江西省赣州市石城中学2020届高三数学上学期第十三次周考试题A文202002030394

江西省赣州市石城中学2020届高三数学上学期第十三次周考试题
（A ）文
时间：120分钟 分值：150分
一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合{}
0)3)(32(<-+∈=x x Z x A ，{}
x y x B ln 1-==，则=B A I （ ）
A ．(]e ,0
B ．{}e ,0
C ．{}2,1
D ．)2,1(
2．已知复数z 满足
i z
i
21211+=+（为虚数单位），则z 的虚部为（ ） A ．4
B ．i 4
C ．4-
D ．i 4-
3.设m R ∈，则"2"m =是“1,,4m 成等比数列”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C. 充要条件
D.既不充分也不必要
条件
4. 设曲线sin cos y x x =+在点(,1)2π处的切线与直线10x ay -+=平行，则实数a 等于（ ）
A ．1-
B ．
12
C ．2-
D ．2
5. 函数2ln ||
x y x x
=+
的图象大致为( )
6．已知实数x y 、满足不等式组2
1010x x y m x y ≤⎧⎪-+≥⎨⎪+-≥⎩
，若目标函数2z x y =-+的最大值不超过
4,则实数m 的取值范围是（ ） A ．(3,3)
B ．3]
C.[3,0]-
D ．[3,3]
7. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）
A ．8（π+4）
B ．8（π+8）
C ．16（π+4）
D ．16（π+8）
8. 已知函数()()sin cos sin f x x x x =+，则下列说法不正确的是( ) A. 函数()f x 的最小正周期为π B.()f x 在37,88ππ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上单调递减 C.()f x 的图象关于直线8
x π
=-
对称
D.将函数()f x 的图象向右平移8
π个单位，再向下平移1
2个单位长度后会得到一个奇函数
的图象 9．若2sin
sin
...sin 7
77
n n S π
ππ
=+++（n N +∈），则在122017,,,S S S L 中，值为零的个数是（ ）
A ．143
B ．144
C ．287
D ．288
10. 在平面直角坐标系 xOy 中，已知抛物线()2
:20E y px p =>的焦点为,F P 是抛物
线 E 上位于第一象限内的任意一点，Q 是线段 PF 上的点，且满足2133
OQ OP OF =+u u u r u u u r u u u r
，
则直线 OQ 的斜率的最大值为（ ）
A ．
2
2
B 31 D 2 11.已知1
22)(+-=x x a x f 为奇函数，)ln()(2
b x x g -=，若对)()(,,2121x g x f R x x ≤∈∀恒成
立，则b 的取值范围为（ ）
A ．]0,(-∞
B ．],(e --∞
C ．]0,[e -
D ．),[+∞-e
12．设函数⎭⎬⎫
⎩
⎨⎧=x e x x x x f 2,ln min )(（0x >）（{}b a ,m in 表示b a ,中的较小者），则函数
)(x f 的最大值为( )
A ．
24
e
B ．2ln 2
C ．
e
1
D ．
2ln 2
3
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分,共20分.
13．在平面直角坐标系xOy 中，已知角α的顶点和点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上一点M 坐标为(1,3)-，则tan()4
π
α+
= ．
14．在菱形ABCD 中，ο
60,2=∠=A AB ,M 为BC 中点，则=⋅BD AM ．
15.若曲线2
(1)y ax x =>在曲线2
(1)21
x y x x =>-的上方，
则a 的取值范围为 ．
16．如右图所示，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱1CC 的中点，点,P Q 分别为面1111A B C D 和线段1B C 上的动点，则PEQ ∆周长的最小值为 ．
三、解答题：本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17.（本小题满分12分）
已知数列{}n a 满足：11a =， 121n n a a n +-=+().n N +∈
（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求
32231
11111
n n a a a a a a ++++++---L 的值.
18.（本小题满分12分）
在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，4AC =，2BC =，E 是AC 的中点，F 是线段AB 上一个动点，且
−→−AF =λ−→−AB
(0<λ<1)，如图所示，沿BE 将CEB ∆翻折至DEB ∆，使得
平面DEB ⊥平面ABE . （1）当1
3
λ=
时，证明：EF ⊥平面DBE ； （2）是否存在λ，使得三棱锥D BEF -的体积是2
3
？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由.
19.（本小题满分12分）
在ABC ∆中，角C B A 、、的对边分别为a 、b 、c ，若12cos 2
cos 22=-+C B
A . （1）求角C 的大小；
（2）若ABC ∆三边长成等差数列,且1a =，求ABC ∆的面积.
20.（本小题满分12分）
已知椭圆()2222:10x y E a b a b
+=>>的短轴长为2，6
直线l 过点()1 0-，
交椭圆E 于A 、B 两点，O 为坐标原点. （1）求椭圆E 的方程； （2）求OAB △面积的最大值.
21.（本小题满分12分）
已知函数()22ln f x x a x ax a R =-+∈，
，且0a ≠.
（1）若函数()f x 在区间[1 )+∞，上是减函数，求实数a 的取值范围；
（2）设函数()()()
2231g x a x a a x =+-+，当1x >时，()()f x g x <恒成立，求a 的取值范围.
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
已知直线l
的参数方程为x t
y =⎧⎪
⎨=
⎪⎩t 为参数），若以直角坐标系xOy 的O 点为极点，Ox 方向为极轴，选择相同的长度单位建立极坐标系，得曲线C 的极坐标方程为
2cos 4πρθ⎛
⎫
=-
⎪⎝
⎭
. （1）求直线l 的倾斜角和曲线C 的直角坐标方程；
（2）若直线l 与曲线C 交于A 、B
两点，设点0 P ⎛ ⎝⎭
，求PA PB +.
23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 设函数()212f x x x =+--. （1）求不等式()2f x >的解集； （2）若x R ∀∈，()211
2
f x t t ≥-
恒成立，求实数t 的取值范围.
数学（文A ）答案
1-5. CCAA C 6—10:DBDDD 11-12.BA
13． 14． 15. [1,)+∞ 16.
17.（本小题满分12分） 解（
1）121(2)n n a a n n --=-≥Q
又112211()()()n n n n n a a a a a a a a ---=-+-++-+Q L =2(21)(23)31n n n -+-+++=L （2）
211222211
1111(2)1111(1)(1)11
n n n n n a a n a a a n n n n n +-+==+=+=+=+-≥-----+-+ 1111111=(11)(1)(1)(1)3243511n n ∴+-++-++-+++-++L 原式
1111111111
=(n-1)+(1)324351121
n n n n n -+-+-++-=+--
+++L
18.解析：（1）在ABC ∆中，90C ∠=︒，即AC BC ⊥，则BD DE ⊥， 取BF 的中点N ，连接CN 交BE 于M ， 当1
3
λ=
时，F 是AN 的中点，而E 是AC 的中点， ∴EF 是ANC ∆的中位线，∴EF CN ∥.在BEF ∆中，N 是BF 的中点， ∴M 是BE 的中点.
在Rt BCE ∆中，2EC BC ==，∴CM BE ⊥，则EF BE ⊥. 又平面DBE ⊥平面ABC ，平面DBE I 平面ABC BE =， ∴EF
⊥平面DBE .
（2）连接DM ，由（1）知CM BE ⊥，
∴DM
BE ⊥，
而平面DBE ⊥平面ABC ,平面DBE I 平面ABC BE =.
∴DM
⊥平面ABC ，即DM 是三棱锥D BEF -的高，且2DM CM ==
过E 作EH
AB ⊥于点H .则11
22
ABE S AE BC AB EH ∆=⋅⋅=⋅⋅，
即
11
2222
EH ⨯⨯=
，可得5EH =.
假设存在满足题意的λ，则三棱锥
D BEF -的体积为
13BEF V S DM ∆=⨯=11
32BF EH DM ⨯⨯⨯=
113253BF ⨯⨯⨯=.
解得BF =
，∴12AF AB λ===， 故存在1
2
λ=
，使得三棱锥D BEF -
.
19.（本小题满分12分）
解：(1)01cos cos 20cos 2cos 12cos 2cos 222
=-+⇒=+⇒=-+C C C C C B
A Θ 3
1cos 21cos π
=⇒-==∴C C C （舍）或
(2))(2为等差中项只可能三边成等差数列c b a c +=⇒Θ，
3)3
2sin(sin 3sin sin sin sin sin 2=-+⇒=+⇒+=∴A A B A B A C π
3
1)6sin(1cos 21sin 23ππ=⇒=+⇒=+∴
A A A A 因此△ABC 为边长为1的等边三角形，
ABC S ∆∴=
20.（1）2213
x y +=；（2
解析：（1）由题意得1b =
，由221c a a c ⎧=⎪⎨⎪=+⎩
得a c ⎧=⎪⎨=⎪⎩∴椭圆E 的方程为2
213
x y +=；
（2）依题意设直线l 的方程为1x my =-，
由22
131x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩
，得()
223220m y my +--=， ()
22
4830m m ∆=++>，设()()1122 A x y B x y ，
，，，则1221222323m y y m y y m ⎧
+=⎪⎪+⎨⎪=-
⎪+⎩
，
12112OAB
S y y =⨯⨯-=△
设()2
33m t t +=
≥
，则OAB
S =△.
∵3t ≥，∴11
03
t <≤，
∴当11
3
t =，即3t =时，
OAB △，此时0m =.
21.（1）1
( ][1 )2
-∞-+∞U ，，；
（2）[ 1 0)-，. 解：（1）∵函数()f x 在区间[1 )+∞，上是减函数，则()21
'20f x a x a x
=
-+≤， 即()()()22212110F x a x ax ax ax =--=+-≥在[1 )+∞，上恒成立，当0a ≠时，令()0F x =，得12x a =-
或1x a =，①若0a >，则11a ≤，解得1a ≥；②若0a <，则112a -≤，
解得1
2
a ≤-. 综上，实数a 的取值范围是1
( ][1 )2
-∞-+∞U ，，.
（2）令()()()h x f x g x =-，则()()221ln h x ax a x x =-++，根据题意，当()1 x ∈+∞，时，()0h x <恒成立，所以()()()()1211'221x ax h x ax a x x
--=-++=
. ①当102a <<
时，1 2x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，时，()'0h x >恒成立，所以()h x 在1 2a ⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
，上是增函数，且()1 2h x h a ⎛⎫
⎛⎫∈+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，
，所以不符题意. ②当1
2
a ≥
时，()1 x ∈+∞，
时，()'0h x >恒成立，所以()h x 在()1 +∞，上是增函数，且()()()1 h x h ∈+∞，所以不符题意.
③当0a <时，()1 x ∈+∞，
时，恒有()'0h x <，故()h x 在()1 +∞，上是减函数，于是“()0h x <对任意()1 x ∈+∞，都成立”的充要条件是()10h ≤，即()210a a -+≤，解得1a ≥-，故10a -≤<
22.（1）
3π
，221x y ⎛
⎛+-= ⎝⎭⎝⎭
；（2
）PA PB +=. 解析：（1）直线l 倾斜角为
3
π
， 曲线C
的直角坐标方程为221x y ⎛⎛-+= ⎝⎭⎝⎭
， （2
）容易判断点0 2P ⎛ ⎝⎭
，在直线l 上且在圆C 内部，所以PA PB AB +=， 直线l
的直角坐标方程为2
y =+
.
所以圆心 22⎝⎭，到直线l
的距离d =
AB =
PA PB +=. 23.（1）{}
15x x x ><-或；（2）1 52⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
，.
解析：（1）由题意得()13 213 1 223 2x x f x x x x x ⎧--<-⎪⎪
⎪
=--≤<⎨⎪
+≥⎪⎪⎩
，，
，
，当12x <-时，不等式化为32x -->，解得5x <-，∴5x <-，当1
22
x -≤<时，不等式化为312x ->，解得1x >，∴12x <<，当2
x ≥时，不等式化为32x +>，解得1x >-，∴2x ≥，综上，不等式的解集为{}
15x x x ><-或. （2）由（1）得()2min 51122f x t t =-≥-，解得152t ≤≤，综上，t 的取值范围为1 52⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
，.。