2020年辽宁省沈阳市第三十五中学高二数学文上学期期末试卷含解析

2020年辽宁省沈阳市第三十五中学高二数学文上学期期末试卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 若a＞b＞0，则a2+的最小值为( )
A．2 B．3 C．4 D．5
参考答案：
C
【考点】基本不等式．
【专题】不等式的解法及应用．
【分析】由基本不等式可得b（a﹣b）≤，再次利用基本不等式可得
a2+≥a2+≥2=4，注意两次等号同时取到即可．
【解答】解：∵a＞b＞0，∴a﹣b＞0，
∴b（a﹣b）≤=，
∴a2+≥a2+≥2=4，
当且仅当b=a﹣b且a2=即a=且b=时取等号，
∴则a2+的最小值为4，
故选：C．
【点评】本题考查基本不等式求最值，注意两次等号成立的条件是解决问题的关键，属基础题．
2. 若双曲线﹣=1的离心率为，则此双曲线的渐近线方程为（）
A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±x
参考答案：A
【考点】KC：双曲线的简单性质．
【分析】利用双曲线的离心率列出方程，求出m，然后求解双曲线的渐近线方程即可．
【解答】解：双曲线﹣=1的离心率为，e==，可得，解得m=，∴=，
则此双曲线的渐近线方程为：y=±x．
故选：A．
3. 已知向量，则等于( )
A． B． C．25
D．5
参考答案：
D
4. 曲线在点处的切线方程为（）．
A． B． C． D．
参考答案：
B
5. 过抛物线的焦点且斜率为1的直线截抛物线所得的弦长为
A. 8
B. 6
C. 4
D. 10
参考答案：
A
略
6. 右图是函数的部分图象，则函数的零点所在的区间是
（）
A．B．C． D．
参考答案：
B
7. 已知一个空间几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸 (单位：cm)，可得这个几何体的体积为___cm3. ( )
A． B． C． D．
参考答案：
D
8. 若复数z=（a∈R，i是虚数单位）是纯虚数，则复数z的共轭复数是（）
A． i B．﹣ i C．3i D．﹣3i
参考答案：
D
【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．
【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简z=，结合已知条件列出方程组，求解可得a的值，然后代入z=化简求出复数z，则复数z的共轭复数可求．
【解答】解：∵z===是纯虚数，
∴，解得a=6．
∴z==．
则复数z的共轭复数是：﹣3i．
故选：D．
9. 设2=3，2=6，2=12，则数列a,b,c是（）
（A）是等差数列，但不是等比数列（B）是等比数列，但不是等差数列（C）既是等差数列，又是等比数列（D）非等差数列，又非等比数列
参考答案：
A
10. 在平面直角坐标系中，已知A（1，﹣2），B（3，0），那么线段AB中点的坐标为（）A．（2，﹣1）B．（2，1）C．（4，﹣2）D．（﹣1，2）
参考答案：
A
【考点】中点坐标公式．
【专题】计算题．
【分析】将已知两个点的坐标代入中点坐标公式，进行计算可得答案．
【解答】解：在平面直角坐标系中，已知A（1，﹣2），B（3，0），
代入中点坐标公式，
求出线段AB中点的坐标为，
故段AB中点的坐标为（2，﹣1），
故选 A、
【点评】本题考查线段的中点坐标公式的应用，要注意公式中各量的集合意义．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 如果函数是定义在上的奇函数, 则的值
为
参考答案：
-1
12. 设数列{a n}的前n项和为S n．若S n=2a n﹣n，则+++=
．
参考答案：
【分析】S n =2a n ﹣n，n≥2时，a n =S n ﹣S
n ﹣
1
，化为：a n +1=2（a n﹣1+1），n=1时，a1=2a1﹣1，解得a1．利
用等比数列的通项公式可得a n=2n﹣1，于是==．利用裂项求和方法即可得出．
【解答】解：∵S n=2a n﹣n，∴n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=2a n﹣n﹣[2a n﹣1﹣（n﹣1）]，∴a n=2a n﹣1+1，化为：a n+1=2（a n﹣1+1），
n=1时，a1=2a1﹣1，解得a1=1．
∴数列{a n+1}是等比数列，首项为2，公比为2．
∴a n+1=2n，即a n=2n﹣1，
∴==．
∴+++=++…+=1﹣=．
故答案为：．
13. 若复数是纯虚数（是虚数单位，是实数），则▲ .
参考答案：
-2
略
14. 设幂函数的图像经过点(4,2)，则__________．
参考答案：由题意得
15. 已知200辆汽车在通过某一段公路的时速的频率分布直方图如图所示，则时速在[60，70]之间的汽车大约有辆.
参考答案：
80
略
16. 若直线ax－by＋1=0（a>0，b>0）经过圆的圆心，则的最小值为____________.
参考答案：
3+
略
17. 用秦九韶算法计算多项式当时的值时,至多需要做乘法和加法的次数分别是 _和
参考答案：
6 , 6
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 正方形的边长为1，分别取边的中点，连结，以
为折痕，折叠这个正方形，使点重合于一点，得到一个四面体，如下图所示。

（1）求证：；
（2）求证：平面。

参考答案：
证明：（1）由是正方形，所以在原图中
折叠后有…………2分
所以
所以…………7分
（2）.由原图可知，
所以…………10分
又，所以…………14分
略
19. 已知.
（Ⅰ）求函数的单调递增区间；
（Ⅱ）在中，角所对的边分别为，若，，求的值．参考答案：
解：（Ⅰ）……3分∴由（）, 得，……5分
即函数的单调递增区间为
（）……6分
（Ⅱ）由得，∴，即，
……8分根据正弦定理，由，得，故
，……9分
∵，∴， ks5u……10分
∵，
∴……12分
略
20. （本小题满分12分）设函数．
（1）当时，求函数的定义域；（2）若函数的定义域为R，试求的取值范围．
参考答案：
解：（1）由题设知：，
如图，在同一坐标系中作出函数
和的图象（如图所示）, 知定义域为.……5分
（2）由题设知，当时，恒有，
即由（1），∴ .……12分
略
21. 在中，内角，，的对边分别是，，，且满足：. （Ⅰ）求角的大小；
（Ⅱ）若，求的最大值.
参考答案：
（Ⅰ）；（Ⅱ）2.
【分析】
（Ⅰ）运用正弦定理实现角边转化，然后利用余弦定理，求出角的大小；
（Ⅱ）方法1：由（II）及，利用余弦定理，可得，再利用基本不等式，可求出的最大值；
方法2：利用正弦定理实现边角转化，利用两角和的正弦公式和辅助角公式，利用正弦型函数的单调性，可求出的最大值；
【详解】（I）由正弦定理得：，
因为，所以，
所以由余弦定理得：，
又在中，，
所以.
（II）方法1：由（I）及，得
，即，
因为，（当且仅当时等号成立）
所以.
则（当且仅当时等号成立）
故的最大值为2. 方法2：由正弦定理得，，
则，
因为，所以，
故的最大值为2（当时）.
【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理、基本不等式，考查了二角和的正弦公式及辅助角公式，考查了数学运算能力.
22. 设函数，已知曲线在点处的切线方程是
．
（Ⅰ）求的值；并求出函数的单调区间；
（Ⅱ）求函数在区间上的最值．
参考答案：
解：（Ⅰ），，
.…………………………3分
，
令，得或；令，得
的递增区间为，
的递减区间为………………7分（Ⅱ）由（Ⅰ）知列表得
由表得当时，
又，略。