2020届高三文科数学精准培优专练六：三角函数(解析版)

5
5
5
55
55
所以函数的最大值为 1．本题选择 A 选项．
6．函数 y sin x
0 的部分图象如图所示，则
， 的值分别可以是（
）
A． 1， π 3
【答案】 D
B． 1， 2 π 3
【解析】 由图可知，该三角函数的周期
则 y sin 2 x ，
C． 2 ， 2 π 3
T 4 π π π，所以 33
y
1 2sin x
π；
3
23
③函数 f x 在区间
π ,
5π
上单调递增；④若
fx
a ，则 cos
1 x
π
a．
33
233
A． 1
B． 2
C． 3
D． 4
【答案】 A
【解析】
①令
1 x
ππ kπ k
Z ，解得 x
2π 2kπ k
Z ，当 k 1 时，则 x
8π ，故正确
2 62
3
3
②将函数 f x 的图像向右平移 π个单位得： y
D． y f x 的图象关于直线 x 【答案】 D
π 对称
12
【解析】 函数 f x 3sin 2x π 1 x R ，周期为 T 2π π，
3
2
对于 A：由 f x1 f x2 1 ，可能 x1 与 x2 关于其中一条对称轴是对称的，此时
x1 x2 不是 π的整数倍，故
错误
对于 B：由诱导公式， 3sin 2 x π 1 3cos π 2 x π 1 3cos 2 x 5π 1 ，故错误
5
5
5
A． 1 【答案】 A
B． sin π 5
C． 2sin π 5
） D． 5
【解析】 由题意可知： cos x 2π cos x π π cos x π cos π sin x π sin π，
5
55
55
55
则： f x cos x 2 π 2sin πsin x π cos x π cos π sin x π sin π cos x ，
f 2014π =f 4π
3
3
cos πsin π 33
3 ， ① 对． 4
当x
π, π 时， f x cosx sin x 1 sin 2x ， 2 x
π, π ，所以 f x 在 π, π 上单调递增．
44
2
22
44
③ 对． f π 4
1
3π
,f
2
4
1 ，所以 ④ 错．即 ①③ 对，填 ①③ ． 2
故选 A．
12．函数 f x Asin x
A 0, 0,
π 的图象关于直线
x
π 对称，它的最小正周期为
π，
2
3
则函数 f x 图象的一个对称中心是（
）
A． π,0 12
【答案】 D
B． π,1 3
C． 5π,0 12
D． π,0 12
【解析】 由 2 π π，解得
2 ，可得 f x A sin 2 x
12 2
6
π, 5π ， 36
f x sin 2 x π 6
3 ,1 ． 2
3．三角函数的性质
例 3：函数 f x 3 sin 2x cos2 x （
A．在 C．在
π, π 上单调递减 36
π ,0
上单调递减
6
【答案】 D
）
B．在 π, π 上单调递增 63
D．在 0, π 上单调递增 6
【解析】 f x
1 ，则 cos 2π 2 的值为（
）
3
3
A． 1 3
B． 7 9
C． 1 3
D． 7 9
【答案】 B
【解析】 由题得 cos 2 π 2 =cos π π 2
3
3
cos π 2 3
cos2 π 6
1 2sin 2 π 6
1 12
9
7 ．故答案为 B． 9
2．函数 f x 2sin 2 x π 的一个单调递增区间是（
12 24
24
π T， 12 2
又∵ T 2π∴ 8 ，
当 k 3，
7 时， f x sin 7 x
，由 x π是函数 f x 最小值点横坐标知
π，
4
4
此时， f x 在 x
π ,
π 递减， x
12 28
ππ ,
递增，不满足
f
x在
ππ ,
单调，故舍去；
28 24
12 24
当 k 2 ， 5 时， f x sin 5 x
）
6
A． π, π 63
B． π, 5π 36
C． π, π 36
D． π, 2π 63
【答案】 B
【解析】 ∵ f x 2sin 2 x π ，∴ f x 6
2sin 2x π ， 6
令 π 2kπ 2 x π 3π 2kπ, k Z ，得 π kπ x 5π kπ, k Z ．
2
62
3
6
取 k 0 ，得函数 f x 的一个单调递增区间是
2
2
2
2
2
2
1 cos2 x
3 sin 2 x
sin 2 x
cos2 x
2
2
1
3
3
1
cos2 x
sin 2 x cos2 x
sin 2x cos2 x
2
2
2
2
sin 2x π 6
T
π 对称轴方程： 2x
ππ kπ
x
π kπ k
Z．
62
32
（2） f x sin 2 x π ，∵ x 6
π, π ， 2 x π
3
1
3 sin 2x cos 2x 2 sin 2 x cos 2 x
2sin 2x π ，
2
2
6
单调递增区间： 单调递减区间：
π
ππ
2 kπ 2 x
2kπ
2
62
π
π
kπ x
kπ k Z
3
6
π
π 3π
π
2π
2kπ 2x
2kπ
kπ x
kπ k Z
2
62
6
3
符合条件的只有 D．
对点增分集训
一、单选题
1．若 sin π 6
1 2sin x
π
π
2sin 1 x ，故错误
3
2
36
2
③令
π
2kπ
1 x
π π 2kπk
Z ，解得
4π 4kπ x 2π 4kπ k Z ，故错误
2
2 62
3
3
④若 f x a ，即 2sin 1 x π a ，则 cos 1 x π sin π 1 x π
26
23
22 3
sin 1 x π a ，故错误 262
D． 2 ， π 3
2π 2 ， T
因为 f π f π ，所以该三角函数的一条对称轴为
3
2
ππ x 3 2 5π，
2 12
将
5π ,1
代入
y
sin 2 x
12
，可解得
π ，所以选 D．
3
7．已知函数 f x sin x
0,
π ， x π和 x π分别是函数 f x 取得零点和最小值点横坐
2
4
4
标，且 f x 在
44
π ,0
中心对称
2
其中正确说法的序号是（
）
A． ②③
B． ①③
【答案】 B
C． ①④
D． ①③④
【解析】 f x π cos x π sin x π cosx sinx ，所以函数 f x 的周期不为 π， ② 错，
f x π cos x 2π sin x 2 π cosx sinx ，周期为 T 2π．
3
63
函数的一个函数是（
）
A． y
x sin
π
23
B． y sin 2 x π 6
C． y cos 2 x π 3
D． y sin 2x π 3
【答案】 B
【解析】 函数 y
x sin
2
π 的最小正周期为 T 6
2π 1
4π，不满足①，排除
A；
2
函数 y sin 2x π 的最小正周期为 T
2π π，满足①，
2，
4
2
∵f x
sin
x
π 的减区间满足：
π 2kπ
π 3π
x
2kπ, k Z ，
4
2
42
1
ππ
π
取 k 0 ，得 2
4 2 ，解之得 1
5，
π π 3π
2
4
42
即 的取值范围是 1 , 5 ，故选 C． 24
10．同时具有性质：① f x 最小正周期是 π；② f x 图象关于直线 x π对称；③ f x 在 π, π 上是增
（2）求函数 f x 在区间 π, π 的值域． 12 2
【答案】（ 1） T
π，对称轴方程：
x
π kπ k
Z ；（ 2）
32
【解析】（ 1） f x cos 2 x π 2sin x π sin x π
3
4
4
3 ,1 ．
2
1 cos 2x 3 sin 2x 2 2 sin x 2 cos x 2 sin x 2 cos x
π 5π ,
．故选
B．
36
3．已知 tan
1 4 ，则 cos2
tan
π（
）
4
A． 1 5
B． 1 4
C． 1 3
D． 1 2
【答案】 B
【解析】 由 tan
1
sin cos
4 ，得
tan
cos sin
∴ sin cos
1 ，∴
2
cos
4
1 cos 2 π
4
2
2
2
sin cos
4 ，即
4，
sin cos
4
π sin
4
∵0
π
3π
ππ
3π
3π
，
0，
π，
4
4
24
4
4
sin π 4
4 ， cos 3π
5
4
12 ， 13
sin
12 3 4 5 56 ．
13 5 5 13 65
的值．
2．三角函数的值域与最值
例 2：已知函数 f x cos 2 x π 2sin x π sin x π ，
3
4
4
（1）求函数 f x 的最小正周期和图像的对称轴方程；
由 x π是函数 f x 最小值点横坐标知 4
单调递增，故
5 ．故选 B．
8．已知函数 f x cos x sin x ，给出下列四个说法：
π，此时 f x 在
ππ ,
4
12 24
① f 2014π 3
3 ； ② 函数 f x 的周期为 π； 4
③ f x 在区间
ππ ,
上单调递增；
④f
x 的图象关于点
6
2
x
π 时， y
2π π sin
1取得最大值，
3
36
x
π 是 y sin 2 x
π 的一条对称轴，满足②；
3
6
又x
π ,
π
时，
2x
π
π ,
π
，
y
sin 2x
π 单调递增，满足③，
B 满足题意；
63
6
22
6
函数 y cos 2 x π 在 x 3
ππ ,
，即
2x
π
0, π 时单调递减，不满足③，排除
π
2 1 sin 2 1 2sin cos
2
2
121 4
2
1 ，故选 B．
4
4．关于函数 f x 3sin 2 x π 1 x R ，下列命题正确的是（
）
3
A．由 f x1 f x2 1 可得 x1 x2 是 π的整数倍
B． y
f x 的表达式可改写成
fx
π
3cos 2x
1
6
C． y f x 的图象关于点 3π,1 对称 4
2020 届高三文科数学精准培优专练六：三角函数（解析版）
1．求三角函数值
例 1：已知 0
π
3π， cos π
4
4
4
3 ， sin 3π
5
4
5 ，求 sin 13
【答案】 56 65
【解析】 ∵
3 π
π
π，
4
4
2
sin
3 sin π
π
π
3 cos π
π
4
4
2
4
4
3π = cos
4
π cos
4
3π sin
C；
63
3
π
2π π
x 时， y sin
1 不是最值，x源自π 不是 ysin 2x
π 的一条对称轴，不满足②，排除
D，
3
36 2
3
6
故选 B．
11．关于函数 f x 2sin 1 x π 的图像或性质的说法中，正确的个数为（
）
26
①函数 f x 的图像关于直线 x 8π对称； 3
②将函数 f x 的图像向右平移 π个单位所得图像的函数为
，
再由函数图象关于直线
x π对称，故 f π
2π Asin
3
3
3
A ，故可取
π，
6
故函数 f x
Asin 2x π ， 6
令 2x
π kπ,k
Z ，可得 x
kπ
π ,k
Z ，故函数的对称中心
6
2 12
kπ π,0 ， k Z ， 2 12
令 k 0 可得函数 f x 图象的对称中心是
π,0 ，故选 D． 12
二、填空题 13．函数 y cos 2 x π 的单调递减区间是 _________．
4
【答案】 kπ π,kπ 3π ， k Z
8
8
【解析】 由 2kπ 2 x
π
π
2kπ π，即 kπ
x
3π kπ ， k
Z，
4
8
8
故函数的单调减区间为
kπ
π ,
kπ
3π ， k
Z ，故答案为
kπ
π ,
kπ
3π ， k
9．已知
0 ，函数 f x
sin
x
π在
π ,
π
上单调递减，则
的取值范围是（
）
4
2
A．
1 0,
2
B． 0,2
C．
15 ,
24
D．
13 ,
24
【答案】 C
【解析】 ∵ x π, π , 0 ， x π 1 π π, π π ，