2020-2021学年福建省厦门市康桥学院高二数学理上学期期末试题含解析

2020-2021学年福建省厦门市康桥学院高二数学理上学期期末试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 若函数的图象与轴有公共点，则的取值范围是（）A． B． C． D．
参考答案：
A
2. 在中，“”是“”的（）．
（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件
（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件
参考答案：
C
略
3. 已知的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为( )
A. －80
B. －40
C. 40
D. 80
参考答案：
D
【分析】
中，给赋值1求出各项系数和,列出方程求出，展开式中常数项为的常数项与的系数和，利用二项展开式的通项公式求出通项,进而可得结果
【详解】令二项式中的为1得到展开式的各项系数和为，
，
展开式中常数项为的常数项与的系数和
展开式的通项为，
令得;令，无整数解，
展开式中常数项为，故选D.
【点睛】本题主要考查二项展开式定理的通项与各项系数和，属于中档题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.
4. 已知等比数列中，是方程的两个根，则等于
A. 1或
B.
C. 1
D. 2
参考答案：
C
5. 已知,则（）
A．B．C．D．
参考答案：
B
略
6. 椭圆上有一点P，F1，F2是椭圆的左、右焦点，△F1PF2为直角三角形，则这样的点P有（）
A．3个B．4个C．6个D．8个
参考答案：
C
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】本题中当椭圆短轴的端点与两焦点的张角小于90°时，∠P为直角的情况不存在，此时等价
于椭圆的离心率小于；当椭圆短轴的端点与两焦点的张角等于90°时，符合要求的点P有两个，
即短轴的两个端点，此时等价于椭圆的离心率等于；当椭圆短轴的端点与两焦点的张角大于90°时，根据椭圆关于y轴对称这个的点P有两个．
【解答】解：当∠F1为直角时，根据椭圆的对称性，这样的点P有两个；
同理当∠F2为直角时，这样的点P有两个；
由于椭圆的短轴端点与两个焦点所张的角最大，这里这个角恰好是直角，这时这样的点P也有两个．故符合要求的点P有六个．
故选C．
7. 易知点M是直线上的动点，点N为圆上的动点，则|MN|的最小值为（）
A. B. 1 C. D.
参考答案：
A
的最小值为,选A.
8. 已知函数，若函数在区间[0,1]上是单调递减函数，则的最小值为 ( )
A、 B、 C、2 D、1
参考答案：
A
9. 如图，已知平面，、是上的两个点，
、在平面内，且，
，在平面上有一个动点，
使得，则体积的最大值是（）
A. B. C. D.
参考答案：
C
略
10. 已知过双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的中心的直线交双曲线于点A，B，在双曲线C上任取与点A，B不重合的点P，记直线PA，PB，AB的斜率分别为k1，k2，k，若k1k2＞k恒成立，则离心率e的取值范围为（）
A．1＜e＜B．1＜e≤C．e＞D．e≥
参考答案：
D
【考点】双曲线的简单性质．
【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】设A（x1，y1），P（x2，y2），由双曲线的对称性得B（﹣x1，﹣y1），从而得到
k1k2=?=，将A，P坐标代入双曲线方程，相减，可得k1k2=，又
k=，由双曲线的渐近线方程为y=±x，则k趋近于，可得a，b的不等式，结合离心率公式，计算即可得到．
【解答】解：设A（x1，y1），P（x2，y2），
由题意知点A，B为过原点的直线与双曲线﹣=1的交点，
∴由双曲线的对称性得A，B关于原点对称，
∴B（﹣x1，﹣y1），
∴k1k2=?=，
∵点A，P都在双曲线上，
∴﹣=1，﹣=1，
两式相减，可得：=，
即有k1k2=，又k=，
由双曲线的渐近线方程为y=±x，则k趋近于，
k1k2＞k恒成立，则≥，
即有b≥a，即b2≥a2，
即有c2≥2a2，
则e=≥．
故选D．
【点评】本题考查双曲线的离心率的求法，涉及到导数、最值、双曲线、离心率等知识点，综合性强，难度大，解题时要注意构造法的合理运用．
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 一质点位移s(单位：米)与时间t(单位：秒)的运动方程为s=t2＋10，则该质点在t=3秒时的瞬时速度为▲。

参考答案：
6m/s 略
12. 的展开式中，x3的系数是．（用数字填写答案）
参考答案：
28
【考点】
DC
：二项式定理的应用．
【分析】根据表示4个因式的乘积，利用组合的知识，分类讨论，求得x3的系数．
【解答】解：∵表示4个因式的乘积，
x3的系数可以是：从4个因式中选三个因式提供x，另一个因式中有一个提供1；
也可以是从3个因式中选两个因式都提供x，其余的两个提供，可得x3的系数，
故x3的系数为：，
故答案为：28．
13. 四棱锥P-ABCD的底面ABCD为平行四边形，，E为PC中点，则向量
_______________________；
参考答案：
14. 阅读下面的算法框图．若输入m＝4，n＝6，则输出a＝________，i＝_______.
参考答案：
略
15. 抛物线y2=2px（p＞0）上一点M（1，m）（m＞0）到其焦点的距离为5，双曲线的左
顶点为A．若双曲线的一条渐近线与直线AM平行，则实数a 等于
．
参考答案：
【考点】抛物线的简单性质；双曲线的简单性质．
【分析】由题意可求抛物线线y 2=2px
的准线，从而可求p ，，进而可求M，由双曲线方程可求A，根
据双曲线的一条渐近线与直线AM 平行，则由斜率相等可求a
【解答】解：由题意可知：抛物线线y2=2px（p＞0）的准线方程为x=﹣4
∴p=8
则点M（1，4），双曲线的左顶点为A（﹣，0），
所以直线AM的斜率为k=，
由题意可知：
∴
故答案为：
16. 在平面直角坐标系中，若圆上存在，两点关于点成中心对称，则直线的方程为.
参考答案：
略
17. 已知函数的定义域和值域都是则实数的值是。

参考答案：
2
略
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. （1）设二次函数f（x）的图象与y轴交于（0，﹣3），与x轴交于（3，0）和（﹣1，0），求函数f（x）的解析式
（2）若f（x+1）=3x﹣5 求函数f（x）的解析式
（3）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=x（1+x），求函数的解析式．
参考答案：
【考点】函数解析式的求解及常用方法．
【分析】（1）由题意，f（x）是二次函数，设f（x）=ax2+bx+c，图象与y轴交于（0，﹣3），与x 轴交于（3，0）和（﹣1，0），求解a，b，c的值，可得f（x）的解析式．
（2）利用换元法求解函数f（x）的解析式
（3）根据函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=x（1+x），即可求x＜0时的解析式．
【解答】解：由题意，f（x）是二次函数，设f（x）=ax2+bx+c，
∵图象与y轴交于（0，﹣3），
∴c=﹣3．
∵与x轴交于（3，0）和（﹣1，0），
∴，
解得：a=1，b=﹣2
故得函数f（x）的解析式的为：f（x）=x2﹣2x﹣3．
（2）∵f（x+1）=3x﹣5
令t=x+1，则x=t﹣1，
那么f（x+1）=3x﹣5转化为g（t）=3（t﹣1）﹣5=3t﹣8
∴函数f（x）的解析式为：f（x）=3x﹣8．
（3）函数f（x）是定义在R上的奇函数，即f（﹣x）=﹣f（x）．
当x≥0时，f（x）=x（1+x），
当x＜0时，则﹣x＞0，那么f（﹣x）=﹣x（1﹣x）=﹣f（x）
∴f（x）=x（1﹣x）
函数f（x）的解析式的为：
19. 已知是首项为19，公差为-2的等差数列，为的前项和.
（1）求通项及；
（2）设是首项为1，公比为3的等比数列，求数列的通项公式及其前项和.参考答案：
20. （本小题满分12分）某射手进行射击训练，假设每次射击击中目标的概率为，且每次射击的结果互不影响，已知射手射击了5次，求：
(1)其中只在第一、三、五次击中目标的概率；
(2)其中恰有3次击中目标的概率．
参考答案：
(1)该射手射击了5次，其中只在第一、三、五次击中目标，是在确定的情况下击中目标3次，也即在第二、四次没有击中目标，所以只有一种情况，又各次射击的结果互不影响，
21. 已知二项式.
（1）求展开式第4项的二项式系数.
（2）求第4项.
参考答案：
(1) .(2) .
【分析】
先由题意写出的展开式的通项，（1）根据二项展开式的通项，可直接写出结果；
（2）根据二项展开式的通项，令，即可得出结果；
【详解】由已知得的展开式的通项是
（1）展开式第4项的二项式系数为.
（2）展开式的第4项为.
【点睛】本题主要考查求指定项与指定项的二项式系数，熟记二项式定理即可，属于常考题型. 22. （10分）有4名男生、5名女生，全体排成一行，问下列情形各有多少种不同的排法？
（1）甲不在中间也不在两端；
（2）甲、乙两人必须排在两端；
（3）男、女生分别排在一起；
（4）男女相间；
（5）甲、乙、丙三人从左到右顺序保持一定．
参考答案：
方法二：（位置分析法）中间和两端有种排法，包括甲在内的其余6人有种排法，故共有·＝336×720＝241920种排法．
方法三：（等机会法）9个人的全排列有种，甲排在每一个位置的机会都是均等的，依题意，甲不在中间及两端的排法总数是×＝241920种．
方法四：（间接法）种．……………… 2分
故共有·＝2880种………………………………………… 8分
（5）方法一：（等机会法）9人共有种排法，其中甲、乙、丙三人有种排法，因而在种排法中每种对应一种符合条件的排法，故共有种排法．
方法二：种．………………………………………… 10分。