，在这6条线段中，选3条的选法有C 3
6＝20种．其中，组成直角三角形的三条线段不能将四台电脑全部连接起来，这样的直角三角形有4个，故不同的连接方案共有C 3
6－4＝16种．
答案：B
3.解析：由正态分布图像知，x ＝μ＝3为该图像的对称轴，则P (ξ＜3)＝P (ξ＞3)＝12
．
答案：D
4．【解析】设四面体的内切球的球心为O ，则球心O 到四个面的距离都是r ，
根据三角形的面积的求解方法：分割法，将O 与四顶点连起来，可得四面体的体积等于以O 为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和，
D ．
【答案】D 5.解析：⎝ ⎛⎭⎪⎫32，4为样本点的中心，一定在回归直线上． 答案：A 6．【答案】C
【解析】由()y xf x '=的图象可得：
当1x >时，()0xf x '>，∴()0f x '>，即函数()y f x =单调递增； 当01x <<时，()0xf x '<，∴()0f x '<，即函数()y f x =单调递减； 当10x -<<时，()0xf x '>，∴()0f x '<，即函数()y f x =单调递减； 当1x <-时，()0xf x '<，∴()0f x '>，即函数()y f x =单调递增； 观察选项，可得C 选项图像符合题意．故选C ． 7．【答案】A
【解析】当甲获得第一名时，甲、乙、丙说的都是错的，丁说的是对的，符合条件； 当乙获得第一名时，甲、丙、丁说的都是对的，乙说的是错的，不符合条件； 当丙获得第一名时，甲和丁说的是对的，乙和丙说的是错的，不符合条件； 当丁获得第一名时，甲、乙说的都是对的，乙、丁说的都是错的，不符合条件．
故选A ．
8.解析：事件B 的实验结果共有63
－53
＝91种．事件AB 的试验结果有C 13C 15C 1
4＝60种．
∴P (A |B )＝
P (AB )P (B )＝n (AB )n (B )＝60
91
． 9.解析：由题意得
⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＋0.1＋0.3＋y ＝1，7x ＋0.1×8＋0.3×9＋10y ＝8.9⇒⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝0.2，
y ＝0.4.
答案：C 10．【答案】D
D ． 11．【答案】C
【解析】()331f x x bx =-+，()233f x x b '=-， ∵函数()331f x x bx =-+在区间(]1,2内是减函数，
∴导函数()233f x x b '=-在区间(]1,2内小于等于0，即4b ≥，故选C ． 12．【答案】A
【解析】令()()2g x f x x x =--，则()()()()220g x g x f x x x f x x x --=--+-++=， ∴()()g x g x -=，∴函数()g x 为R 上的偶函数．
∵当(],0x ∈-∞时，都有()21f x x '<+成立，∴()()210g x f x x '='--<， ∴函数()g x 在(],0x ∈-∞上单调递减，在[)0,+∞上单调递增．
()()()2131f m f m m m <-++，即()()()()2
2242111f m m m f m m m -<------，
∴()()21g m g m <-，因此 ，化为23210m m +-<，解得A ． 13.解析：当x ＝1时，y ＝－1.又y ′＝2
x
＋2x －2，于是k ＝y ′|x ＝1＝2.故切线方程为y ＋1＝
2(x －1)，即2x －y －3＝0.
答案：2x －y －3＝0
14.解析：a 2即所有x 2
项的系数和，
∴a 2＝C 22＋C 23＋C 24＋…＋C 2
10＝165． 答案：165 15．【答案】2020
【解析】依题意可知第n 行有21n -个数字，
前n 行的数字个数为()213521n n ++++-=个，可得前44行共244个， ∵2441936=，即第44行最后一个数为1936，
∴第45行第83列出现的数字是1936832019+=，故答案为2020
16.解析：“射手射击1次，击中目标的概率是0.9”是指射手每次射击击中目标的概率都是0.9，由于他各次射击是否击中目标相互之间没有影响，因此他在连续射击4次时，第1次、第2次、第3次、第4次击中目标的概率都是0.9，①正确；“他恰好击中目标3次”是在4次独立重复试验中有3次发生，其概率是C 3
4×0.93
×0.1，②不正确；“他至少击中目标1次”的反面是“1次也没有击中”，而“1次也没有击中”的概率是0.14
，故至少击中目标1次的概率是1－0.14
，③正确．
答案：①③
17．【答案】（1（2）0m =，1n =-．
【解析】（1）∵12i z m =-为纯虚数，∴0m =， ..............2分 又1n =，∴12i z =-，21i z =-，从而1213i z z +=-， .............4分 因此
..................................
.....5分 （2，∴()2
2i 1i m n -=+，即()22i 12i m n n -=-+，.................7分
又m ，n 为实数，∴2122m n n ⎧=-⎨-=⎩
，解得
1m n =⎧⎨=-⎩
． .......................................10分 18．【答案】（1）11a b =⎧⎨=⎩；（2）()f x 的单增区间为，()f x 的单减区间为
，()f x 无极大值． 【解析】（1，根据题设得方程组121b b a =⎧⎨
-=⎩
， 解得1
1
a b =⎧⎨=⎩．..................................5分
（2）由（1
， (7)
分 时，()0f x '<，当时，()0f x '>， ∴()f x 的单增区间为，()f x 的单减区间为............9分
........................11分 ()f x 无极大值．........12分
19.解：(1)①记“从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球”为事件A ，设袋中白球的个数为x ，
则P (A )＝1－C 2
10－x C 210＝7
9，解得x ＝5，所以白球有5
个．................................3分
②随机变量X 的所有可能取值为0,1,2,3，分布列是
4
错.............................................................6分
所以X 的数学期望为EX ＝112×0＋512×1＋512×2＋1
12×3＝
3
2
．..................................8分 (2)设袋中有n 个球，其中有y 个黑球，由题意得y ＝25n ，所以2y <n,2y ≤n －1.所以
y
n －1≤1
2
． 记“从袋中任意摸出2个球，至少得到1个黑球”为事件B ，则P (B )＝25＋35×y n －1≤2
5＋
35×12＝710.所以白球的个数比黑球多，白球的个数多于25n ，红球的个数少于n
5，所以袋中红球的个数最少．......................................12分
20.解：(1)s ＝30－15＝15，t ＝30－25＝5．.................................3分
由已知数据可求得χ2
＝60×(25×15－5×15)
2
30×30×40×20
＝
7.5>6.635． .........................5分
因此，能在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为使用淡化海砂与混凝土耐久性是否达标有关． ................................6分
(2)用分层抽样的方法在使用淡化海砂的样本中抽取了6个，其中应抽取“混凝土耐久性达标”的个数为25
30
×6＝5． ........................7分
“混凝土耐久性不达标”的个数为1． ................8分
“混凝土耐久性达标”的记为A 1，A 2，A 3，A 4，A 5，“混凝土耐久性不达标”的记为B ． 从这6个样本中任取2个，共有15种可能．..............................9分 设“取出的2个样本混凝土耐久性都达标”为事件A ，它的对立事件为“取出的2个样本至少有一个混凝土耐久性不达标”，包含(A 1，B )，(A 2，B )，(A 3，B )，(A 4，B )，(A 5，B )，共5种可能， ......................10分
所以P (A )＝1－P ()＝1－515＝2
3
.......................11分
故取出的2个样本混凝土耐久性都达标的概率是2
3
．.............12分
21．【答案】（1）函数()f x 在(),ln 2-∞上单调递减，在()ln 2,+∞上单调递增；（2）[]1,0-． 【解析】（1）()()()22e 2e 42e 2e 2x x x x f x =--=+-'，................2分
.令()0f x '=，解得ln2x =，.... ................3分 当(),ln 2x ∈-∞，()0f x '<，则函数()f x 在(),ln 2-∞上单调递减；...............4分 当()ln 2,x ∈+∞，()0f x '>，则函数()f x 在()ln 2,+∞上单调递增． ...............5分
（2）令()()()()2e 41e 21e x x x g x af x a x a a x =-++=-++，................6分 根据题意， 当()0,x ∈+∞时，()0g x <恒成立．
()()()()22e 21e 12e 1e 1x x x x g x a a a =-++=--'．.....................7分 ，()ln 2,x a ∈-+∞时，()0g x '>恒成立， ∴()g x 在()ln 2,a -+∞上是增函数，且()()()ln 2,g x g a ∈-+∞，∴不符合题意；..........8分 ，()0,x ∈+∞时，()0g x '>恒成立， ∴()g x 在()0,+∞上是增函数，且()()()0,g x g ∈+∞，∴不符合题意；..................9分 ③当0a ≤时，∵()0,x ∈+∞，∴恒有()0g x '<，故()g x 在()0,+∞上是减函数， 于是“()0g x '<对任意()0,x ∈+∞都成立”的充要条件是()00g ≤， 即()210a a -+≤，解得1a ≥-，故10a -≤≤． ...............11分 综上，a 的取值范围是[]1,0-． ....................12分。