高考数学一轮复习专题2.9函数的综合问题与实际应用(讲)(2021年整理)

（浙江专版）2019年高考数学一轮复习专题2.9 函数的综合问题与实际应用（讲）
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第09节函数的综合问题与实际应用
【考纲解读】
考点考纲内容5年统计分析预测
函数的简单应用能将一些简
单的实际问
题转化为相
应的函数问
题,并给予解
决.
2014•浙江理10;
2015•浙江文20；理18；
2016•浙江文12，20；理
18；
2017•浙江17.；
2018•浙江7,11，15.
1.会从实际问题中抽象出函数模型，进
而利用函数知识求解；
2.函数的综合应用.
3.常与二次函数、三角函数、数列、基
本不等式及导数等知识交汇．
4。

备考重点
(1）一次函数、二次函数、指数函数、
对数函数、幂函数以及其他函数模型.
(2）函数的综合应用。

【知识清单】
1. 常见的几种函数模型
（1)一次函数模型：y＝kx＋b(k≠0）。

（2)反比例函数模型：y＝错误!(k≠0)。

(3)二次函数模型：y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0）。

（4)指数函数模型：y＝a·b x＋c(b〉0，b≠1，a≠0)。

(5)对数函数模型：y＝m log a x＋n(a〉0,a≠1，m≠0）.
2.指数、对数及幂函数三种增长型函数模型的图象与性质
函数性质y＝a x
(a>1)
y＝log a x
（a>1）
y＝x n
(n>0）
在(0,＋∞）
上的增减性
单调递增单调递增单调递增增长速度越来越快越来越慢相对平稳图象的变化随x的增大逐渐表现为与y随x的增大逐渐表现随n值变化
轴平行为与x轴平行而各有不
同
值的比较存在一个x0,当x>x0时，有log a x<x n<a x
考点1 一次函数与分段函数模型
【1-1】甲、乙两人同时从A地赶往B地，甲先骑自行车到中点改为跑步，而乙则是先跑步，到中点后改为骑自行车，最后两人同时到达B地。

已知甲骑自行车比乙骑自行车快。

若每人离开甲地的距离S与所用时间t的函数用图象表示，则甲、乙两人的图象分别是（ ) A．甲是（1），乙是(2) B．甲是(1），乙是(4）
C．甲是(3）,乙是(2) D．甲是(3),乙是(4)
【答案】B
【解析】显然甲图象为(1）或(3），乙图象为（2)或(4）.又因为甲骑车比乙骑车快，即甲前一半路程图象的中y随x的变化比乙后一半路程y随x的变化要快,所以甲为（1），乙为(4)。

选B.
【1—2】【2018届广东省深圳中学高三第一次测试】中国移动通信公司早前推出“全球通”移动电话资费“个性化套餐",具体方案如下：
超过免费时间的话费（元/
方案代号基本月租（元)免费时间（分钟)
分钟）
130480．60
2981700．60
31683300．50
42686000．45
538810000．40
656817000．35
778825880．30
（I）写出“套餐”中方案1的月话费y（元）与月通话量t（分钟）(月通话量是指一个月内每次通话用时之和）的函数关系式；
（II）学生甲选用方案1，学生乙选用方案2,某月甲乙两人的电话资费相同,通话量也相同,求该月学生甲的电话资费;
（III）某用户的月通话量平均为320分钟,则在表中所列出的七种方案中，选择哪种方案更合算,说明理由。

【答案】(1）
30,048,
{
0.6 1.2,48.
t
y
t t
≤≤
=
->
(2）98元. (3）见解析
【解析】试题分析：（1)根据题意分048
t
≤≤和48
t>两种情况求得关系式,写成分段函数的形式；（2）设该月甲乙两人的电话资费均为a元，通话量均为b分钟，分048
b
≤≤，48170
b
<≤
和170
b>三种情形分别求解判断;(3）分别求出三种方案中的月话费，通过比较大小可得结论。

（2）设该月甲乙两人的电话资费均为a 元，通话量均为b 分钟. ①当048b ≤≤时, 甲乙两人的电话资费分别为30元, 98元,不相等; ②当170b >时, 甲乙两人的电话资费分别为()1300.648y b =+-（元)， ()2980.6170y b =+-元， 21 5.20y y -=-<，21y y <；
③当48170b <≤时， 甲乙两人的电话资费分别为()300.648a b =+-（元）， 98a =（元)， 解得484
.3
b =
所以该月学生甲的电话资费98元.
（3）月通话量平均为320分钟，方案1的月话费为：30+0。

6×（320—48）=193。

2（元）； 方案2的月话费为:98+0.6×(320—170)=188（元)； 方案3的月话费为168元. 其它方案的月话费至少为268元。

经比较, 选择方案3更合算。

【领悟技法】
1．在现实生活中，很多问题的两变量之间的关系是一次函数模型,其增长特点是直线上升(自变量的系数大于0）或直线下降（自变量的系数小于0）．
2．在现实生活中，很多问题的两变量之间的关系，不能用同一个关系式给出，而是由几个不同的关系式构成分段函数．如出租车票价与路程之间的关系，就是分段函数．
分段函数主要是每一段上自变量变化所遵循的规律不同，可以先将其作为几个不同问题，将各段的规律找出来，再将其合在一起．要注意各段变量的范围，特别是端点． 【触类旁通】
【变式一】小明骑车上学，开始时匀速行驶,途中因交通堵塞停留了一段时间,后为了赶时间加快速度行驶．与以上事件吻合得最好的图象是( ）
【答案】C
【解析】出发时距学校最远，先排除A，中途堵塞停留，距离没变，再排除D,堵塞停留后比原来骑得快，因此排除B.
【变式二】某网民用电脑上因特网有两种方案可选：一是在家里上网,费用分为通讯费(即电话费)与网络维护费两部分．现有政策规定:通讯费为0。

02元/分钟，但每月30元封顶(即超过30元则只需交30元)，网络维护费1元/小时，但每月上网不超过10小时则要交10元;二是到附近网吧上网,价格为1.5元/小时．
（Ⅰ）将该网民某月内在家上网的费用y（元）表示为时间t(小时)的函数；
（Ⅱ）试确定在何种情况下，该网民在家上网更便宜?
【答案】
考点2 二次函数模型
【2—1】【山东省青岛市2018年春季高考第二次模拟】山东省寿光市绿色富硒产品和特色农产品在国际市场上颇具竞争力，其中香菇远销日本和韩国等地.上市时,外商李经理按市场价格元/千克在本市收购了
千克香菇存放入冷库中.据预测，香菇的市场价格每天每千克将上涨元，但冷库存放这批香菇时每天需要支出各种费用合计元,而且香菇在冷库中最多保存天,同时，平均每天有千克的香菇损坏不能出售.
（1）若存放天后，将这批香菇一次性出售，设这批香菇的销售总金额为元，试写出与之间的函数关系式；
(2）李经理如果想获得利润元，需将这批香菇存放多少天后出售？（提示：利润=销售总金额-收购成本-各种费用）
(3)李经理将这批香菇存放多少天后出售可获得最大利润？最大利润是多少？
【答案】(1)（2）将这批香菇存放天后出售（3）存放天后出售可获得最大利润为元。

【解析】分析:（1）根据销售总金额的定义写出与之间的函数关系式。

(2）根据利润=销售总金额—收购成本-各种费用得到关于x的方程,解方程即得解。

（3）先写出利润的函数关系式，再求函数的最大利润。

（3）设利润为，则由（2）得，
；
因此当时，;
又因为，所以李经理将这批香菇存放天后出售可获得最大利润为元.
【2-2】【2018届上海市松江、闵行区二模】某公司利用线上、实体店线下销售产品，产品在上市天内全部售完。

据统计，线上日销售量、线下日销售量（单位：件）与上市时间天的关系满
足:
，产品每件的销售利润为(单位:元)（日销售量线上日销售量线下日销售量）。

（1）设该公司产品的日销售利润为，写出的函数解析式；
(2）产品上市的哪几天给该公司带来的日销售利润不低于元?
【答案】（1)
(2）第5天至第15天该公司日销售利润不低于元.
【解析】试题分析:
（1)由题意分类讨论，分别求得销售量,然后与相应的利润相乘可得利润函数的解析式为
(2）结合（1)中的利润函数分类讨论求解二次不等式可得第5天至第15天给该公司带来的日销售利润不低于元。

试题解析：
（1）由题意可得： 当时，销售量为，销售利润为：
；
当时,销售量为，销售利润为：；
当
时，销售量为
，销售利润为：
;
综上可得：
（2)当时,由，解得；
当时，由，解得；
当
时,由
，无解.
故第5天至第15天给该公司带来的日销售利润不低于元. 【领悟技法】
有些问题的两变量之间是二次函数关系，如面积问题、利润问题、产量问题等．构建二次函数模型，利用二次函数图象与单调性解决．在解决二次函数的应用问题时，一定要注意定义域．
【触类旁通】
【变式一】某汽车销售公司在A 、B 两地销售同一中品牌的车，在A 地的销售利润（位:万元）为21 4.10.1y x x =-,在B 地的销售利润(单位：万元）为22y x =，其中x 为销售量(单位:辆），若该公司在两地共销售16辆这种品牌车，则能获得的最大利润是（ )
A ． 10.5
B 。

11万元
C 。

43万元
D 。

43.025万元 【答案】C
【变式二】某厂有容量300吨的水塔一个,每天从早六点到晚十点供应生活和生产用水，已知:该厂生活用水每小时10吨,工业用水总量W （吨)与时间t （单位:小时,规定早晨六点时0=t )的函数关系为t W 100=,水塔的进水量有10级，第一级每小时进水10吨,以后每提高一级， 进水量增加10吨.若某天水塔原有水100吨,在供应同时打开进水管.问该天进水量应选择几级,既能保证该厂用水(即水塔中水不空）,又不会使水溢出? 【答案】4级.
【解析】设水塔进水量选择第n 级，在t 时刻水塔中的水容量y 等于水塔中的存水量100吨加进水量nt 10吨，减去生产用水t 10吨，在减去工业用水t W 100=吨,即
t t nt y 1001010100--+=(160≤<t ）；
若水塔中的水量既能保证该厂用水,又不会使水溢出，则一定有3000≤<y . 即30010010101000≤--+<t t nt , 所以110
2011010++≤<++-
t
t n t t 对一切(]16,0∈t 恒成立. 因为272721110110102
≤+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=++-t t t ,419
4141120110202
≥-⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+=++t t t ， 所以
4
19
27≤≤n ,即4=n .即进水选择4级。

考点3 指数函数模型
【3—1】【2018届安徽省淮南市第二中学、宿城第一中学第四次考试】某食品的保鲜时间y （单
位:小时）与储存温度x (单位： C ）满足函数关系kx b y e +=（ 2.718...e =为自然对数的底数，
,k b 为常数)，若该食品在0C 的保鲜时间是192小时,在22C 的保鲜时间是48小时，则该食品
在33C 的保鲜时间是（ ）小时。

A. 22 B 。

23 C. 33 D. 24 【答案】D
【解析】由题意可得0x =时, 192,y = x=22时，y=48代入kx b y e +=可得12b e =， 2248k b e += 即
有111,1922k b e e == 则当33x =时, 331
192248
k b y e +==⨯=
故选D
【3-2】某工厂一年中十二月份的产量是一月份产量的m 倍，那么该工厂这一年中的月平均增长率是（ ） A 。

11
m B 。

12m
C.12m －1
D 。

11m －1
【答案】D
【解析】设该厂一月份产量为a ，这一年中月平均增长率为x 。

则ma x a =+11)1(，解得111-=m x .故选D. 【领悟技法】
1．指数函数模型,常与增长率相结合进行考查，在实际问题中有人口增长、银行利率、细胞分裂等增长问题可以利用指数函数模型来表示．
2．应用指数函数模型时，关键是对模型的判断，先设定模型将有关数据代入验证，确定参数,从而确定函数模型．
3．y ＝a (1＋x ）n
通常利用指数运算与对数函数的性质求解． 4．对于直线上升、指数增长、对数增长的特点要注意区分：
直线上升:匀速增长，其增长量固定不变;指数增长：先慢后快，其增长量成倍增加，常用“指数爆炸”来形容；对数增长:先快后慢，其增长速度缓慢．公司的利润选择直线上升或指数模型增长，而员工奖金选择对数模型增长．
1．在解答本题时有两点容易造成失分：忽视实际问题对变量x 的限制即定义域．将侧面积、容积求错，从而造成后续的求解不正确．
2．解决函数模型应用的解答题，还有以下几点容易造成失分，在备考中要高度关注： ①读不懂实际背景，不能将实际问题转化为函数模型． ②对涉及的相关公式，记忆错误． ③在求解的过程中计算错误．
另外需要熟练掌握求解方程、不等式、函数最值的方法，才能快速正确地求解． 【触类旁通】
【变式一】【2018届湖南省衡阳县12月联考】某科技股份有限公司为激励创新，计划逐年增加研发资金投入，若该公司2016年全年投入的研发资金为100万无，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长10％，则该公司全年投入的研发奖金开始超过200万元年年份是（ ）（参考数据： lg1.10.041,lg20.301==）
A. 2022年
B. 2023年 C 。

2024年 D 。

2025年 【答案】C
【变式二】衣柜里的樟脑丸，随着时间会挥发而体积缩小，刚放进的新丸体积为a ，经过t 天后体积与天数t 的关系式为：kt V a e -=⋅，若新丸经过50天后,体积变为49
a ；若一个新丸体积
变为
8
27
a ，则需经过的天数为 A ．75天 B ．100天 C ．125天 D ．150天 【答案】A 。

即需经过的天数为75天。

考点4 对数函数模型
【4—1】我们知道，燕子每年秋天都要从北方飞南方过冬，研究燕子的科学家发现，两岁燕子的飞行速度可以表示为函数2
5log 10
O
v =，单位/m s ，其中O 表示燕子的耗氧量. 则当燕子静止时的耗氧量时单位和当一只燕子的耗氧量是80个单位时的飞行速度分别是（ ） A ．10 个 15/m s B 。

10 个 8/m s C 。

15 个 15/m s D 。

50 个 15/m s 【答案】A
【解析】由题意知,当燕子静止时,它的速度0v =，代入25log 10O v =，即205log 10
O =， 解得10O =个单位。

所以2
280
5log 5log 81510
v === /m s 。

【4-2】某种放射性元素的原子数N 随时间t 变化规律是0t N N e λ-=，其中0N 、
λ为正的常数. 由放射性元素的这种性质，可以制造高精度的时钟，用原子数表示时间t 为 。

【答案】0
1ln N
t N λ=-
【解析】因为0t N N e λ-=,所以0t N e N λ-=，两边取以e 为底的对数，所以0
1ln
N
t N λ=-。

【领悟技法】
解答函数应用题的一般步骤：
①审题:弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；
②建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；
③求模：求解数学模型，得出数学结论； ④还原:将数学问题还原为实际问题的意义． 【触类旁通】
【变式一】 2008年我国人口总数为14亿，如果人口的自然年增长率控制在1.25％，则
________年我国人口将超过20亿．（2lg ≈0.301 0，3lg ≈0.477 1，7lg ≈0。

845 1) 【答案】2037
【解析】由已知条件：25.11(14+%）202008>-x ， 所以7.2812lg 33lg 47
lg 180
81lg 710
lg
2008=---=>-x ，
则7.2036>x ，即2037=x 。

【变式二】某公司为了实现2013年销售利润1 000万元的目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：从销售利润达到10万元开始，按销售利润进行奖励，且奖金数额y （单位：万元）随销售利润x （单位：万元）的增加而增加,但奖金数额不超过5万元，同时奖金数额不超过销售利润的25％。

现有三个奖励模型：y ＝0.025x ，y ＝1。

003x
，y ＝错误!ln x ＋1，问其中是否有模型能完全符合公司的要求？请说明理由． (参考数据:5003.1538≈，⋅⋅⋅=71828.2e ，29818=e ）
【答案】奖励模型y ＝错误!ln x ＋1能完全符合公司的要求．
【解析】由题意，符合公司要求的模型需同时满足：当x ∈［10，1 000］时， ①函数为增函数；②函数的最大值不超过5;③y ≤x ·25%。

（1)对于y ＝0.025x ,易知满足①，但当x 〉200时，y 〉5，不满足公司的要求； （2）对于y ＝1.003x
，易知满足①，但当x 〉538时，不满足公司的要求； （3）对于y ＝错误!ln x ＋1，易知满足①。

当x ∈[10,1 000]时，y ≤错误!ln 1 000＋1. 下面证明错误!ln 1 000＋1<5。

∵错误!ln 1 000＋1－5＝错误!ln 1 000－4＝错误!（ln 1 000－8)＝错误!(ln 1 000－ln 2 981）〈0,满足②。

再证明错误!ln x ＋1≤x ·25％,即2ln x ＋4－x ≤0.
设F (x ）＝2ln x ＋4－x ,则F ′（x ）＝错误!－1＝错误!〈0，x ∈［10,1 000］，
∴F (x ）在［10,1 000]上为减函数，F （x )max ＝F （10）＝2ln 10＋4－10＝2ln 10－6＝2(ln 10－3）〈0，满足③。

综上，奖励模型y ＝错误!ln x ＋1能完全符合公司的要求． 考点5 函数的综合应用
【5—1】【2018年浙江卷】我国古代数学著作《张邱建算经》中记载百鸡问题：“今有鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一，凡百钱，买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何?”
设鸡翁,鸡母,鸡雏个数分别为，，，则当时，___________，___________．
【答案】 8 11
【解析】分析:将z代入解方程组可得x,y值。

详解：
点睛：实际问题数学化，利用所学的知识将陌生的性质转化为我们熟悉的性质,是解决这类问题的突破口．
【5—2】【腾远2018年（浙江卷）红卷】已知函数,函数
.若对任意的，都存在，使得成立,则的取值范围是__________．
【答案】
【解析】分析：由题意，若对任意的,都存在，使得成立,即有
成立，利用二次函数的性质和绝对值不等式，分别求解函数和的最小值，得到不等式，即可求解。

详解：因为函数，所以,
由题意,若对任意的，都存在，使得成立，
即有成立，
又由，
因为，且,
所以，当时取等号，即的最小值为，
所以，解得，即的取值范围是.
【5—3】已知函数在区间上有最大值4和最小值1，
设．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（Ⅰ);（Ⅱ）．
（Ⅱ）由已知可得，所以可化为，
化为，令，则，因，故,
记，因为,故,
所以的取值范围是．
【领悟技法】
1。

函数零点个数的判断方法：（1)直接求零点，令f（x）＝0,有几个解就有几个零点;(2)零点存在性定理,要求函数在区间[a，b］上是连续不断的曲线,且f(a)·f(b）＜0，再结合函数的图象与性质确定函数零点个数；（3）利用图象交点个数,作出两函数图象，观察其交点个数即得零点个数。

2。

求函数最值常利用基本不等式法、导数法、函数的单调性等方法.在求分段函数的最值时，应先求每一段上的最值，然后比较得最大值、最小值。

【触类旁通】
【变式一】【2017天津,文8】已知函数
||2,1, ()2
, 1.
x x
f
x
x x
x
+<
⎧
⎪
=⎨
+≥
⎪⎩
设a∈R ，若关于x的不等式
()||
2
x
f x a
≥+在R上恒成立，则a的取值范围是（）
（A）[2,2]
-（B）[23,2]
-（C）[2,23]
-(D）[23,23]
-
【答案】A
【解析】
【变式二】已知函数，当时，设的最大值为，则
的最小值为__________．
【答案】
【解析】设,则，由于
,则
，所以将以上三式两边相加可得
，即
,应填答案。

【易错试题常警惕】
易错典例：如图所示，在矩形ABCD 中，已知a AB =,b BC =（)b a >,在AB 、AD 、CD 、CB 上分别截取AE 、AH 、CG 、CF 都等于x ，当x 为何值时，四边形EFGH 的面积最大？求出这个最大面积。

易错分析：忽略了实际问题中自变量x 的取值范围，b x ≤<0，由于0>>b a ,所以当b a 3>时
b b
a >+4
, 自变量x 不能取到4
b
a +，面积S 不能取得最大值8)(2
b a +.
综
上所述，若b a 3≤，当4
b
a x +=时面积取得最大值8)(2
b a +；
若b a 3>，当b x =时面积取得最大值2b ab -.
温馨提醒：解决此类问题,关键是利用已知条件，建立函数模型，然后化简整理函数解析式.
【学科素养提升之思想方法篇】
数形结合百般好，隔裂分家万事休-—数形结合思想我国著名数学家华罗庚曾说过：”数形结合百般好,隔裂分家万事休。

""数”与"形”反映了事物两个方面的属性.我们认为，数形结合,主要指的是数与形之间的一一对应关系。

数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过"以形助数”或”以数解形”即通过抽象思维与形象思维的结合,可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化,从而起到优化解题途径的目的.
向量的几何表示，三角形、平行四边形法则，使向量具备形的特征,而向量的坐标表示和坐标运算又具备数的特征,因此，向量融数与形于一身,具备了几何形式与代数形式的“双重身份”。

因此，在应用向量解决问题或解答向量问题时，要注意恰当地运用数形结合思想，将复杂问题简单化、将抽象问题具体化,达到事半功倍的效果。

利用函数处理方程解的问题,方法如下：
（1）方程f（x）＝a在区间I上有解⇔a∈{y｜y＝f(x),x∈I}⇔y＝f(x）与y＝a的图象在区间I上有交点．
（2）方程f(x)＝a在区间I上有几个解⇔y＝f（x)与y＝a的图象在区间I上有几个交点．
一般地,在探究方程解的个数或已知解的个数求参数的范围时，常采用转化与化归的思想将问题转化为两函数图象的交点个数问题，从而可利用数形结合的方法给予直观解答．
【典例】【2018届天津市河东区二模】已知函数满足,当时，，若在区间上方程有两个不同的实根，则实数的取值范围是（ )
A。

B。

C. D.
【答案】D
【解析】分析：首先根据题意，求得函数在相应的区间上的解析式,之后在同一个坐标系内画出函数的图像，之后将函数的零点问题转化为对应曲线交点的个数问题，结合图形，得到结果。

详解:当时，，,
在同一坐标系内画出的图像，
动直线过定点，当再过时，斜率,由图象可知当时，两图象有两个不同的交点，
从而有两个不同的零点,故选D。