招生国统一考试数学理试题卷,含答案,不完整试题

2021年普通高等招生全国统一考试数学理试题〔卷，含答案，不完
好版〕
三．解答题〔本大题一一共5题，满分是74分〕 19、〔此题满分是12分〕
底面边长为2的正三棱锥P ABC -,其外表展开图是三角形321p p p ，如图，求△321p p p 的各边长及此三棱锥的体积V .
〔此题满分是14分〕此题有2个小题，第一小题满分是6分，第
二小题满分是1分。

设常数0≥a ，函数a
a x f x x -+=22)(
假设a =4，求函数)(x f y =的反函数)(1
x f
y -=；
根据a 的不同取值，讨论函数)(x f y =的奇偶性，并说明理由.
〔此题满分是14分〕此题一共有2个小题，第1小题满分是6分，第2小题满分是8分. 如图，某公司要在A B 、两地连线上的定点C 处建造广告牌CD ，其中D 为顶端，AC 长
35米，CB 长80米，设A
B 、在同一程度面上，从A 和B 看D 的仰角分别为βα和. 设计中CD 是铅垂方向，假设要求βα2≥，问CD 的长至多为多少〔结果准确到〕？ 施工完成后.CD 与铅垂方向有偏向，如今实测得，，
45.1812.38==βα求CD 的长〔结果准确到〕？
22〔此题满分是16分〕此题一共3个小题，第1小题满分是3分，第2小题满分是5分，
第3小题满分是8分.
在平面直角坐标系xoy 中，对于直线l ：0ax by c ++=和点),,(),,(22211y x P y x P i 记
1122)().ax by c ax by c η=++++（假设η<0，那么称点21,P P 被直线l 分隔。

假设曲线
C
与直线l 没有公一共点，且曲线C 上存在点21P P ，被直线l 分隔，那么称直线l 为曲线C 的一条分隔线.
⑴ 求证：点）
，（），（012,1-B A 被直线01=-+y x 分隔； ⑵假设直线kx y =是曲线142
2
=-y x 的分隔线，务实数k 的取值范围；
⑶动点M 到点）（2,0Q 的间隔 与到y 轴的间隔 之积为1，设点M 的轨迹为E ，求证：通过原点的直线中，有且仅有一条直线是E 的分割线.
〔此题满分是18分〕此题一共3个小题，第1小题满分是3分，第2小题满分是6分，第3小题满分是9分. 数列{}n a 满足111
3,*,13
n n n a a a n N a +≤≤∈=. 假设2
342,,9a a x a ===，求x 的取值范围；
假设{}n a 是公比为q 等比数列，12n n S a a a =++
+，11
3,*,3
n n n S S S n N +≤≤∈求q
的取值范围； 假设12,,
,k a a a 成等差数列，且121000k a a a ++
+=，求正整数k 的最大值，以及k
取最大值时相应数列12,,,k a a a 的公差.
19.解：∵由题得，三棱锥P ABC -是正三棱锥
∴侧棱与底边所成角一样且底面ABC ∆是边长为2的正三角形 ∴由题得，3
ABC BCA CAB π
∠=∠=∠=
，
112233
PBA P AB P BC P CB P AC PCA ∠=∠=∠=∠=∠=∠ 又∵,,A B C 三点恰好在123,,P P P 构成的123PP P ∆的三条边上 ∴112233
3
PBA P AB P BC P CB P AC PCA π
∠=∠=∠=∠=∠=∠=
∴11223
32P A PB P B P C PC P A ====== ∴1213234PP PP P P ===，三棱锥P ABC -是边长为2的正四面体
∴如右图所示作图，设顶点P 在底面ABC 内的投影为O ，连接BO ，并延长交AC 于D ∴D 为AC 中点，O 为ABC ∆的重心，PO ⊥底面ABC ∴2333BO BD =
=，63PO =，113622
2232233
V =⋅⋅⋅⋅=
解：〔1〕由题得，248
()1(,1)(1,)2424
x x
x f x +==+∈-∞-+∞-- ∴1
21()2log 1x f
x x -+⎛⎫
=+ ⎪-⎝⎭
，(,1)(1,)x ∈-∞-+∞
∵2()2x x a
f x a
+=-且0a ≥
∴①当0a =时，()1,f x x R =∈，
∴对任意的x R ∈都有()()f x f x =-，∴()y f x =为偶函数
②当1a =时，21(),021x x f x x +=≠-，2112()2112
x x
x x
f x --++-==--， ∴对任意的0x ≠且x R ∈都有()()f x f x =--，∴()y f x =为奇函数 ③当0a ≠且1a ≠时，定义域为{
2log ,}x x a x R ≠∈， ∴定义域不关于原定对称，∴()y f x =为非奇非偶函数
解：〔1〕由题得，∵2αβ≥，且022
π
βα<≤<
，tan tan 2αβ∴≥
即2403516400
CD CD CD
≥-
，解得，CD ≤28.28CD ≈米 由题得，18038.1218.45123.43ADC ∠=--=，
∵3580sin123.43sin18.45
AD +=，∴43.61AD ≈米
∵2
2
2
35235cos38.12CD AD AD =+-⋅⋅⋅，∴26.93CD ≈米
证明：〔1〕由题得，2(2)0η=⋅-<，∴(1,2),(1,0)A B -被直线10x y +-=分隔。

解：〔2〕由题得，直线y kx =与曲线2
2
41x y -=无交点
即222241(14)10x y k x y kx
⎧-=⇒--=⎨=⎩无解 ∴2
140k -=或者22
1404(14)0
k k ⎧-≠⎨∆=-<⎩，∴11
(,][,)22k ∈-∞-+∞ 证明：
〔理科〕〔3〕由题得，设(,)M x y 1x =，
化简得，点M 的轨迹方程为2
2
21
:(2),0E x y x x
+-=
≠。

①当过原点的直线斜率存在时，设方程为y kx =。

联立方程，22
22
221(2)1(1)44x y k x kx x x y kx ⎧+-=⎪⇒+-+=⎨⎪=⎩。

令2
2
()(1)44F x k x kx =+-+，2
1
()G x x =
，显然()y F x =是开口朝上的二次函数 ∴由二次函数与幂函数的图像可得，()()F x G x =必定有解，不符合题意，舍去 ②当过原点的直线斜率不存在时，其方程为0x =。

显然0x =与曲线2
2
2
1
:(2),0E x y x x +-=≠没有交点，在曲线E 上找两点(1,2),(1,2)-。

∴110η=-⋅<，符合题意
综上所述，仅存在一条直线0x =是E 的分割线。

证明：〔文科〕
〔3〕由题得，设(,)M x y 1x =，
化简得，点M 的轨迹方程为2
2
2
1
:(2),0E x y x x +-=
≠。

显然0x =与曲线22
2
1
:(2),0E x y x x +-=
≠没有交点，在曲线E 上找两点(1,2),(1,2)-。

∴110η=-⋅<，符合题意。

∴0x =是E 的分割线。

解：〔1〕由题得，2
63
[3,6]933
x x x x ⎧≤≤⎪⎪⇒∈⎨⎪≤≤⎪⎩
〔理科〕〔2〕由题得，∵11
33
n n n a a a +≤≤，且数列{}n a 是等比数列，11a =，
∴11
133n n n q q q --≤≤，∴1
11()03
(3)0
n n q q q q --⎧-≥⎪⎨⎪-≤⎩，∴1[,3]3q ∈。

又∵
1133n n n S S S +≤≤，∴当1q =时，133
n
n n ≤+≤对n N *∈恒成立，满足题意。

当1q ≠时，1111133111n n n
q q q q q q
+---⋅≤≤⋅---
∴①当1[,1)3q ∈时，(3)2(31)2n n q q q q ⎧-≥-⎨-≤⎩，由单调性可得，11(3)2(31)2
q q q q ⎧-≥-⎨-≤⎩，解得，1
[,1)3q ∈
②当(1,3]q ∈时，(3)2(31)2n n q q q q ⎧-≤-⎨-≥⎩，由单调性可得，11(3)2
(31)2
q q q q ⎧-≤-⎨-≥⎩，解得，(1,2]q ∈
〔理科〕〔3〕由题得，∵11
33
n n n a a a +≤≤，且数列12,,
k a a a 成等差数列，11a =，
∴1[1(1)]13[1(1)]3
n d nd n d +-≤+≤+-，∴(21)2(23)2
d n d n +≥-⎧⎨
-≥-⎩，∴2
[,2]21d k ∈--
又∵121000k a a a ++=，∴221()(1)10002222
k d d d d
S k a k k k =
+-=+-= ∴2
20002k d k k
-=
-，∴2200022[,2]21k k k k -∈---，解得，[32,1999]k ∈，k N *∈ ∴k 的最大值为1999，此时公差为1
1999
d =-
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