课件1： 2.4 等比数列（二）

的比都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列.
这个常数称为等比数列的公比。记作 q
细嚼慢咽
(1). an 0 (2) q 0
开动脑筋
非零常数列
是否存在数列既是等比数列又是等差数列？
2.等比数列的定义公式
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与前一项 的比都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列.
解：若打印出来的数依次记为a1,a2,a3,…,由图可知， 小结：
要证明一个数列是等比数列，
只需要证明对于任意正整数n， an1 是一个常数就行了。
an
a1=1, 由于于是，aann-可1 得= 1递2 因 是推此公an这=式个(12数)ann列1= 是12等an比-1(n数>列1) ，其通项公式
an 是等比数列
an1 q (n N * ) (q为常数） an
如写成
an a n 1
q 行不行？
(n 2, n N * )
能否改写为an 是等比数列 an1 an q(n N * )
(q为常数）？ 为什么不能？
课堂互动
观察并判断下列数列是否是等比数列:
(1) 1，3，9，27，81，… (2) 1 , 1 , 1 , 1 ,
上式还可以写成
an
1 2
2n
an 8
可见，表示这个等比数列
7
6
的各点都在函数
y
1 2
2x
5
的图象上，如右图所示。
4
3
结论：等比数列｛an｝的图 2
像是其对应函数的图像上一 1
·
· · ·
些孤立的点.
0 1234 n
an a1 qn1
例1：某种放射性物质不断变化为其他物质，每
经过一年剩留的这种物质是原来的84%，这种物质的半
n=1+1=2 ，a2=a1*(1/2) 输出：a2=a1*(1/2)
n=2+1=3 ，a3=a2*(1/2) 输出：a3=a2*(1/2)
n=3+1=4 ，a4=a3*(1/2) 输出：a4=a3*(1/2)
N=N+1 A=A*(1/2)
N 5？
结束
n=4+1=5 ，a5=a4*(1/2) 输出：a5=a4*(1/2) n=5+1=6 结束
方法点评：(1)首项a1和q是构成等比数列的基本 量，从基本量入手解决相关问题是研究等比数列的基 本方法．
(2)本题要注意同号的两个数的等比中项有两个， 它们互为相反数，而异号的两个数没有等比中顶．
3．等比数列{an}中，a1＝
1 8
，q＝2，则a4与a8的等比中项
是( )
A．±4
B．4
C．±14
…
an a1 (n 1)d
等比数列通项公式的推导：
方法一:累乘法
a2 q
aa31 q a2 a4 q
…a3 …
(n-1)个 式子
an q an1
an a1
qn1
an
an1
qБайду номын сангаас
n2
方法二:迭代法
a2 a1q
a3
aa12qq2
(a1q)q
a4 a3q (a1q2 )q
a1q3
……
必修五·第二章 2.4 等比数列
复习与提问：
1、等差数列的定义：一个数列从第2项起，每一项 与前一项的差等于同一个常数，这个数列叫做等
差数列.
定义的符号表示：等差数列
an+1-an=d
2、等差数列的通项公式：an = a1 +（n-1）d
3、等差中项：a，A，b成等差数列，则
A=（a+b）/2
已知一个等比数列的前三项依次是a,2a+2,3a＋3，求a的 值．
解：由等比数列的定义，得2a＋ a 2＝32aa＋ ＋32， 即(2a＋2)2＝a(3a＋3)， ∴a2＋5a＋4＝0， 解得 a＝－1 或 a＝－4. 当 a＝－1 时，2a＋2＝0(舍去)， 所以 a＝－4.
等差数列通项公式的推导: an an1 d
利息，也就是通常所说的“利滚利”. 比如，现在存入银行1万元钱，年利率是1.98%
时间
第1年 第2年 第3年 第4年 第5年
年初本金（元）
10000 10000×1.0198 10000×1.01983 10000×1.01984
年末本利和（元 ）
10000×1.0198 10000×1.01983 10000×1.01984
∴aa11q1＋ 1－q＋q3q422.＝168，
① ②
∵1－q3＝(1－q)(1＋q＋q2)， ①÷②q(1－q)＝14⇒q＝12. ∴a1＝1－4214＝96.
2 2 若 G 是 a5，a7 的等比中项，则应有 G2＝a5·a7＝ a1q4·a1q6＝a12q10＝962·1210＝9. ∴a5，a7 的等比中项是±3.
3．已知三个数成等比数列，积为27，和为13，求这三个数． 解：设这三个数为aq，a，aq，则aqaq·＋a·aa＋ q＝a2q＝7，13， 整理得a3＝ q2－3，10q＋3＝0， 解得 a＝3，q＝3 或13，
∴这三个数为 1,3,9 或 9,3,1.
有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数 成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16， 第二个数与第三个数的和是12.求这四个数．
报纸的厚度高过泰山500多米！
实例1、观察细胞分裂的过程： 构成数列：1，2，4，8，…
实例2：
木棒每天的长度构成一个数列：
1, 1 , 1 , 1 , 248
古语：一尺之棰， 日取其半，万世不竭。
实例3.银行有一种支付利息的方式——复利，即是把前
一期的利息和本金加在一起算作本金，再算下一期的
a，G，b成等比数列 G2 a b (a b0)
例：-1和10是否存在等比中项，是的话如何计算？
对a，b的要求：a，b要同号。(a b0)
【例3】 等比数列的前三项和为168，a2－a5＝42， 求a5，a7的等比中项．
解：设该等比数列的公比为 q，首项为 a1，由已知
a1＋a1q＋a2q2＝168， a1q－a1q4＝42，
报纸能比泰山高吗？
(1)假设我们有一张足够大的报纸.(设报纸厚度是a米). 先把报纸对折一次,这时纸张的厚度是报纸单页的2倍. 即2a米
(2)我们再将报纸对折一次,纸张的厚度变为: 4a米即22 a米
第三次再对折后报纸的厚度是:8a米即23 a米
(3) 三次折叠,报纸厚度分别是: 2a米,2 2a米,23 a米
方法一:(累加法)
a2 a1 d
a3 a2 d
a4
…
a…3
d
(n-1)个 式子
an1 an2 d
an an1 d
an a1 (n 1)d
方法二:(迭代法)
a2 a1 d
a3 a2 d
(a1 d ) d
a1 2d
a4 a3 d
(a1 2d) d
…a1
3d
衰期为多长（精确到1年）？
分析：时间： 剩留量:
最初
1
经过1年 a1=0.84
经过2年 经过3年 经过n年
a2=0.842 a3=0.843 an=0.84n
例2：根据下面的框图，写出所打印数列的前5项，并
建立数列的递推公式。这个数列是等比数列吗？
开始 A=1 N=1 输出A
a1=1 ，n=1
输出：a1=1
方法3：设这四个数依次为x，y,12－y,16－x. 由已知得21y2＝－xy＋2＝12y－·1y6－，x. 解得yx＝＝40， 或yx＝＝91.5， 故所求四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.
[点评] 等比数列的“对称设项”方法为当项数n为奇数
时，先设中间一个数为a，再以公比为q向两边对称地依次
是,公比 q= x
[例 1] 下面四个数列： ①1,1,2,4,8,16,32,64； ②在数列{an}中，已知aa21＝2，aa32＝2； ③常数列 a，a，…，a，…； ④在数列{an}中，aan＋n1＝q(q≠0)，其中 n∈N＋. 其中是等比数列的有________．
[解] 判断一个数列是否是等比数列，只需利用aan＋n1＝q(常 数)判断．①不符合“同一常数”，故不是等比数列．②不 一定是等比数列，当{an}只有 3 项时，{an}是等比数列；当 {an}的项数超过 3 项时，不一定符合“每一项与它前一项的 比是同一常数”．③不一定是等比数列，若常数列是各项都 为 0 的数列，则不是等比数列；若常数列各项都不为 0，则 是等比数列．④是等比数列，数列{an}中，对任意 n∈N＋， 有aan＋n 1＝q，那么{an}是等比数列．故填④.
我们猜想,继续这样折叠,报纸的厚度会是 一组数列: 2 a, 22a, 23a , 24 a, 25 a, 26 a … (4)假设报纸的单页厚度约为0.1毫米，
需要折叠几次才能比泰山高呢？
(4)可以测得报纸的单页厚度约为0.1毫米 (即 a=0.0001m),当我们把报纸折叠了21次,此时的厚度是: 2 21 a = 2097152毫米 = 2097.152米
四个量，常用作“知三求一”．
方法点评：像等差数列的计算一样，等比数列中
基本量的计算是最重要、最基本的问题．
特别提醒：等比数列的通项公式体现了等比数
列的所有特性，可解决等比数列的有关问题，因而
要熟记公式，灵活地运用公式解决问题．
思考：类比等差中项，什么是等比中项？ 等比中项：
如果a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中 项。
例3．一个等比数列的第3项和第4项分别是12和18，求
它的第1项和第2项． (分析：要求第1项和第2项，必先求公比q.可利用方程的 思想进行求解。)
答：这个数列的第1项与第2项分别是 16 与8. 3
通项公式
an＝a1qn－1
反映
了等
比
数列 a 的
n
各项
与其序号 n 的函数关系，公式中含有 a1、q、n、an
方法2：设这四个数依次为2qa－a，aq，a，aq(a≠0)，
由条件得aq2q＋a－a＝a＋12a.q＝16，
解得qa＝ ＝28，
或 q＝13， a＝3.
∴当q＝2，a＝8时，所求四个数为0,4,8,16；
当q＝13，a＝3时，所求四个数为15,9,3,1.
故所求四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.
10000×1.01985
思考：以下数列有什么共同特点？
①1，2，4，8，… ② 1, 1 , 1 , 1 ,
248
③1，20，202，203…
④ 10000×1.01981 ， 10000×1.01982 ， 10000×1.01983 ， 10000×1.01984…
1.等比数列的定义
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与前一项
1 D.4
解析：由an＝
1 8
·2n－1＝2n－4知，a4＝1，a8＝24，其等比中项为
±4.
答案：A
{an}是公差不为零的等差数列，且a7，a10，a15是等比数 列{bn}的连续三项，若b1＝3，则bn＝________.
解析：{an}是公差不为零的等差数列，设首项为a1，公差为 d，∵a7，a10，a15是等比数列{bn}的连续三项， ∴(a1＋9d)2＝(a1＋6d)·(a1＋14d)， 整理可得d＝－23a1.设数列{bn}的公比为q， 则q＝aa170＝aa11＋ ＋96dd＝53. ∴bn＝b1qn－1＝3×(53)n－1.
[解] 方法 1：设这四个数依次为 a－d，a，a＋d，a＋ad2，
由条件得a－d＋a＋a d2＝16， a＋a＋d＝12.
解得ad＝ ＝44， 或ad＝ ＝－9，6. ∴当 a＝4，d＝4 时，所求四个数为 0,4,8,16； 当 a＝9，d＝－6 时，所求四个数为 15,9,3,1. 故所求四个数为 0,4,8,16 或 15,9,3,1.
an = a1qn- 1
等比数列的通项公式
a 等比数列 an ，首项为 1,公比为q,则通项公式为
an a1 • qn1
当q=1时，这是 一个常函数。
an 0
特别地，等比数列{an}中，a1≠0,q≠0
若数列{an}的首项是a1=1,公比q=2,则用通项公式表示是： ＿an＿=2＿n－＿1＿＿
设项即可，如三个数成等比数列，可设为aq，a，aq；当项
数n为偶数且公比大于0时，先设中间两个数为
a q
和aq，再
以公比为q2向两边对称地依次地设项即可，如四个数成等
比数列，可设为
a q3
，
a q
，aq，aq3，六个数成等比数列可设
为qa5，qa3，aq，aq，aq3，aq5.
2 4 8 16
(3) 5，5，5，5，5，5，… (4) 1，-1，1，-1，1，… (5) 1，0，1，0，1，…
(6) 0，0，0，0，0，…
(7) 1, x, x2, x3, x4, (x 0)
是,公比 q=3
是,公比 q=
1 2
是,公比 q=1
是,公 比q= -1
不是等比数列
不是等比数列