2020-2021学年广东省深圳高级中学八年级上学期期中数学试卷 (解析版)

2020-2021学年广东省深圳高级中学八年级第一学期期中数学试
卷
一、选择题（共12小题）.
1．（3分）新冠疫情发生以来，各地根据教育部“停课不停教，停课不停学”的相关通知精神，积极开展线上教学．下列在线学习平台的图标中，是轴对称图形的是（）
A．B．
C．D．
2．（3分）已知地球上海洋面积约为316 000 000km2，数据316 000 000用科学记数法可表示为（）
A．3.16×109B．3.16×107C．3.16×108D．3.16×106
3．（3分）下列各式中，计算正确的是（）
A．8a﹣3b＝5ab B．（a2）3＝a5C．a8÷a4＝a2D．a2•a＝a3 4．（3分）若二次根式在实数范围内有意义，则a的取值范围是（）A．a＞2B．a≤2C．a≠2D．a≥2
5．（3分）△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，由下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是（）
A．∠A+∠B＝∠C B．∠A：∠B：∠C＝1：2：3
C．a2＝c2﹣b2D．a：b：c＝3：4：6
6．（3分）若点A（1+m，1﹣n）与点B（﹣3，2）关于x轴对称，则m+n的值是（）A．﹣1B．﹣3C．1D．3
7．（3分）一次函数y1＝ax+b与一次函数y2＝bx﹣a在同一平面直角坐标系中的图象大致是（）
A．B．
C．D．
8．（3分）如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离BC为0.7米，梯子顶端到地面的距离AC为2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子顶端到地面的距离A'D为1.5米，则小巷的宽为（）
A．2.5米B．2.6米C．2.7米D．2.8米
9．（3分）若方程组的解满足x+y＝0，则a的值为（）A．﹣1B．1C．0D．无法确定10．（3分）如图，所有的四边形是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形边长为13cm，则图中所有的正方形的面积之和为（）
A．169cm2B．196cm2C．338cm2D．507cm2
11．（3分）若a＝1+，b＝1﹣，则代数式的值为（）A．3B．±3C．5D．9
12．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，AD＝3cm，点E是AB的中点，点P沿E ﹣A﹣D﹣C以1cm/s的速度运动，连接CE、PE、PC，设△PCE的面积为ycm2，点P运动的时间为t秒，则y与x的函数图象大致为（）
A．B．
C．D．
二、填空题：（每小题3分，共计12分）
13．（3分）计算：＝．
14．（3分）如图，教室的墙面ADEF与地面ABCD垂直，点P在墙面上．若PA＝AB＝5，点P到AD的距离是3，有一只蚂蚁要从点P爬到点B，它的最短行程是．
15．（3分）若实数a，b，c对应的点在数轴上的位置如图所示．请化简：+|a+b|﹣|c ﹣b|＝．
16．（3分）如图在△ABC，△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，点C，D，E三点在同一条直线上，连接BD，BE．以下四个结论：
①BD＝CE；②BD⊥CE；③∠ACE+∠DBC＝45°；④BE2＝2（AD2+AB2），
其中结论正确的是．
三、解答题：（共计52分，17题5分，18题6分，19题7分，20，21题每题8分，22，23每题9分）
17．（5分）计算：（π﹣3.14）0+（）﹣2﹣|1﹣|+．
18．（6分）解方程组：
（1）；
（2）．
19．（7分）如图所示，在直角坐标系xOy中，A（3，4），B（1，2），C（5，1）．（1）作出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1；
（2）写出△A1B1C1的顶点坐标；
（3）求出△ABC的面积．
20．（8分）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，D为AC边上一点，连接BD，将△ABC沿BD折叠，顶点C恰好落在边AB上的点E处，若AC＝2，BC＝1，求CD的长．
21．（8分）已知：一次函数图象如图：
（1）求一次函数的解析式；
（2）若点P为该一次函数图象上一动点，且点A为该函数图象与x轴的交点，若S△OAP ＝2，求点P的坐标．
22．（9分）甲、乙两人在净月大街上同起点、同终点、同方向匀速步行2400米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发4分钟，在整个步行过程中，甲、乙两人间的距离y（米）与甲出发的时间x（分）之间的关系如图中折线OA﹣AB﹣BC﹣CD所示．
（1）甲的速度为米/分，乙的速度为米/分．
（2）求线段AB的表达式，并写出自变量x的取值范围．
（3）求乙比甲早几分钟到达终点？
23．（9分）模型建立：如图1，等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，直线ED经过点C，过A作AD⊥ED于D，过B作BE⊥ED于E．
求证：△BEC≌△CDA．
模型应用：
（1）已知直线l1：y＝x+4与y轴交于A点，将直线l1绕着A点顺时针旋转45°至l2，如图2，求l2的函数解析式．
（2）如图3，矩形ABCO，O为坐标原点，B的坐标为（8，6），A、C分别在坐标轴上，P是线段BC上动点，设PC＝m，已知点D在第一象限，且是直线y＝2x﹣6上的一点，若△APD是不以A为直角顶点的等腰Rt△，请直接写出点D的坐标．
参考答案
一、选择题：（每小题3分，共计36分）
1．（3分）新冠疫情发生以来，各地根据教育部“停课不停教，停课不停学”的相关通知精神，积极开展线上教学．下列在线学习平台的图标中，是轴对称图形的是（）
A．B．
C．D．
解：四个图形中是轴对称图形的只有A选项，
故选：A．
2．（3分）已知地球上海洋面积约为316 000 000km2，数据316 000 000用科学记数法可表示为（）
A．3.16×109B．3.16×107C．3.16×108D．3.16×106
解：316 000 000用科学记数法可表示为3.16×108，
故选：C．
3．（3分）下列各式中，计算正确的是（）
A．8a﹣3b＝5ab B．（a2）3＝a5C．a8÷a4＝a2D．a2•a＝a3
解：A、8a与3b不是同类项，故不能合并，故选项A不合题意；
B、（a2）3＝a6，故选项B不合题意；
C、a8÷a4＝a4，故选项C不符合题意；
D、a2•a＝a3，故选项D符合题意．
故选：D．
4．（3分）若二次根式在实数范围内有意义，则a的取值范围是（）A．a＞2B．a≤2C．a≠2D．a≥2
解：依题意，得
a﹣2≥0，
解得，a≥2．
故选：D．
5．（3分）△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，由下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是（）
A．∠A+∠B＝∠C B．∠A：∠B：∠C＝1：2：3
C．a2＝c2﹣b2D．a：b：c＝3：4：6
解：A、∠A+∠B＝∠C，又∠A+∠B+∠C＝180°，则∠C＝90°，是直角三角形；
B、∠A：∠B：∠C＝1：2：3，又∠A+∠B+∠C＝180°，则∠C＝90°，是直角三角形；
C、由a2＝c2﹣b2，得a2+b2＝c2，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形；
D、32+42≠62，不符合勾股定理的逆定理，不是直角三角形．
故选：D．
6．（3分）若点A（1+m，1﹣n）与点B（﹣3，2）关于x轴对称，则m+n的值是（）A．﹣1B．﹣3C．1D．3
解：∵点A（1+m，1﹣n）与点B（﹣3，2）关于x轴对称，
∴1+m＝﹣3，1﹣n＝﹣2，
解得：m＝﹣4，n＝3，
则m+n＝﹣1，
故选：A．
7．（3分）一次函数y1＝ax+b与一次函数y2＝bx﹣a在同一平面直角坐标系中的图象大致是（）
A．B．
C．D．
解：A、由y1的图象可知，a＞0，b＞0；由y2的图象可知，b＜0，﹣a＞0，即a＜0，两结论矛盾，故错误；
B、由y1的图象可知，a＞0，b＜0；由y2的图象可知，b＜0，﹣a＞0，即a＜0，两结论
矛盾，故错误；
C、由y1的图象可知，a＜0，b＜0；由y2的图象可知，b＜0，﹣a＜0，即a＞0，两结论
相矛盾，故错误；
D、由y1的图象可知，a＞0，b＞0；由y2的图象可知，b＞0，﹣a＜0，即a＞0，两结论
符合，故正确．
故选：D．
8．（3分）如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离BC为0.7米，梯子顶端到地面的距离AC为2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子顶端到地面的距离A'D为1.5米，则小巷的宽为（）
A．2.5米B．2.6米C．2.7米D．2.8米
解：在Rt△ABC中，
AB＝＝＝2.5（米），
∴A′B＝2.5米，
在Rt△A′BD中，
BD＝＝＝2（米），
∴BC+BD＝2+0.7＝2.7（米），
故选：C．
9．（3分）若方程组的解满足x+y＝0，则a的值为（）A．﹣1B．1C．0D．无法确定
解：方程组两方程相加得：4（x+y）＝2+2a，即x+y＝（1+a），
由x+y＝0，得到（1+a）＝0，
解得：a＝﹣1．
故选：A．
10．（3分）如图，所有的四边形是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形边长为13cm，则图中所有的正方形的面积之和为（）
A．169cm2B．196cm2C．338cm2D．507cm2
解：如右图所示，
根据勾股定理可知，
S正方形2+S正方形3＝S正方形1，
S正方形C+S正方形D＝S正方形，
S正方形A+S正方形E＝S正方形2，
∴S正方形C+S正方形D+S正方形A+S正方形E＝S正方形1，
则S正方形1+正方形2+S正方形3+S正方形C+S正方形D+S正方形A+S正方形E＝3S正方形1＝3×132＝3×169＝507（cm2）．
故选：D．
11．（3分）若a＝1+，b＝1﹣，则代数式的值为（）A．3B．±3C．5D．9
解：原式＝＝＝＝3．
故选：A．
12．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，AD＝3cm，点E是AB的中点，点P沿E ﹣A﹣D﹣C以1cm/s的速度运动，连接CE、PE、PC，设△PCE的面积为ycm2，点P运动的时间为t秒，则y与x的函数图象大致为（）
A．B．
C．D．
解：∵点E是AB的中点，
∴AE＝3cm，
当点P在AE上时，y＝×3×t＝t，
当点P在AD上时，
y＝×（3+6）×3﹣×3×（t﹣3）﹣×6×（6﹣t）＝，
当点P在CD上时，
y＝×（12﹣t）×3＝18﹣t，
故选：C．
二、填空题：（每小题3分，共计12分）
13．（3分）计算：＝1．
解：原式＝[（+2）（﹣2）]2020
＝（3﹣4）2020
＝1．
故答案为1．
14．（3分）如图，教室的墙面ADEF与地面ABCD垂直，点P在墙面上．若PA＝AB＝5，
点P到AD的距离是3，有一只蚂蚁要从点P爬到点B，它的最短行程是4．
解：如图，∵AG＝3，AP＝AB＝5，
∴PG＝4，
∴BG＝8，
∴PB＝＝4．
故这只蚂蚁的最短行程应该是4．
故答案为：4．
15．（3分）若实数a，b，c对应的点在数轴上的位置如图所示．请化简：+|a+b|﹣|c ﹣b|＝c．
解：根据数轴上点的位置得：c＜a＜0＜b，且|a|＜|c|＜|b|，
∴a+b＞0，c﹣b＜0，
则原式＝|a|+|a+b|﹣|c﹣b|
＝﹣a+a+b+c﹣b
＝c．
故答案为：c．
16．（3分）如图在△ABC，△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，点C，D，E三点在同一条直线上，连接BD，BE．以下四个结论：
①BD＝CE；②BD⊥CE；③∠ACE+∠DBC＝45°；④BE2＝2（AD2+AB2），
其中结论正确的是①②③．
解：①∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC+∠DAC＝∠DAE+∠DAC，
即∠BAD＝∠CAE．
在△ABD和△ACE中
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD＝CE．故①正确；
∵△ABD≌△ACE，
∴∠ABD＝∠ACE．
∵∠CAB＝90°，
∴∠ABD+∠AFB＝90°，
∴∠ACE+∠AFB＝90°．
∵∠DFC＝∠AFB，
∴∠ACE+∠DFC＝90°，
∴∠FDC＝90°．
∴BD⊥CE；故②正确；
③∵∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴∠ABC＝45°，
∴∠ABD+∠DBC＝45°．
∴∠ACE+∠DBC＝45°，故③正确；
④∵BD⊥CE，
∴BE2＝BD2+DE2．
∵∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，∴DE2＝2AD2，BC2＝2AB2．
∵BC2＝BD2+CD2≠BD2，
∴2AB2＝BD2+CD2≠BD2，
∴BE2≠2（AD2+AB2）．故④错误．
故答案为：①②③．
三、解答题：（共计52分，17题5分，18题6分，19题7分，20，21题每题8分，22，23每题9分）
17．（5分）计算：（π﹣3.14）0+（）﹣2﹣|1﹣|+．
解：原式＝1+9﹣（﹣1）+2
＝1+9﹣+1+2
＝11+．
18．（6分）解方程组：
（1）；
（2）．
解：（1），
把②代入①得：2x﹣3（x﹣1）＝6，
去括号得：2x﹣x+3＝6，
解得：x＝3，
把x＝3代入①得：y＝0，
则方程组的解为；
（2），
①+②得：8x＝16，
解得：x＝2，
把x＝2代入①得：y＝2，
则方程组的解为．
19．（7分）如图所示，在直角坐标系xOy中，A（3，4），B（1，2），C（5，1）．（1）作出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1；
（2）写出△A1B1C1的顶点坐标；
（3）求出△ABC的面积．
解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；
（2）由图可知，A1（﹣3，4），B1（﹣1，2），C1（﹣5，1）；
（3）S△ABC＝4×3﹣×4×1﹣×2×2﹣×2×3＝12﹣2﹣2﹣3＝5．
20．（8分）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，D为AC边上一点，连接BD，将△ABC沿BD折叠，顶点C恰好落在边AB上的点E处，若AC＝2，BC＝1，求CD的长．
解：由折叠及对称性可得：BE＝BC＝1，DE＝DC，∠DEA＝∠C＝90°，
在Rt△ABC中，根据勾股定理，可得：AB＝，
则AE＝，
在Rt△ADE中，根据勾股定理，AD2＝DE2+AE2，
即，
解得：CD＝．
21．（8分）已知：一次函数图象如图：
（1）求一次函数的解析式；
（2）若点P为该一次函数图象上一动点，且点A为该函数图象与x轴的交点，若S△OAP ＝2，求点P的坐标．
解：（1）设一次函数解析式为y＝kx+b，
把（﹣2，3）、（2，﹣1）分别代入得，解得，
所以一次函数解析式为y＝﹣x+1；
（2）当y＝0时，﹣x+1＝0，解得x＝1，则A（1，0），
设P（t，﹣t+1），
因为S△OAP＝2，
所以×1×|﹣t+1|＝2，解得t＝﹣3或t＝5，
所以P点坐标为（﹣3，4）或（5，﹣4）．
22．（9分）甲、乙两人在净月大街上同起点、同终点、同方向匀速步行2400米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发4分钟，在整个步行过程中，甲、乙两人间的距离y（米）与甲出发的时间x（分）之间的关系如图中折线OA﹣AB﹣BC﹣CD所示．
（1）甲的速度为60米/分，乙的速度为80米/分．
（2）求线段AB的表达式，并写出自变量x的取值范围．
（3）求乙比甲早几分钟到达终点？
解：（1）由线段OA可知：甲的速度为：＝60（米/分），
乙的步行速度为：＝80（米/分），
故答案为：60；80．
（2）根据题意得：
设线段AB的表达式为：y＝kx+b（4≤x≤16），
把（4，240），（16，0）代入得：
，解得，
即线段AB的表达式为：y＝﹣20x+320 （4≤x≤16）．
（3）在B处甲乙相遇时，与出发点的距离为：240+（16﹣4）×60＝960（米），
与终点的距离为：2400﹣960＝1440（米），
相遇后，到达终点甲所用的时间为：＝24（分），
相遇后，到达终点乙所用的时间为：＝18（分），
24﹣18＝6（分），
答：乙比甲早6分钟到达终点．
23．（9分）模型建立：如图1，等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，直线ED经过点C，过A作AD⊥ED于D，过B作BE⊥ED于E．
求证：△BEC≌△CDA．
模型应用：
（1）已知直线l1：y＝x+4与y轴交于A点，将直线l1绕着A点顺时针旋转45°至l2，如图2，求l2的函数解析式．
（2）如图3，矩形ABCO，O为坐标原点，B的坐标为（8，6），A、C分别在坐标轴上，P是线段BC上动点，设PC＝m，已知点D在第一象限，且是直线y＝2x﹣6上的一点，若△APD是不以A为直角顶点的等腰Rt△，请直接写出点D的坐标．
【解答】（1）证明：∵△ABC为等腰直角三角形，
∴CB＝CA，
又∵AD⊥CD，BE⊥EC，
∴∠D＝∠E＝90°，∠ACD+∠BCE＝180°﹣90°＝90°，
又∵∠EBC+∠BCE＝90°，
∴∠ACD＝∠EBC，
在△ACD与△CBE中，
，
∴△ACD≌△EBC（AAS）；
（2）解：过点B作BC⊥AB于点B，交l2于点C，过C作CD⊥x轴于D，如图1，∵∠BAC＝45°，
∴△ABC为等腰Rt△，
由（1）可知：△CBD≌△BAO，
∴BD＝AO，CD＝OB，
∵直线l1：y＝x+4，
∴A（0，4），B（﹣3，0），
∴BD＝AO＝4．CD＝OB＝3，
∴OD＝4+3＝7，
∴C（﹣7，3），
设l2的解析式为y＝kx+b（k≠0），
∴，
∴，
∴l2的解析式：y＝x+4；
（3）当点D位于直线y＝2x﹣6上时，分两种情况：
①点D为直角顶点，分两种情况：
当点D在矩形AOCB的内部时，过D作x轴的平行线EF，交直线OA于E，交直线BC 于F，设D（x，2x﹣6）；
则OE＝2x﹣6，AE＝6﹣（2x﹣6）＝12﹣2x，DF＝EF﹣DE＝8﹣x；
则△ADE≌△DPF，得DF＝AE，即：
12﹣2x＝8﹣x，x＝4；
∴D（4，2）；
当点D在矩形AOCB的外部时，设D（x，2x﹣6）；
则OE＝2x﹣6，AE＝OE﹣OA＝2x﹣6﹣6＝2x﹣12，DF＝EF﹣DE＝8﹣x；
同1可知：△ADE≌△DPF，
∴AE＝DF，即：2x﹣12＝8﹣x，x＝；
∴D（，）；
②点P为直角顶点，显然此时点D位于矩形AOCB的外部；
设点D（x，2x﹣6），则CF＝2x﹣6，BF＝2x﹣6﹣6＝2x﹣12；同（1）可得，△APB≌△PDF，
∴AB＝PF＝8，PB＝DF＝x﹣8；
∴BF＝PF﹣PB＝8﹣（x﹣8）＝16﹣x；
联立两个表示BF的式子可得：
2x﹣12＝16﹣x，即x＝；
∴D（，）；
综合上面六种情况可得：存在符合条件的等腰直角三角形；
且D点的坐标为：（4，2），（，），（，）．。