2021-2022年高三数学 第11课时 第二章 函数 函数的奇偶性专题复习教案
函数的奇偶性、周期性与对称性-备战2023年高考数学一轮复习考点微专题(新高考地区专用)(原卷版)
考向08 函数的奇偶性、周期性与对称性【2022年新高考全国Ⅰ卷】（多选题）已知函数()f x 及其导函数()'f x 的定义域均为R ，记()()g x f x '=，若322f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，(2)g x +均为偶函数，则（ ） A ．(0)0f = B ．102g ⎛⎫-= ⎪⎝⎭ C ．(1)(4)f f -=D ．(1)(2)g g -=【答案】BC 【解析】 【分析】转化题设条件为函数的对称性，结合原函数与导函数图象的关系，根据函数的性质逐项判断即可得解. 【详解】因为322f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，(2)g x +均为偶函数，所以332222f x f x ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即3322f x f x ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，(2)(2)g x g x +=-，所以()()3f x f x -=，(4)()g x g x -=，则(1)(4)f f -=，故C 正确；函数()f x ，()g x 的图象分别关于直线3,22x x ==对称，又()()g x f x '=，且函数()f x 可导，所以()()30,32g g x g x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，所以()(4)()3g x g x g x -==--，所以()(2)(1)g x g x g x +=-+=， 所以13022g g ⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()()112g g g -==-，故B 正确，D 错误；若函数()f x 满足题设条件，则函数()f x C +（C 为常数）也满足题设条件，所以无法确定()f x 的函数值，故A 错误.故选：BC. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是转化题干条件为抽象函数的性质，准确把握原函数与导函数图象间的关系，准确把握函数的性质（必要时结合图象）即可得解.【2022年新高考全国II 卷】已知函数()f x 的定义域为R ，且()()()(),(1)1f x y f x y f x f y f ++-==，则221()k f k ==∑（ ）A ．3-B ．2-C ．0D ．1【答案】A 【解析】 【分析】根据题意赋值即可知函数()f x 的一个周期为6，求出函数一个周期中的()()()1,2,,6f f f 的值，即可解出．【详解】因为()()()()f x y f x y f x f y ++-=，令1,0x y ==可得，()()()2110f f f =，所以()02f =，令0x =可得，()()()2f y f y f y +-=，即()()f y f y =-，所以函数()f x 为偶函数，令1y =得，()()()()()111f x f x f x f f x ++-==，即有()()()21f x f x f x ++=+，从而可知()()21f x f x +=--，()()14f x f x -=--，故()()24f x f x +=-，即()()6f x f x =+，所以函数()f x 的一个周期为6．因为()()()210121f f f =-=-=-，()()()321112f f f =-=--=-，()()()4221f f f =-==-，()()()5111f f f =-==，()()602f f ==，所以一个周期内的()()()1260f f f +++=．由于22除以6余4，所以()()()()()221123411213k f k f f f f ==+++=---=-∑．故选：A ．1.奇偶性技巧(1)函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称. (2)奇偶函数的图象特征.函数()f x 是偶函数⇔函数()f x 的图象关于y 轴对称； 函数()f x 是奇函数⇔函数()f x 的图象关于原点中心对称. (3)若奇函数()y f x =在0x =处有意义，则有(0)0f =； 偶函数()y f x =必满足()(||)f x f x =.(4)偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反；奇函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相同.(5)若函数()f x 的定义域关于原点对称，则函数()f x 能表示成一个偶函数与一个奇函数的和的形式.记1()[()()]2g x f x f x =+-，1()[()()]2h x f x f x =--，则()()()f x g x h x =+.(6)运算函数的奇偶性规律：运算函数是指两个（或多个）函数式通过加、减、乘、除四则运算所得的函数，如()(),()(),()(),()()f x g x f x g x f x g x f x g x +-⨯÷.对于运算函数有如下结论：奇±奇=奇；偶±偶=偶；奇±偶=非奇非偶； 奇()⨯÷奇=偶；奇()⨯÷偶=奇；偶()⨯÷偶=偶.(7)复合函数[()]y f g x =的奇偶性原来：内偶则偶，两奇为奇. (8)常见奇偶性函数模型奇函数：①函数1()()01x x a f x m x a +=≠-()或函数1()()1x x a f x m a -=+．②函数()()x x f x a a -=±-． ③函数2()log log (1)aa x m m f x x m x m +==+--或函数2()log log (1)a a x m m f x x m x m-==-++ ④函数2()log (1)a f x x x =+或函数2()log (1)a f x x x =+． 注意：关于①式，可以写成函数2()(0)1x m f x m x a =+≠-或函数2()()1x mf x m m R a =-∈+．偶函数：①函数()()x x f x a a -=±+． ②函数()log (1)2mx a mxf x a =+-． ③函数(||)f x 类型的一切函数． ④常数函数 2.周期性技巧()()()()211();()2()()()()2()()4()()2()()()()()2()()()2()()()(x R f x T f x T f x T f x T f x T f x T T f x f x f x T f x T T f x T f x T T f a x f a x b a f b x f b x f a x f a x af x f a x f a x b a f b x f b x f a ∈+=+=-+=+=-+=-+=--+=-⎧-⎨+=-⎩+=-⎧⎨⎩+=--⎧-⎨+=--⎩函数式满足关系（）周期为偶函数)()2()()()4()()()()()4()()()4()x f a x a f x f a x f a x b a f b x f b x f a x f a x a f x f a x f a x af x +=--⎧⎨⎩+=-⎧-⎨+=--⎩+=-⎧⎨⎩+=--⎧⎨⎩为奇函数为奇函数为偶函数3.函数的的对称性与周期性的关系（1）若函数()y f x =有两条对称轴x a =，()x b a b =<，则函数()f x 是周期函数，且2()T b a =-； （2）若函数()y f x =的图象有两个对称中心(,),(,)()a c b c a b <，则函数()y f x =是周期函数，且2()T b a =-；（3）若函数()y f x =有一条对称轴x a =和一个对称中心(,0)()b a b <，则函数()y f x =是周期函数，且4()T b a =-.4.对称性技巧（1）若函数()y f x =关于直线x a =对称，则()()f a x f a x +=-． （2）若函数()y f x =关于点()a b ，对称，则()()2f a x f a x b ++-=．（3）函数()y f a x =+与()y f a x =-关于y 轴对称，函数()y f a x =+与()y f a x =--关于原点对称．1.(1)如果一个奇函数()f x 在原点处有定义，即(0)f 有意义，那么一定有(0)0f =. (2)如果函数()f x 是偶函数，那么()(||)f x f x =.2.奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性3.函数周期性常用结论对()f x 定义域内任一自变量的值x : (1)若()()f x a f x +=-，则2(0)T a a =>. (2)若1()()f x a f x +=，则2(0)T a a =>. (3)若1()()f x a f x +=-，则2(0)T a a =>. 4.对称性的三个常用结论(1)若函数()y f x a =+是偶函数，则函数()y f x =的图象关于直线x a =对称.(2)若对于R 上的任意x 都有(2)()f a x f x -=或()(2)f x f a x -=+，则()y f x =的图象关于直线x a =对称.(3)若函数()y f x b =+是奇函数，则函数()y f x =的图象关于点(,0)b 中心对称. 5.两个奇偶函数四则运算的性质 （1）两个奇函数的和仍为奇函数； （2）两个偶函数的和仍为偶函数； （3）两个奇函数的积是偶函数； （4）两个偶函数的积是偶函数；（5）一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数。
高考数学复习考点知识与题型专题讲解6---函数的奇偶性、周期性与对称性
高考数学复习考点知识与题型专题讲解函数的奇偶性、周期性与对称性考试要求1.了解函数奇偶性的含义，结合三角函数，了解周期性与对称性及其几何意义.2.会依据函数的性质进行简单的应用．知识梳理1．函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数关于y轴对称奇函数一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数关于原点对称2.周期性(1)周期函数：一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D都有x＋T∈D，且f(x＋T)＝f(x)，那么函数y＝f(x)就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x )的最小正周期．常用结论1．奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性．2．函数周期性常用结论对f (x )定义域内任一自变量的值x ：(1)若f (x ＋a )＝－f (x )，则T ＝2a (a >0)．(2)若f (x ＋a )＝1f (x )，则T ＝2a (a >0)． 3．函数对称性常用结论(1)f (a －x )＝f (a ＋x )⇔f (－x )＝f (2a ＋x )⇔f (x )＝f (2a －x )⇔f (x )的图象关于直线x ＝a 对称．(2)f (a ＋x )＝f (b －x )⇔f (x )的图象关于直线x ＝a ＋b 2对称．f (a ＋x )＝－f (b －x )⇔f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，0对称． 思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若函数f (x )为奇函数，则f (0)＝0.(×)(2)若f (x )为奇函数，g (x )为偶函数，则y ＝f (x )g (x )为奇函数．(×)(3)若T 是函数f (x )的一个周期，则kT (k ∈N *)也是函数的一个周期．(√)(4)若函数f (x )满足f (2＋x )＝f (2－x )，则f (x )的图象关于直线x ＝2对称．(√)教材改编题1．下列函数中为偶函数的是()A．y＝x2sin x B．y＝x2cos xC．y＝|ln x|D．y＝2－x答案B解析根据偶函数的定义知偶函数满足f(－x)＝f(x)且定义域关于原点对称，A选项为奇函数；B选项为偶函数；C选项定义域为(0，＋∞)，不具有奇偶性；D选项既不是奇函数，也不是偶函数．2．若f(x)是定义在R上的周期为2的函数，当x∈[0,2)时，f(x)＝2－x，则f(2023)＝______.答案1 2解析∵f(x)的周期为2，∴f(2023)＝f(1)＝2－1＝1 2.3.设奇函数f(x)的定义域为[－5,5]，若当x∈[0,5]时，f(x)的图象如图所示，则不等式f(x)<0的解集为________．答案(－2,0)∪(2,5]解析由图象可知，当0<x<2时，f(x)>0；当2<x≤5时，f(x)<0，又f(x)是奇函数，∴当－2<x <0时，f (x )<0，当－5≤x <－2时，f (x )>0.综上，f (x )<0的解集为(－2,0)∪(2,5]．题型一 函数的奇偶性命题点1判断函数的奇偶性例1判断下列函数的奇偶性：(1)f (x )＝3－x 2＋x 2－3；(2)f (x )＝⎩⎨⎧ x 2＋x ，x <0，－x 2＋x ，x >0； (3)f (x )＝log 2(x ＋x 2＋1)．解(1)由⎩⎪⎨⎪⎧3－x 2≥0，x 2－3≥0，得x 2＝3，解得x ＝±3， 即函数f (x )的定义域为{－3，3}，从而f (x )＝3－x 2＋x 2－3＝0.因此f (－x )＝－f (x )且f (－x )＝f (x )，∴函数f (x )既是奇函数又是偶函数．(2)显然函数f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．∵当x <0时，－x >0，则f(－x)＝－(－x)2－x＝－x2－x＝－f(x)；当x>0时，－x<0，则f(－x)＝(－x)2－x＝x2－x＝－f(x)；综上可知，对于定义域内的任意x，总有f(－x)＝－f(x)成立，∴函数f(x)为奇函数．(3)显然函数f(x)的定义域为R，f(－x)＝log2[－x＋(－x)2＋1]＝log2(x2＋1－x)＝log2(x2＋1＋x)－1＝－log2(x2＋1＋x)＝－f(x)，故f(x)为奇函数．思维升华判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件(1)定义域关于原点对称，否则即为非奇非偶函数．(2)判断f(x)与f(－x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数))是否成立．命题点2函数奇偶性的应用例2(1)(2022·哈尔滨模拟)函数f(x)＝x(e x＋e－x)＋1在区间[－2,2]上的最大值与最小值分别为M，N，则M＋N的值为()A．－2B．0C．2D．4答案C解析依题意，令g(x)＝x(e x＋e－x)，显然函数g(x)的定义域为R，则g(－x)＝－x(e－x＋e x)＝－g(x)，即函数g(x)是奇函数，因此，函数g(x)在区间[－2,2]上的最大值与最小值的和为0，而f(x)＝g(x)＋1，则有M＝g(x)max＋1，N＝g(x)min＋1，于是得M＋N＝g(x)max＋1＋g(x)min＋1＝2，所以M＋N的值为2.(2)(2021·新高考全国Ⅰ)已知函数f(x)＝x3(a·2x－2－x)是偶函数，则a＝________.答案1解析方法一(定义法)因为f(x)＝x3(a·2x－2－x)的定义域为R，且是偶函数，所以f(－x)＝f(x)对任意的x∈R恒成立，所以(－x)3(a·2－x－2x)＝x3(a·2x－2－x)对任意的x∈R恒成立，所以x3(a－1)(2x＋2－x)＝0对任意的x∈R恒成立，所以a＝1.方法二(取特殊值检验法)因为f(x)＝x3(a·2x－2－x)的定义域为R，且是偶函数，所以f(－1)＝f (1)，所以－⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－2＝2a －12，解得a ＝1，经检验，f (x )＝x 3(2x －2－x )为偶函数，所以a ＝1.方法三(转化法)由题意知f (x )＝x 3(a ·2x －2－x )的定义域为R ，且是偶函数．设g (x )＝x 3，h (x )＝a ·2x －2－x ，因为g (x )＝x 3为奇函数，所以h (x )＝a ·2x －2－x 为奇函数，所以h (0)＝a ·20－2－0＝0，解得a ＝1，经检验，f (x )＝x 3(2x －2－x )为偶函数，所以a ＝1.教师备选1．已知函数f (x )＝9－x 2|6－x |－6，则函数f (x )() A ．既是奇函数也是偶函数B ．既不是奇函数也不是偶函数C ．是奇函数，但不是偶函数D ．是偶函数，但不是奇函数答案C解析由9－x 2≥0且|6－x |－6≠0，解得－3≤x ≤3且x ≠0，可得函数f (x )的定义域为{x |－3≤x ≤3且x ≠0}，关于原点对称，所以f (x )＝9－x 2|6－x |－6＝9－x 26－x －6＝9－x 2－x， 又f (－x )＝9－(－x )2x ＝－9－x 2－x ＝－f (x )， 所以f (x )是奇函数，但不是偶函数．2．若函数f (x )＝⎩⎨⎧ g (x )，x <0，2x －3，x >0为奇函数，则f (g (－1))＝________. 答案－1解析∵f (x )为奇函数且f (－1)＝g (－1)，∴f (－1)＝－f (1)＝－(－1)＝1，∴g (－1)＝1，∴f (g (－1))＝f (1)＝－1.思维升华 (1)利用函数的奇偶性可求函数值或求参数的取值，求解的关键在于借助奇偶性转化为求已知区间上的函数或得到参数的恒等式，利用方程思想求参数的值．(2)利用函数的奇偶性可画出函数在其对称区间上的图象，结合几何直观求解相关问题．跟踪训练1(1)(2021·全国乙卷)设函数f (x )＝1－x 1＋x ，则下列函数中为奇函数的是() A ．f (x －1)－1B ．f (x －1)＋1C ．f (x ＋1)－1D ．f (x ＋1)＋1答案B解析f(x)＝1－x1＋x＝2－(x＋1)1＋x＝21＋x－1，为保证函数变换之后为奇函数，需将函数y＝f(x)的图象向右平移一个单位长度，再向上平移一个单位长度，得到的图象对应的函数为y ＝f(x－1)＋1.(2)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0，f(x)＝2x－2x＋a，则a＝________；当x<0时，f(x)＝________.答案－1－2－x－2x＋1解析∵f(x)是定义在R上的奇函数，∴f(0)＝0，即1＋a＝0，∴a＝－1.∴当x≥0时，f(x)＝2x－2x－1，设x<0，则－x>0，∴f(－x)＝2－x－2(－x)－1＝2－x＋2x－1，又f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，∴－f(x)＝2－x＋2x－1，∴f(x)＝－2－x－2x＋1.题型二函数的周期性例3(1)(2022·重庆质检)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，对任意的实数x ，f (x －2)＝f (x ＋2)，当x ∈(0,2)时，f (x )＝x 2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫132等于() A ．－94B ．－14C.14D.94答案A解析由f (x －2)＝f (x ＋2)，知y ＝f (x )的周期T ＝4，又f (x )是定义在R 上的奇函数，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫8－32 ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝－94. (2)函数f (x )满足f (x )＝－f (x ＋2)，且f (1)＝2，则f (2023)＝________.答案－2解析f (x )＝－f (x ＋2)，∴f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )，∴f (x )的周期为4，∴f (2023)＝f (3)＝－f (1)＝－2.教师备选若函数f (x )＝⎩⎨⎧2－x ，x ≤0，f (x －1)－f (x －2)，x >0，则f (2023)＝________.答案－1解析当x>0时，f(x)＝f(x－1)－f(x－2)，①∴f(x＋1)＝f(x)－f(x－1)，②①＋②得，f(x＋1)＝－f(x－2)，∴f(x)的周期为6，∴f(2023)＝f(337×6＋1)＝f(1)＝f(0)－f(－1)＝20－21＝－1.思维升华(1)求解与函数的周期有关的问题，应根据题目特征及周期定义，求出函数的周期．(2)利用函数的周期性，可将其他区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题，转化到已知区间上，进而解决问题．跟踪训练2(1)(2022·安庆模拟)定义在R上的函数f(x)满足f(x＋6)＝f(x)，当－3≤x<－1时，f(x)＝－(x＋2)2，当－1≤x<3时，f(x)＝x，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2023)等于() A．336B．338C．337D．339答案B解析因为f(x＋6)＝f(x)，所以函数的周期T＝6，于是f(1)＝1，f(2)＝2，f(3)＝f(－3)＝－(－3＋2)2＝－1，f(4)＝f(－2)＝－(－2＋2)2＝0，f(5)＝f(－1)＝－1，f(6)＝f(0)＝0，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＋f(6)＝1，而2023＝6×337＋1，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2023)＝337×1＋1＝338.(2)函数f(x)满足f(x＋1)＝f(x－1)，且f(x)为定义在R上的奇函数，则f(2021)＋f(2022)＝________.答案0解析∵f(x＋1)＝f(x－1)，∴f(x)的周期为2，∴f(2021)＋f(2022)＝f(1)＋f(0)，又f(x)为定义在R上的奇函数，∴f(0)＝0，且f(－1)＝－f(1)，①又f(x)的周期为2，∴f(－1)＝f(1)，②由①②得f(1)＝0，∴f(2021)＋f(2022)＝0.题型三函数的对称性例4(1)已知函数f(x)的定义域为R，对任意x都有f(2＋x)＝f(2－x)，且f(－x)＝f(x)，则下列结论正确的是________．(填序号)①f(x)的图象关于直线x＝2对称；②f(x)的图象关于点(2,0)对称；③f(x)的周期为4；④y＝f(x＋4)为偶函数．答案①③④解析∵f(2＋x)＝f(2－x)，则f(x)的图象关于直线x＝2对称，故①正确，②错误；∵函数f(x)的图象关于直线x＝2对称，则f(－x)＝f(x＋4)，又f(－x)＝f(x)，∴f(x＋4)＝f(x)，∴T＝4，故③正确；∵T＝4且f(x)为偶函数，故y＝f(x＋4)为偶函数，故④正确．(2)函数f(x)＝lg|2x－1|图象的对称轴方程为________．答案x＝1 2解析内层函数t＝|2x－1|的对称轴是x＝12，所以函数f(x)＝lg|2x－1|图象的对称轴方程是x ＝12.教师备选已知函数f (x )＝x 3－ax 2＋bx ＋1的图象关于点(0,1)对称，且f ′(1)＝4，则a －b ＝________. 答案－1解析因为f (x )关于点(0,1)对称，所以f (x )＋f (－x )＝2，故f (1)＋f (－1)＝2，即1－a ＋b ＋1＋(－1)－a －b ＋1＝2，解得a ＝0，所以f (x )＝x 3＋bx ＋1，又因为f ′(x )＝3x 2＋b ，所以f ′(1)＝3＋b ＝4，解得b ＝1，所以a －b ＝－1.思维升华 (1)求解与函数的对称性有关的问题时，应根据题目特征和对称性的定义，求出函数的对称轴或对称中心．(2)解决函数对称性有关的问题，一般结合函数图象，利用对称性解决求值或参数问题． 跟踪训练3(1)函数f (x )的周期为6，且f (x ＋2)为偶函数，当x ∈[0,2]时，f (x )＝2x －1，则f (2025)＝________.答案1解析∵f (x )的周期为6，则f (2025)＝f (3)，又f (x ＋2)为偶函数，∴f (x )的图象关于直线x ＝2对称，∴f (3)＝f (1)＝1，∴f (2025)＝1.(2)关于函数f (x )＝sin x ＋1sin x 有如下四个命题，其中正确的是________．(填序号)①f (x )的图象关于y 轴对称；②f (x )的图象关于原点对称；③f (x )的图象关于直线x ＝π2对称；④f (x )的图象关于点(π，0)对称．答案②③④解析∵f (x )＝sin x ＋1sin x 的定义域为{x |x ≠k π，k ∈Z }，f (－x )＝sin(－x )＋1sin (－x )＝－sin x －1sin x ＝－f (x )，∴f (x )为奇函数，图象关于原点对称，故①错误，②正确．∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＝cos x ＋1cos x ， f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋x ＝cos x ＋1cos x ，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋x ， ∴f (x )的图象关于直线x ＝π2对称，故③正确．又f (x ＋2π)＝sin(x ＋2π)＋1sin (x ＋2π)＝sin x ＋1sin x ，f (－x )＝－sin x －1sin x ，∴f (x ＋2π)＝－f (－x )，∴f (x )的图象关于点(π，0)对称，故④正确．课时精练1．如果奇函数f (x )在[3,7]上单调递增且最小值为5，那么f (x )在区间[－7，－3]上()A ．单调递增且最小值为－5B ．单调递减且最小值为－5C ．单调递增且最大值为－5D ．单调递减且最大值为－5答案C解析因为奇函数f (x )在[3,7]上单调递增且最小值为5，而奇函数的图象关于原点对称， 所以f (x )在区间[－7，－3]上单调递增且最大值为－5.2．若函数f (x )＝12x －1＋a 为奇函数，则a 的值为() A ．－2B ．－12C.12D ．2答案C解析方法一(定义法)∵f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，∴12－x －1＋a ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1＋a ， ∴2a ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x －1＋12x －1＝1， ∴a ＝12.方法二(特值法)f (x )为奇函数，且x ≠0，∴f (－1)＝－f (1)，∴a －2＝－(a ＋1)，∴a ＝12.3．(2022·南昌模拟)函数f (x )＝9x ＋13x 的图象()A ．关于x 轴对称B ．关于y 轴对称C ．关于坐标原点对称D ．关于直线y ＝x 对称答案B解析f(x)＝32x＋13x＝3x＋3－x，f(－x)＝3－x＋3x，∴f(－x)＝f(x)，故f(x)为偶函数，其图象关于y轴对称．4．已知函数f(x)的图象关于原点对称，且周期为4，f(3)＝－2，则f(2021)等于()A．2B．0C．－2D．－4答案A解析依题意，函数f(x)的图象关于原点对称，则函数f(x)是奇函数，又f(x)的周期为4，且f(3)＝－2，则有f(2021)＝f(－3＋506×4)＝f(－3)＝－f(3)＝2，所以f(2021)＝2.5．已知y＝f(x)是定义在R上的奇函数，则下列函数中为奇函数的是()A．y＝f(|x|) B．y＝|f(x)|C．y＝xf(x) D．y＝f(x)＋x答案D解析由奇函数的定义f(－x)＝－f(x)验证，A项，f(|－x|)＝f(|x|)，为偶函数；B项，|f(－x)|＝|－f(x)|＝|f(x)|，为偶函数；C项，－xf(－x)＝－x·[－f(x)]＝xf(x)，为偶函数；D项，f(－x)＋(－x)＝－[f(x)＋x]，为奇函数．6．(2022·南昌模拟)已知f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意的x∈R都有f(x＋2)＝－f(x)，当x∈[0,2]时，f(x)＝x2＋ax＋b，则a＋b等于()A．0B．－1C．－2D．2答案C解析因为f(x)是定义在R上的奇函数，且x∈[0,2]时，f(x)＝x2＋ax＋b，所以f(0)＝b＝0，f(－x)＝－f(x)，又对任意的x∈R都有f(x＋2)＝－f(x)，所以f(x＋2)＝f(－x)，所以函数图象关于直线x＝1对称，所以－a2＝1，解得a＝－2，所以a＋b＝－2.7．(2022·湘豫名校联考)已知f(x)＝ax2＋bx＋1是定义在[a－1,2a]上的偶函数，则a＋b＝________.答案1 3解析因为f(x)＝ax2＋bx＋1是定义在[a－1,2a]上的偶函数，则有(a－1)＋2a＝3a－1＝0，则a＝13，同时f(－x)＝f(x)，即ax2＋bx＋1＝a(－x)2＋b(－x)＋1，则有bx ＝0，必有b ＝0.则a ＋b ＝13.8．已知函数f (x )满足对∀x ∈R ，有f (1－x )＝f (1＋x )，f (x ＋2)＝－f (x )，当x ∈(0,1)时，f (x )＝x 2＋mx ，若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫352＝12，则m ＝______. 答案12解析由f (1－x )＝f (1＋x )，f (x ＋2)＝－f (x )，知f (x )的图象关于直线x ＝1对称，f (x )的周期为4，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫352＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝12， ∴14＋12m ＝12，∴m ＝12.9．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧ －x 2＋2x ，x >0，0，x ＝0，x 2＋mx ，x <0是奇函数．(1)求实数m 的值； (2)若函数f (x )在区间[－1，a －2]上单调递增，求实数a 的取值范围．解(1)设x <0，则－x >0，所以f (－x )＝－(－x )2＋2(－x )＝－x 2－2x .又f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，于是x <0时，f (x )＝x 2＋2x ＝x 2＋mx ，所以m ＝2.(2)要使f (x )在[－1，a －2]上单调递增，结合f (x )的图象(如图所示)知⎩⎪⎨⎪⎧a －2>－1，a －2≤1，所以1<a ≤3，故实数a 的取值范围是(1,3]．10．设f (x )是定义在R 上的奇函数，且对任意实数x ，恒有f (x ＋2)＝－f (x )．当x ∈[0,2]时，f (x )＝2x －x 2.(1)求证：f (x )是周期函数；(2)当x ∈[2,4]时，求f (x )的解析式．(1)证明∵f (x ＋2)＝－f (x )，∴f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )．∴f (x )是周期为4的周期函数．(2)解∵x ∈[2,4]，∴－x ∈[－4，－2]，∴4－x ∈[0,2]，∴f (4－x )＝2(4－x )－(4－x )2＝－x 2＋6x －8.∵f (4－x )＝f (－x )＝－f (x )，∴－f (x )＝－x 2＋6x －8，即当x ∈[2,4]时，f (x )＝x 2－6x ＋8.11．(2022·重庆模拟)已知函数f (x )＝ax 5＋bx 3＋2，若f (2)＝7，则f (－2)等于()A ．－7B ．－3C ．3D ．7答案B解析设g (x )＝f (x )－2＝ax 5＋bx 3，则g (－x )＝－ax 5－bx 3＝－g (x )，即f (x )－2＝－f (－x )＋2，故f (－2)＝－f (2)＋4＝－3.12．已知定义在R 上的偶函数f (x )和奇函数g (x )满足f (x )＋g (x )＝2x ＋a ，则g (1)等于()A ．a ＋54B.54C.34D ．a ＋34答案C解析依题意⎩⎨⎧ f (1)＋g (1)＝2＋a ①f (－1)＋g (－1)＝12＋a ，②又f (x )为偶函数，g (x )为奇函数，∴②式可化为f (1)－g (1)＝12＋a ，③由①③可得g (1)＝34. 13．已知f (x )为R 上的偶函数，且f (x ＋2)是奇函数，则下列结论正确的是________．(填序号)①f (x )的图象关于点(2,0)对称；②f (x )的图象关于直线x ＝2对称；③f (x )的周期为4；④f (x )的周期为8.答案①④解析∵f (x )为偶函数，∴f (x )的图象关于y 轴对称，f (－x )＝f (x )，又∵f (x ＋2)是奇函数，∴f (－x ＋2)＝－f (x ＋2)，∴f (x )的图象关于(2,0)对称，又∵f (x ＋8)＝－f (x ＋4)＝f (x )，∴f (x )为周期函数且周期为8.14．已知函数f (x )对任意实数x 满足f (－x )＋f (x )＝2，若函数y ＝f (x )的图象与y ＝x ＋1有三个交点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，(x 3，y 3)，则y 1＋y 2＋y 3＝________.答案3解析因为f (－x )＋f (x )＝2，则f (x )的图象关于点(0,1)对称，又直线y ＝x ＋1也关于点(0,1)对称，因为y ＝f (x )与y ＝x ＋1有三个交点，则(0,1)是一个交点，另两个交点关于(0,1)对称，则y 1＋y 2＋y 3＝2＋1＝3.15．已知函数f (x )＝4x 4x ＋2，则f (x )＋f (1－x )＝____________，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12023＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫22023＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32023＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫20222023＝________. 答案11011解析因为f (x )＝4x4x ＋2， 所以f (x )＋f (1－x )＝4x 4x ＋2＋41－x41－x ＋2＝4x 4x ＋2＋44x 44x ＋2＝4x 4x ＋2＋44x 4＋2·4x 4x＝4x 4x ＋2＋44＋2·4x＝2·4x ＋44＋2·4x ＝1，设f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12023＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫22023＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32023＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫20222023＝m ，① 则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫20222023＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32023＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫22023＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12023＝m ，② ①＋②得2022＝2m ，即m ＝1011，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12023＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫22023＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32023＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫20222023＝1011. 16．(2022·北京西城区模拟)设函数f (x )的定义域为R .若存在常数T ，A (T >0，A >0)，使得对于任意x ∈R ，f (x ＋T )＝Af (x )成立，则称函数f (x )具有性质P .(1)判断函数y ＝x 和y ＝cos x 是否具有性质P ？(结论不要求证明)(2)若函数f (x )具有性质P ，且其对应的T ＝π，A ＝2.已知当x ∈(0，π]时，f (x )＝sin x ，求函数f (x )在区间[－π，0]上的最大值．解(1)因为函数y ＝x 是增函数，所以函数y ＝x 不具有性质P ，当A ＝1，T ＝2π时，函数y ＝cos x 对于任意x ∈R ， f (x ＋T )＝Af (x )成立，所以y ＝cos x 具有性质P .(2)设x ∈(－π，0]，则x ＋π∈(0，π]， 由题意得f (x ＋π)＝2f (x )＝sin(x ＋π)， 所以f (x )＝－12sin x ，x ∈(－π，0]，由f (－π＋π)＝2f (－π)，f (0＋π)＝2f (0)， 得f (－π)＝14f (π)＝0，所以当x ∈[－π，0]时，f (x )＝－12sin x ，所以当x ＝－π2时，f (x )在[－π，0]上有最大值f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＝12.。
高三函数奇偶性知识点归纳
高三函数奇偶性知识点归纳高三是每个学生都经历的重要阶段，而数学作为一门核心学科，也是高三学习中不可或缺的一部分。
在数学中，函数是一个非常重要的概念，而在函数的研究中，函数的奇偶性也是一个重要的知识点。
下面，我将对高三函数的奇偶性知识点进行归纳和总结。
首先，我们需要明确什么是奇函数和偶函数。
在数学中，我们定义一个关于y轴对称的函数为偶函数，式子可以表示为f(x)=f(-x)，其中x为实数。
偶函数的特点是其图像关于y轴对称。
而关于原点对称的函数则称为奇函数，式子可以表示为f(x)=-f(-x)，其中x为实数。
奇函数的特点是其图像关于原点对称。
在判断一个函数的奇偶性时，我们可以先观察函数的表达式中是否存在一些特定的形式。
比如，对于多项式函数来说，奇次幂的项对应奇函数，偶次幂的项对应偶函数。
当函数的表达式中不存在奇次幂的项时，则函数为偶函数。
举个例子来说明。
对于函数f(x)=x^3+x^2，我们可以观察到其中存在x^3这一奇次幂的项，而没有偶次幂的项。
所以，这个函数就是一个奇函数。
相反，对于函数g(x)=x^4+x^2，其中只存在偶次幂的项，没有奇次幂的项。
所以，这个函数就是一个偶函数。
除了观察函数表达式之外，我们也可以通过图像来判断函数的奇偶性。
对于一个奇函数，我们只需要观察其图像是否关于原点对称即可。
而对于一个偶函数，则只需要观察其图像是否关于y轴对称即可。
在高三数学中，我们经常会遇到一些复合函数的奇偶性问题。
对于复合函数来说，我们可以通过分解函数的形式来判断其奇偶性。
比如，对于两个奇函数的复合，其结果一定是奇函数。
因为两个奇函数的复合仍然具有关于原点对称的特点。
而两个偶函数的复合，则一定是偶函数。
因为两个偶函数的复合具有关于y轴对称的特点。
除了奇偶函数的基本性质之外，我们还可以通过一些具体的定理来判断函数的奇偶性。
比如，如果函数f(x)在区间(-a,a)内为奇函数，并且在区间(-b,b)内有定义，其中0通过以上的归纳总结，我们可以更加明确和深入地理解高三函数的奇偶性知识点。
高三数学 第一轮复习 11：函数的奇偶性
高三数学第一轮复习11函数的奇偶性·知识梳理·模块01：函数的奇偶性1、函数奇偶性的定义：偶函数：如果对于函数()y f x =定义域D 内的任意实数x ，都有,D x ∈-并且)()(x f x f =-，那么就把函数()y f x =叫做偶函数。
奇函数：如果对于函数()y f x =定义域D 内的任意实数x ，都有都有,D x ∈-并且)()(x f x f -=-，那么就把函数()y f x =叫做奇函数。
2、判断函数奇偶性的方法：步骤：第1步：看定义域是否是对称区间（是的话就继续，不是就是非奇非偶函数）；第2步：找)(x f 与)(x f -之间的关系，若)()(x f x f -=,那么)(x f 就叫做偶函数；)()(x f x f --=,那么)(x f 就叫做奇函数。
[注意]定义本身蕴涵着：①函数的定义域必须是关于原点的对称区间，这是奇（偶）函数的必要条件——前提；②“定义域内任意”：意味着不存在＂某个区间（段）上的＂的奇（偶）函数——不研究；③判断函数奇偶性最基本的方法：先看定义域，再用定义——)()(x f x f -±=。
模块02：函数的奇偶性的应用关于函数奇偶性的几个重要结论：（1）具有奇偶性的函数，其定义域关于原点对称（函数具有奇偶性的必要不充分条件）。
（2）若奇函数()y f x =在0x =处有定义，则(0)0f =。
（3）函数()f x 是奇函数⇔曲线()y f x =关于原点对称；函数()f x 是偶函数⇔曲线()y f x =关于y 轴对称。
（4）()f x 既是奇函数又是偶函数()0f x ⇔=（定义域关于原点对称）．（5）若()f x 的定义域关于原点对称，则()()()F x f x f x =+-是偶函数，()()()G x f x f x =--是奇函数。
（6）若函数()f x 的定义域关于原点对称，则()f x 可以表示成一个偶函数与一个奇函数的和。
新课标2023版高考数学一轮总复习第2章函数第3节函数的奇偶性与周期性教师用书
第三节 函数的奇偶性与周期性考试要求：1．了解函数的奇偶性的概念及几何意义．2．结合三角函数，了解函数的周期性、对称性及其几何意义．一、教材概念·结论·性质重现1．函数的奇偶性的定义奇偶性偶函数奇函数条件一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I结论f(－x)＝f(x)f(－x)＝－f(x)图象特点关于y轴对称关于原点对称1．函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件．2．函数图象的对称性(1)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，即f(a－x)＝f(a＋x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．(2)若对于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．(3)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，即f(－x＋b)＋f(x＋b)＝0，则函数y＝f(x)的图象关于点(b,0)中心对称．3．函数的周期性(1)周期函数：一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D都有x＋T∈D，且f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数．非零常数T 就叫做这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期(若不加特别说明，T一般都是指最小正周期)．4．对称性与周期的关系(1)若函数f(x)的图象关于直线x＝a和直线x＝b对称，则函数f(x)必为周期函数，2|a－b|是它的一个周期．(2)若函数f(x)的图象关于点(a,0)和点(b,0)对称，则函数f(x)必为周期函数，2|a－b|是它的一个周期．(3)若函数f(x)的图象关于点(a,0)和直线x＝b对称，则函数f(x)必为周期函数，4|a －b|是它的一个周期．5．常用结论(1)如果函数f(x)是奇函数且在x＝0处有定义，那么一定有f(0)＝0；如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)．(2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．(3)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0)．(4)若f(x＋a)＝，则T＝2a(a>0)．(5)若f(x＋a)＝－，则T＝2a(a>0)．二、基本技能·思想·活动经验1．判断下列说法的正误，对的打“√”，错的打“×”．(1)若函数f(x)为奇函数，则一定有f(0)＝0．( × )(2)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x)的图象关于点(b,0)中心对称．( √ )(3)如果函数f(x)，g(x)是定义域相同的偶函数，那么F(x)＝f(x)＋g(x)是偶函数．( √ )(4)若T为y＝f(x)的一个周期，则nT(n∈Z)是函数f(x)的周期．( × ) 2．函数f(x)＝－x的图象关于( )A．y轴对称B．直线y＝－x对称C．坐标原点对称D．直线y＝x对称C 解析：因为函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，f(－x)＝－＋x＝－＝－f(x)，所以f(x)为奇函数．所以f(x)的图象关于坐标原点对称．3．已知f(x)满足f(x＋2)＝f(x)．当x∈[0,1]时，f(x)＝2x，则f等于( )A． B． C． D．1B 解析：由f(x＋2)＝f(x)，知函数f(x)的周期T＝2，所以f＝f＝2＝．4．已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，那么a＋b的值是( )A．－ B． C． D．－B 解析：因为f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，所以a－1＋2a＝0，所以a＝． 又f(－x)＝f(x)，所以b＝0，所以a＋b＝．5．(多选题)已知y＝f(x)是定义在R上的奇函数，则下列函数中为奇函数的是( ) A．y＝f(|x|)B．y＝f(－x)C．y＝xf(x)D．y＝f(x)＋xBD 解析：由奇函数的定义f(－x)＝－f(x)验证．对于选项A，f(|－x|)＝f(|x|)，为偶函数；对于选项B，f(－(－x))＝f(x)＝－f(－x)，为奇函数；对于选项C，－xf(－x)＝－x·[－f(x)]＝xf(x)，为偶函数；对于选项D，f(－x)＋(－x)＝－[f(x)＋x]，为奇函数．故选BD．考点1 函数的奇偶性——基础性1．(多选题)若函数f(x)(x∈R)是奇函数，函数g(x)(x∈R)是偶函数，则下列结论中正确的是( )A．函数f(g(x))是偶函数B．函数g(f(x))是偶函数C．函数f(x)·g(x)是奇函数D．函数f(x)＋g(x)是奇函数ABC 解析：对于选项A，f(g(x))是偶函数，A正确；对于选项B，g(f(x))是偶函数，B正确；对于选项C，设h(x)＝f(x)g(x)，h(－x)＝f(－x)g(－x)＝－f(x)g(x)＝－h(x)是奇函数；对于选项D，f(x)＋g(x)不一定具备奇偶性．故选ABC．2．设f(x)为奇函数，且当x≥0时，f(x)＝e x－1，则当x<0时，f(x)＝( )A．e－x－1B．e－x＋1C．－e－x－1D．－e－x＋1D 解析：当x<0时，－x>0．因为当x≥0时，f(x)＝e x－1，所以 f(－x)＝e－x－1． 又因为 f(x)为奇函数，所以 f(x)＝－f(－x)＝－e－x＋1．3．若定义在R上的偶函数f(x)和奇函数g(x)满足f(x)＋g(x)＝e x，则g(x)＝( ) A．e x－e－x B．(e x＋e－x)C．(e－x－e x)D．(e x－e－x)D 解析：因为f(x)＋g(x)＝e x，所以f(－x)＋g(－x)＝f(x)－g(x)＝e－x，所以g(x)＝(e x－e－x)．4．已知函数f(x)＝则该函数的奇偶性是_________．奇函数 解析：当x>0时，－x<0，所以f(－x)＝x2－x＝－(－x2＋x)＝－f(x)；当x<0时，－x>0，f(－x)＝－x2－x＝－(x2＋x)＝－f(x)，所以f(x)是奇函数．(1)解决这类问题要优先考虑用定义法，然后考虑用图象法．考点2 函数的周期性——综合性(1)设f(x)是周期为3的函数，当1≤x≤3时，f(x)＝2x＋3，则f(8)＝______．当－2≤x≤0时，f(x)＝________．7 2x＋9 解析：因为f(x)是周期为3的函数，所以f(8)＝f(2)＝2×2＋3＝7．当－2≤x≤0时，f(x)＝f(x＋3)＝2(x＋3)＋3＝2x＋9．(2)若定义在R上的偶函数f(x)满足f(x)>0，f(x＋2)＝对任意x∈R恒成立，则f(2 023)＝________．1 解析：因为f(x)>0，f(x＋2)＝，所以f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝＝＝f(x)，则函数f(x)的周期为4，所以f(2 023)＝f(506×4－1)＝f(－1)．因为函数f(x)为偶函数，所以f(2 023)＝f(－1)＝f(1)．当x＝－1时，f(－1＋2)＝，得f(1)＝．由f(x)>0，得f(1)＝1，所以f(2 023)＝f(1)＝1．(3)设定义在R上的函数f(x)同时满足以下条件：①f(x)＋f(－x)＝0；②f(x)＝f(x＋2)；③当0≤x<1时，f(x)＝2x－1．则f＋f(1)＋f＋f(2)＋f＝__________．－1 解析：依题意知函数f(x)为奇函数且周期为2，则f(1)＋f(－1)＝0，f(－1)＝f(1)，即f(1)＝0．所以f＋f(1)＋f＋f(2)＋f＝f＋0＋f＋f(0)＋f＝f－f＋f(0)＋f＝f＋f(0)＝2－1＋20－1＝－1．1．(2021·长春质量监测)已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x<2时，f(x)＝x3－x，则函数y＝f(x)的图象在区间[0,6]上与x轴的交点的个数为( ) A．6B．7C．8D．9B 解析：因为f(x)是最小正周期为2的周期函数，且0≤x<2时，f(x)＝x3－x＝x(x －1)(x＋1)，所以当0≤x<2时，f(x)＝0有两个根，即x1＝0，x2＝1．由周期函数的性质知，当2≤x<4时，f(x)＝0有两个根，即x3＝2，x4＝3；当4≤x≤6时，f(x)＝0有三个根，即x5＝4，x6＝5，x7＝6，故f(x)的图象在区间[0,6]上与x轴的交点个数为7．2．(多选题)(2022·长春质检)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x)＋f(2－x)＝0，则下列结论正确的是( )A．f(x)的图象关于点(1,0)对称B．f(x＋2)＝f(x)C．f(3－x)＝f(x－1)D．f(x－2)＝f(x)ABD 解析：对于A，由f(x)＋f(2－x)＝0得f(x)的图象关于点(1,0)对称，选项A正确；对于B，用－x替换f(x)＋f(2－x)＝0中的x，得f(－x)＋f(2＋x)＝0，所以f(x＋2)＝－f(－x)＝f(x)，选项B正确；对于C，用x－1替换f(x)＋f(2－x)＝0中的x，得f(3－x)＝－f(x－1)，选项C错误；对于D，用x－2替换f(x＋2)＝f(x)中的x，得f(x－2)＝f(x)，选项D正确．3．已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x＋4)＝f(x－2)．若当x∈[－3,0]时，f(x)＝6－x，则f(919)＝________．6 解析：因为f(x＋4)＝f(x－2)，所以f((x＋2)＋4)＝f((x＋2)－2)，即f(x＋6)＝f(x)，所以f(x)是周期为6的周期函数，所以f(919)＝f(153×6＋1)＝f(1)．又f(x)是定义在R上的偶函数，所以f(1)＝f(－1)＝6，即f(919)＝6．考点3 函数性质的综合应用——应用性考向1 函数的单调性与奇偶性综合(1)已知奇函数f(x)在R上是增函数，g(x)＝xf(x)．若a＝g(－log25.1)，b＝g(20.8)，c＝g(3)，则a，b，c的大小关系为( )A．a<b<c B．c<b<aC．b<a<c D．b<c<aC 解析：易知g(x)＝xf(x)在R上为偶函数．因为奇函数f(x)在R上单调递增，且f(0)＝0，所以g(x)在(0，＋∞)上单调递增．又3>log25.1>2>20.8，且a＝g(－log25.1)＝g(log25.1)，所以g(3)>g(log25.1)>g(20.8)，即c>a>b．(2)(2020·全国Ⅱ卷)设函数f(x)＝ln|2x＋1|－ln|2x－1|，则f(x)( )A．是偶函数，且在单调递增B．是奇函数，且在单调递减C．是偶函数，且在单调递增D．是奇函数，且在单调递减D 解析：f(x)＝ln|2x＋1|－ln|2x－1|的定义域为x≠±．又f(－x)＝ln|－2x＋1|－ln|－2x－1|＝ln|2x－1|－ln|2x＋1|＝－f(x)，所以f(x)为奇函数，故排除A，C．又当x∈时，f(x)＝ln(－2x－1)－ln(1－2x)＝ln ＝ln ＝ln．因为y＝1＋在上单调递减，由复合函数的单调性可得f(x)在上单调递减．考向2 函数的奇偶性与周期性结合(1)设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x＋4)＝f(x)．当x∈[0,2]时，f(x)＝2x－x2，则f(2 023)＝________．－1 解析：因为f(x＋4)＝f(x)，所以函数f(x)的周期T＝4． 又f(1)＝1，所以f(2 023)＝f(－1＋4×506)＝f(－1)＝－f(1)＝－1．(2)设f(x)是定义在实数集R上的函数，且满足f(1＋x)＝f(1－x)，f(2＋x)＝－f(2－x)，则f(x)是( )A．偶函数，又是周期函数B．偶函数，但不是周期函数C．奇函数，又是周期函数D．奇函数，但不是周期函数A 解析：由f(x＋1)＝－f(x－1)，可得f(x＋2)＝－f(x)，则f(x＋4)＝f(x)，故函数f(x)的周期为4，则f(5)＝f(1)＝a2－2a－4．又因为f(x)是定义在R上的奇函数，f(－1)＞1，所以f(1)＜－1，所以a2－2a－4＜－1，解得－1＜a＜3．若本例(1)中的条件不变，当x∈[2,4]时，f(x)的解析式是____________．f(x)＝x2－6x＋8 解析：当x∈[－2,0]时，－x∈[0,2]．由已知得f(－x)＝2(－x)－(－x)2＝－2x－x2．又f(x)是奇函数，所以f(－x)＝－f(x)＝－2x－x2． 所以f(x)＝x2＋2x．又当x∈[2,4]时，x－4∈[－2,0]，所以f(x－4)＝(x－4)2＋2(x－4)．又f(x)是周期为4的周期函数，所以f(x)＝f(x－4)＝(x－4)2＋2(x－4)＝x2－6x＋8．故x∈[2,4]时，f(x)＝x2－6x＋8．函数周期性有关问题的求解方法(1)求解与函数的周期性有关的问题，应根据题目特征及周期的定义求出函数的周期．(2)根据函数的周期性，可以由函数的局部性质得到函数的整体性质，即周期性与奇偶性都具有将未知区间上的问题转化到已知区间的功能．考向3 函数的单调性、奇偶性与周期性结合定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，且在[－1,0]上单调递减．设a ＝f(－2.8)，b＝f(－1.6)，c＝f(0.5)，则a，b，c的大小关系是( )A．a>b>c B．c>a>bC．b>c>a D．a>c>bD 解析：因为偶函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，所以函数f(x)的周期为2．所以a＝f(－2.8)＝f(－0.8)，b＝f(－1.6)＝f(0.4)＝f(－0.4)，c＝f(0.5)＝f(－0.5)．因为－0.8<－0.5<－0.4，且函数f(x)在[－1,0]上单调递减，所以a>c>b．故选D．1．解决这类问题一定要1．已知函数f(x)的图象关于原点对称，且周期为4．若f(－2)＝2，则f(2 022)＝( )A．2B．0C．－2D．－4C 解析：因为函数f(x)的图象关于原点对称，且周期为4，所以f(x)为奇函数，所以f(2 022)＝f(505×4＋2)＝f(2)＝－f(－2)＝－2．故选C．2．定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋3)＝f(x)．若f(2)>1，f(7)＝a，则实数a的取值范围为( )A．(－∞，－3)B．(3，＋∞)C．(－∞，－1)D．(1，＋∞)D 解析：因为f(x＋3)＝f(x)，所以f(x)是定义在R上的以3为周期的函数，所以f(7)＝f(7－9)＝f(－2)．又因为函数f(x)是偶函数，所以f(－2)＝f(2)，所以f(7)＝f(2)>1，所以a>1，即a∈(1，＋∞)．故选D．3．已知奇函数f(x)的图象关于直线x＝3对称，当x∈[0,3]时，f(x)＝－x，则f(－16)＝________．2 解析：根据题意，函数f(x)的图象关于直线x＝3对称，则有f(x)＝f(6－x)．又函数f(x)为奇函数，则f(－x)＝－f(x)，所以f(x)＝－f(6－x)＝f(x－12)．所以f(x)的最小正周期是12．故f(－16)＝f(－4)＝－f(4)＝－f(2)＝－(－2)＝2．4．定义在实数集R上的函数f(x)满足f(x)＋f(x＋2)＝0，且f(4－x)＝f(x)．现有以下三种叙述：①8是函数f(x)的一个周期；②f(x)的图象关于直线x＝2对称；③f(x)是偶函数．其中正确的序号是________．①②③ 解析：由f(x)＋f(x＋2)＝0，得f(x＋2)＝－f(x)，则f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，即4是f(x)的一个周期，8也是f(x)的一个周期，故①正确；由f(4－x)＝f(x)，得f(x)的图象关于直线x＝2对称，故②正确；由f(4－x)＝f(x)与f(x＋4)＝f(x)，得f(4－x)＝f(－x)，f(－x)＝f(x)，即函数f(x)为偶函数，故③正确．。
高考数学一轮复习讲义 第二章 2.4 函数的奇偶性与周期性课件
一轮复习讲义
函数的奇偶性与周期性
要点梳理
忆一忆知识要点
1．奇、偶函数的概念 一般地，设函数 y＝f(x)的定义域为 A.如果对于任意的 x∈A， 都有 f(－x)＝f(x) ，那么称函数 y＝f(x)是偶函数． 如果对于任意的 x∈A，都有f(－x)＝－f(x)，那么称函数 y ＝f(x)是奇函数． 奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于 y 轴对称．
函数奇偶性的判断
例 1 判断下列函数的奇偶性． (1)f(x)＝ 9－x2＋ x2－9；(2)f(x)＝(x＋1) (3)f(x)＝|x＋4－3|－x23.
11－＋xx；
确定函数的奇偶性时，必须先判定函数定义域是否关于原点 对称．若对称，再验证 f(－x)＝±f(x)或其等价形式 f(－x)±f(x) ＝0 是否成立．
故原函数是奇函数．
(2)由22＋－xx≥0 且 2－x≠0⇒－2≤x<2，
定义域关于原点不对称，故原函数是非奇非偶函数．
(3)函数定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称， 又当 x>0 时，f(x)＝x2＋x，则当 x<0 时，－x>0， 故 f(－x)＝x2－x＝f(x)； 当 x<0 时，f(x)＝x2－x，则当 x>0 时，－x<0， 故 f(－x)＝x2＋x＝f(x)，故原函数是偶函数． (4)由1|x－2－x22>|－0，2≠0 得定义域为(－1,0)∪(0,1)，关于原点对 称，∴f(x)＝－l(gx(21－－2x)2－) 2＝－lg(1x－2 x2). ∵f(－x)＝－lg[1(－－(x－)2x)2]＝－lg(1x－2 x2)＝f(x)，
高中数学一轮专题复习：函数的奇偶性与周期性课件
解析：∵f(x)为定义在R上的奇函数， ∴f(0)＝0 又 f(x＋4)＝f(x)，∴f(8)＝f(4)＝f(0)＝0
题型三、函数性质的综合应用
命题点1：求函数值或函数解析式 例3：函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x∈(－∞，0)
时，f(x)＝2x3＋x2，则f(2)＝__1_2___
2
由图像可知，
－2 O
x
满足不等式x f(x)<0的解为：
x<－2或x>2
答案：(－∞，－2)∪(2，＋∞)
三、归纳总结
1.函数的奇偶性是函数在其定义域上的整体性质，定义 域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要不充分条 件．因此，判断函数的奇偶性，一要看定义域是否关于 原点对称；二要看f(x)与f(－x)的关系． 2.奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性； 偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性.
一、基础知识梳理
3.奇(偶)函数的性质
(2)奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性； 偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性. (3)若函数f(x)是奇函数，且在x=0处有定义，则f(0)=0； (4)在公共定义域内有： ①奇函数±奇函数＝奇函数；
②偶函数±偶函数＝偶函数； ③奇函数×奇函数＝偶函数；
命题点1：求函数值或函数解析式 对点训练3：若函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇 函数，当0<x<1时，f(x)＝4x，则
f（－2.5）＋f(2)＝__－__2__
解析：∵f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数，
∴f(2)＝f(0)＝0， ∵ 当 0<x<1时，f(x)＝4x ， ∴f(－2.5)＝f(－0.5) ＝－f(0.5) ＝－40.5 ＝－（22）0.5
专题三函数的奇偶性及周期性(2021年高考数学一轮复习专题)
专题三 函数的奇偶性及周期性一、题型全归纳题型一 函数奇偶性的判断【题型要点】判断函数奇偶性的方法(1)根据定义判断，首先看函数的定义域是否关于原点对称，在定义域关于原点对称的条件下，再化简解析式，根据f (－x )与f (x )的关系作出判断． (2)利用函数图象特征判断．(3)分段函数奇偶性的判断，要分别从x >0或x <0来寻找等式f (－x )＝f (x )或f (－x )＝－f (x )成立，只有当对称的两个区间上满足相同关系时，分段函数才具有确定的奇偶性．【例1】判断函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x <0，x 2－x ，x >0.的奇偶性。
【解析】法一：图象法画出函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x <0，x 2－x ，x >0的图象如图所示，图象关于y 轴对称，故f (x )为偶函数．法二：定义法易知函数f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，当x >0时，f (x )＝x 2－x ，则当x <0时，－x >0，故f (－x )＝x 2＋x ＝f (x )；当x <0时，f (x )＝x 2＋x ，则当x >0时，－x <0，故f (－x )＝x 2－x ＝f (x )，故原函数是偶函数． 法三：f (x )还可以写成f (x )＝x 2－|x |(x ≠0)，故f (x )为偶函数【例2】已知函数f (x )＝x 2x －1，g (x )＝x2，则下列结论正确的是( )A ．h (x )＝f (x )＋g (x )是偶函数B ．h (x )＝f (x )＋g (x )是奇函数C ．h (x )＝f (x )g (x )是奇函数D ．h (x )＝f (x )g (x )是偶函数 【答案】A.【解析】：易知h (x )＝f (x )＋g (x )的定义域为{x |x ≠0}，关于原点对称．因为f (－x )＋g (－x )＝－x 2－x －1＋－x2＝－x ·2x 1－2x －x 2＝x （1－2x ）－x 1－2x －x 2＝x 2x －1＋x2＝f (x )＋g (x )，所以h (x )＝f (x )＋g (x )是偶函数．故选A. 题型二 函数奇偶性的应用【题型要点】与函数奇偶性有关的问题及解决方法(1)已知函数的奇偶性求函数值：将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解．(2)已知函数的奇偶性求解析式：将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求出，或充分利用奇偶性构造关于f (x )的方程(组)，从而得到f (x )的解析式．(3)已知函数的奇偶性求函数解析式中参数的值：常常利用待定系数法，由f (x )±f (－x )＝0得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或对方程求解．(4)应用奇偶性画图象和判断单调性：利用奇偶性可画出另一对称区间上的图象并判断另一区间上的单调性． 【例1】(2019·高考全国卷Ⅱ)设f (x )为奇函数，且当x ≥0时，f (x )＝e x －1，则当x ＜0时，f (x )＝( ) A ．e －x －1 B ．e －x ＋1 C ．－e －x －1D ．－e －x ＋1【解析】解法一：依题意得，当x <0时，f (x )＝－f (－x )＝－(e －x －1)＝－e －x ＋1，选D. 解法二：依题意得，f (－1)＝－f (1)＝－(e 1－1)＝1－e ，结合选项知，选D.【例2】已知函数f (x )为奇函数，当x >0时，f (x )＝x 2－x ，则当x <0时，函数f (x )的最大值为 ． 【解析】：解法一：当x <0时，－x >0，所以f (－x )＝x 2＋x .又因为函数f (x )为奇函数，所以f (x )＝－f (－x )＝－x 2－x ＝－221⎪⎭⎫ ⎝⎛+x ＋14，所以当x <0时，函数f (x )的最大值为14.解法二：当x >0时，f (x )＝x 2－x ＝221⎪⎭⎫ ⎝⎛+x －14，最小值为－14，因为函数f (x )为奇函数，所以当x <0时，函数f (x )的最大值为14.题型三 函数的周期性【题型要点】函数周期性的判断与应用(1)判断函数的周期性只需证明f (x ＋T )＝f (x )(T ≠0)便可证明函数是周期函数，且周期为T ，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题．(2)根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，在解决具体问题时，要注意结论：若T 是函数的周期，则kT (k ∈Z ，且k ≠0)也是函数的周期．【例1】(2020·广东六校第一次联考)在R 上函数f (x )满足f (x ＋1)＝f (x －1)，且f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋a ，－1≤x <0|2－x |，0≤x <1，其中a∈R ，若f (－5)＝f (4.5)，则a ＝( ) A ．0.5 B ．1.5 C ．2.5D ．3.5【解析】由f (x ＋1)＝f (x －1)，得f (x )是周期为2的函数，又f (－5)＝f (4.5)，所以f (－1)＝f (0.5)，即－1＋a ＝1.5，所以a ＝2.5.故选C.【例2】已知f (x )是R 上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x <2时，f (x )＝x 3－x ，则函数y ＝f (x )的图象在区间[0，4]上与x 轴的交点的个数为( ) A ．2 B ．3 C ．4D ．5【解析】当0≤x <2时，令f (x )＝x 3－x ＝x (x 2－1)＝0，所以y ＝f (x )的图象与x 轴交点的横坐标分别为x 1＝0，x 2＝1.当2≤x <4时，0≤x －2<2，又f (x )的最小正周期为2，所以f (x －2)＝f (x )，所以f (x )＝(x －2)(x －1)(x －3)，所以当2≤x <4时，y ＝f (x )的图象与x 轴交点的横坐标分别为x 3＝2，x 4＝3.又f (4)＝f (2)＝f (0)＝0，综上可知，共有5个交点．题型四 函数性质的综合应用【题型要点】函数性质综合应用问题的常见类型及解题策略(1)单调性与奇偶性的综合：注意函数单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性．(2)周期性与奇偶性的综合：此类问题多考查求值问题，常用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．(3)单调性、奇偶性与周期性的综合：解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解．【例1】已知f (x )是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f (1－x )＝f (1＋x )．若f (1)＝2，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (50)＝( ) A ．－50 B ．0 C ．2 D ．50【答案】C【解析】因为f (x ＋2)＝f [1＋(1＋x )]＝f [1－(1＋x )]＝f (－x )＝－f (x )，所以f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )，即f (x )是周期为4的周期函数．又f (x )为奇函数，且x ∈R ，所以f (0)＝0，f (1)＝2，f (2)＝f (1＋1)＝f (0)＝0，f (3)＝f (1＋2)＝f (1－2)＝f (－1)＝－f (1)＝－2，f (4)＝f (0)＝0，所以f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝0，而50＝4×12＋2，所以f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (50)＝f (1)＋f (2)＝2.【例2】(2020池州联考)已知函数f (x )的定义域为R ，且满足下列三个条件：①∀x 1，x 2∈[4,8]，当x 1<x 2时，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0；②f (x ＋4)＝－f (x )；③y ＝f (x ＋4)是偶函数．若a ＝f (6)，b ＝f (11)，c ＝f (2 025)，则a ，b ，c 的大小关系正确的是( ) A ．a <b <c B ．b <a <c C ．a <c <b D ．c <b <a 【答案】B【解析】由条件①知，当x ∈[4,8]时，f (x )为增函数；由条件②知，f (x ＋8)＝－f (x ＋4)＝f (x )，f (x )是周期为8的周期函数；由条件③知，y ＝f (x )关于直线x ＝4对称，所以f (11)＝f (3)＝f (5)，f (2025)＝f (1)＝f (7)，故f (5)＜f (6)＜f (7)，即b ＜a ＜c .故选B.二、高效训练突破 一、选择题1.(2020·洛阳一中月考）下列函数中，与函数y ＝－3|x |的奇偶性相同，且在(－∞，0)上单调性也相同的是( ) A ．y ＝－1xB ．y ＝log 2|x |C ．y ＝1－x 2D ．y ＝x 3－1【答案】C.【解析】：函数y ＝－3|x |为偶函数，在(－∞，0)上为增函数，选项A 的函数为奇函数，不符合要求；选项B 的函数是偶函数，但其单调性不符合要求；选项D 的函数为非奇非偶函数，不符合要求；只有选项C 符合要求．2．已知f (x )为定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝2x ＋m ，则f (－2)＝( ) A ．－3 B ．－54C.54 D ．3 【答案】A【解析】：.由f (x )为R 上的奇函数，知f (0)＝0，即f (0)＝20＋m ＝0，解得m ＝－1，则f (－2)＝－f (2)＝－(22－1)＝－3.3.已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝3x ＋m (m 为常数)，则f (－log 35)＝( ) A ．－6 B ．6 C ．4 D ．－4 【答案】D【解析】 因为f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f (x )＝3x ＋m ，所以f (0)＝1＋m ＝0⇒m ＝－1，则f (－log 35)＝－f (log 35)＝－(3log 35－1)＝－4.4.已知定义在R 上的奇函数f (x )满足：当x >0时，f (x )＝2x －2x ，则f (x )x>0的解集为( )A ．(－1,0)∪(0,1)B ．(－1,0)∪(1，＋∞)C ．(－∞，－1)∪(0,1)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)【解析】因为当x >0时，函数f (x )单调递增，又f (1)＝0，所以f (x )＝2x －2x >0的解集为(1，＋∞)，所以f (x )x ＞0在(0，＋∞)上的解集为(1，＋∞)．因为f (x )是奇函数，所以f (x )x 是偶函数，则f (x )x >0在R 上的解集为(－∞，－1)∪(1，＋∞)．5.已知定义域为R 的奇函数f (x )满足⎪⎭⎫⎝⎛+x f 23＝⎪⎭⎫⎝⎛x f -21，且当0≤x ≤1时，f (x )＝x 3，则⎪⎭⎫⎝⎛25f ＝( ) A ．－278B ．－18C.18D.278【解析】：因为⎪⎭⎫⎝⎛+x f 23＝⎪⎭⎫⎝⎛x f -21，所以⎪⎭⎫ ⎝⎛25f ＝⎪⎭⎫ ⎝⎛+123f ＝⎪⎭⎫ ⎝⎛1-21f ＝⎪⎭⎫⎝⎛21-f ，又因为函数为奇函数，所以⎪⎭⎫ ⎝⎛21-f ＝⎪⎭⎫ ⎝⎛21-f ＝321-⎪⎭⎫⎝⎛＝－18.6.已知函数f (x )＝2|x |＋x 3＋12|x |＋1的最大值为M ，最小值为m ，则M ＋m 等于( )A ．0B ．2C ．4D ．8【解析】：f (x )＝2|x |＋x 3＋12|x |＋1＝1＋x 32|x |＋1.设g (x )＝x 32|x |＋1，因为g (x )定义域为R ，关于原点对称，且g (－x )＝－g (x )，所以g (x )为奇函数，所以g (x )max ＋g (x )min ＝0.因为M ＝f (x )max ＝1＋g (x )max ，m ＝f (x )min ＝1＋g (x )min ，所以M ＋m ＝1＋g (x )max ＋1＋g (x )min ＝2.7.(2019·沈阳测试)设函数f (x )＝ln(1＋x )＋m ln(1－x )是偶函数，则( )A ．m ＝1，且f (x )在(0,1)上是增函数B ．m ＝1，且f (x )在(0,1)上是减函数C ．m ＝－1，且f (x )在(0,1)上是增函数D ．m ＝－1，且f (x )在(0,1)上是减函数 【答案】B【解析】因为函数f (x )＝ln(1＋x )＋m ln(1－x )是偶函数，所以⎪⎭⎫ ⎝⎛21f ＝⎪⎭⎫⎝⎛21-f ，则(m －1)ln 3＝0，即m ＝1，则f (x )＝ln(1＋x )＋ln(1－x )＝ln(1－x 2)，因为当x ∈(0,1)时，y ＝1－x 2是减函数，故f (x )在(0,1)上是减函数．故选B.8．(2019·广州模拟)定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝－f (x )，f (x )＝f (x ＋4)，且当x ∈(－1,0)时，f (x )＝2x ＋15，则f (log 220)＝( ) A ．1B.45 C ．－1D ．－45【解析】 因为x ∈R ，且f (－x )＝－f (x )，所以函数为奇函数．因为f (x )＝f (x ＋4)，所以函数的周期为4.故f (log 220)＝f (log 220－4)＝⎪⎭⎫ ⎝⎛45log 2f ＝⎪⎭⎫ ⎝⎛45log --2f ＝⎪⎭⎫ ⎝⎛54log --2f ＝⎪⎭⎫ ⎝⎛+-5154log 22＝⎪⎭⎫⎝⎛+-5154＝－1.故选C.9．(2020·成都八中月考)设函数f (x )＝ln(1＋|x |)－11＋x 2，则使f (x )＞f (2x －1)成立的x 的取值范围是( ) A.⎪⎭⎫⎝⎛131，B.⎪⎭⎫ ⎝⎛∞31-，∪(1，＋∞)C.⎪⎭⎫ ⎝⎛3131，D.⎪⎭⎫ ⎝⎛∞31-，∪⎪⎭⎫ ⎝⎛∞+，31 【解析】 由题意知f (－x )＝f (x )，所以函数f (x )是偶函数，当x ≥0时，易得函数f (x )＝ln(1＋x )－11＋x 2是增函数，所以不等式f (x )＞f (2x －1)等价于|2x －1|＜|x |，解得13＜x ＜1，则x 的取值范围是⎪⎭⎫⎝⎛131， 10.(2020·福建龙岩期末)设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，满足f (x ＋1)＝－f (x －1)，若f (－1)>1，f (5)＝a 2－2a －4，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－1，3) B ．(－∞，－1)∪(3，＋∞) C ．(－3，1)D ．(－∞，－3)∪(1，＋∞)【解析】：由f (x ＋1)＝－f (x －1)，可得f (x ＋2)＝－f (x )，则f (x ＋4)＝f (x )，故函数f (x )的周期为4，则f (5)＝f (1)＝a 2－2a －4，又因为f (x )是定义在R 上的奇函数，f (－1)>1，所以f (1)<－1，所以a 2－2a －4<－1，解得－1<a <3，故答案为A.二、填空题1.已知定义在R 上的函数满足f (x ＋2)＝－1f （x ），当x ∈(0，2]时，f (x )＝2x －1.则f (17)＝ ，f (20)＝ ． 【答案】：1 －13【解析】： 因为f (x ＋2)＝－1f （x ）， 所以f (x ＋4)＝－1f （x ＋2）＝f (x )，所以函数y ＝f (x )的周期T ＝4. f (17)＝f (4×4＋1)＝f (1)＝1.f (20)＝f (4×4＋4)＝f (4)＝f (2＋2)＝－1f （2）＝－12×2－1＝－13.2.(2020·晋中模拟)已知f (x )是R 上的奇函数，f (1)＝2，且对任意x ∈R 都有f (x ＋6)＝f (x )＋f (3)成立，则f (2 023)＝__________. 【答案】 2【解析】因为f (x ＋6)＝f (x )＋f (3)，令x ＝－3，f (3)＝f (－3)＋f (3)＝－f (3)＋f (3)＝0，所以f (x ＋6)＝f (x )＋0＝f (x )，所以T ＝6，f (2 023)＝f (337×6＋1)＝f (1)＝2.3.已知f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，且f (－1)＋g (1)＝2，f (1)＋g (－1)＝4，则g (1)等于 ． 【答案】：3【解析】：f (－1)＋g (1)＝2，即－f (1)＋g (1)＝2①， f (1)＋g (－1)＝4，即f (1)＋g (1)＝4②， 由①②得，2g (1)＝6，即g (1)＝3.4.设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3（x ＋1），x ≥0，g （x ），x <0，则g (f (－8))＝ ．【答案】：－1【解析】：因为f (x )是定义在R 上的奇函数， 所以f (－8)＝－f (8)＝－log 39＝－2，所以g (f (－8))＝g (－2)＝f (－2)＝－f (2)＝－log 33＝－1.5.设函数f (x )是定义在R 上周期为2的偶函数，当x ∈[0，1]时，f (x )＝x ＋1，则⎪⎭⎫⎝⎛23f ＝ ．【答案】：32【解析】：依题意得，f (2＋x )＝f (x )，f (－x )＝f (x )，则⎪⎭⎫⎝⎛23f ＝⎪⎭⎫ ⎝⎛21-f ＝⎪⎭⎫ ⎝⎛21f ＝12＋1＝32.6.已知f (x )，g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，且f (x )－g (x )＝x⎪⎭⎫⎝⎛21，则f (1)，g (0)，g (－1)之间的大小关系是 ． 【答案】：f (1)>g (0)>g (－1)【解析】：在f (x )－g (x )＝x⎪⎭⎫ ⎝⎛21中，用－x 替换x ，得f (－x )－g (－x )＝2x ，由于f (x )，g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，所以f (－x )＝－f (x )，g (－x )＝g (x )，因此得－f (x )－g (x )＝2x.联立方程组解得f (x )＝2－x －2x2，g (x )＝－2－x ＋2x 2，于是f (1)＝－34，g (0)＝－1，g (－1)＝－54，故f (1)>g (0)>g (－1)．7.(2019·常德模拟)设f (x )是偶函数，且当x ＞0时，f (x )是单调函数，则满足f (2x )＝⎪⎭⎫⎝⎛++41x x f 的所有x 之和为______。
2021-2022年高考数学一轮复习专题2.3函数奇偶性讲
2021年高考数学一轮复习专题2.3函数奇偶性讲【考纲解读】内容要求备注A B C函数概念与基本初等函数Ⅰ函数的基本性质√1．了解奇函数、偶函数的定义，并能运用奇偶性的定义判断一些简单函数的奇偶性．2．掌握奇函数与偶函数的图像对称关系，并能熟练地利用对称性解决函数的综合问题．【直击考点】题组一常识题1．[教材改编] 函数f(x)＝x2－1，f(x)＝x3，f(x)＝x2＋cos x，f(x)＝1x＋|x|中偶函数的个数是________．【答案】2【解析】f(x)＝x2－1和f(x)＝x2＋cos x为偶函数．2．[教材改编] 已知f(x)为奇函数，当x>0时，f(x)＝x－1，则f(－2)＝________．【答案】1－ 2【解析】f(－2)＝－f(2)＝－(2－1)＝1－ 2.3．[教材改编] 已知函数f(x)满足f(x＋3)＝f(x)，当x∈(0，1]时，f(x)＝log4(x2＋3)，则f(xx)＝________．【答案】1题组二常错题4．函数f(x)＝lg（1－x2）|x＋3|－3是________(填“奇”或“偶”或“非奇非偶”)函数．【答案】奇【解析】由⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2＞0，|x ＋3|－3≠0，得－1＜x ＜1，且x ≠0，∴函数f (x )的定义域为(－1，0)∪(0，1)．∵f (x )＝lg （1－x 2）|x ＋3|－3＝lg （1－x 2）x ，∴f (－x )＝lg （1－x 2）－x＝－f (x )，∴f (x )是奇函数．5．具有性质：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x＝－f (x )的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，给出下列函数：①f (x )＝x －1x ；②f (x )＝x ＋1x ；③f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，0<x <1，0，x ＝1，－1x ，x >1.其中满足“倒负”变换的函数是________．(填序号) 【答案】①③6．已知定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋32，且f (1)＝2，则f (xx)＝________． 【答案】2【解析】∵f (x )＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋32，∴f (x ＋3)＝f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋32＋32＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋32＝f (x )，∴f xx ＝f (671×3＋1)＝f (1)＝2. 题组三 常考题7． 下列函数为奇函数的是________．(填序号) ①y ＝1x2，②y ＝tan 2x ，③y ＝x ＋cos x ，④y ＝e x ＋e －x.【答案】②【解析】y ＝1x2和y ＝e x ＋e －x是偶函数，y ＝x ＋cos x 是非奇非偶函数，只有y ＝tan 2x 是奇函数．8．已知f (x )，g (x )分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且f (x )－g (x )＝x 2＋1，则f (1)＋g (1)＝________．【答案】2【解析】令x＝－1得，f(－1)－g(－1)＝(－1)2＋1＝2.因为f(x)，g(x)分别是偶函数和奇函数，所以f(－1)＝f(1)，g(－1)＝－g(1)，即f(1)＋g(1)＝2.9．函数f(x)＝2x＋aa·2x＋b是R上的奇函数，则a·b＝________．【答案】1【知识清单】1 函数奇偶性的判断奇偶性定义图像特点偶函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数关于y轴对称奇函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数关于原点对称2 函数奇偶性的应用(1)已知函数的奇偶性求函数的解析式．利用奇偶性关于f(x)的方程，从而可得f(x)的解析式．(2)已知带有字母参数的函数的表达式及奇偶性求参数．常常采用待定系数法：利用f(x)±f(－x)＝0产生关于字母的恒等式，由系数的对等性可得知字母的值．(3)奇偶性与单调性综合时要注意奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反．（4）抽象函数的奇偶性就是要判断－x对应的函数值与x对应的函数值之间的关系，从而得到函数图象关于原点或y轴对称，结合函数的图形作出进一步的判断．【考点深度剖析】函数的奇偶性在高考中占有重要的地位，在命题时主要是与函数的概念、图像、性质综合在一起考查．而近几年的高考中加大了对非三角函数的周期性和抽象函数的奇偶性、周期性的考查力度．【重点难点突破】考点1 函数奇偶性的判断【1-1】判断函数f (x )＝1－x 2＋x 2－1的奇偶性； 【答案】f (x )既是奇函数又是偶函数． 【解析】解：∵由得x ＝±1 ∴f (x )的定义域为{－1,1}．又f (1)＋f (－1)＝0，f (1)－f (－1)＝0， 即f (x )＝±f (－x )．∴f (x )既是奇函数又是偶函数．【1-2】判断函数f (x )＝4－x2|x ＋3|－3的奇偶性；【答案】f (x )是奇函数．【解析】∵由得－2≤x ≤2且x ≠0. ∴f (x )的定义域为[－2,0)∪(0,2]， ∴f (x )＝4－x2|x ＋3|－3＝4－x 2x ＋3－3＝4－x2x，∴f (－x )＝－f (x )，∴f (x )是奇函数． 【1-3】判断函数f (x )＝的奇偶性； 【答案】f (x )是偶函数．【1-4】判断函数f (x )＝3－2x ＋2x －3的奇偶性； 【答案】f (x )既不是奇函数，也不是偶函数．【解析】∵函数f (x )＝3－2x ＋2x －3的定义域为，不关于坐标原点对称， ∴函数f(x)既不是奇函数，也不是偶函数 【思想方法】1．判断函数奇偶性的两个方法 (1)定义法：(2)图像法：2.判断分段函数的奇偶性应分段分别证明f (－x )与f (x )的关系，只有对各段上的x 都满足相同的关系时，才能判断其奇偶性．【温馨提醒】定义域关于原点对称是函数为奇函数或偶函数的必要条件 考点2 函数奇偶性的应用【2-1】已知y ＝f (x )＋x 2是奇函数，且f (1)＝1.若g (x )＝f (x )＋2，则g (－1)＝________. 【答案】－1.【2-2】设偶函数f (x )在(0，＋∞)上为减函数，且f (2)＝0，则不等式的解集为________. 【答案】 (－∞，－2)∪(0,2)． 【解析】∵f (x )为偶函数， ∴ ∴xf (x )>0. 或又f (－2)＝f (2)＝0，f (x )在(0，＋∞)上为减函数， 故x ∈(0,2)或x ∈(－∞，－2)．【2-3】设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且对任意x ∈R 都有f (x )＝f (x ＋4)，当x ∈[－2，0)时，f (x )＝2x，则f (2 014)－f (2 013)的值为_______.【答案】14【解析】由题可知函数的周期为4，故f (2 014)－f (2 013)＝f (2)－f (1)．因为f (x )是R 上的奇函数，所以f (2)＝－f (－2)＝－2－2＝－14，f (1)＝－f (－1)＝－2－1＝－12，所以f (2 014)－f (2 013)＝－14＋12＝14.【2-4】已知函数f (x )＝x 2－m是定义在区间[－3－m ，m 2－m ]上的奇函数，则f (m )＝________.【答案】-1【思想方法】①若函数f (x )为偶函数，则函数在y 轴两侧单调性相反；若函数f (x )为奇函数，则函数在原点两侧的单调性相同．②利用函数的奇偶性把研究整个函数具有的性质问题转化到只研究部分(一半)区间上的问题，是简化问题的一种途径．【温馨提醒】奇偶函数的不等式求解时，要注意到：奇函数在对称的单调区间上有相同的单调性，偶函数在对称的单调区间上有相反的单调性．【易错试题常警惕】f (0)＝0既不是f (x )是奇函数的充分条件，也不是必要条件.已知定义在R 上的奇函数f (x )有最小正周期2，且当x ∈(0，1)时，f (x )＝2x4x ＋1.(1)求f (1)和f (－1)的值； (2)求f (x )在[－1，1]上的解析式. 解 (1)∵f (x )是周期为2的奇函数， ∴f (1)＝f (1－2)＝f (－1)＝－f (1)， ∴f (1)＝0，f (－1)＝0.(2)由题意知，f (0)＝0.当x ∈(－1，0)时，－x ∈(0，1). 由f (x )是奇函数，∴f (x )＝－f (－x )＝－2－x4－x ＋1＝－2x4x ＋1，综上，在[－1，1]上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x4x＋1，x ∈（0，1），－2x 4x＋1，x ∈（－1，0），0，x ∈{－1，0，1}.。
高考数学复习第2章 函数的奇偶性与周期性
反”)．
(2)在公共定义域内
(ⅰ)两个奇函数的和函数是⑨________,两个奇函数的积函数是⑩
奇函数
________.
偶函数
偶函数
(ⅱ)两个偶函数的和函数、积函数是⑪________.
奇函数
(ⅲ)一个奇函数与一个偶函数的积函数是⑫________.
(3)若f(x)是奇函数且在x＝0处有意义,则f(0)＝⑬________.
称．定义域关于原点对称是判断函数具有奇偶性的一个必要条件．
2．判断函数f(x)的奇偶性时,必须对定义域内的每一个x,均有f(－x)
＝－f(x)或f(－x)＝f(x),而不能说存在x0 使f(－x0)＝－f(x0)、f(－x0)＝
f(x0)．
【小题热身】
一、判断正误
1．判断下列说法是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．
2
∴a＝－3.
考点一 函数的奇偶性[分层深化型]
考向一：判断函数的奇偶性
1．[2021·成都市高三阶段考试]已知y＝f(x)是定义在R上的奇函数,
则下列函数中为奇函数的是(
)
①y＝f(|x|)；②y＝f(－x)；③y＝xf(x)；④y＝f(x)＋x.
A．①③
B．②③
C．①④
D．②④
解析：因为y＝f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(－x)＝－f(x),由f(|
－x|)＝f(|x|),知①是偶函数；由f[－(－x)]＝f(x)＝－f(－x),知②是奇函
数；由y＝f(x)是定义在R上的奇函数,且y＝x是定义在R上的奇函数,奇
×奇＝偶,知③是偶函数；由f(－x)＋(－x)＝－[f(x)＋x],知④是奇函
C．y＝|ln x|
2021年新高考一轮复习函数的奇偶性、对称性、周期性
微专题 函数的奇偶性、对称性、周期性【方法点拨】1.函数奇偶性、对称性间关系：(1)若函数y ＝f (x ＋a )是偶函数，即f (a －x )＝f (a ＋x )，则函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a 对称；一般的，若对于R 上的任意x 都有f (a －x )＝f (a ＋x )，则y ＝f (x )的图象关于直线x =a+b 2对称．(2)若函数y ＝f (x ＋a )是奇函数，即f (－x ＋a )＋f (x ＋a )＝0，则函数y ＝f (x )关于点(a ，0)中心对称；一般的，若对于R 上的任意x 都有f (－x ＋a )＋f (x ＋a )＝2b ，则y ＝f (x )的图象关于点(a ，b )中心对称．2. 函数对称性、周期性间关系：若函数有多重对称性，则该函数具有周期性且最小正周期为相邻对称轴距离的2倍，为相邻对称中心距离的2倍，为对称轴与其相邻对称中心距离的4倍．3. 善于发现函数的对称性（中心对称、轴对称），有时需将对称性与函数的奇偶性相互转化. 【典型题示例】例1(2019·江苏启东联考)已知函数f (x )对任意的x ∈R ，都有f ⎝⎛⎭⎫12＋x ＝f ⎝⎛⎭⎫12－x ，函数f (x ＋1)是奇函数，当－12≤x ≤12时，f (x )＝2x ，则方程f (x )＝－12在区间[－3,5]内的所有根之和为________.【解析】因因因因f (x 因1)因因因因因因因f (因x 因1)因因f (x 因1)因因因因f ⎝⎛⎭⎫12因x 因 f ⎝⎛⎭⎫12因x 因因因f (1因x )因f (x )因因因f (x 因1)因因f (x )因因f (x 因2)因因f (x 因1)因f (x )因 因因 因因f(x )因因因因2因因因因因因因因x 因12因因因因因因因f (x )因因因因因因因因由图象可得f (x )＝－12在区间[－3,5]内有8个零点，且所有根之和为12×2×4＝4. 例2 已知()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，满足(1)(1)f x f x -=+．若(1)2f =，则(1)(2)(3)(50)f f f f ++++=…A ．50-B ．0C ．2D ．50【分析】同例1得f (x )的的的的4，故f (1) ＋f (2) ＋f (3) ＋f (4)＝f (5) ＋f (6) ＋f (7) ＋f (8)＝···＝f (45) ＋f (46) ＋f (47) ＋f (48)，而f (1)＝2，f (2)＝f (0)＝0（f (1－x )＝f (1＋x )中，取x ＝1）、f (3)＝f (－1) ＝－f (1)＝－2、f (4)＝f (0)＝0，故f (1) ＋f (2) ＋f (3) ＋f (4)＝f(5) ＋f (6) ＋f (7) ＋f (8) ＝···＝f (45) ＋f (46) ＋f (47) ＋f (48) ＝0，所以f (1) ＋f (2) ＋f (3) ＋···＋f (50) ＝f (47) ＋f (48) ＝f (1) ＋f (2) ＝2.例3已知函数()y f x =是R 上的奇函数，对任意x R ∈，都有(2)()f x f x f -=+（2）成立，当1x ，2[0x ∈，1]，且22x x ≠时，都有1212()()0f x f x x x ->-，则下列结论正确的有( ) A ．f （1）f +（2）f +（3）(2019)0f +⋯+=B ．直线5x =-是函数()y f x =图象的一条对称轴C ．函数()y f x =在[7-，7]上有5个零点D ．函数()y f x =在[7-，5]-上为减函数【解答】解：根据题意，函数()y f x =是R 上的奇函数，则(0)0f =；对任意x R ∈，都有(2)()f x f x f -=+（2）成立，当2x =时，有(0)2f f =（2）0=，则有f （2）0=，则有(2)()f x f x -=，即1x =是函数()f x 的一条对称轴；又由()f x 为奇函数，则(2)()f x f x -=--，变形可得(2)()f x f x +=-，则有(4)(2)()f x f x f x +=-+=，故函数()f x 是周期为4的周期函数，当1x ，2[0x ∈，1]，且22x x ≠时，都有1212()()0f x f x x x ->-，则函数()f x 在区间[0，1]上为增函数，又由()y f x =是R 上的奇函数，则()f x 在区间[1-，1]上为增函数；据此分析选项：对于A ，(2)()f x f x +=-，则f （1）f +（2）f +（3）f +（4）[f =（1）f +（3）][f + （2）f +（4）]0=， f （1）f +（2）f +（3）(2019)504[f f +⋯+=⨯（1）f +（2）f +（3）f +（4）]f +（1）f +（2）+（3）f =（2）0=，A 正确；对于B ，1x =是函数()f x 的一条对称轴，且函数()f x 是周期为4的周期函数，则5x = 是函数()f x 的一条对称轴，又由函数为奇函数，则直线5x =-是函数()y f x =图象的一条对称轴，B 正确；对于C ，函数()y f x =在[7-，7]上有7个零点：分别为6-，4-，2-，0，2，4，6；C 错误；对于D ，()f x 在区间[1-，1]上为增函数且其周期为4，函数()y f x =在[5-，3]-上为增函数，又由5x =-为函数()f x 图象的一条对称轴，则函数()y f x =在[7-，5]-上为减函数，D 正确；故选：ABD ．【巩固训练】1．已知函数()1()2x a f x -=关于1x =对称,则()()220f x f -≥的解集为_____.2．已知定义在R 上的函数()f x 满足(1)(3)f x f x +=--，且()f x 的图象与()lg 4x g x x=-的图象有四个交点，则这四个交点的横纵坐标之和等于___________. 3.已知函数()()f x x R ∈满足(1)(1),(4)(4)f x f x f x f x +=-+=-，且33x -<≤时，()ln(f x x =，则(2018)f =（ ）A ．0B ．1 C．2) D．2)4.已知定义在R 上的奇函数，满足，且在区间[0，2]上是增函数，若方程f (x )=m (m >0)在区间上有四个不同的根，则 85. （多选题）已知()f x 是定义域为R 的奇函数，且函数(2)f x +为偶函数，下列结论正确的是（ ）A ．函数()y f x =的图象关于直线1x =对称B ．f （4）0=C ．(8)()f x f x +=D ．若(5)1f -=-，则(2019)1f =-6．（多选题）函数()f x 的定义域为R ，且(1)f x -与(2)f x -都为偶函数，则( )A ．()f x 为偶函数B ．(1)f x +为偶函数C ．(2)f x +为奇函数D ．()f x 为同期函数 7.若定义在R 上的函数()f x 满足()()2f x f x +=-，()1f x +是奇函数，现给出下列4个论断： ①()f x 是周期为4的周期函数；②()f x 的图象关于点()1,0对称；③()f x 是偶函数； ④()f x 的图象经过点()2,0-；其中正确论断的个数是______________.)(x f (4)()f x f x -=-[]8,8-1234,,,x x x x 1234_________.x x x x +++=【答案或提示】1．【答案】[]1,2【解析】∵函数()1()2x a f x -=关于1x =对称,∴()111,2x a f x -⎛⎫== ⎪⎝⎭, 则由()()12202f x f -≥=,结合图象可得0222x ≤-≤,求得12x ≤≤.2．【答案】8 【解析】()lg 4x g x x=-，故(4)()g x g x -=-，即()y g x =的图象关于点(2,0)对称，又函数()f x 满足(1)(3)f x f x +=--，则函数()y f x =的图象关于点(2,0)对称，所以四个交点的横纵坐标之和为8.3.【答案】D【解析】因为()()()()11,44f x f x f x f x +=-+=-，所以()(2),()(8)(2)(8)826,f x f x f x f x f x f x T =-=-∴-=-∴=-=(2018)(2)ln(2f f ∴==+ .4.【答案】－85.【答案】BCD6．【答案】ABD7.【答案】3【解析】命题①：由()()2f x f x +=-，得：()()()42f x f x f x +=-+=， 所以函数()f x 的周期为4，故①正确；命题②：由()1f x +是奇函数，知()1f x +的图象关于原点对称，所以函数()f x 的图象关于点()1,0对称，故②正确；命题③：由()1f x +是奇函数，得：()()11f x f x +=--， 又()()2f x f x +=-，所以()()()()()()21111f x f x f x f x f x -=--+=-+-=--=， 所以函数()f x 是偶函数，故③正确；命题④：()()()2220f f f -=--+=-，无法判断其值，故④错误.综上，正确论断的序号是：①②③.。
(全国通用)高三数学 第11课时 第二章 函数 函数的奇偶性专题复习教案
第11课时：第二章 函数——函数的奇偶性一．课题：函数的奇偶性二．教学目标：掌握函数的奇偶性的定义及图象特征，并能判断和证明函数的奇偶性，能利用函数的奇偶性解决问题．三．教学重点：函数的奇偶性的定义及应用． 四．教学过程： （一）主要知识：1．函数的奇偶性的定义； 2．奇偶函数的性质：（1）定义域关于原点对称；（2）偶函数的图象关于y 轴对称，奇函数的图象关于原点对称； 3．()f x 为偶函数()(||)f x f x ⇔=．4．若奇函数()f x 的定义域包含0，则(0)0f =． （二）主要方法：1．判断函数的奇偶性，首先要研究函数的定义域，有时还要对函数式化简整理，但必须注意使定义域不受影响；2．牢记奇偶函数的图象特征，有助于判断函数的奇偶性；3．判断函数的奇偶性有时可以用定义的等价形式：()()0f x f x ±-=，()1()f x f x =±-． 4．设()f x ，()g x 的定义域分别是12,D D ，那么在它们的公共定义域上：奇+奇=奇，奇⨯奇=偶，偶+偶=偶，偶⨯偶=偶，奇⨯偶=奇． 5．注意数形结合思想的应用． （三）例题分析：例1．判断下列各函数的奇偶性： （1）()(f x x =-；（2）22lg(1)()|2|2x f x x -=--；（3）22(0)()(0)x xx f x x xx ⎧+<⎪=⎨-+>⎪⎩． 解：（1）由101xx+≥-，得定义域为[1,1)-，关于原点不对称，∴()f x 为非奇非偶函数．（2）由2210|2|20x x ⎧->⎪⎨--≠⎪⎩得定义域为(1,0)(0,1)-，∴22lg(1)()(2)2x f x x -=---22lg(1)x x -=-， ∵2222lg[1()]lg(1)()()x x f x x x ----=-=--()f x = ∴()f x 为偶函数（3）当0x <时，0x ->，则22()()()()f x x x x x f x -=---=-+=-， 当0x >时，0x -<，则22()()()()f x x x x x f x -=--=--+=-，综上所述，对任意的(,)x ∈-∞+∞，都有()()f x f x -=-，∴()f x 为奇函数．例2．已知函数()f x 对一切,x y R ∈，都有()()()f x y f x f y +=+， （1）求证：()f x 是奇函数；（2）若(3)f a -=，用a 表示(12)f ． 解：（1）显然()f x 的定义域是R ，它关于原点对称．在()()()f x y f x f y +=+中，令y x =-，得(0)()()f f x f x =+-，令0x y ==，得(0)(0)(0)f f f =+， ∴(0)0f =，∴()()0f x f x +-=，即()()f x f x -=-， ∴()f x 是奇函数． （2）由(3)f a -=，()()()f x y f x f y +=+及()f x 是奇函数， 得(12)2(6)4(3)4(3)4f f f f a ===--=-．例3．（1）已知()f x 是R 上的奇函数，且当(0,)x ∈+∞时，()(1f x x =， 则()f x的解析式为(10()(10x x f x x x ⎧+≥⎪=⎨-<⎪⎩．（2） （《高考A 计划》考点3“智能训练第4题”）已知()f x 是偶函数，x R ∈，当0x >时，()f x 为增函数，若120,0x x <>，且12||||x x <，则 （ B ）A .12()()f x f x ->-B .12()()f x f x -<-C .12()()f x f x ->-D . 12()()f x f x -<-例4．设a 为实数，函数2()||1f x x x a =+-+，x R ∈． （1）讨论()f x 的奇偶性； （2）求 ()f x 的最小值．解：（1）当0a =时，2()()||1()f x x x f x -=-+-+=，此时()f x 为偶函数； 当0a ≠时，2()1f a a =+，2()2||1f a a a -=++， ∴()(),()(),f a f a f a f a -≠-≠-此时函数()f x 既不是奇函数也不是偶函数．（2）①当x a ≤时，函数2213()1()24f x x x a x a =-++=-++，若12a ≤，则函数()f x 在(,]a -∞上单调递减，∴函数()f x 在(,]a -∞上的最小值为2()1f a a =+；若12a >，函数()f x 在(,]a -∞上的最小值为13()24f a =+，且1()()2f f a ≤． ②当x a ≥时，函数2213()1()24f x x x a x a =+-+=+-+，若12a ≤-，则函数()f x 在[,)a +∞上的最小值为13()24f a -=-，且1()()2f f a -≤；若12a >-，则函数()f x 在[,)a +∞上单调递增，∴函数()f x 在[,)a +∞上的最小值2()1f a a =+．综上，当12a ≤-时，函数()f x 的最小值是34a -，当1122a -<≤时，函数()f x 的最小值是21a +，当12a >，函数()f x 的最小值是34a +．例5．（《高考A 计划》考点3“智能训练第15题”）已知()f x 是定义在实数集R 上的函数，满足(2)()f x f x +=-，且[0,2]x ∈时，2()2f x x x =-，（1）求[2,0]x ∈-时，()f x 的表达式；（2）证明()f x 是R 上的奇函数． （参见《高考A 计划》教师用书57P ）（四）巩固练习：《高考A 计划》考点10智能训练6．。
高中数学复习课件-§2.3函数的奇偶性
|1 m || m |,
解得 1<m≤2.
2
因此实数m的取值范围是
1 2,2.若f(-x)≠-f(x)且f(-x)≠f(x),则f(x)既不是奇函数又不是偶函数.
3.奇、偶函数的性质 (1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性⑧ 相同 ,偶函数在关于 原点对称的区间上的单调性⑨ 相反 (填“相同”或“相反”). (2)在公共定义域内,两个奇函数的和是⑩ 奇函数 ,两个奇函数的积是 偶函数;两个偶函数的和、积都是 偶函数 ;一个奇函数与一个偶函 数的积是 奇函数 . 二、函数的周期性 1.定义:如果存在一个非零常数T,使得对于函数f(x)定义域内的任意x,都 有f(T+x)=f(x),则称f(x)为周期函数.不为零的常数T叫做这个函数的周期.
2.判断函数的奇偶性 判断函数的奇偶性,一般都按照定义严格进行,一般步骤是: (1)考察定义域是否关于③ 原点对称 ; (2)根据定义域考察表达式f(-x)是否等于f(x)或-f(x): 若f(-x)=④ -f(x) ,则f(x)为奇函数; 若f(-x)=⑤ f(x) ,则f(x)为偶函数; 若f(-x)=⑥ -f(x) 且f(-x)=⑦ f(x) ,则f(x)既是奇函数又是偶函数;
2-2 设定义在[-2,2]上的偶函数f(x)在区间[-2,0]上单调递减,若f(1-m)<f(m), 求实数m的取值范围.
解析 由偶函数性质知f(x)在[0,2]上单调递增,且f(1-m)=f(|1-m|),f(m)=f(|m|),
2 1 m 2,
因此f(1-m)<f(m)等价于 2 m 2,
1 ,又f(-x)=f(x),∴a(-x)2-bx=ax2+bx,∴b=0,∴a+b= 1 .
2021年高考数学复习函数奇偶性知识点知识点总结
2021年高考数学复习函数奇偶性知识点知识点总结
奇函数在其对称区间[a,b]和[-b，-a]上具有相同的单调性。
下面是函数奇偶性知识点，希望对考生复习有帮助。
一般地，对于函数f(_)
(1)如果对于函数定义域内的任意一个_，都有f(-_)=-f(_)，那么函数f(_)就叫做奇函数。
(2)如果对于函数定义域内的任意一个_，都有f(-_)=f(_)，那么函数f(_)就叫做偶函数。
(3)如果对于函数定义域内的任意一个_，f(-_)=-f(_)与f(-_)=f(_)同时成立，那么函数f(_)既是奇函数又是偶函数，称为既奇又偶函数。
(4)如果对于函数定义域内的任意一个_，f(-_)=-f(_)与f(-_)=f(_)都不能成立，那么函数f(_)既不是奇函数又不是偶函数，称为非奇非偶函数。
说明：①奇、偶性是函数的整体性质，对整个定义域而言
②奇、偶函数的定义域一定关于原点对称，如果一个函数的定义域不关于原点对称，则这个函数一定不是奇(或偶)函数。
(分析：判断函数的奇偶性，首先是检验其定义域是否关于原点对称，然后再严格按照奇、偶性的定义经过化简、整理、再与f(_)比较得出结论)
③判断或证明函数是否具有奇偶性的根据是定义
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2021年高三数学 第11课时 第二章 函数 函数的奇偶性专题复习教案 一．课题：函数的奇偶性 二．教学目标：掌握函数的奇偶性的定义及图象特征，并能判断和证明函数的奇偶性，能利
用函数的奇偶性解决问题．
三．教学重点：函数的奇偶性的定义及应用．
四．教学过程：
（一）主要知识：
1．函数的奇偶性的定义；
2．奇偶函数的性质：
（1）定义域关于原点对称；（2）偶函数的图象关于轴对称，奇函数的图象关于原点对称；
3．为偶函数．
4．若奇函数的定义域包含，则．
（二）主要方法：
1．判断函数的奇偶性，首先要研究函数的定义域，有时还要对函数式化简整理，但必须注意使定义域不受影响；
2．牢记奇偶函数的图象特征，有助于判断函数的奇偶性；
3．判断函数的奇偶性有时可以用定义的等价形式：，．
4．设，的定义域分别是，那么在它们的公共定义域上：
奇+奇=奇，奇奇=偶，偶+偶=偶，偶偶=偶，奇偶=奇．
5．注意数形结合思想的应用．
（三）例题分析：
例1．判断下列各函数的奇偶性：
（1）；（2）；
（3）22(0)()(0)x x x f x x x
x ⎧+<⎪=⎨-+>⎪⎩． 解：（1）由，得定义域为，关于原点不对称，∴为非奇非偶函数．
（2）由得定义域为，
∴， ∵2222lg[1()]lg(1)()()x x f x x x
----=-=-- ∴为偶函数 （3）当时，，则22
()()()()f x x x x x f x -=---=-+=-，
当时，，则22()()()()f x x x x x f x -=--=--+=-，
综上所述，对任意的，都有，∴为奇函数．
例2．已知函数对一切，都有，
（1）求证：是奇函数；（2）若，用表示．
解：（1）显然的定义域是，它关于原点对称．在中，
令，得，令，得，
∴，∴，即， ∴是奇函数．
（2）由，及是奇函数，
得(12)2(6)4(3)4(3)4f f f f a ===--=-．
例3．（1）已知是上的奇函数，且当时，，
则的解析式为．
（2） （《高考计划》考点3“智能训练第4题”）已知是偶函数，，当时，为增函数，若，且，则 （ ）
. .
. .
例4．设为实数，函数，．
（1）讨论的奇偶性； （2）求 的最小值．
解：（1）当时，2()()||1()f x x x f x -=-+-+=，此时为偶函数；
当时，，，
∴()(),()(),f a f a f a f a -≠-≠-
此时函数既不是奇函数也不是偶函数．
（2）①当时，函数2213()1()24f x x x a x a =-++=-++
， 若，则函数在上单调递减，∴函数在上的最小值为；
若，函数在上的最小值为，且． ②当时，函数221
3()1()24
f x x x a x a =+-+=+-+， 若，则函数在上的最小值为，且；
若，则函数在上单调递增，∴函数在上的最小值．
综上，当时，函数的最小值是，当时，函数的最小值是，
当，函数的最小值是．
例5．（《高考计划》考点3“智能训练第15题”）
已知是定义在实数集上的函数，满足，且时，，
（1）求时，的表达式；（2）证明是上的奇函数．
（参见《高考计划》教师用书）
（四）巩固练习：《高考计划》考点10智能训练6．。